Содержание к диссертации
Введение
1 Линейно-квадратичное управление системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами 16
1.1 Синтез статического регулятора 16
1.2 Синтез динамического регулятора 24
1.3 Выводы 37
2 Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами 38
2.1 Методология прогнозирующего управления 38
2.2 Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью 39
2.3 Прогнозирующее управление разомкнутого типа 43
2.4 Выводы 50
3 Управление инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатилыюстью 51
3.1 Модель инвестиционного портфеля со стохастической волатилыгостью 52
3.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем 54
3.3 Активное управление 60
3.4 Численное моделирование 64
3.5 Управление инвестиционным портфелем в условиях стохастической волатильности, линейно зависящей от случайных параметров 72
3.5.1 Многомерная модель цен финансовых активов со стохастической волатилыюстью, линейно зависящей от случайных параметров 72
3.5.2 Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем 73
3.5.3 Активное управление 76
3.5.4 Численное моделирование 79
3.6 Выводы 83
4 Применение метода управления с прогнозированием к оптимизации инвестиционного портфеля: учет трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций 85
4.1 Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций 86
4.2 Управление инвестиционным портфелем 90
4.3 Активное управление 93
4.4 Численное моделирование 95
4.5 Моделирование с использованием реальных данных 101
4.6 Выводы 112
Заключение 113
Библиография 114
- Синтез статического регулятора
- Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью
- Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем
- Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций
Введение к работе
Широкий класс реальных систем, параметры которых точно неизвестны и меняются случайным образом, описывается линейными моделями со случайными параметрами. Примерами могут служить сложные производственно-технологические системы, склонные с отказам, энергетические и технические системы (ядерный реактор; летательный аппарат; система наведения на объект, уклоняющийся от встречи), экономические процессы (управление инвестиционным портфелем (ИП)). Проблема синтеза регуляторов для таких систем рассматривалась во многих работах, что обусловлено ее теоретической и практической важностью. Задаче управления линейными системами со случайными параметрами в непрерывном времени посвящены работы [4, 27, 28, 30, 32, 39, 43, 44, 72, 78, 100, 108, 113, 133]. Системы со случайными параметрами в дискретном времени рассматриваются в [22, 26, 27, 32, 37, 38, 63, 66, 71, 79, 128, 134].
Управление по критерию чувствительному к риску для систем со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи рассматривалось в [128].
В [71] авторы с помощью метода динамического программирования получили оптимальное управление с обратной связью по состоянию для полностью наблюдаемой линейной системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковской цепи с известной матрицей переходных вероятностей. В [79] рассматриваются полностью наблюдаемые линейные системы со случайными параметрами, принимающими конечное множество значений в соответствии с эволюцией дискретной марковском цепи с
ВВЕДЕНИЕ
неизвестными переходными вероятностями. Для решения задачи построения линейного регулятора для таких систем на бесконечном горизонте предложен итерационный метод, основанный на имитационном моделировании методом Монте-Карло.
Системам с мультипликативными шумами и случайными параметрами посвящены работы [32, 38, 44; 100, 113], в которых предполагается, что случайные параметры принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи.
В [44] рассматривается алгоритм синтеза систем слежения по интегральному квадратичному критерию для непрерывных объектов с мультипликативными возмущениями и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний. Предполагается, что в канале наблюдения отсутствуют случайные параметры и шумы. С использованием принципа динамического программирования получено оптимальное управление в виде обратной связи по вектору измеряемого выхода. Полученный закон управления является линейным относительно выхода системы и зависит от текущего состояния цепи.
В [38] решается задача оптимальной стабилизации линейной дискретной системы с аддитивными и мультипликативными шумами и случайной структурой, меняющейся в соответствии с эволюцией стационарной марковской цепи с известной стохастической"'матрицей. Предполагается, что вектор состояния доступен наблюдению. С использованием метода динамического программирования показано, что оптимальное управление с обратной связью по состоянию является линейным, причем матричный коэффициент усиления зависит от текущего состояния марковской цепи.
В [113] исследуется задача линейно-квадратичного управления на бесконечном горизонте для линейной стохастической системы со случайной структурой и мультипликативными шумами в непрерывном времени. Параметры системы принимают конечное множество значений в соответствии с эволюцией марковской цепи с известными постоянными переходными вероятностями. В работе рассматривается случай полной информации о векторе состояния системы. Оптимальное управление получается путем усреднения оптимальных управлений при всевозможных со-
ВВЕДЕНИЕ
стояниях марковской цепи на текущем шаге. Для получения оптимального управления авторы используют подход, основанный на линейных матричных неравенствах.
В [32] рассматриваются системы с мультипликативными шумами и случайными параметрами, описываемыми цепью Маркова с конечным числом состояний, как в дискретном, так и в непрерывном времени. Решены задача линейно-квадратичного управления в случае, когда вектор состояния системы доступен наблюдению, и задача построения динамического регулятора в случае, когда канал наблюдений также имеет случайную структуру, меняющуюся в соответствии с эволюцией марковской цепи.
Необходимо отметить^ что в работах [32, 38, 44] оптимальное управление зависит от текущего состояния марковской цепи, которое на практике часто недоступно наблюдению, следовательно необходимы дополнительные алгоритмы для оценивания состояния марковской цепи.
В работах [1, 29, 34 - 36, 45, 64, 65, 80, 118, 123, 124, 137, 138] рассматривается управление системами с мультипликативными шумами и неслучайными известными параметрами. Для получения оптимального управления используются метод динамического программирования, матричный принцип минимума, метод множителей Лагранжа, теоретико-игровой подход.
В вышеупомянутых работах рассматриваются задачи управления без учета явных ограничений на переменные управления и состояния системы. Однако на практике к системам часто предъявляются требования связанные как с непосредственными издержками, такими как энергетические затраты, так и с экологическими нормами и требованиями безопасности. Такие требования обычно носят форму ограничений, предъявляемых к системе. Различают два вида ограничений: на переменные управления (максимальная скорость потока в гидравлических системах определяется диаметром трубы, клапаны имеют ограниченный диапазон регулировки, затраты энергии ограничены мощностью установки) и на выход системы (требования к качеству производимой продукции, экологические нормы, требования безопасности). Известно, что применение традиционных подходов к синтезу управления с обратной связью при
ВВЕДЕНИЕ
ограничениях, например, с использованием метода динамического программирования, приводит к проблеме, названной Беллманом "проклятие размерности" [3], которая в конечном итоге не позволяет решить поставленную задачу численно. В связи с этим были разработаны различные подходы к учету ограничений в динамических моделях, такие как добавление в критерий качества штрафов за невыполнение ограничений [54], схема "anti-windup" [62, 96], учитывающая эффект насыщения системы.
Одним из эффективных подходов к синтезу систем управления при ограничениях, получившим широкое признание и применение в практике управления сложными технологическими процессами, является метод управления с прогнозирующей моделью (управление с прогнозированием)^, 50, 57-61, 81, 103, 106, 109, 116, 125, 126, 129]. Преимуществом этого метода является возможность достаточно просто учитывать явные ограничения на переменные состояния и управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью. При учете ограничений синтез стратегий управления с прогнозированием обычно сводится (в зависимости от выбора критерия) к решению задач линейного [42, 57] или квадратичного [129] программирования, для решения которых существуют эффективные методы [8].
Проблеме управления динамическими системами с использованием метода управления с прогнозированием посвящены многие работы, обзор которых приведен в [125]. В большинстве работ рассматриваются детерминированные системы [57 - 59, 61, 106, 126, 129]. В [126, 129] синтезируется управление стационарными полностью наблюдаемыми системами. В [129] линейные ограничения накладываются только на переменные управления. В [126] наложены ограничения общего вида как на переменные управления, так и на состояние системы. В [57 - 59, 61] рассматривается задача управления стационарными неполностью наблюдаемыми системами при ограничениях на управляющие воздействия и выход системы. В [106] -управление нестационарными неполностью наблюдаемыми системами при линейных ограничениях на переменные управления и выход системы. В работах [59, 61, 106, 126, 129] синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования, а в работах [57, 58] - линейного
ВВЕДЕНИЕ
программирования.
Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.
Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предполо-жени5і о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизиро-
ВВЕДЕНИЕ
вать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.
Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7, 10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66-70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110]. В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].
В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс-акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптималыюму управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционныс издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обзор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной останов-
ВВЕДЕНИЕ
ки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете траксакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным' алгоритмам управления в непрерывном времени.
Б рамках проблемы оптимального управления ИП возникает вопрос о выборе адекватной модели динамики цен рисковых активов. В большинстве работ по управлению ИП в качестве модели эволюции цен рисковых активов принята классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [119] с детерминированной вола-тильностыо (изменчивостью) [5, 56, 67, 75, 76, 88, 91, 114, 115, 119, 127, 132] или ее дискретизованный вариант [5, 10, 76]. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся (случайной) волатильыостью [47, 48, 73, 82, 93, '99, 107, 130, 131, 136]. Такие модели можно разбить на два класса [130]. Первый - это модели, управляемые данными - в этом случае волатилы-юсть зависит от прошлых значений временного ряда. К такому классу относятся авторегрессионные модели типа ARCH и ее обобщения, такие как GARCH, t-GARCH, log-GARCH, EGARCH, IGARCH, FIARCH и др. [48,107, 130]. Второй класс составляют модели, управляемые параметрами, в которых волатильность зависит от некоторых ненаблюдаемых компонент (латентной структуры). Представителями этого класса являются так называемые SV-модели (модели стохастической волатильности, stochastic volatility models), которые достаточно хорошо отражают эффекты "самовозбуждения" волатильности (volatility clustering), наблюдаемые на реальных финансовых рынках [48, 107, 130, 131]. Заметим, что исследование модели ИП в условиях стохастической волатильности цен рисковых финансовых активов приводит к необходимости рассмотрения систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами.
Проведенный анализ литературы и потребности практики подтверждают актуальность построения оптимального управления для систем со случайными параметрами и мультипликативными шумами и примене-
ВВЕДЕНИЕ
ниє результатов для управления ИП. Это, в свою очередь, обуславливает актуальность настоящей диссертационной работы, целью котором является:
синтез регуляторов для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений;
синтез стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при явных ограничениях на управляющие переменные;
синтез стратегий управления ИП в условиях стохастической вола-тильности доходностей рисковых финансовых активов;
синтез стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакционных издержек и ограничений на объемы торговых операций.
Методы исследования
При выполнении диссертационной работы использовались понятия и методы теории автоматического управления (метод динамического программирования, матричный принцип максимума), методология управления с прогнозированием, численные методы (метод квадратичного программирования) и методы имитационного моделирования.
Основные результаты, полученные в данной работе и выносимые на защиту, следующие.
1) Уравнения синтеза линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений.
ВВЕДЕНИЕ
Метод определения стратегий управления с прогнозированием с обратной связью для систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений, при ограничениях на управляющие переменные.
Уравнения синтеза стратегий управления ИП в условиях стохастической волатильности доходиостей рисковых финансовых активов.
Динамические модели управления ИП в условиях стохастической волатильности, с учетом трансакциониых издержек, ограничений на объемы торговых операций и различия ставок безрискового вклада и кредитования.
Метод синтеза стратегий управления с прогнозированием ИП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов с учетом пропорциональных трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими аналитическими выкладками и результатами численных расчетов. В вырожденном случае (когда параметры системы не случайны) получаются известные формулы для систем с аддитивными и мультипликативными шумами.
Теоретическая и практическая ценность
Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций.
ВВЕДЕНИЕ
Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы; ИП в условиях стохастической волатильности.
Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (акт о внедрении прилагается).
Структура и объем работы
Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц.
Содержание работы
В первой главе диссертации рассматриваются системы со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для таких систем. Преимуществом предложенного подхода является то, что не требуется знания вида распределения случайных параметров - для расчета регуляторов достаточно знать лишь первые два момента вектора случайных параметров.
Во второй главе рассматривается применение методологии управления с прогнозированием к системам со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения синтеза стратегий управления с прогнозированием с замкнутой обратной связью я разомкнутого типа. Данный подход позволяет учесть в явном виде ограничения на управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью.
Третья глава посвящена проблеме управления ЙП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов.
ВВЕДЕНИЕ
Предложено две модели ИП со стохастической волати лы-гостью,
описываемой базовой SV-моделыо,
линейно зависящей от случайных параметров, для которых известны только первые два момента распределения.
Для обеих моделей задача оптимального управления ИП решена в двух постановках:
- слежение за эталонным (гипотетическим) портфелем с желаемой
доходностью, задаваемой инвестором,
превышение капитала индексного портфеля, отражающего состояние рынка (активное управление).
При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 1, Численные расчеты подтверждают полученные теоретические результаты.
Предмет заключительной четвертой главы диссертации - учет транс-акциогшых издержек и ограничений на объемы торговых операций при управлении ИП в условиях стохастической волатильности доходиостей рисковых финансовых активов.
Разработана модель ИП, учитывающая трансакциоыные издержки, ограничения на объемы торговых операций и различие ставок безрискового вклада и кредитования.
Синтезированы оптимальные стратегии управления с прогнозированием ИП, учитывающие транс акцию иные издержки и ограничения на объемы торговых операций. При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 2.
Приводятся результаты численного моделирования и моделирования с использованием реальных данных, подтверждающие работоспособность и эффективность предложенного подхода.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийской научно-практической конференции
ВВЕДЕНИЕ
"Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (Анжеро-Судженск, 2001), Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002), I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002), Второй международной конференции "Проблемы актуарной и финансовой математики" (Минск, Беларусь, 2002), IV Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2002), Ежегодной конференции "SICE Annual Conference 2003" (Фукуи, Япония, 2003), Международной конференции "Математическое-моделирование социальной и экономической динамики" (Москва, 2004), 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004), III Всероссийской конференции "Финансов о-акту арная математик , и смежные вопросы" (Красноярск, 2004), Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ [12 - 21, 84 -86, 89, 90].
Синтез статического регулятора
Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.
Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предполо-жени5і о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.
Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7, 10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66-70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110]. В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].
В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс-акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптималыюму управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционныс издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обзор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете траксакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным алгоритмам управления в непрерывном времени.
В рамках проблемы оптимального управления ИП возникает вопрос о выборе адекватной модели динамики цен рисковых активов. В большинстве работ по управлению ИП в качестве модели эволюции цен рисковых активов принята классическая модель геометрического (экономического) броуновского движения Блэка-Шоулса [119] с детерминированной вола-тильностыо (изменчивостью) [5, 56, 67, 75, 76, 88, 91, 114, 115, 119, 127, 132] или ее дискретизованный вариант [5, 10, 76]. Исследования временных рядов динамики доходностей финансовых активов показывают, что во многих случаях более адекватными являются модели цен с меняющейся (случайной) волатильыостью [47, 48, 73, 82, 93, 99, 107, 130, 131, 136]. Такие модели можно разбить на два класса [130]. Первый - это модели, управляемые данными - в этом случае волатилы-юсть зависит от прошлых значений временного ряда. К такому классу относятся авторегрессионные модели типа ARCH и ее обобщения, такие как GARCH, t-GARCH, log-GARCH, EGARCH, IGARCH, FIARCH и др. [48,107, 130]. Второй класс составляют модели, управляемые параметрами, в которых волатильность зависит от некоторых ненаблюдаемых компонент (латентной структуры). Представителями этого класса являются так называемые SV-модели (модели стохастической волатильности, stochastic volatility models), которые достаточно хорошо отражают эффекты "самовозбуждения" волатильности (volatility clustering), наблюдаемые на реальных финансовых рынках [48, 107, 130, 131]. Заметим, что исследование модели ИП в условиях стохастической волатильности цен рисковых финансовых активов приводит к необходимости рассмотрения систем с мультипликативными шумами и случайными параметрами.
Прогнозирующее управление с замкнутой обратной связью
Рассмотрим задачу управления портфелем ценных бумаг, состоящим из банковского счета с доходностью гу = 0.0005 и двух видов акций с доходностями rji(k) = + 7 ( ) ( ), (г = 1,2). где уц = 0.003, И2 = 0.004 - ожидаемые доходности, Vi[k) - стандартные нормально распределенные случайные величины, o i{k) - волатильности. Неопределенность в задании волатильностей будем моделировать, предполагая, что (Тг(к) - последовательность независимых равномерно распределенных на промежутке [щ, bi] случайных величин: а\ — 0,01507, Ъ\ — 0,02892, о-2 = 0,01569, &2 — 0,0423. Операции продажи без покрытия запрещены, т, е. хгп(к) — 0, (г — 1, 2). Заем в банке осуществляется по ставке гч — 0.0007 и ограничен величиной \ V(0)) т. е. ж = ( )- Трансакцион-иые издержки характеризуются следующими долями: А " — Аг = 0.005 (г = 1,2). Горизонт прогноза р = 30. В начальный момент времени весь капитал находится на банковском счете, т. е. si(0) — 2:2(0) = 4(0) = О, Жз(0) = У(0) = F(0) = V{0) = 1.
Численно реализованы две стратегии управления таким портфелем: 1) слежение за эталонным портфелем, 2) активное управление. Доходность эталонного портфеля [х — 0.004. При активном управлении /? = 0.1, индексный портфель характеризуется следующими долями вложений: а± = 0.5, ( = 0.3, аз = 0.2. Весовые коэффициенты в функции риска R = 10 5E2n+i и 6 — 1. Обе задачи решаются на промежутке к& [0, 100].
Пример 4.2. Рассмотрим задачу слежеггая за эталонным портфелем с желаемой доходностью {1Q = 0.004 для ИГГ, состоящего из 6 видов акций (п — 6), торгуемых на Нью-Йоркской фондовой бирже (EMC Corp, Ford Motor Co. Lucent Technologies Inc, Motorola Inc, Nortel Networks Corp, Newmont Mining Corp) и безрискового актива с доходностью г і = 0.0000383. Период управления - интервал времени с 29.08.2003 по 23.01.2004 (100 торговых дней). Предполагается, что поведение цен акций описывается моделью (3.44) причем тц — 5y Tj. Оценки параметров модели цен рисковых активов рассчитывались для каждого интервала времени по последним 100 наблюдениям. Операции продажи без покрытия запрещены, т. е. жп(&) = 0, (г = 1,6). Заем в банке осуществляется по ставке 7 2 0.0006368 и ограничен величиной V(0), т. е. хп+2{&) — (0)- Трансакциоыные издержки характеризуются следующими долями: Х 1 = А = 0.005 (і = 1, б) (0.5% от объема сделки). Бесовые коэффициенты в функции риска R = 10 7Е2П+± и 5 — 1. Горизонт прогноза р = 50. В начальный момент времени весь капитал находится на банковском счете, т. е. жі(0) = #2(0) = #з(0) = #4(0) — #s(0) = Е6(0) = хв(0) = 0, х7{0) = У{0) - VQ{0) = 1.
Цены и доходности акций приведены на рис. 4.12-4.20. На рис. 4.21 приводится динамика капитала управляемого ИП и эталонного портфеля, а также состояние банковского счета и займа. На рис. 4.22-4.23 показана динамика вложений в акции. Динамика управляющих воздействий приведена на рис. 4.24-4.30.
Синтез стратегий управления инвестиционным портфелем
Решена задача синтеза статического и динамического регуляторов по выходу для систем с аддитивными и мультипликативными шумами и со случайными параметрами, для которых известны только первые два момента распределения. Разработан метод синтеза оптимальных стратегий управления для таких систем с учетом явных ограничений на управляющие воздействия. Построены модели и предложен метод управления ИП в условиях стохастической волатильности с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций. Практическая ценность данной работы состоит в возможности применения полученных результатов при решении задач оптимального управления широким классом объектов, динамика которых описывается системами со случайными параметрами и шумами, зависящими от состояния и управления, такими как, летательные аппараты, химические процессы; ИП в условиях стохастической волатильности.
Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета (акт о внедрении прилагается). Структура и объем работы Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 4 главы и содержит 48 рисунков. Список литературы включает 141 наименование. Общий объем работы - 130 страниц. Содержание работы В первой главе диссертации рассматриваются системы со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения линейных оптимальных по квадратичному критерию статического и динамического регуляторов по выходу для таких систем. Преимуществом предложенного подхода является то, что не требуется знания вида распределения случайных параметров - для расчета регуляторов достаточно знать лишь первые два момента вектора случайных параметров. Во второй главе рассматривается применение методологии управления с прогнозированием к системам со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояния и управлений. Получены уравнения синтеза стратегий управления с прогнозированием с замкнутой обратной связью я разомкнутого типа. Данный подход позволяет учесть в явном виде ограничения на управления, при этом получается стратегия управления с обратной связью. Третья глава посвящена проблеме управления ЙП в условиях стохастической волатильности доходностей рисковых финансовых активов. Предложено две модели ИП со стохастической волати лы-гостью, - описываемой базовой SV-моделыо, - линейно зависящей от случайных параметров, для которых известны только первые два момента распределения. Для обеих моделей задача оптимального управления ИП решена в двух постановках: - слежение за эталонным (гипотетическим) портфелем с желаемой доходностью, задаваемой инвестором, превышение капитала индексного портфеля, отражающего состояние рынка (активное управление). При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 1, Численные расчеты подтверждают полученные теоретические результаты. Предмет заключительной четвертой главы диссертации - учет транс-акциогшых издержек и ограничений на объемы торговых операций при управлении ИП в условиях стохастической волатильности доходиостей рисковых финансовых активов. Разработана модель ИП, учитывающая трансакциоыные издержки, ограничения на объемы торговых операций и различие ставок безрискового вклада и кредитования. Синтезированы оптимальные стратегии управления с прогнозированием ИП, учитывающие транс акцию иные издержки и ограничения на объемы торговых операций. При доказательстве теорем используются результаты, полученные в главе 2. Приводятся результаты численного моделирования и моделирования с использованием реальных данных, подтверждающие работоспособность и эффективность предложенного подхода. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийской научно-практической конференции
"Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (Анжеро-Судженск, 2001), Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002), I Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам (Красноярск, 2002), Второй международной конференции "Проблемы актуарной и финансовой математики" (Минск, Беларусь, 2002), IV Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2002), Ежегодной конференции "SICE Annual Conference 2003" (Фукуи, Япония, 2003), Международной конференции "Математическое-моделирование социальной и экономической динамики" (Москва, 2004), 8-ом Корейско-Российском международном симпозиуме по науке и технологии (Томск, 2004), III Всероссийской конференции "Финансов о-акту арная математик , и смежные вопросы" (Красноярск, 2004), Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004).
Динамическая модель инвестиционного портфеля с учетом трансакциониых издержек и ограничений на объемы торговых операций
Управление с прогнозированием для стохастических систем рассматривается в [49, 50, 60, 81, 103, 109, 116]. Управление неполностью наблюдаемыми системами, возмущенными аддитивными шумами, представлено в [49, 50]. Предполагается, что амплитуды шумов ограничены, а ограничения на вектор управления и состояния системы должны выполняться для любых значений шумов. Решается задача управления по минимаксному критерию (максимум ищется по всевозможным значениям шумов, а минимум по допустимым управлениям). В каждый момент времени для нахождения оптимального управления решается задача квадратичного программирования. В [103] решается задача управления для систем с аддитивными белыми гауссовскими шумами и неизвестными параметрами. Предполагается, что параметры принадлежат ограниченному множеству. Также как и в [81, 109] проводится минимизация квадратичного критерия, в котором переменные состояния системы заменены на их прогнозы. Синтез стратегий управления сводится к решению последовательности задач квадратичного программирования. Проведенный анализ литературы позволяет сделать вывод о том, что в настоящее время отсутствуют работы, посвященные задачам управления с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами.
Важной областью приложений теории управления системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, является финансовая инженерия, где подобные модели используются для описания эволюции ИП [6, 12, 13, 17, 18, 20, 55, 77, 89, 90, 122, 127, 139]. Проблема управления ИП является одной из основных в управлении финансами и представляет как теоретический, так и практический интерес [46]. Можно выделить два основных подхода к ее решению. Классический подход, предложенный в [117, 135], и последующие его модификации [92, 95, 117, 135, 140], исходят из предполо-жени5і о том, что при формировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию портфеля или связанные с ней меры риска), с другой стороны - получать желаемую доходность (либо в двойственной постановке - максимизировать доходность при ограниченном риске). При этом задача оптимизации структуры портфеля (определения оптимальных долей вложений в различные виды активов) решается в статической постановке.
Второй подход основан на построении динамических моделей ИП и использовании для выбора оптимальной структуры портфеля методов теории стохастического управления [5 - 7, 10, 23 - 25, 46, 51, 56, 66-70, 74, 75, 77, 87, 88, 98, 101, 102, 105, 110, 112, 114, 119, 120, 127, 132]. Классическая оптимизационная проблема в динамической постановке заключается в определении стратегии управления ИП, максимизирующей некоторую интегральную функцию полезности, зависящую от уровня текущего потребления и конечного богатства. За исключением весьма ограниченного набора функций полезности, для которых решение можно получить аналитически [119], такой подход приводит к трудной проблеме численного решения уравнений динамического программирования Беллмана [110]. В работах [5, 6, 10, 23, 24, 88] задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за капиталом некоторого гипотетического эталонного портфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую доходность. В работах [7, 25, 51, 56, 74, 87] рассматривается так называемая задача активного управления [46, 74], целью которой является превышение в среднем капитала некоторого индексного (базового) портфеля. Достаточно полный обзор методов оптимизации ИП в динамической постановке с использованием различных критериев, дан в [127].
В большинстве работ по управлению ИП,предполагается, что транс-акционные издержки несущественны, также в них не учитываются ограничения на доли вложений в отдельные виды финансовых активов. Это приводит к субоптималыюму управлению, но позволяет использовать более простые алгоритмы при синтезе управляющих воздействий. Модели, учитывающие трансакционныс издержки и ограничения на доли вложений в финансовые активы, более точно описывают ситуацию, сложившуюся на реальных финансовых рынках, но процедуры поиска оптимальных управлений в этом случае значительно усложняются. Обзор работ, учитывающих трансакционные издержки для моделей ИП в непрерывном времени дан в [75]. В этих работах применяются методы классической теории стохастического управления, оптимальной остановки, стохастического импульсного управления и др. В большинстве работ задача решается только для случая, когда ИП включает в себя один рисковый актив. При учете траксакционных издержек и ограничений на объемы инвестиций и торговых операций оптимизация ИП, содержащего несколько рисковых активов, приводит к сложным алгоритмам управления в непрерывном времени.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
