Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Устойчивость и качественный анализ нелинейных упра вляемых динамических систем 20
1.1. Исследование устойчивоподобных свойств, решений нелинейных управляемых динамических систем 20
1.2. Полиограниченность относительно части фазовых переменных движений одной нелинейной системы 37
1.3. Устойчивость нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях 41
1.4. Асимптотическая устойчивость в целом относительно части фазовых переменных одной многосвязной управляемой системы 65
ГЛАВА 2. Корректность использования в динамике процессов линеа ризованных управляемых динамических систем 71
2.1. Построение оценок погрешностей линеаризации нелинейных управляемых динамических систем относительно части и всех фазовых переменных 71
2.2. Построение оценок погрешностей линеаризации одной квазилинейной управляемой системы 83
2.3. Конвективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем 92
ГЛАВА 3. Оптимальная стабилиация программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями НО
3.1. Постановка задачи НО
3.2. Решение задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной системы с перекрывающимися декомпозициями 115
ГЛАВА 4. Устойчивость по Лагранжу инвариантных множеств в общих динамических системах 121
4.1. Устойчивость по Лагранжу в теории Йосидзавы - Селла 121
4.2. Единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость отображений 128
4.3. Единый подход к изучению частичной устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохра няющих частичную устойчивость отображений 139
ГЛАВА 5. Устойчивость по Лагранжу и качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем 155
5.1. Предельный режим движений и структура множества устойчивых по Лагранжу движений в скалярной и векторных моделях движения железнодорожного транспорта 155
5.2. Алгоритм исследования устойчивости по Лагранжу движения математической модели, описываемой операторным дифференциальным уравнением второго поряка 169
5.3. Условие существования зоны устойчивости по Лагранжу в модели Н.Н. Лузина движения железнодорожного экипажа 173
5.4. Условия устойчивости по Лагранжу движения в математической модели железнодорожной колесной пары 178
5.5. Управление скоростью движения железнодорожного экипажа и оценка критической скорости движения 185
Заключение 200
Литература 203
- Устойчивость нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях
- Конвективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем
- Единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость отображений
- Условие существования зоны устойчивости по Лагранжу в модели Н.Н. Лузина движения железнодорожного экипажа
Введение к работе
В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к их управлению. В связи с чем, возникают новые математические модели динамических процессов, описывающиеся существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. При этом появляется потребность в развитии теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета в математических моделях параметрических и постоянно действующих возмущений, а также структурных неопределенностей. Кроме того, развитие компьютерной техники, программного обеспечения, сбор и обработка данных на базе микропроцессорных систем приводит к необходимости развивать математический аппарат, разрабатывать новые, направленные на практическое использование, качественные и приближенно-аналитические методы исследования нелинейных управляемых динамических систем. В конечном счете указанные методы могут служить целям обеспечения оптимальных условий работы и повышения безопасности функционирования сложных технических систем, а построение алгоритмов исследования их устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования того или иного сложного технического объекта. Все это составляет одну из ключевых проблем системного анализа. Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления динамическими системами являются нелинейные системы (многосвязные системы) обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому проблемы создания новых эффективных методов анализа и методов управления различными техническими объектами и технологическими комплексами предопределяют развитие методов исследования управляемых динамических систем. В большинстве задач технического характера структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к нелинейным управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям.
Основы теории устойчивости движения были разработаны великим русским ученым A.M. Ляпуновым [108]. В частности, он дал развитие первого и второго (прямого) методов Ляпунова.
В условиях первого метода Ляпунова требуется знать решения систем дифференциальных уравнений возмущенного движения и их оценки, что делает решение задачи об устойчивости трудной задачей.
Прямой метод Ляпунова есть метод качественного исследования устойчивости. Идея прямого метода Ляпунова состоит в том, что решение задачи об устойчивости заключается в построении вспомогательных функций, обладающих необходимыми свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова.
Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования устойчивоподобных свойств нелинейных управляемых систем (равно как и неуправляемых). В связи с потребностями науки и техники он получил развитие в трудах Н.Г. Четаева [167], К.П. Персидского [137], И.Г. Малкина [110], В.И. Зубова [67], [71], [74], Е.А. Барбашина [24], [26], Н.Н. Красовского [92]-[95], А.А. Шестакова [169]-[171], В.М. Матросова [116]-[122], И.В. Матросова [124], Н.И. Матросовой [125], В.В. Румянцева [148], [149], В.Г. Каменкова [77], Ю.Н. Меренкова [130], [131], А.С. Андреева [15]-[20], Ж.П. Ла-Салля и С. Лефшеца [102], В. Хана [188], [189], Ж.Л. Массеры [193], Я. Курцвейля [100], Т. Йосидзавы [213]-[215].
Прямой метод Ляпунова используется в механике, физике, технике, теории управления и анализе устойчивоподобных свойств динамических моделей (В.И. Зубов [66], [68]-[73], Н.Н. Красовский [95], [96], A.M. Летов [103], О.В. Дружинина и А.А. Шестаков [55]-[58], В.И. Воротников и В.В. Румянцев [38], В.И. Воротников [36], В.А. Плисе [141], [142], А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович [43], А.С. Галиуллин [39], А.С. Галиуллин, Р.Г. Мухарлямов, И.А. Мухаметзянов, В.Д. Фурасов [40], А.А. Красовский [90], [91], Е.Я. Смирнов [152], [153], П.А. Кузьмин [97], Е.С. Пятницкий [144] и др.). В их исследованиях, получены модификация теорем прямого метода Ляпунова применительно к конкретным динамическим свойствам математических моделей.
Основной трудностью прямого метода Ляпунова является отыскание функций (функционалов) Ляпунова [8], [12]-[14], [26], [27], [33], [50], [78], [159], [160], [169].
Применение метода сравнения [121]—[123] в задачах исследования устойчивоподобных свойств позволило В.М. Матросову [116], [117], [119], [120] и Р. Беллману в 1962 году ввести в рассмотрение векторную функцию Ляпунова, что упростило поиск функций Ляпунова. Прямой метод Ляпунова, в условиях которого используется векторная функция Ляпунова, обычно называют методом векторных функций Ляпунова. Первые теоремы об устойчивости с применением векторных функций Ляпунова были получены В.М. Матросовым [116], [117], [119], [120]. Эти теоремы, по существу, положили начало развитию метода векторных функций Ляпунова в нелинейной динамике. Этот метод был адаптирован применительно к различным типам устойчивости, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях [118], [ИЗ], [114], [128]. Различные аспекты метода продолжают развиваться.
В последнее время получено ряд качественно новых результатов но устойчивости решений нелинейных сложных (многосвязных) систем (Ко-сов А.А. [89], Александров А.Ю. [4]-[8] и его ученики).
Особо следует отметить раздел теории устойчивости движения относительно части фазовых переменных. Постановка задачи об устойчивости движения относительно части фазовых переменных принадлежит A.M. Ляпунову [108]. И.Г. Малкин [НО] в своих примечаниях к теоремам Ляпунова об устойчивости указал некоторые условия их переноса на случай устойчивости относительно части переменных. Первым, кто обстоятельно описал теорию устойчивости относительно части переменных, был В.В. Румянцев [148]. Его основополагающими работами являются [148], [149]. Позднее его исследования обобщены в первой монографии по данной теме [149]. Кроме того, В.В. Румянцев обосновал и методологию применения этого метода в приложениях [37], [38]. Значительный вклад в развитие теории устойчивости относительно части переменных внесли В.И. Зубов [71], В.И. Воротников [37], А.С. Озиранер [149] и др.
Методы теории устойчивости относительно части переменных применимы и к решению задач стабилизации программного движения [149], [37], [38].
Подчеркнем, что метод векторных функций Ляпунова также применим и к задачам теории устойчивости относительно части переменных [195], [196]. Исчерпывающие обзоры по теории устойчивости относительно части переменных содержатся в работах В.И. Воротникова [33], [37].
Метод векторных функций Ляпунова имеет прикладную направленность. Первая работа в этом аспекте была опубликована в 1966 (автор работы Ф.Н. Бейли). В ней предложена идея исследования устойчивости сложных (многосвязных) систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования. К настоящему времени данное направление сформировалось в теорию устойчивости сложных систем [7], [30], [118], [113], [114], [28], [29], [140], [164].
Чрезвычайно разнообразны приложения прямого метода Ляпунова (включая и метод векторных функций Ляпунова). В частности, можно оценивать отклонение переходного процесса от программного режима [24], [25], [115], учитывать влияние параметрических и постоянно действующих возмущений [121]—[123], [126], [127], [132], находить условия кон-вергентности динамических систем [52], [69], [71], [73], [141], [142], [214], оценивать область притяжения установившихся движений и т.д.
Однако проблема анализа свойств нелинейных динамических систем остается актуальной из-за отсутствия ее полного решения.Ее актуальность возрастает, если учитывать структурные, параметрические и постоянно действующие возмущения в динамических моделях.
Известно, что теория управления применительно к линейным управляемым системам дифференциальных уравнений наиболее разработана. Поэтому во многих случаях в теории управления прибегают к линеаризации управляемых систем.
В теории программного регулирования [24], [25], в теории идентификации, в самонастраивающихся системах с эталонными моделями при наличии структурных, параметрических и постоянно действующих возмущений также возникает аналогичная проблема. К числу первых работ, в которых изучался вопрос влияния постоянно действующих возмущений на поведение решений систем, относятся исследования Н.Н. Лузина и П.И. Кузнецова [106]. В них с помощью выбора параметров объекта выяснялась возможность исключения влияния постоянно действующих возмущений. Эти исследования относятся к теории инвариантности [98], [99], [101].
Как известно, для нелинейных управляемых систем необходимо иметь условия, обеспечивающие инвариантность до в вынужденном движении.
Отметим, что классические методы теории управления основаны на том, что математическая модель точно описывает поведение объекта и считается точно известной. Такой подход используется при решении задач оптимальной стабилизации программного движения и конструирования наблюдающих устройств. Накопленные данные об управляемых динамических процессах указывают на неточность их динамических математических моделей и, кроме того, некоторые при этом характеристики объекта могут меняться и быть неизвестными заранее. Поэтому практическая ценность закона управления определяется его работоспособностью при изменении характеристик объекта.
Таким образом, динамическая математическая модель при выбранном законе управления должна обладать устойчивоподобными свойствами (различные виды устойчивости, устойчивости по Лагранжу, ограниченности, устойчивости при постоянно действующих возмущениях, полиустойчивости, полиограниченности, коннективной устойчивости относительно части и всех фазовых переменных).
Актуальной задачей теории управления является построение управления осуществляющего заданный режим. Известно (Р. Беллман), что данная задача не имеет полного решения. Разрешимость указанной задачи состоит в отыскании условий, обеспечивающих устойчивость заданного режима (переходного процесса). Однако следует отметить, что требуемых условий недостаточно, необходимо еще принять во внимание влияние неучтенных в математической модели управляемого динамического процесса постоянно действующих возмущений.
Аналогичная проблема возникает и в теории самонастраивающихся систем с эталонной моделью [1], [2], [3], [21], [31], [65], [83], [86],[90], [134], [135], [138], [139], [154], [161], [162], [181], [201], [202], так как основной целью исследования самонастраивающихся систем с эталонной моделью является построение контура самонастройки, обеспечивающего устойчиво подобные свойства решений системы дифференциальных уравнений относительно фазового рассогласования при наличии постоянно действующих возмущений.
Использование дифференциальных уравнений, описывающих поведение фазового рассогласования, приводит, также к исследованию устойчивости нулевого решения, указанной системы при постоянно действующих возмущениях (применительно к задачам идентификации управляемых систем [60], [104], [107], [165], [178], [180]). Поэтому с целью построения более точного контура самонастройки необходимо знать связь между величинами б, S и 7 (см. определение устойчивости при постоянно действующих возмущениях).
Наиболее полно все аспекты задачи об устойчивости нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях включает в себя проблема стабилизации заданного режима (переходного процесса) при наличии возмущающих сил [11], [46], [54], [81], [91], [95], [96], [152], [158], [163].
В настоящее время методы решения выше перечисленных задач, в случае, если исходная нелинейная динамическая система имеет линейное приближение, достаточно хорошо разработаны [22], [23], [70], [71], [95], [115]. Однако в критических случаях отсутствуют методы установления связей между величинами б, 5 и j в задаче устойчивости нелинейных управляемых систем при постоянно действующих возмущениях.
Итак, будем рассматривать нелинейные динамические системы с однородной порядка /і 1 главной частью. Как известно [74], [77], [92], такие системы являются основной составляющей частью систем, описывающих критические случаи (в частности, критические случаи к нулевых и 2Л чисто мнимых корней) в теории устойчивости [74], [77], [92], [110].
Одним из самых распространенных ,как уже упоминалось, методов исследования свойств движений нелинейных управляемых динамических систем служит их линеаризация. При этом возникает проблема корректности использования линеаризованных динамических систем. Основным методом, при помощи которого можно установить корректность их использования, является прямой метод Ляпунова.Как известно, в критических случаях системы первого приближения не являются линейными.
Следовательно, актуальной проблемой нелинейной механики и теории управления является проблема разработки конструктивных методов построения верхних оценок движений нелинейных динамических систем и оценок погрешности их линеаризации. Актуальной также является задача оптимальной стабилизации нелинейных многосвязных управляемых динамических систем с перекрывающимися декомпозициями.
Представляет значительный интерес развитие единого подхода к исследованию устойчивости (частичной устойчивости) по Лагранжу на временном промежутке общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость) отображений, а также развитие теории устойчивости по Лагранжу в рамках теории об ограниченности Йосидзавы-Селла и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем с привлечением теории бифуркаций динамических систем.
В диссертации изучаются нелинейные управляемые динамические системы, для которых разрабатываются методы анализа устойчивоподоб-ных свойств движений относительно всех и части фазовых переменных и моделируются стабилизирующие управления. Под устойчивоподобны-ми свойствами движений указанных систем здесь подразумевается различные виды устойчивости по Ляпунову и Лагранжу, стабилизация программного движения, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, полиустойчивость, различные виды ограниченности в смысле Йосидзавы [213], [215] и полиограниченности относительно части и всех фазовых переменных.
Одним из обобщений прямого метода Ляпунова является его объединение с теорией дифференциальных неравенств [132]. С использованием математической теории систем был развит метод сравнения [123]. Идея метода сравнения в динамике состоит в построении для исходной динамической системы функции Ляпунова и систем сравнения. Следует при этом отметить, что системы сравнения в большей степени поддаются изучению по сравнению с исходной системой. Принцип сравнения, в математической теории систем позволяет доказывать теоремы сравнения об устойчивоподобных свойствах движений для широкого класса динамических систем.
Перспективным направлением в теории устойчивости является дальнейшее развитие метода сравнения на базе преобразований, сохраняющих устойчивость (частичную устойчивость), которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью - системой сравнения. Тем самым обеспечивается дальнейшее расширение класса динамических систем, устойчивоподобные свойства движений, которых удается исследовать.
Основная цель предлагаемой диссертации:
1) разработка методов исследования различных видов асимптотической устойчивости, устойчивости по Лагранжу (ограниченности), устойчивости при наличии постоянно действующих и параметрических возмущений движений нелинейных динамических систем, в том числе и многосвязных нелинейных динамических систем, первое приближение которых является однородным порядка // 1.
2)развитие метода сравнения в нелинейной динамике с использованием отображений, сохраняющих устойчивость, которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследований, и другой моделью динамической системы - системой сравнения;
3) разработка конструктивных методов построения верхних оценок движений и оценок погрешностей линеаризации нелинейных динамических управляемых систем относительно части и всех фазовых переменных;
4) развитие способа решения задачи оптимальной стабилизации программного движения многосвязной нелинейной динамической системы с перекрывающимися декомпозициями;
5) исследование устойчивости по Лагранжу движений нелинейных динамических систем и проведение качественного анализа математических моделей транспортных динамических систем.
Решение указанных задач опирается на методы системного анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории устойчивости и теории бифуркации.
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
В первой главе установлены условия асимптотической устойчивости степенного вида "частичного" положения равновесия по одной части фазовых переменных, а по другой - равномерной ограниченности движений системы.
Исследована полиограниченность относительно части и всех фазовых переменных. Для системы дифференциальных уравнений с однородной главной частью порядка // 1 доказаны теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях относительно части и всех фазовых переменных и новые теоремы об асимптотической устойчивости. Найдены верхние оценки решений указанных систем и, как следствие, указана зависимость между , 5 и 7- Здесь 7 есть верхняя граница постоянно действующих возмущений.
Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости в целом положения равновесия относительно части фазовых переменных.
Во второй главе на базе прямого метода Ляпунова решаются вопросы корректного использования линеаризованных систем в динамике процессов. Линейные динамические системы, включая и линейные динамические системы с управлением, являются наиболее употребляемыми для исследования динамических процессов. Использование линейных динамических систем может привести к неприемлемому упрощению исследуемых нелинейных динамических систем. Следует также отметить, что не всегда первое приближение линейное. Подтверждением тому, как уже упоминалось выше, являются критические случаи в теории устойчивости и случаи, когда линейное приближение с управлением не является управляемым. В этих случаях приходится привлекать в качестве первого приближения нелинейное первое приближение. Таким образом, с целью получения достоверных результатов необходимо иметь верхние оценки на решения рассматриваемых систем и оценки их линеаризации. В этой главе разработан конструктивный метод построения указанных оценок.
Построены также верхние оценки решений канонического вида квазилинейной системы дифференциальных уравнений и оценок погрешностей её линеаризации. Указанная система является математической моделью движения твердого тела в потенциальном поле сил.
—13—
В третьей главе развивается способ решения задачи оптимальной стабилизации нелинейной многосвязной управляемой системы с перекрывающимися декомпозициями путем расширения исходного фазового пространства с последующим его сужением.
Задача оптимальной стабилизации для многосвязной системы решается в три этапа. На первом этапе решается задача стабилизации на уровне подсистем системы. На втором этапе решается задача оптимальной стабилизации для исходной системы. Следует отметить, что подынтегральная функция функционала качества (критерия качества) в интегральной форме исходной системы выбирается с учетом устойчивости (асимптотической устойчивости) подсистем. Чтобы получить решение задачи оптимальной стабилизации для исходной многосвязной системы, на заключительном третьем этапе используется (если это возможно) принцип включения [176], [190], [191].
В четвертой главе доказано, что для нелинейных динамических систем различные виды устойчивости по Лагранжу являются частными случаями устойчивости по Лагранжу относительно двух полуцилиндров.
Основной целью четвертой главы является отождествление математических моделей динамических систем с одинаковыми качественными свойствами. Это достигается с помощью отображений, сохраняющих устойчивость, которые определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью динамической системы - системой сравнения. Приведены достаточные условия, при выполнении которых отображения сохраняют свойство устойчивости.
Полученные результаты об отображениях, сохраняющих устойчивость, применяются для вывода теоремы сравнения с целью проведения качественного анализа общих моделей динамических систем. Эти результаты уточняют и обобщают многие известные исследования по методу сравнения моделей динамических систем и имеют более широкую область применения.
Общая математическая модель включает математические модели, построенные на решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений и т. п., а также математические модели, порождаемые полугруппами, системы сравнения которых определяются дифференциальными неравенствами и включениями. Кроме того, указанный подход дает возможность обобщить общепринятое понятие математической модели динамической системы. Следовательно, определение общей математической модели динамической системы позволяет включить новые классы моделей. Для рассматриваемых моделей динамических систем определены различные понятия устойчивости по Лагранжу движений на промежутке времени Т.
Доказана теорема о существовани отображений сохраняющих устойчивость, а также теоремы сравнения об устойчивоподобных свойствах движений нелинейных динамических систем.
Разработан единый подход к исследованию различных типов устойчивости по Лагранжу общей математической модели. Заданная математическая модель Si (объект исследования) отображается на математическую модель S (систему сравнения). Предполагается, что свойства устойчивости по Лагранжу движений на временном промежутке системы сравнения известны. Если отображение сохраняет устойчивость, то свойства устойчивости по Лагранжу в модели Ej выводятся из свойств устойчивости по Лагранжу на Т в модели І7#. В этом подходе известные свойства устойчивости в модели фиксируются выбором сохраняющего устойчивость отображения и выбором системы сравнения.
В этой главе также разрабатывается единый подход к изучению частичной устойчивости по Лагранжу на временном промежутке Т в общей математической модели 27 = (Т,Х, Ф) на базе сохраняющих "частичную" устойчивость отображений. Употребление термина "частичная устойчивость" по сравнению с понятием "устойчивость" относительно части переменных является более предпочтительным.
Полученные здесь результаты являются основой для теории сравнения для общих математических моделей.
В пятой главе проведено исследование устойчивости по Лагранжу и осуществлен качественный анализ математических моделей транспортных динамических систем.
Изучен предельный режим движений и структура множества устойчивых по Лагранжу движений в скалярной и векторной моделях движения железнодорожного экипажа. Здесь проведено исследование устойчивости по Лагранжу в будущем и в целом. Доказана теорема о существовании -периодического решения в зоне устойчивости по Лагранжу в будущем. Согласно её условиям свободный член уравнения Льенара является ( -периодической функцией. Показано, что если, по крайней мере, одно решение векторного уравнения движения железнодорожного экипажа с почти периодической правой частью - устойчивое по Лагранжу в будущем, то существует единственное решение этого уравнения, устойчивое по Лагранжу в целом, причем указанное решение и его первая и вторая производные являются почти периодическими. Кроме того, показано, что каждое решение, устойчивое по Лагранжу в будущем, является асимптотически почти периодическим.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на научных конференциях "Огарёвские чтения" (Саранск, 2001-2006 г.г.); на Межвузовской научно-методической конференции "Современные научные аспекты функционирования транспортного комплекса и развитие его кадрового потенциала" (Москва, РГОТУПС, 1995); на Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2003-2005г.г.); на I и II Межвузовских научно-методических конференциях "Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта" (Москва, РГОТУПС, 1996 г., 1997 г.); на II и III Международных научных конференциях "Методы и средства управления технологическими процессами" (Саранск, Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, 1997 г., 1999 г.); на III конференции молодых учёных Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарёва (Саранск, 1998г.); на Четвёртом Ахметгале-евском семинаре "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2000г.), на Международной конференции "Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию со дня рождения Ю.С. Богданова" (Минск, 2001г.), на Втором Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002г.); на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002г); на V Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Москва, Великие Луки, ВЦ РАН, 2004 г.), на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (1995-2006 г.), на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого тхнического университета путей сообщения (Москва, 2001-2006 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и теории управления Ульяновского государственного университета (2006 г.); на научном семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2006 г.).
Устойчивость нелинейных динамических систем при постоянно действующих возмущениях
Проводится исследование асимптотической устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях динамических систем с однородной порядка ц 1 главной частью.
С целью полноты изложения приведем необходимые сведения об устойчивости и об ограниченности при постоянно действующих возмущениях.
Пусть дана система непрерывна и допускает существование единственного решения задачи Коши при заданных начальных условиях из области (1.3.2). Помимо системы (1.3.1), рассмотрим в области (1.3.2) систему где векторная функция p(t, у) характеризует постоянно действующие возмущения. Будем считать, что векторная функция p(t, у) определена и непрерывна в области (1.3.2) и, кроме того, выполнены условия единственности при начальных данных из области (1.3.2). Следует отметить, [44], [47]-[49], [59], [71], [76], [84], [93], [110], [149], [156], [157] что, как правило, постоянно действующие возмущения точно не заданы и f(t,Q) ф 0.
Определение 1.3.1 [ПО]. Нулевое решение системы (1.3.1) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для каждого сколь угодно малого е 0, найдутся два других числа S(e,to) 0 и 7(Мо) 0 таких, что всякое решение системы (1.3.3) с начальными данными у (to) = 2/о, удовлетворяющими условию \\уо\\ S(e,to) при произвольных (p(t,y), удовлетворяющих в области t to, \\у\\ е условию при всех t to, удовлетворяет неравенству
Теорема 1 [110]. Если для системы дифференциальных уравнений (1.3.1) существует определенно-положительная функция V(t,y), полная производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, и если в области (1.3.2) стемы (1.3.1) устойчиво при постоянно действующих возмущениях.
Следует отметить, что в определении 1.3.1 и в теореме 1 постоянно действующие возмущения малы при всех t to 0.
Из результатов Горшина СИ. [47], [48] и Малкина И.Г. [ПО] вытекает, что если нулевое решение системы (1.3.1) равномерно по to и уо асимптотически устойчиво, а векторная функция f(t,y) допускает ограниченные частные производные по у І (і = \,п), то оно устойчиво и при постоянно действующих возмущениях [92], [109].
В случае, когда f(t, у) периодическая относительно t, достаточно [92] предполагать, что f(t,y) является непрерывной по совокупности переменных.
Здесь развивается теория устойчивости при постоянно действующих возмущениях в части ослабления условий на правые части систем.
В монографии В.И. Зубова [71, с. 176-183] для систем с первым линейным приближением определена связь между е, 6 и j.
В работах [24], [128], [129], [156], [157] для систем дифференциальных уравнений при наличии первого автономного линейного приближения и постоянно действующих возмущений построена оценка влияния постоянно действующих возмущений на движения системы.
Рассматриваемые здесь нелинейные системы не содержат линейного первого приближения, для которых развиваются указанные выше результаты, в том числе и в части указания связи между величинами б, 5 и 7 Исследуя вопросы устойчивости при постоянно действующих возмущениях, Т. Йосидзава ввел определение ограниченности при постоянно действующих возмущениях [215].
Приведем далее определение ограниченности решений системы (1.3.1) при постоянно действующих возмущениях (по терминологии Т. Йосидза-вы: тотальной ограниченности).
Для этого будем считать, что системы (1.3.1) и (1.3.3) заданы в области
Определение 1.3.2 [215]. Говорят, что решения системы (1.3.1) ограничены при постоянно действующих возмущениях (тотально ограничены), если для любого 0 существуют два положительных числа (5(e) и 7(e) таких, что если уо Є Rn, то решения системы (1.3.3) удовлетворяют неравенству
Следует подчеркнуть, что, по существу, определение 1.3.2 совпадает с определением устойчивости в целом (в большом) при постоянно действующих возмущениях [92], [93]. Отличие заключается в том, что в определении 1.3.2 f(t,y) в общем случае при у = О не обращается в нуль.
Справедлива теорема.
Теорема 2 [213]. Пусть существует положительная функция Ляпунова V(t,y), определенная на J+xG% G = {у : \\у\\ г, г - произвольное оложительное число], обладающая свойствами:
1) й{\\у\\) V(t,y) b(\\y\\), где й(\\у\\) - положительная непрерывная строго возрастающая функция; Ь(\\у\\) - непрерывная неотрицательная возрастающая функция, причем lim а(г/) = +оо, и такая, что V(t,y) относительно переменной у удовлетворяет условию Липшица (постоянная Липшица не зависит от t).
2)D+V(t,y)\{hU) -c(\\y\\), где с{\\у\\) - положительная непрерывная строго возрастающая функция.
Конвективные оценки погрешностей линеаризации нелинейных динамических систем
Известно [28], [176], [208], что во многих многосвязных системах отдельные связи между подсистемами с течением времени могут отключаться, включаться или заранее неизвестным образом изменяться.
Возникает при этом проблема построения многосвязной системы с тем, чтобы изменения связей между подсистемами не нарушали устойчиво-подобных свойств исходной системы. Если устойчивоподобные свойства решений системы сохраняются при изменении связей, то говорят, что система обладает конвективно устойчивоподобными свойствами. В случае, если устойчивоподобные свойства сохраняются не для всех изменений связей, а только некоторой группы связей, то говорят, что система обладает парциально (частично) коннективно устойчивоподобными свойствами.
Следует отметить, что термин "коннективная устойчивость" введен в работах Д. Шильяка [176], [208].
С целью более полного понимания основных результатов данного пункта, приведем основные сведения о коннективной устойчивости [28], [176], [208].
Для этого вначале введем определение фундаментальной матрицы связей.
Предположим, что система при всех включенных и имеющих наибольшее значения связей, задана в виде связанных подсистем (многосвязной системы)
Следовательно, режим функционирования системы (2.3.1) можно считать своего рода предельным. В реальности состояние системы отличается от того, которое в процессе функционирования определяется системой (2.3.1), так как некоторые связи между подсистемами могут изменяться заранее неизвестным образом в промежутке от нуля до значения, определяемого функциями /ь( ,xi,... ,xq) (s = l,q). Изменения могут происходить не только мгновенно в виде скачкообразных включений и отключений, но и в виде постепенного изменения в указанном промежутке.
Математическая модель указанных динамических процессов должна содержать фундаментальную матрицу связей Е — (esj)i\. Каждой 5-ой подсистеме в матрице Е приписывается строка и столбец с номером s. Матрица Е бинарна, т.е. ее элементы равны 0 или 1. Таким образом, если 5-ая подсистема связана с j-ой подсистемой (s,j), то esj = 1; в противном
I, если связи между s-ой и j -ой подсистемами могут иметь место, 0, если таковые связи могут отсутствовать.
Иначе можно записать
Исходя из определения матрицы текущих связей Е следует, что её элементы esj могут быть одновременно кусочно-непрерывными по t и непрерывными по фазовым переменным. Однако для определения искомых оценок с помощью метода функций Ляпунова это не является препятствием.
Здесь матрица Е такова, что элементы ее главной диагонали не обязательно равны нулю, т.е. в функции /is(, ) может входить и фазовая переменная ys. Следует также отметить, что матрица Е в общем случае не является симметричной, т.к. существование связи (s,j) не гарантирует связи (j, s). Таким образом, здесь рассматриваются связи направленные.
В определении матрицы Е присутствует слово "могут". Следовательно, матрица Е отражает не ту структуру, которая существует в данный момент и может изменяться с течением времени, а ту структуру, которая будет существовать при полностью включенных связях.
Единицы в матрице Е стоят не только там, где связи обязательно есть, но и там, где они могут включаться, выключаться и изменяться с течением времени. В связи с введением фундаментальной матрицы возникает необходимость введения матрицы, которая характеризовала бы структурные изменения системы (2.3.2). Таковой является, так называемая, матрица текущих связей Е. Элементы матрицы Е определяются следующим образом
Единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке в общей математической модели на базе сохраняющих устойчивость отображений
Представлен единый подход к изучению устойчивости по Лагранжу на временном промежутке Т С J, J = {t: \t\ оо} в общей математической модели Е = (Т,Х, Ф) на базе, сохраняющих устойчивость, отображений модели из Ej = (Т,Хі,Фі) в модель Е2 = {Т,Х2, Ф2), где ХІ - метрические пространства с метрикой р,-(г = 1,2), [85] а Ф{ - семейство движений в пространстве Х((і = 1,2). Семейство движений в пространстве ФІ общей математической модели Д- рассматривается как параметризованное семейство функций времени, определенных на метрическом пространстве ХІ(І = 1,2). Определение общей математической модели Е включает в себя математические модели, определенные на решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, обыкновенных разностных уравнений, функционально - дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и т.п., а также математические модели, порожденные полугруппами. При этом системы сравнения определяются дифференциальными неравенствами и включениями. Указанный подход дает возможность обобщить общепринятое понятие математической модели динамической системы. Таким образом, определение общей математической модели динамической системы достаточно для включения в себя новых важных классов моделей.
Для рассматриваемых моделей динамических систем определены различные понятия устойчивости по Ляпунову и различные понятия устойчивости по Лагранжу движений на промежутке времени Т. Одна из основных целей главы состоит в отождествлении математических моделей динамических систем с одинаковыми качественными свойствами. Это достигается с помощью отображений, сохраняющих устойчивость. Такие отображения определяют отношение качественной эквивалентности между одной моделью динамической системы, называемой объектом исследования, и другой моделью динамической системы, называемой системой сравнения. Здесь даны достаточные условия для того, чтобы отображения сохраняли свойство устойчивости. Относительно отображений, сохраняющих устойчивость, объект исследования и система сравнения являются в общем случае двумя разными математическими моделями динамических систем, определенными на разных метрических пространствах. Используемое понятие отображения, сохраняющего устойчивость, является более общим, чем подобные определения, предложенные в работах [195], [196], [206].
Полученные результаты об отображениях, сохраняющих устойчивость, применяются для получения теоремы сравнения с целью качественного анализа общих моделей динамических систем. Эти результаты уточняют и обобщают многие известные исследования по методу сравнения математических моделей динамических систем [102], [ИЗ], [114], [132], [170], [195],[196],[212] и имеют более широкую область применения.
Обозначим через У, Z произвольные множества, а через / : У — Z обозначим отображение / из У в Z. Множество всех отображений из У в Z обозначим через {У - Z}.
Пусть R обозначает множество действительных чисел, R+ = [0,оо) и пусть N обозначает множество целых неотрицательных чисел, т.е. iV = {0,l,...}.
Пусть Rn обозначает n-мерное действительное пространство. Если х Є Rn, то хТ = (х1,... ,хп) обозначает транспонирование х. Если х,у Є Є Rn, то х у означает, что х\ yf,x у означает, что я,- yf,x 0 означает, что Х{ 0 для всех і = 1, п.
Пусть (X, р) есть метрическое пространство, где X обозначает основное множество, а р обозначает метрику. Когда метрика р ясна из контекста, будем обозначать метрическое пространство через X вместо (Х,р).
Расстояние между точкой х Є Rn и множеством А С X определяется формулой p{x,A) = mi{p(x,y)}.
Если У и Z - метрические пространства, / : Y - Z и функция / непрерывна, то C[Y, Z) обозначает множество всех непрерывных отображений из Y в Z. Через f l обозначим обратное отображение к / (если оно существует).
Пусть Г С J, где J С R - промежуток времени, Tto (или Г) = [to, оо]ПГ - промежуток времени всех начальных моментов to при рассмотрении всех допустимых tlQ,TT — [т, +оо] - полуоткрытый справа неограниченный промежуток, связанный с г.
Приведем точные определения общего движения и общей математической модели динамической системы, которые представляют обобщения обычных понятий движения и математической модели динамической системы [133].
Пусть (Х,р) - метрическое пространство. Пусть р:ТхАхТ- Х. Для фиксированных а Є A,to Є Т предположим, что p(-,to,a) : Tto — X, То = [to, оо)Г)Т. Отображение р{-, to, а) назовем общим движением. Тройка Е = (Т,Х, Ф) является общей математической моделью динамической системы тогда и только тогда, когда семейство движений Ф является подмножеством множества
Условие существования зоны устойчивости по Лагранжу в модели Н.Н. Лузина движения железнодорожного экипажа
Пусть: 1) функция g(s,x) на множестве имеет знак, противоположный ее знаку на множестве
2) функция g(s,x) удовлетворяет условиям (L\) — (L%). Тогда модель (5.3.1) Н.Н. Лузина имеет, по крайней мере, одно периодическое решение х = x (s) с периодом UJ.
Доказательство. Множество {s О, ті х т2}, где mi = inf{a;(s) : s 0}, т2 — sup{a(s) : s 0} называется зоной устойчивости по Лагранжу, а кривая х = a(s) - кривой устойчивости. График периодического решения x (s) модели (5.3.1) принадлежит зоне устойчивости по Лагранжу 5, так как вне этой зоны решения модели (5.3.1) являются монотонными функциями. Рассмотрим на 5-оси точки s = SQ + кш, к = 0,1,2,..., и проведем через них перпендикуляры, разбивающие зону устойчивости на счетное множество конгруэнтных прямоугольников с основанием и; и рассмотрим, например, прямоугольник abdc (рис.1) с вершинами а, Ь, с, d.
Интегральные кривые, выходящие из точек отрезка ab, не могут покинуть зону устойчивости и непременно будут пересекать отрезок cd. Пусть верхняя и нижняя интегральные кривые С\(а) и С2(Ь), выходящие из точек а и 6, пересекают отрезок cd в точках а\ и Ь\, причем точка а\ будет расположена не ниже точки Ь\. Рассмотрим переменную точку р 6 аЬ и ей соответствующую верхнюю интегральную кривую С, пересекающую отрезок cd в точке р\. Очевидно, что точка pi, принадлежит отрезку а\Ъ\. Пусть точка р непрерывно движется по отрезку аЬ из точки а к точке b и рассматриваются при этом верхние интегральные кривые. Тогда точка р\ будет монотонно двигаться вниз по отрезку а\Ь\ из точки а\. Очевидно, что ортогональная проекция отрезка а\Ь\ на отрезок аЬ является правильной его частью. Поэтому при описанной процедуре окажется, что точки р\ и р2 при некотором s будут находиться па одинаковом расстоянии от 5-оси, т.е. будет существовать решение x(s) модели (5.3.1), определенное на отрезке [SQ,SQ + LU] И обладающее свойством: X(SQ) = X(SQ + Ш). Так как g(s,x) удовлетворяет условию (Ьз), то характер интегральных кривых в других прямоугольниках будет тем же самым. Следовательно, решение x(s) модели (5.3.1) продолжимо до сколь угодно больших значений s с сохранением периода. Так как значение SQ 0 было выбрано произвольно, то существует движение x (s), обладающее свойством: x (s + и) = x (s) Vs Є R+- Теорема доказана.
Теорема 5.3.2. Пусть выполнены условия (L{) — (L4). Тогда справедливо заключение теоремы 5.3.1.
В самом деле, если выполнено условие (L4), то g(s,x) имеет противоположные знаки на множествах (5.3.4) и (5.3.5), и условия теоремы 5.3.1 выполнены. Теорема доказана.
Теорема 5.3.3. Пусть функция g(s,x) удовлетворяет условиям (Li) — (L4). Тогда модель (5.3.1) имеет единственное периодическое решение периода и.
Доказательство. Предположим, что кроме периодического движения с периодом ui существует другое периодическое движение X2{s) моде —176—
ли (5.3.1) с каким-либо периодом ы\ ф и. Тогда существует точка SQ Є R+ такая, что XI(SQ) ф x2[s). Нетрудно показать, что справедлино неравенство
\x2(sQ) - XI(SQ)\ \x2(s0 + ти) - xi(s0 + mu )\ + eN, (5.3.6) где m - натуральное число, зависящее от є и #(s,#) N.
Слагаемое eN в (5.3.6) стремится к нулю, если є 4 0 и m 4 оо, а первое слагаемое в (5.3.6) стремится к пределу Л Є [0, 2 — х\\. В пределе при е — 0 и т — со получаем неравенство Ы$о) - xi(s0)\ А, Л Є [0,х2 - хі]. (5.3.7)
С другой стороны, справедливо неравенство
\x2(s0) - xi(s0)\ \x2(s0 + mcu) - xi(sQ + mu)\ (5.3.8) для любого натурального числа т. Переходя в (5.3.8) к пределу при m - +оо, получим
\x2(s0)-x1(s0)\ \. (5.3.9)
Неравенства (5.3.7) и (5.3.9) противоречат друг другу. Теорема доказана.
Теоремы 5.3.1-5.3.3 установлены при выполнении условий (Ь\) — (Ь ) и без выполнения условий, накладываемых в работе [151]:
(б), существования производной g x(s,x); (LQ), ограниченности и непрерывности производной g x(s,х); (Lj), существования a(s) такой, что
Теорема 5.3.4. Пусть функция g(s,x) удовлетворяет условиям [Ь\) — (Ьз) и, кроме того условиям
Тогда каждое движение x(s) модели (5.3.1) попадает в зону устойчивости при s - +00 и будет в ней всегда оставаться:
Теорема 5.3.5. Пусть функция g(s, х) удовлетворяет условиям (Li) — (L3) и монотонно убывает относительно х. Тогда каждое движение x(s) модели (5.3.1) приближается к периодическому движению x (t) при s —» +оо, причем существует предел
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 5.3.5. В силу теорем 5.3.1 и 5.3.3 модель (5.3.1) имеет единственное периодическое движение x (t). Пусть x(s) - другое движение модели (5.3.1). Можно показать, что при выполнении условий (Li), (L2), (L4) расстояние между двумя решениями х\(s) и X2(s) всегда стремится к определенному конечному пределу при s -} +оо, т.е. существует предел
А= lim \xi(s) -x2(s)\, \є[0,х2-хЛ. (5.3.10)
Теоремы 5.3.4 и 5.3.5 установлены Н.Н. Лузиным [105] для дифференциального уравнения движения поезда, приведенного к виду
—- = Q(x) + -P(s), и распространены в [151] на уравнение (5.3.1), пра ds вая часть которого удовлетворяет условиям (L\) — {LQ). Здесь показано, что эти теоремы переносятся на случай моделей вида (5.3.1) при отсутствии жестких условий (L4) — (LQ). На основании (5.3.10) движение x(s) будет приближаться к x (s) при возрастании s, причем всегда существует конечный предел
