Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы вычисления предельных запаздываний дифференциально-разностных систем в задаче устойчивости 10
1.1. Анализ поведения корней квазиполинома в зависимости от запаздываний 10
1.2. Определения максимального запаздывания.. 13
1.3. Запас устойчивости 20
1.4. Колебательность 27
Глава 2. Устойчивость линейных семейств квазиполиномов с неопределенным запаздыванием 42
2.1. Введение 42
2.2. Критерий устойчивости линейного семейства квазиполиномов 45
2.3. Определение максимального запаздывания 47
2.4. Запас устойчивости 53
2.5. Запас колебательности 59
Глава 3. Синтез робастных регуляторов 67
3.1. Алгоритмы вычисления 1-го и 2-го интервальных радиусов 67
3.2. Построение мажорантных систем 83
3.3. Системы с параметрами 88
Приложение 92
Заключение 104
Литература 106
- Анализ поведения корней квазиполинома в зависимости от запаздываний
- Критерий устойчивости линейного семейства квазиполиномов
- Запас колебательности
- Алгоритмы вычисления 1-го и 2-го интервальных радиусов
Введение к работе
В настоящее время интенсивно развивается направление автоматизации научных исследований и конструкторского проектирования сложных технических объектов. В последнее время наибольшей популярностью пользуются задачи автоматизации конструирования и исследования систем управления термоядерными реакторами на основе токамаков. Отличительной особенностью задач синтеза регуляторов, стабилизирующих положение, ток и форму плазмы в токамаках, является исключительно широких спектр требований и ограничений по качеству динамических процессов в замкнутой системе. Особую роль здесь играют различные подходы теории оптимального управления и робастной устойчивости.
Наиболее значимые фундаментальные результаты в этом направлении были получены в трудах A.M. Ляпунова, В.И. Зубова, Л.С. Понтрягина, Р. Беллмана и многих других ученых. Эта теория определила базу для решения задач оценки робастных свойств систем управления относительно допустимых задержек в каналах обратной связи, которые существенно влияют на качество управления.
Вопросы решения прикладных задач в области робастной устойчивости нашли отражение в фундаментальных работах В.Л. Харитонова, А.П.Жабко и других известных специалистов.
Однако появление новых моделей управления плазмой в термоядерном ректоре потребовали разработки новых методов параметрического анализа влияния запаздываний в управляющих сигналах. Появилась необходимость постановки и решения новых математических задач, адекватных содержательным задачам оценки управляющих регуляторов, так как применение универсальных математических методов не всегда
эффективно в плане их оценки качества. Это определяется относительной новизной сформированного в последнее время комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости.
В последние годы получены новые результаты, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако много вопросов до сих пор остаются открытыми. Например, оценка времени переходного процесса и уровня колебательности системы в пространстве неопределенных параметров, в том числе и задержек в каналах обратной связи, требует проведения дополнительных исследований, которые бы позволили более эффективно применять методы теории оптимальной стабилизации и робастной устойчивости для решения поставленных задач. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на развитие методов анализа управляемости дифференциально-разностных систем уравнений и адаптацию теории к решению прикладных задач по управлению техническими объектами и технологическими процессами.
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оценки робастности в системах управления динамическими системами, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач стабилизации формы и тока плазмы в термоядерных реакторах-токамаках и создание алгоритмического обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов.
При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:
развитию методов и алгоритмов оценки робастности системы по отношению к задержкам в каналах обратной связи в условиях достижения заданного уровня времени переходного процесса и частоты колебаний;
созданию алгоритмов построения границ допустимых запаздываний в конкретных задачах по автоматизации процессов управления динамикой плазмы.
Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оценки робастности управляемых систем.
Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности.
Предложены методы получения вышеописанных оценок для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями.
Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления.
Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра.
Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широкодоступных вычислительных средств типа ЭВМ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на реализуемость как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения.
Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXI, XXXIII, XXXIV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург), международном семинаре "Beam Dynamic and Optimization" (г. Саратов 2001), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Брест. 2002), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Витебск. 2003), международной конференции "Physics and Control" (г. Санкт-Петербург 2003), а также на семинарах кафедры теории управления СПбГУ.
Отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по программе ИТЕР-ФЕАТ.
По теме диссертации опубликованы следующие работы:
Зарецкий Д.В. Интервальный метод решения уравнения Вольтерра. // Труды XXXI науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2000, С. 168-171.
Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Анализ устойчивости управляемых систем с запаздыванием в каналах обратной связи. // Труды XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2001.- С. 47-49.
Зарецкий Д.В., Ким А.Р. Универсальная программная оболочка для решения задач оптимизации. // Тезисы докладов международного семинара "Beam Dynamics & Optimization".- Саратов, 2001.- С. 54-58.
Жабко А.П., Зарецкий Д.В. О вычислении предельных запаздываний дифференциально-разностных систем в задаче устойчивости. // Труды международной математической конференции. "Еругинские чтения VIH". Брест, 2002-С. 59-60.
Зарецкий Д.В. Устойчивость линейных дифференциально-разностных систем // Труды XXXIV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2003- С. 166-169.
Жабко А.П., Зарецкий Д. В. Анализ расположения корней квазиполинома с соизмеримыми неопределенными запаздываниями.
СПб// Труды международной математической конференции. "Еругинские чтения IXй. Витебск, 2003- С. 102-103.
7. А.Р. Zhabko, D.V. Zaretsky Robust stability of the linear time-delay systems with indefinite delay II International Conference "FHYSICS and CONTROL", Saint Petersburg, 2003, Pages 1050-1051.
Анализ поведения корней квазиполинома в зависимости от запаздываний
В настоящее время интенсивно развивается направление автоматизации научных исследований и конструкторского проектирования сложных технических объектов. В последнее время наибольшей популярностью пользуются задачи автоматизации конструирования и исследования систем управления термоядерными реакторами на основе токамаков. Отличительной особенностью задач синтеза регуляторов, стабилизирующих положение, ток и форму плазмы в токамаках, является исключительно широких спектр требований и ограничений по качеству динамических процессов в замкнутой системе. Особую роль здесь играют различные подходы теории оптимального управления и робастной устойчивости.
Наиболее значимые фундаментальные результаты в этом направлении были получены в трудах A.M. Ляпунова, В.И. Зубова, Л.С. Понтрягина, Р. Беллмана и многих других ученых. Эта теория определила базу для решения задач оценки робастных свойств систем управления относительно допустимых задержек в каналах обратной связи, которые существенно влияют на качество управления.
Вопросы решения прикладных задач в области робастной устойчивости нашли отражение в фундаментальных работах В.Л. Харитонова, А.П.Жабко и других известных специалистов. Однако появление новых моделей управления плазмой в термоядерном ректоре потребовали разработки новых методов параметрического анализа влияния запаздываний в управляющих сигналах. Появилась необходимость постановки и решения новых математических задач, адекватных содержательным задачам оценки управляющих регуляторов, так как применение универсальных математических методов не всегда эффективно в плане их оценки качества. Это определяется относительной новизной сформированного в последнее время комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости.
В последние годы получены новые результаты, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако много вопросов до сих пор остаются открытыми. Например, оценка времени переходного процесса и уровня колебательности системы в пространстве неопределенных параметров, в том числе и задержек в каналах обратной связи, требует проведения дополнительных исследований, которые бы позволили более эффективно применять методы теории оптимальной стабилизации и робастной устойчивости для решения поставленных задач. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на развитие методов анализа управляемости дифференциально-разностных систем уравнений и адаптацию теории к решению прикладных задач по управлению техническими объектами и технологическими процессами.
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оценки робастности в системах управления динамическими системами, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач стабилизации формы и тока плазмы в термоядерных реакторах-токамаках и создание алгоритмического обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов.
При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: - развитию методов и алгоритмов оценки робастности системы по отношению к задержкам в каналах обратной связи в условиях достижения заданного уровня времени переходного процесса и частоты колебаний; - созданию алгоритмов построения границ допустимых запаздываний в конкретных задачах по автоматизации процессов управления динамикой плазмы.
Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Критерий устойчивости линейного семейства квазиполиномов
Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оценки робастности управляемых систем. Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности. Предложены методы получения вышеописанных оценок для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями. Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления. Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра. Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широкодоступных вычислительных средств типа ЭВМ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на реализуемость как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения.
Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXI, XXXIII, XXXIV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург), международном семинаре "Beam Dynamic and Optimization" (г. Саратов 2001), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Брест. 2002), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Витебск. 2003), международной конференции "Physics and Control" (г. Санкт-Петербург 2003), а также на семинарах кафедры теории управления СПбГУ. Отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по программе ИТЕР-ФЕАТ.
Запас колебательности
В последнее время наибольшей популярностью пользуются задачи автоматизации конструирования и исследования систем управления термоядерными реакторами на основе токамаков. Отличительной особенностью задач синтеза регуляторов, стабилизирующих положение, ток и форму плазмы в токамаках, является исключительно широких спектр требований и ограничений по качеству динамических процессов в замкнутой системе. Особую роль здесь играют различные подходы теории оптимального управления и робастной устойчивости.
Наиболее значимые фундаментальные результаты в этом направлении были получены в трудах A.M. Ляпунова, В.И. Зубова, Л.С. Понтрягина, Р. Беллмана и многих других ученых. Эта теория определила базу для решения задач оценки робастных свойств систем управления относительно допустимых задержек в каналах обратной связи, которые существенно влияют на качество управления.
Вопросы решения прикладных задач в области робастной устойчивости нашли отражение в фундаментальных работах В.Л. Харитонова, А.П.Жабко и других известных специалистов.
Однако появление новых моделей управления плазмой в термоядерном ректоре потребовали разработки новых методов параметрического анализа влияния запаздываний в управляющих сигналах. Появилась необходимость постановки и решения новых математических задач, адекватных содержательным задачам оценки управляющих регуляторов, так как применение универсальных математических методов не всегда эффективно в плане их оценки качества. Это определяется относительной новизной сформированного в последнее время комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости.
В последние годы получены новые результаты, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако много вопросов до сих пор остаются открытыми. Например, оценка времени переходного процесса и уровня колебательности системы в пространстве неопределенных параметров, в том числе и задержек в каналах обратной связи, требует проведения дополнительных исследований, которые бы позволили более эффективно применять методы теории оптимальной стабилизации и робастной устойчивости для решения поставленных задач. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на развитие методов анализа управляемости дифференциально-разностных систем уравнений и адаптацию теории к решению прикладных задач по управлению техническими объектами и технологическими процессами.
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оценки робастности в системах управления динамическими системами, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач стабилизации формы и тока плазмы в термоядерных реакторах-токамаках и создание алгоритмического обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов. При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: - развитию методов и алгоритмов оценки робастности системы по отношению к задержкам в каналах обратной связи в условиях достижения заданного уровня времени переходного процесса и частоты колебаний; - созданию алгоритмов построения границ допустимых запаздываний в конкретных задачах по автоматизации процессов управления динамикой плазмы. Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оценки робастности управляемых систем. Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности. Предложены методы получения вышеописанных оценок для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями. Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления. Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра.
Алгоритмы вычисления 1-го и 2-го интервальных радиусов
В последние годы получены новые результаты, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако много вопросов до сих пор остаются открытыми. Например, оценка времени переходного процесса и уровня колебательности системы в пространстве неопределенных параметров, в том числе и задержек в каналах обратной связи, требует проведения дополнительных исследований, которые бы позволили более эффективно применять методы теории оптимальной стабилизации и робастной устойчивости для решения поставленных задач. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на развитие методов анализа управляемости дифференциально-разностных систем уравнений и адаптацию теории к решению прикладных задач по управлению техническими объектами и технологическими процессами.
Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оценки робастности в системах управления динамическими системами, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач стабилизации формы и тока плазмы в термоядерных реакторах-токамаках и создание алгоритмического обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов.
При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: - развитию методов и алгоритмов оценки робастности системы по отношению к задержкам в каналах обратной связи в условиях достижения заданного уровня времени переходного процесса и частоты колебаний; - созданию алгоритмов построения границ допустимых запаздываний в конкретных задачах по автоматизации процессов управления динамикой плазмы. Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оценки робастности управляемых систем. Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности. Предложены методы получения вышеописанных оценок для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями. Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления. Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра. Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач. Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широкодоступных вычислительных средств типа ЭВМ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на реализуемость как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения. Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXI, XXXIII, XXXIV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург), международном семинаре "Beam Dynamic and Optimization" (г. Саратов 2001), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Брест. 2002), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Витебск. 2003), международной конференции "Physics and Control" (г. Санкт-Петербург 2003), а также на семинарах кафедры теории управления СПбГУ. Отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по программе ИТЕР-ФЕАТ.
