Введение к работе
Актуальность темы. Проблема анализа нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами является одной из основных задач системного анализа. Для анализа свойств таких систем необходимо уметь строить новые точные решения квазилинейных уравнений для всех типов задач и асимптотические решения, главный член которых является решением ОДУ. Отсюда вытекает актуальность темы данной работы. В диссертации рассмотрены эволюционные системы с распределенными параметрами, связанные с квазилинейными дифференциальными уравнениями с частными производными, которые возникают в различных процессах: в теории оптимального управления, нелинейных процессах тепломассопереноса, в физике и биологии, теории нелинейных волн, при распространении возмущений в движении реологических жидкостей и т.д.
Цель работы. Целью данной работы является формирование комплексного, систематического подхода к изучению нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами, возникающих в различных областях науки и техники. Предложено обоснование новой эффективной методики построения точных решений в параметрической форме нелинейных и квазилинейных уравнений с частными производными второго порядка. С помощью этой методики можно изучать эволюционные системы путем построения новых точных решений в параметрической форме в многомерном случае. Одна из целей работы- распространение новой методики на эволюционные системы связанные с самоорганизацией, распространением пространственных волн, а также описанием диссипативных структур. В комбинации с известными асимптотическими и численными методами построенные точные решения уравнений с частными производными оказываются полезными в многомерном случае.
Конкретно ставились следующие цели:
1)Построить точные решения для нелинейных эволюционных систем, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с помощью конструктивной замены независимых переменных в двухмерном и многомерном случаях. Распространить предложенную методику на квазилинейные параболические уравнение с коэффициентами, зависящими от независимых переменных.
2)Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела постоянной массы с ограничениями. В частности, решить задачу синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием гауссовских и пуассоновских возмущений, с трением и без него. Ставилась цель с помощью разработанной методики исследовать и решить задачу построения точных решений квазилинейных параболических уравнений с переменными коэффициентами-уравнения Гамильтона -Якоби -Беллмана и установить их связи с решениями линейных параболических уравнений.
-
Построить точное решение задачи синтеза оптимального управления движением тела переменной массы с ограничением на ресурс управления в детерминированом случае.
-
С помощью предлагаемой методики ставилась цель построить точное решение и исследовать свойства для стационарного режима систем, описываемых эллиптическими уравнениями. Показать возможность исследования широкого класса таких задач с помощью предложенной методики.
-
Построить методику исследования процессов распространения нелинейных волн в нелинейных средах, которые описываются квазилинейными невырождающимися гиперболическими уравнениями с помощью точных решений в параметрической форме.
-
Изучить системы двух полулинейных уравнений и построить точные решения задачи Копій со специальными начальными данными в распространенных в приложениях случаях таких систем.
-
Изучить асимптотические решения по гладкости и указать все типы особенностей на фронте слабого разрыва квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений. Найти необходимое условие существования решения квазилинейного гиперболического уравнения, описывающего распространение нелинейных волн в среде с медленно меняющимися свойствами. Построить точные и асимптотические решения.
Методы исследований. В диссертации использованы элементы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория ОДУ уравнений, численные методы, асимптотические методы, групповые методы построения точных решений, теория оптимального управления и теория случайных процессов.
Научная новизна полученных результатов. В диссертации получены следующие новые результаты:
-
Разработана новая методика построения точных решений дифференциальных уравнений с частными производными в параметрической форме, основанная на предложенной автором конструктивной замене независимых переменных. Задача построения решения исходного уравнения с частными производными второго порядка сводится к системе четырех уравнений первого порядка с частными производными и установлены условия ее разрешимости.
-
В тех случаях, когда решение в параметрической форме не разрешается, в исходных переменных предложена комбинированная методика из п.1) с численными методами для исследования многомерных задач для квазилинейных уравнений с частными производными. Построены примеры решений уравнений Фитц-Хью-Нагумо-Семенова, Зельдовича, уравнения близкого к уравнению Колмогорова-Петровского-Пискунова-Фишера.
-
Построено семейство точных решений класса задач синтеза оптимального управления колебаниями маятника, находящегося под воздействием случайных возмущений.
-
С помощью предложенной методики установлена связь решений задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения с переменными коэффициентами -Гамильтона-Якоби-Беллмана с решениями линейного параболического уравнения.
-
Найдены точные решения для ряда задач синтеза оптимального управления движением тела переменной массы с ограничением на ресурс управления в детерминиро-ваном случае.
-
Построены новые классы точных решений задачи Коши со специальными начальными данными систем двух полулинейных параболических уравнений.
-
Проведена полная классификация особенностей, возможных в квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнениях. Найдены необходимые условия существования решения и построены асимптотические решения задачи Коши со специальными начальными данными, в среде с медленно меняющимися свойствами для квазилинейных вырождающихся гиперболических уравнений. Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов
обеспечивается строгими доказательствами, приведенными в диссертации, а также публикациями в ведущих рецензируемых журналах в России и за границей: в США, Великобритании, Германии.
Практическая ценность работы. Некоторые полученные в работах автора и приведенные в диссертации резулвтаты вошли в справочники 1. Конкретные ссвілки приве-денві во Введении диссертации. Новая методика исследования с помощвю предложенной конструктивной заменві переменнвіх и построение точнвіх решений в параметрической форме позволяют исследоватв свойства нелинейных эволюционных систем с распределенными параметрами в многомерном случае.
Апробация работы. Резулвтаты диссертации докладывалисв на научных семинарах кафедры "Прикладная математика 1" Московского государственного университета путей сообщений; на кафедре "Прикладная математика" Московского государственного института электроники и математики (технический университет); на семинаре Института Проблем механики РАН; на семинаре по математической физике Института Прикладной математики им. Келдвппа; на кафедре "Кибернетика" Московского государственного института электроники и математики (технический университет); на кафедре "Дифференциалвнвіе уравнения и математическая физика" Университета "Дружбы народов"; на кафедре "Дифференциалвнвіе уравнения " в Московском государственном университете им. Ломоносова; на кафедре "Математическая физика" Самарского государственного университета; на кафедре "Ввісшая математика "Московского технического университета связи и информатики; на кафедре "Математического анализа" Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена (Санкт-Петербург). Представленные материалы диссертации докладывалисв на международных конференциях: третвя международная конференция "Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, июнь 2001; XX Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского, 22 мая 2001; международная конференция, посвященная 70-летию академика А.М.Ильина. Уральское Отделение РАН, Башкирский научный центр, Институт математики. Уфа, 2002; четвертая международная конференция "Средства математического моделирования". Санкт-Петербург, июнь 2003; "Современная математика и её приложения", г.Суздаль конференция-3,2003; VIII Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Москва. ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, июнь 2004; IV международная конференция "Идентификация систем и задачи управления"зісрго'05 , Москва, ИПУ им. В. А. Трапезникова, 25 янв.2005; Научная конференция "Герценовские чтения -2006 " 14-19 апреля, РГПУ Санкт-Петербург; IX Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Москва, ИПУ им В. А. Трапезникова РАН, 31-2 июня 2006; Международная конференция посвященная 100 летию со дня рождения А.Н.Тихонова, "Тихонов и современная математика" МГУ, 19-24 июнь 2006; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, г. Суздаль, Институт математики Стеклова, МГУ им. Ломоносова, Владимирский государственный уни-версит 10-15 июль 2006; "ШТАМ"Symposium. 25-30 август 2006, Институт математики Стеклова; Конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" г. Самара, Самарский государственный университет 1- 2 февраля 2007; Научная конференция "Герценовские чтения -2007 ", РГПУ, Санкт-Петербург.16-21 апреля 2007; XXII Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society, Международная конфе-
^^Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.Н., Казенин Д.А. Методы решения нелинейных уравнений. М.:Физматлит, 1998. см. С.236, С.263, Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.:Физматлит, 2002, Polyanin A.D., Zaitsev V.F., Moussiaux A. Handbook of Fist Order Partial Differential Equations, 2002, London, Taylor and Francis и т.п.
ренция И.Г.Петровского, 26 мая 2007 (Организаторы предоставили возможность сделать доклад сверх программы, учитывая важность темы ); Международный конгресс 2007, "Нелинейный динамический анализ 2007", посвященная 150-летию со дня рождения А.М.Ляпунова, Санкт -Петербург, 4-26 июня 2007.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 17 научных работ, включая 13 научных работ в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК, а также результаты диссертации частично опубликованы в сборниках и в двух монографиях на русском и английском языках. С учетом публикаций в трудах конференций, всего опубликовано 35 научных трудов.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение, список используемой литературы и приложение. Работа состоит из 252 страниц, включая 20 рисунка, и список литературы, состоящий из 204 наименований, одной таблицы. Приложение составляет 13 страниц.
