Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
1.1. Современное состояние теории стохастических систем. Стохастическая нелинейная фильтрация параметров сигналов с аддитивным шумом
1.2. Дискретная линейная фильтрация Калмана
1.3. Дискретная нелинейная фильтрация Калмана
1.4. Учет коррелироваїїности шума наблюдения применительно к фильтрации векторного сигнала с коррелированностью двух последовательных значений
1.5. Дискретная нелинейная двумерная фильтрация Калмана
1.6. Связь непрерывной и дискретной фильтрации для амплитудно модулированных сигналов
Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ
2.1. Общие принципы формирования модели сигнала
2.2. Модели квазигармонического сигнала и восстановление амплитуды, фазы и частоты
2.3. Формирование сигналов в интерферометрических системах
2.4. Модель сигнала для монохроматического источника колебаний
2.5. Моделирование интерферометрических сигналов малой когерентности
2.6. Сравнение предложенных моделей сигналов и результатов численного моделирования для случая монохроматического источника колебаний
2.7. Сравнение предложенных моделей сигналов и результатов численного моделирования для случая интерферометрических сигналов с широким спектром
2.8. Экспериментальное подтверждение предложенных моделей интерферометрических сигналов для монохроматического источника колебаний
2.9. Экспериментальное подтверждение предложенных моделей сигналов с широким спектром
Глава 3. ДИСКРЕТНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КАЛМАНА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗЫ И ЧАСТОТЫ ОДНОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
3.1. Простейшая реализация фильтрации одномерного сигнала
3.2. Фильтрация одномерного сигнала с использованием его векторного представления
3.3. Фильтрация одномерного сигнала с использованием его векторного представления и учетом коррелированности шума
3.4. Обработка сигналов интерферометрии фазового сдвига
3.5. Восстановление частоты сигналов ДОКТ
3.6. Исследование воздействия шума квантования на восстановление фазы и частоты сигнала методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана
Глава 4. ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КАЛМАНА АМПЛИТУДЫ ОДНОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
4.1. Реализация дискретной линейной фильтрации Калмана для восстановления амплитуды интерферометрических сигналов з
4.2. Результаты обработки сигналов малой когерентности с использованием дискретной линейной фильтрации Калмана
4.3. Дискретная нелинейная фильтрация Калмана .для восстановления амплитуды интерферометрического сигнала малой когерентности
4.4. Сравнение нелинейной дискретной фильтрации Калмана с методом синхронной демодуляции
4.5. Исследование воздействия шума квантования на погрешность восстановления амплитуды и фазы квазигармонического сигнала
4.6. Исследование устойчивости метода фильтрации при обработке сильно зашумленных интерферометрических сигналов и при обработке расширенной выборки полученных при моделировании интерферометрических сигналов малой когерентности
4.7. Обработка экспериментальных сигналов малой когерентности с гауссовской огибающей вблизи максимума, полученных при исследовании многослойных сред
4.8. Обработка экспериментальных сигналов малой когерентности, полученных при исследовании бумаги и древесных волокон
4.9. Динамическое оценивание параметров логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов
4. . Результаты обработки экспериментальных логарифмически преобразованных сигналов
Глава 5. ДВУМЕРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДЛЯ КАРТИН ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС
5.1. Построчная фильтрация двумерной интерференционной картины
5.2. Двумерная нелинейная фильтрация Калмана для интерференционных изображений ПО
5.3. Обработка генерированной картины колец Ньютона
5.4. Обработка полученных при моделировании интерференционных картин
5,5, Обработка экспериментальных интерферограмм с сильной нелинейностью фазы
5.6. Восстановление рельефа кратеров лазерной абляции, наблюдаемых при воздействии на исследуемую поверхность фемтосекундных лазерных импульсов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ І. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ: ОПТИЧЕСКАЯ СХЕМА И ВОЗМОЖНЫЕ МОДЕЛИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ СИГНАЛОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ СИГНАЛОВ МАЛОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. МЕТОД СИНХРОННОЙ ДЕМОДУЛЯЦИИ ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОГО СИГНАЛА
Введение к работе
Задачи исследования стохастических систем актуальны для многих областей науки. Рост популяции бактерий, траектория броуновского движения частицы, поведение экономических систем могут рассматриваться как реализации случайных процессов в стохастических системах [1].
Цель анализа стохастической системы состоит в получении информации о стохастических свойствах вектора параметров, заключающейся в математическом ожидании, ковариационной матрице, плотности вероятности. Для этого необходимо перейти от стохастического уравнения для вектора параметров к детерминированным уравнениям для характеристик параметров.
Существуют несколько методов перехода к детерминированным уравнениям, основными из которых являются методы получения уравнений для моментов случайной величины 0(х) с помощью стохастических функций Грина (см. работу Адомиана [1]) и методы на основе уравнения Колмогорова [3, 4], которое описывает эволюцию плотности вероятности многокомпонентного случайного процесса Q(x) для систем, определяемых уравнением Ланжевена.
Уравнения для других характеристик случайного процесса могут быть получены из уравнения для плотности вероятности.
Актуальной задачей является динамическое оценивание параметров стохастической системы, или стохастическая фильтрация [2].
Известна [2, 5] связь задач динамического оценивания параметров стохастических систем и задач стохастического управления. Система является наблюдаемой, если по измерениям всех или части ее координат можно за конечное время определить ее состояние [2]. Система является управляемой, если возможен перевод ее из заданного начального состояния в требуемое конечное за конечное время с помощью кусочно-непрерывного управления [2]. Связь управляемости и наблюдаемости для линейных систем рассмотрена в [5]. Связь стохастической фильтрации с задачами стохастического управления определяет актуальность исследований теории и методов стохастической фильтрации.
В большинстве задач необходимо восстанавливать апостериорные стохастические характеристики вектора параметров - плотность распределения или моменты распределения вектора параметров.
Для случая Гауссовского шума системы и шума наблюдения известны методы оценивания параметров, основанные на разложении вектора параметров и шума наблюдений в ряд Карунена-Лоэва [7-9]. В этих методах каждый параметр представляется в виде линейной комбинации собственных функций интегрального уравнения, ядром которого является корреляционная функция параметра. Шум наблюдения представляется аналогичным образом. Ядром интегрального уравнения в этом случае является корреляционная функция шума наблюдения. Методы, основанные на разложении в ряд Карунена-Лоэва, характеризуются высокой вычислительной сложностью и требуют знания корреляционных функций параметров системы и шума наблюдения.
Для систем, описываемых уравнением Ланжевена (2) и уравнением (5), апостериорная плотность вероятности определяется уравнением Стра-тоновича [10] или уравнением Ито [11]. Восстановление апостериорной плотности вероятности в соответствии с уравнением Стратоновича или уравнением Ито представляет один из возможных методов динамического оценивания параметров нелинейных стохастических систем. В практических задачах динамического оценивания параметров сигналов восстановление апостериорной плотности вероятности на каждом шаге обработки сигнала часто является неприемлемым из-за высокой вычислительной сложности. Для случая линейных систем с гауссовским шумом наблюдения и гауссовским шумом системы известно, что плотность вероятности распределения параметров остается гауссовской [1]. В этом случае достаточно восстановления математического ожидания и дисперсии параметров сигнала, которые полностью характеризуют плотность вероятности параметров.
Для многих практических задач достаточно восстановления математического ожидания и дисперсии сигнала и в случае, когда плотность вероятности параметров не является гауссовской.
Для описываемых уравнением Ланжевена систем с гауссовским распределением апостериорной плотности вероятности параметров математическое ожидание и дисперсия параметров сигнала могут быть определены методом фильтрации Калмана [12]. При цифровой обработке сигналов в общем случае используется метод дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
Метод фильтрации Калмана является одним из основных методов динамического оценивания параметров стохастических систем. Он широко применяется для линейных систем и хорошо исследован [2, 4]. В линейном случае метод фильтрации характеризуется спектральной характеристикой, и этой характеристики достаточно для его описания. В нелинейных случаях не существует универсального решения проблемы, поэтому исследование нелинейных методов является заметно более сложным. Как правило, нелинйные методы исследуются для конкретной модели сигнала.
Данная работа направлена на развитие и исследование метода дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно к задачам восстановления амплитуды, фазы и частоты квазигармонического сигналасо в том числе со случайно изменяющимися параметрами, искаженного аддитивным шумом.
Квазигармонические сигналы характерны для многих технических систем (в электротехнике, радиотехнике, обработке радионавигационных сигналов, интерферометрии), и развитие методов восстановления изме-няяющихся параметров квазигармонических сигналов (амплитуды, фазы и частоты) является актуальной научной задачей.
Методы восстановления параметров квазигармонических сигналов на основе стохастической фильтрации, в частности, дискретной нелинейной фильтрации Калмана, рассматривались в работах [14-20]. В этих работах авторы ориентировались на решение задач обработки радиотехнической информации. В работах [14-20] подробно рассматривается обработка квазигармонического сигнала постоянной частоты. Задача динамического оценивания сигналов переменной частоты, например, частотно модулированных сигналов, решается в работах [14-20] путем выделения постоянной несущей частоты, восстановления фазы сигнала и определения отклонения частоты от несущей как производной фазы. В работах [14-20] не рассматривается решение задач динамического оценивания параметров сигналов существенно переменной частоты, для которых невозможно выделение несущей. Решение этой задачи дано в гл. 3. В работах, посвященных стохастической фильтрации квазигармонических сигналов в радиотехнических приложениях [14-20], не решена задача восстановления фазы двумерных изображений, результаты решения которой в настоящей работе представлены в гл. 5. Верификация предложенных методов проведена в настоящей работе применительно к задачам обработки интерферометр и ческих сигналов и изображений, которые предпочтительны для исследования характеристик метода дискретной нелинейной фильтрации Калмана при обработке квазигармонических сигналов ввиду следующих свойств:
1. Интерферометрический сигнал является в общем случае квазигармоническим сигналом переменной частоты. В частности, в Доплеров-ской оптической когерентной томографии [21-23] частота содержит информацию о скорости движения рассеивающей среды, и если скорость различна в различных точках, что характерно для многих сред, то частота сигнала является случайно изменяющейся и характеризует динамические свойства среды.
2. В различных задачах интерферометрии параметры сигнала несут информацию о свойствах исследуемого объекта. В монохроматической интерферометрии фаза картины полос содержит информацию о рельефе исследуемой поверхности [24]. В интерферометрии малой когерентности [25-26] информация о рельефе поверхности или свойствах исследуемой среды заключена в вариациях амплитуды интер-ферометриического сигнала.
3. Для интерферометрических сигналов характерны искажения различной физической природы, вносимые источником излучения, оптической системой, видеокамерой, аналого-цифровым преобразователем. Интерферометрические системы используются для комплексного исследования устойчивости метода фильтрации в условиях искажений исходного сигнала различного вида.
4. В задачах интерферометрии необходимо восстановление параметров двумерных картин полос, что позволяет расширить область применения методов стохастической фильтрации на двумерные задачи.
Основной целью работы является развитие теории дискретной нелинейной фильтрации Калмана, разработка методов и алгоритмов нелинейной фильтрации квазигармонических сигналов, методик обработки сигналов применительно к интерферометрическим сигналам и изображениям.
Задачи исследования. Основные задачи работы состоят в следующем:
1. Анализ существующих методов динамического оценивания параметров стохастических систем.
2. Разработка методов двумерной нелинейной стохастической фильтрации изображений,
3. Разработка адекватных моделей квазигармонических сигналов для восстановления амплитуды, фазы и частоты с использованием методов стохастической фильтрации.
4. Разработка моделей картин полос, используемых в методах динамического оценивания фазы и частоты.
5. Исследование точности разработанных методов в условиях случайных возмущений.
Методы исследования. Разработанные методы фильтрации основаны на теоретических положениях теории вероятности, теории стохастических систем и стохастической фильтрации, теории информации. Для обоснования адекватности предложенных моделей интерферометрических сигналов использованы отдельные положения геометрической оптики и теории дифракции.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана. 2. Модель квазигармонического сигнала применительно к задачам восстановления фазы и частоты одномерных сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
3. Ограничения метода дискретной линейной фильтрации Калмана при фильтрации амплитуды одномерного узкополосного сигнала с близкой к гауссовской огибающей.
4. Модели квазигармонического сигнала, позволяющие динамически восстановить амплитуду и фазу сигнала.
5. Ограничения построчной фильтрации двумерных изображений в виде картин полос методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
6. Метод обработки двумерного изображения, позволяющий восстановить параметры изображения (включая развернутую фазу) с помощью двумерной пространственной нелинейной фильтрации с повышенной помехоустойчивостью и точностью.
Научная новизна работы состоит в постановке задачи разработки методов динамической обработки двумерных изображений и квазигармонических сигналов переменной частоты, получаемых при нелинейных преобразованиях, на основе методов стохастической фильтрации и в получении следующих новых научных результатов.
1. Разработан новый метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
2. Разработан новый метод учета коррелированности шума наблюдения в дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно к задаче фильтрации векторного сигнала вида s(A:)=[s(A:), s(H-l)]T.
3. Впервые поставлена и решена задача определения ограничений метода дискретной линейной фильтрации Калмана для фильтрации амплитуды узкополосных информационных сигналов с близкой к гауссовской оги 12
бающей. Ограничения заключаются в необходимости априорного оценивания начальной фазы сигнала и точного априорного оценивания частоты.
4. Разработаны модели квазигармонических сигналов при восстановлении амплитуды сигнала методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Предложенный новый метод восстановления амплитуды, основанный на этих моделях, устойчив к неточности априорного определения частоты и фазы сигнала, в отличие от методов линейной фильтрации и синхронной демодуляции. Преимуществом метода является также возможность динамической обработки сигнала.
5. Предложены новые модели квазигармонических сигналов при восстановлении фазы и частоты сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана. Преимуществом методов динамического оценивания фазы и частоты сигнала, основанных на данных моделях, по сравнению с широко распространенными методами фильтрации на основе преобразования Фурье являются возможность динамической обработки сигнала и возможность корректного учета априорной информации о стохастических свойствах сигнала при его обработке.
6. Впервые поставлена и решена задача разработки модели логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов применительно к восстановлению параметров сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
7. Впервые определены ограничения точности метода построчной не линейной двумерной фильтрации Калмана на примере обработки изображений в виде картин полос. Показаны высокие погрешности определения частоты в направлении, перпендикулярном направлению хода фильтрации.
Разработан новый метод динамического оценивания параметров интерферометрического изображения для восстановления фазы и частоты картин полос с помощью предложенного метода двумерной пространственной нелинейной фильтрации. 8. Впервые поставлена и решена задача исследования точности разработанных в диссертации методов фильтрации в условиях искажения сигналов шумом квантования и гауссовским шумом наблюдений.
Достоверность результатов работы.
Достоверность результатов работы обеспечивается адекватностью предложенных моделей сигналов и подтверждается верификацией предложенных методов динамического оценивания параметров сигналов, результатами сравнения погрешностей восстановления параметров с погрешностями их восстановления другими методами.
Практическая ценность работы.
Ї. Разработаны методики восстановления фазы и частоты сигналов применительно к динамической обработке сигналов при управляемом фазовом сдвиге, а также в Доплеровской оптической когерентной томографии.
2. Предложены методики восстановления амплитуды и фазы сигналов оптической когерентной томографии на примере сигналов, полученных при исследовании многослойных сред, материала бумаги и древесных волокон.
3. Разработан метод двумерной нелинейной фильтрации для обработки интерферограмм при восстановлении рельефа поверхности, в частности при восстановлении рельефа кратеров лазерной абляции.
Внедрение результатов работы.
Результаты работы использованы в 5-ти НИР, выполненных в СПбГУ ИТМО в рамках программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (2000-2004гг.), программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства Российской Федерации по атомной энергии по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2003г) и межотраслевой программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства обороны Российской федерации по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2004г.).
Результаты исследований использованы при выполнении международного научно-исследовательского проекта Международного научно-технического центра (МНТЦ) «Система бесконтактного динамического мониторинга объектов» (проект МНТЦ №2108).
Апробация результатов работы. Результаты работы представлены на 23 научных конференциях: 5th International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns (Stuttgart, Germany, 2005), International Symposium of Optical Metrology (Munich, Germany, 2005), International Conference on Laser Applications and Technologies 2005 (Saint Petersburg, Russia, 2005), 2nd Photonics and Laser Symposium (Kajaani, Finland, 2005), Saratov Fall Meeting 2004 (Saratov, Russia, 2004), Internationa! Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision (Saint Petersburg, Russia, 2004), NATO Advanced Study Institute in Biophotonics (Ottawa, Canada, 2004), Всероссийской научно-методической конференции «Телематика 2004» (Санкт-Петербург, 2004), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Научно-технической конференции молодых специалистов СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Saratov Fall Meeting 2003 (Saratov, Russia, 2003), International Conference on Advanced Laser Technologies (Silsoe, UK, 2003), International conference "Laser Optics 2003" (Saint Petersburg, 2003), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2003), Sixth International Conference of Quality Control by Artificial Vision (2003), International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography (Saint Petersburg, Russia, 2002), International Conference on Laser Applications and Technologies 2002 (Moscow, Russia, 2002), The First Scientific Workshop-Presentation «Optical Micro- and Nanotechnologies» (Saint-Petersburg, Russia, 2002), Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 2002), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО (ТУ) (Санкт-Петербург, 2002), International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (Minsk, Belarus, 2001), 2-ой международной конференция молодых ученых и специалистов "Оптика-200Г (Санкт-Петербург, 2001), Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-99» (Санкт-Петербург, 1999).
Публикации, Результаты исследований опубликованы в 29-ти научных публикациях, в том числе 5-ти статьях в научных журналах, 13-ти статьях в сборниках научных статей, 11-ти статьях в сборниках трудов научных конференций; 4 работы написаны без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, основной части, содержащей 5 глав, заключения, списка литературы и 4 приложений. Общий объем работы - 157 страниц, в том числе приложения на 18 страницах. Работа содержит 49 иллюстраций и 3 таблицы. Список литературы включает 83 библиографических источника.
В первой главе анализируется современное состояние теории стохастических систем. Описаны известные методы динамического оценивания параметров стохастических сигналов. Представлен разработанный метод двумерной нелинейной стохастической фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.
Во второй главе описаны принципы формирования модели стохастического сигнала, разработаны модели кваз и гармонических сигналов и двумерных изображений. Теоретически, численно и экспериментально обоснована адекватность предложенных моделей интерферометрическим сигналам и показана возможность и целесообразность использования интер-ферометрических сигналов и картин полос для верификации разработанных методов фильтрации.
В третьей и четвертой главе представлены результаты разработки новых методов оценивания параметров одномерных квазигармонических случайных сигналов, основанных на методе дискретной нелинейной фильтрации Калмана и предложенных во второй главе моделях сигнала,
В третьей главе обсуждаются задачи нелинейной фильтрации частоты и фазы сигнала. Представлены результаты исследования разработанного метода применительно к восстановлению параметров сигналов при управляемом фазовом сдвиге и в Доплеровской оптической когерентной томографии.
В четвертой главе представлены результаты исследований разработанных методов оценивания амплитуды и фазы квазигармонического сигнала. Показана возможность восстановления амплитуды и фазы сигналов применительно к задачам оптической когерентной томографии.
Представленный в первой главе новый метод двумерной фильтрации и предложенные во второй главе модели используются в пятой главе для решения задачи динамической обработки двумерных изображений. Двумерные картины полос используются для верификации разработанного метода.
