Введение к работе
Актуальность темы. Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы - стержня, сжатого сжимающей силой. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова A.M. Им были предложены два метода для исследования устойчивости механических систем.
Первый метод позволяет исследовать поведение возмущенных решений, которые строятся в виде рядов и на основе их свойств делается вывод об устойчивости невозмущенного решения исходной системы. Дальнейшему развитию данного метода посвящено большое количество работ таких ученых как Малкин И.Г., Красовский Н.Н., Четаев Н.Г., Зубов В.И. Близкое направление по исследованию асимптотического поведения решений и выводов по устойчивости развивается в работах Еругина И.П., Воскресенского Е.В.
В основе второго метода Ляпунова лежит исследование функций, обладающих специальными свойствами. Этот метод анализирует не только устойчивость решений, но также позволяет ответить на ряд других важных вопросов. Например, дает возможность оценить область асимптотической устойчивости, получить условия, при которых решение остается устойчивым под воздействием различных возмущений и так далее.
На данный момент задача устойчивости не потеряла своей актуальности. Устойчивость, асимптотическая устойчивость или неустойчивость являются одними из важнейших свойств динамических систем. Одним из основных подходов для решения вопроса об устойчивости для нелинейных систем является замена исследуемой системы на некоторую вспомогательную систему, которая является более простой для исследования. Для упрощенной системы доказывается устойчивость и показывают, что данное свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе.
Ляпуновым были получены условия, при которых линейное приближение решает вопрос об устойчивости нулевого решения. Им также были получены условия, когда вопрос об устойчивости не может быть решен только исследованием линейного приближения. В этом случае приходится рассматривать члены более высокого порядка. Таким образом, возникает задача анализа устойчивости по первому, в
широком смысле, приближению. Исследованием данного вопроса занимались такие ученые как Малкин И.Г., Красовский Н.Н., Зубов В.И. Ими были получен ряд результатов для данных систем, но в большинстве случаев они касались систем стационарных обыкновенных дифференциальных уравнений. Определенные результаты для случая нестационарных однородных систем были получены в работах Александрова А.Ю.
Таким образом, возникает задача перехода от исследования нестационарного случая к стационарному. Одним из самых известных методов, позволяющих это сделать, является метод усреднения. Его развитием занимались такие ученые как Боголюбов И.И., Митро-польский Ю.А. В их работах были получены теоремы, оценивающие отклонение решения усредненной системы от решения исходной системы. К сожалению, в случае бесконечного интервала времени накладываются сильные ограничения на правые части исходной системы.
В настоящее время остается открытым вопрос об анализе устойчивости по первому, в широком смысле, приближению однородных нестационарных динамических систем и по управлению такими системами.
Целью диссертационной работы является анализ устойчивости и диссипативности однородных нестационарных дифференциальных уравнений, а также построение функции Ляпунова для данного типа систем. На основе которой можно было бы построить оценку области асимптотической устойчивости и исследовать различные типы возмущений, не нарушающих устойчивости исходной системы.
Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:
анализ устойчивости нестационарных однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе второго метода Ляпунова;
анализ различных возмущений, воздействие которых не нарушается асимптотическую устойчивость нулевого решения исходной системы;
построение управления, решающего задачу стабилизации одного класса систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений.
Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых
в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа устойчивости нелинейных систем. Анализ устойчивости осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости. Одним из основных методов исследования является второй метод Ляпунова.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней, в отличие от большинства предшествующих исследований, был получен ряд теорем, которые позволяют перейти от исследования однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к стационарным системам. Проведен системный анализ систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений и для случая, когда существует среднее, построена функция Ляпунова, которая позволяет получить оценку области асимптотической устойчивости, а также исследовать различные возмущения, при которых система не теряет свойства асимптотической устойчивости нулевого решения. Для некоторых классов управляемых систем решена задача стабилизации. Все положения, выносимые на защиту, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Но результаты работы могут быть использованы для исследования устойчивости конкретных динамических систем в критических случаях. Также полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований устойчивости однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, внедрены в учебном процессе факультета ПМ-ПУ при чтении курса «Второй метод Ляпунова для анализа устойчивости обобщенно-однородных систем».
Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (апрель 2003 и 2004
г.), а такясе докладывались на научной конференции Средневолж-ского математического общества (г. Саранск, июль 2007 г.). В системе MATLAB был реализован алгоритм оценки области асимптотической устойчивости для однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он был представлен на конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». (г. Санкт-Петербург, октябрь 2007 г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, одна из которых входит в список, рекомендуемый ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, 13 параграфов, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 99 страниц. Список литературы включает 43 наименования.
