Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных типов систем автоматического управления является система управления с обратной связью. В случае, когда обратная связь имеет запаздывание по времени, замкнутая система описывается уравнением с запаздыванием.
Начиная с середины прошлого века, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом были описаны и исследованы во многих работах Р. Беллмана, К. Кука, Н. Н. Красовского, Дж. Хейла, В. Б. Колмановского, А. Д. Мышкиса, В. Р. Носова.
При стабилизации управляемой системы становится актуальным вопрос устойчивости описывающих её системы дифференциальных уравнений, понимаемой как близость возмущённого решения к номинальному при малых возмущениях начальных данных.
При исследовании устойчивости линейных стационарных систем широко применяются два основных подхода. Первый подход состоит в анализе спектра — множества характеристических чисел системы, являющихся в случае запаздывающих систем корнями характеристического квазиполинома. Знание расположения элементов спектра на комплексной плоскости позволяет легко сделать вывод об устойчивости исходной системы. Основная трудность данного подхода заключается в том, что характеристические числа, вообще говоря, не могут быть получены в явном виде как функция параметров системы.
Второй подход называется методом Ляпунова-Красовского и состоит в обобщении классического второго метода Ляпунова на случай систем с запаздывающим аргументом. Основная идея подхода заключается в том, что вместо функции Ляпунова берётся функционал, определённый на множестве вектор-функций, и потому аргументом для него является не текущее состояние системы, а её предыстория на промежутке, равном наибольшему запаздыванию.
После успешного обобщения второго метода Ляпунова для запаздывающих систем стала актуальной проблема построения положительно-определённых функционалов с отрицательно-определённой производной. Для линейных систем вопрос по-
строения функционала Ляпунова был рассмотрен Ю. М. Репиным, искомый функционал строился по наперёд заданной производной. Показано, что функционал определялся некоторым набором матричных функций, для которых были получены соответствующие совокупности дифференциальных и функционально-разностных уравнений с граничными условиями. Были также предложены упрощения, после которых для определения функционала требуется только одна матрица, называемая матрицей Ляпунова. Исследования в этом направлении продолжили R. Datko, V. В. Castelan и Е. F. Infante, J. Louisell.
Первоначально формула матрицы Ляпунова представляла собой несобственный интеграл, включающий фундаментальную матрицу исходной системы — на практике нахождение фундаментальной матрицы затруднительно, кроме того, в случае неустойчивости системы интеграл оказывался расходящимся и формула не имела смысла. Освободиться от этого ограничения позволило новое определение матрицы Ляпунова1, не требующее ни знания фундаментальной матрицы, ни экспоненциальной устойчивости исходной системы. Согласно новому определению, матрица Ляпунова является решением дифференциально-разностной системы с дополнительными граничными условиями. Было показано, что существование матрицы Ляпунова равносильно отсутствию у исходной системы характеристических чисел, расположенных симметрично относительно начала координат.
В ряде случаев вопрос построения матрицы Ляпунова сводится к отысканию решения специальной граничной задачи без запаздываний. Для случая одного дискретного запаздывания был доказан критерий единственности, условие которого совпало с условием существования — отсутствие симметричных относительно начала координат характеристических чисел.
Цель работы. Целью настоящей работы является разработка нового подхода анализа системы линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющего обобщить критерий единственности матрицы Ляпунова для более широкого класса запаздывающих систем. Основное содержание работы составляют четыре главы, включающие десять параграфов со сквозной нумерацией, а также иллюстрация
1Ниапд W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system. // J. Math. Anal. Appl. 1989. P. 83-94.
применения полученного подхода в практическом приложении.
Научная новизна. В диссертационной работе предложен новый подход к доказательству критерия единственности матрицы Ляпунова. Этот подход позволяет распространить критерий на случай систем с произвольным числом кратных запаздываний, а также систем с распределённым запаздыванием.
Теоретическая и практическая значимость. Квадратичные функцио-
налы Ляпунова применяются для оценки области устойчивости, оценки робастно-сти, экспоненциальной оценки решений, отыскания оптимальных стабилизирующих управлений, отыскания критических значений запаздываний и параметров. Матрица Ляпунова играет ключевую роль в построении функционалов, вопрос её единственности является существенным при разработке численных методов решения задающих её уравнений.
Апробация работы. Основные положения диссертации и полученные результаты докладывались и обсуждались на XXXVII и ХХХХ научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, 2006, 2009), международной конференции 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control (г. Санкт-Петербург, 2009), а также на семинаре кафедры теории управления факультета прикладной математики и процессов управления СПбГУ.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы четыре печатные работы, в том числе одна в журнале, входящем в список ВАК. Перечень публикаций приведён в конце автореферата.
