Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью 9
1.1. Введение 9
1.2. Основные характеристики движений динамических систем 10
1.3. Понятие решения в нелинейных системах с разрывной правой частью 18
1.4. Типы устойчивости решений в разрывных системах 28
1.5. Основные теоремы метода Ляпунова для систем с разрывной правой частью 30
1.6. Иллюстративные примеры 36
1.7. Заключение 41
Глава 2. Метод нескольких функций Ляпунова; основные теоремы аппарата 43
2.1. Введение 43
2.2. Постановка задачи 45
2.3. Основные теоремы аппарата 47
2.3.1. Глобальная асимптотика нелинейной системы: две функции Ляпунова 47
2.3.2. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарного решения нелинейной системы 50
2.3.3. Свойство ограниченности решений нелинейной системы 52
2.4. Выводы 56
Глава 3. Использование метода нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно- возмущенных систем 57
3.1. Постановка задачи 58
3.2. Исследование устойчивости сложных динамических систем с несколькими малыми параметрами 60
3.3. Исследование устойчивости класса нелинейных систем, возникающих в теории управления при сингулярных возмущениях 69
3.4. Выводы 78
Глава 4. Нелинейная модель системы «обращенный маятник на управляемой тележке» 80
4.1. Постановка задачи 80
4.2. История вопроса. Другие постановки и методы решения этой задачи 82
4.3. Переход к новым переменным 84
4.4. Решение задачи управления в условиях постоянно действующего возмущения D(t) 88
4.5. Задача с неизмеримыми скоростями. Сведение к сингулярно-возмущенной системе 97
4.6. Результаты численного моделирования 105
4.7. Выводы 108
Заключение 110
Список литературы 112
- Основные характеристики движений динамических систем
- Глобальная асимптотика нелинейной системы: две функции Ляпунова
- Исследование устойчивости сложных динамических систем с несколькими малыми параметрами
- Решение задачи управления в условиях постоянно действующего возмущения D(t)
Введение к работе
Актуальность темы. Использование аппарата функций Ляпунова при исследовании устойчивости управляемых динамических систем позволяет решить задачу глобальной стабилизации нелинейных систем [17, 21]. Так в работе [17] была решена задача глобальной стабилизации нелинейной динамической системы с учетом вязкости среды для специального вида управления. В работе [13] была развита идея работы [17] при наличии внешнего неизвестного возмущения. В работе [19] была рассмотрена задача о глобальной стабилизации системы, если размерность вектора управления меньше размерности вектора состояния управляемой системы. В то же время представляет интерес исследование устойчивости такой системы при наличии в системе малого параметра, обусловленного неидеальностью системы. Одним из существенных факторов в задачах стабилизации нелинейных систем, создающих особые трудности при их решении, является фактор "дефицита размерности управления"(см. выше). Для линейных стационарных объектов эта трудность была преодолена еще в 60-х годах теорией управляемости линейных систем Р.Калмана [39]. Для существенно нелинейных систем этот фактор создает дополнительные сложности, когда речь идет о глобальной стабилизации, о создании той или иной глобальной асимптотики фазового пространства, определенной целью управления. Используемые в последнее время в задачах нелинейной стабилизации методы "линеаризации с помощью обратной связи"[39], при наличии дефицита в размерности управления, сталкиваются со своими трудностями. Основным методом решения задач стабилизации нелинейных систем в условиях дефицита размерности управ-
ления является метод глобальных функций Ляпунова [21]. Цель работы. Целью данной работы является исследование глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью двух функций Ляпунова. Задачи диссертационной работы.
Разработка математического аппарата исследования управляемых нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова.
Исследование устойчивости сингулярно-возмущенных систем с помощью разработанного аппарата.
Исследование с помощью метода двух функций Ляпунова нелинейной механической системы "обращенный маятник на управляемой тележке". Методы исследования. Основными методами исследования является метод глобальных функций Ляпунова, методы теории нелинейных систем с разрывной правой частью, методы теории сингулярно-возмущенных систем, методы исследования теории нелинейных систем автоматического регулирования, а также некоторые разделы теории неравенств, теории множеств и теории пределов.
Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ НГАСУ и НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также были поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных исследований в Нижнем Новгороде (МЦФПИН), No: 99-1-01. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие науч-
ные результаты:
Сформулированы и доказаны теоремы, лежащие в основе метода нескольких функций Ляпунова, для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.
Сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие использовать метод нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно-возмущенных нелинейных динамических систем.
С помощью развитого аппарата для двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управлением, в том числе, для случая сингулярных возмущений.
Проведено численное моделирование с помощью системы MATLAB поведения фазовых траекторий на основе использования развитого аппарата на примере ряда известных систем, а также для случая нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке".
Проведен сравнительный анализ полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования этой системы зарубежными учеными (США) с помощью методов теории групп.
Практическая ценность. Полученные результаты являются модельными для ряда сложных механических систем: монорельс (Япония [90]), спутник с вращающимся ротором, подводный объект с вращающимися частями, вращающаяся стрела с грузом (США [78, 79]), а также могут быть использованы в датчиках для механических шкивов (Португалия [82]), сейсмостойком строительстве, радиотехнических системах и др. Апробация результатов. Основные результаты работы были представ-
лены на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", Самара, октябрь 1997 г., международной конференции, посвященной 60-летию ИПУ РАН, Москва, июль 1999 г., 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Сэров, сентябрь 1999 г., международной конференции "Прогресс в нелинейной науке", посвященной 100-летию со дня рождения акад. А.А. Андронова, Нижний Новгород, июль 2001 г., Европейской конференции по управлению (SF), Порто, Португалия, июль 2001 г., Международной школе по динамическим и управляемым системам, Суздаль, август 2001 г., Международном математическом конгрессе, Пекин, КНР, август 2002 г. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных работах.
Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В.А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю.М.Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения. Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.
В первой главе, рассмотрены основные подходы к теории нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.
Во второй главе, устанавливаются основные теоремы аппарата метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем общего вида.
В третьей главе, устанавливаются теоремы, позволяющие распространить разработанный во второй главе аппарат на сингулярно-возмущенные системы.
В четвертой главе, исследована глобальная устойчивость нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке"с помощью двух функций Ляпунова. Проведено численное моделирование поведения траекторий на фазовой плоскости и на поверхности Ляпунова. Результаты сопоставлены с результатами недавних исследований этой системы группой зарубежных ученых (США).
В Заключении, обсуждаются основные результаты, полученные в диссертационной работе, и определяются основные направления дальнейших исследований.
В данной работе представляется аппарат 2-х глобальных функций Ляпунова. В основе аппарата лежит теорема 2.3.1 раздела 2, а так же используемые для проверки ее условий теоремы 2.3.2 и 2.3.3. В главе 3 данный метод используется для исследования задачи о сохранении устойчивости при сингулярных возмущениях некоторого класса. Исходная система уравнений разбивается на две подсистемы. Одна из двух вводимых в аппарат глобальных функций Ляпунова [21] используется в первой подсистеме, а вторая используется для решения вопроса об асимптотике ш - предельных траекторий, на которых рассматривается вторая подсистема. В главе 4 применение метода иллюстрируется на примере существенно нелинейной фазовой системы.
Основные характеристики движений динамических систем
"Нелинейное моделирование и управление", Самара, октябрь 1997 г., международной конференции, посвященной 60-летию ИПУ РАН, Москва, июль 1999 г., 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Сэров, сентябрь 1999 г., международной конференции "Прогресс в нелинейной науке", посвященной 100-летию со дня рождения акад. А.А. Андронова, Нижний Новгород, июль 2001 г., Европейской конференции по управлению (SF), Порто, Португалия, июль 2001 г., Международной школе по динамическим и управляемым системам, Суздаль, август 2001 г., Международном математическом конгрессе, Пекин, КНР, август 2002 г. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных работах.
Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В.А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю.М.Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения. Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.
В первой главе, рассмотрены основные подходы к теории нелинейных динамических систем с разрывной правой частью. Во второй главе, устанавливаются основные теоремы аппарата метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем общего вида. В третьей главе, устанавливаются теоремы, позволяющие распространить разработанный во второй главе аппарат на сингулярно-возмущенные системы. В четвертой главе, исследована глобальная устойчивость нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке"с помощью двух функций Ляпунова. Проведено численное моделирование поведения траекторий на фазовой плоскости и на поверхности Ляпунова. Результаты сопоставлены с результатами недавних исследований этой системы группой зарубежных ученых (США). В Заключении, обсуждаются основные результаты, полученные в диссертационной работе, и определяются основные направления дальнейших исследований.
В данной работе представляется аппарат 2-х глобальных функций Ляпунова. В основе аппарата лежит теорема 2.3.1 раздела 2, а так же используемые для проверки ее условий теоремы 2.3.2 и 2.3.3. В главе 3 данный метод используется для исследования задачи о сохранении устойчивости при сингулярных возмущениях некоторого класса. Исходная система уравнений разбивается на две подсистемы. Одна из двух вводимых в аппарат глобальных функций Ляпунова [21] используется в первой подсистеме, а вторая используется для решения вопроса об асимптотике ш - предельных траекторий, на которых рассматривается вторая подсистема. В главе 4 применение метода иллюстрируется на примере существенно нелинейной фазовой системы.
Исследование устойчивости движения существенно нелинейных динамических систем таких как обширный и практически важный класс релейных систем автоматического регулирования (управления) и механических систем с сухим трением (с характеристикой z-типа), тесно связано с математическим аппаратом нелинейной теорией колебаний и теорией дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями [4, б, 30, 59, 73]. Первые работы в этом направлении были опубликованы А.А.Андроновым и А.А.Виттом в начале 30-х годов прошлого века (см. монографию А.А. Андронова, А.А.Витта и С.Э. Хайкина [4]) и затем эти исследования были продолжены в работах его научной школы (см., напр., монографию Ю.И.Неймарка [59]). Большой вклад в исследование таких систем был внесен М.А. Айзер-маном, Е.А. Барбашиным, В.М. Матросовым, А.Ф. Филипповым, В.А. Якубовичем и др.
В этой главе приведены необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью, используемые в последующих главах для доказательства основных теорем аппарата нескольких функций Ляпунова (гл. 2), теорем об устойчивости существенно нелинейных систем систем при сингулярных возмущениях (гл. 3) и исследовании глобальной устойчивости движения конкретной управляемой нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управляющим воздействием релейного типа (гл. 4).
Глобальная асимптотика нелинейной системы: две функции Ляпунова
Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В.А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю.М.Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения. Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.
В первой главе, рассмотрены основные подходы к теории нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.
Во второй главе, устанавливаются основные теоремы аппарата метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем общего вида.
В третьей главе, устанавливаются теоремы, позволяющие распространить разработанный во второй главе аппарат на сингулярно-возмущенные системы.
В четвертой главе, исследована глобальная устойчивость нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке"с помощью двух функций Ляпунова. Проведено численное моделирование поведения траекторий на фазовой плоскости и на поверхности Ляпунова. Результаты сопоставлены с результатами недавних исследований этой системы группой зарубежных ученых (США).
В Заключении, обсуждаются основные результаты, полученные в диссертационной работе, и определяются основные направления дальнейших исследований.
В данной работе представляется аппарат 2-х глобальных функций Ляпунова. В основе аппарата лежит теорема 2.3.1 раздела 2, а так же используемые для проверки ее условий теоремы 2.3.2 и 2.3.3. В главе 3 данный метод используется для исследования задачи о сохранении устойчивости при сингулярных возмущениях некоторого класса. Исходная система уравнений разбивается на две подсистемы. Одна из двух вводимых в аппарат глобальных функций Ляпунова [21] используется в первой подсистеме, а вторая используется для решения вопроса об асимптотике ш - предельных траекторий, на которых рассматривается вторая подсистема. В главе 4 применение метода иллюстрируется на примере существенно нелинейной фазовой системы.
Исследование устойчивости движения существенно нелинейных динамических систем таких как обширный и практически важный класс релейных систем автоматического регулирования (управления) и механических систем с сухим трением (с характеристикой z-типа), тесно связано с математическим аппаратом нелинейной теорией колебаний и теорией дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями [4, б, 30, 59, 73]. Первые работы в этом направлении были опубликованы А.А.Андроновым и А.А.Виттом в начале 30-х годов прошлого века (см. монографию А.А. Андронова, А.А.Витта и С.Э. Хайкина [4]) и затем эти исследования были продолжены в работах его научной школы (см., напр., монографию Ю.И.Неймарка [59]). Большой вклад в исследование таких систем был внесен М.А. Айзер-маном, Е.А. Барбашиным, В.М. Матросовым, А.Ф. Филипповым, В.А. Якубовичем и др.
В этой главе приведены необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью, используемые в последующих главах для доказательства основных теорем аппарата нескольких функций Ляпунова (гл. 2), теорем об устойчивости существенно нелинейных систем систем при сингулярных возмущениях (гл. 3) и исследовании глобальной устойчивости движения конкретной управляемой нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управляющим воздействием релейного типа (гл. 4).
Исследование устойчивости сложных динамических систем с несколькими малыми параметрами
Здесь а -действительная скалярная величина, замещающая время, а Ьг - вектор параметров, замещающий хг. Как выше, В = 6\ если все bj = О, j ф г. Временные масштабы Т{ г-й подсистемы (3.2.5) и Tj j-іл подсистемы (3.2.5) могут быть различны.
Далее в [83] делается три предположения на основе введения вспомогательных положительно определенных функций Gj и Vi, скорость изменения которых благодаря как эволюции времени, так и изменениям х при заданном у должна быть не больше некоторой комбинации функций сравнения ф{х) и (р(х). Эти предположения позволяют доказать теорему о глобальной устойчивости состояния равновесия (хт,ут)т = 0 исходной системы (3.2.1) при любых М Є М и при М — О [83]. Существенно, что, благодаря этим предположениям, функция v может быть суммой квадратичных форм по х и у (см. главу 4).
Предлагаемый в [83] подход к анализу устойчивости допускает эффективное конструирование скалярной функции Ляпунова для всей системы через функции Ляпунова разъединенных сингулярно-возмущенных подсистем. Недостатком этого подхода является необходимость тестирования устойчивости всех разъединенных сингулярно-возмущенных подсистем (3.2.2). При этом форма использованных функций сравнения задается только формой разъединенных сингулярно-возмущенных подсистем.
Однако, вообще говоря,малые параметры щ не являются полностью взаимно независимыми. Фактически, они будут взаимно независимыми до определенной степени, определяемой допустимыми границами их отношений. В этом случае, в [83] для доказательства глобальной равномерной асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (3.2.1) делаются еще три предположения для вспомогательных функций Oj , Vi, на основе введения отношения ТГІ малых параметров /її и / : Ж{ = fii/fii и Р(.) = сКш7{7Гі(.)7Г2(.)...7гг(#)}. При этом комбинации скоростей этих функций подчиняются аналогичным неравенствам для новых функций сравнения фі и щ. Здесь функция Vi может быть суммой двух функций, одна из которых является положительно определенной в х , а другая в уі. Выполнение таких условий позволяет доказать теорему о глобальной равномерной асимптотической устойчивости для каждого М = (iiP, fi\ Є (0, Аі], Ді Є (0,Ді) и Р Є Р и для М — 0 [83]. Здесь Ді - соответствующим образом заданный малый параметр.
Как следует из вышеизложенного, связь между теорией сингулярных возмущений, вторым методом Ляпунова и концепцией векторных функций Ляпунова дает возможность для эффективного объединения и анализа устойчивости динамически сложных сингулярно-возмущенных систем. При этом допускается произвольная форма функций сравнения фі и r\i, а не только задаваемой формой разъединенных подсистем. Другим преимуществом подхода объединения является легкое конструирование скалярной функции Ляпунова для всей системы.
Асимптотические свойства некоторого класса сингулярно -возмущенных систем. В работах ([14, 15]) были установлены основные теоремы, позволяющие исследовать асимптотические свойства некоторого класса сингулярно-возмущенных систем, возникающих в теории управления (адаптивных систем) на бесконечном промежутке времени, в частности была доказана теорема [14], устанавливающая существование, при определенных условиях, области диссипативности для сингулярно-возмущенной системы с двумя независимыми малыми параметрами из некоторого диапазона. Основную роль при доказательстве этой теоремы играет следующая лемма.
Решение задачи управления в условиях постоянно действующего возмущения D(t)
Таким образом, проведенный в данной главе анализ имеющихся в настоящее время результатов показывает, что для анализа асимптотической устойчивости сингулярно-возмущенных систем на бесконечном интервале времени наибольшим преимуществом обладает подход, связанный с декомпозицией динамически сложных (в смысле сложности ее структуры, размерности, размерности, числа и формы нелинейностей) сингулярно-возмущенных систем на взаимосвязанные подсистемы, что приводит к понижению порядка системы. Этот подход (см. [83]) основан на объединении теории сингулярных возмущений, второго метода Ляпунова и концепции векторных функций Ляпунова. При этом условия устойчивости могут быть менее жесткими, а крупномасштабные системы могут быть эффективно объединены на разных временных масштабах. Такой подход к анализу устойчивости допускает построение скалярной функции Ляпунова для всей системы через функции Ляпунова разъединенных сингулярно-возмущенных подсистем. (В частности, функция Ляпунова может быть суммой квадратичных форм по х и у). С точки зрения устойчивости такой анализ допускает произвольную форму функций сравнения, а не задаваемых только формой разъединенных подсистем [83]. При исследовании асимптотических свойств некоторого класса сингулярно-возмущенных систем на бесконечном промежутке, возникающих в теории управления, в этой главе, была установлена основная теорема о су-ществованиии области диссипативности для сингулярно-возмущенной системы с двумя независимыми малыми параметрами из некоторого диапазона.
Более того, если параметры равны, то область диссипативности независима от малого параметра. В соответствии с вышеизложенным, на основе построения глобальной функции Ляпунова, как суммы двух функций Ляпунова по а: и по у, удовлетворяющей определенным условиям, установлены также две теоремы, позволяющие указать область диссипативности для конкретной нелинейной системы. При определенных условиях на один из малых параметров область диссипативности будет областью притяжения состояния равновесия данной системы. Полученные результаты будут использованы в главе 4 для определения влияния малых параметров на устойчивость нелинейной управляемой системы "обращенный маятник на тележке"и исследования вопроса существования и характера области диссипативности на фазовой плоскости.
В этой главе развитый нами ранее, в главах 1-3 аппарат метода исследования устойчивости нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова будет применен к решению задачи устойчивости нелинейной модели конкретной сингулярно-возмущенной системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управлением релейного типа. При этом анализе будет использоваться понятие решения в смысле Гелига, Леонова, Якубовича (см. главу 1).
В этом разделе сформулирована задача нахождения закона управления определенного вида для конкретного объекта управления при заданной цели управления, движение которого описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка при наличии неизмеряемого возмущения. Рассматривается объект управления - двухмассовая модель системы "обращенный маятник на тележке", описываемая системой дифференциальных уравнений - равномерно ограниченная непрерывная функция t, описывающая внешнее воздействие на маятник (Z)() П, где П - известная величина); L = ml, с = CQ+КІ, І — J+a, a = ml2, М 0, т 0 - массы тележки и маятника, соответственно; I - длина маятника ; N 0, к 0 - коэффициенты сил сопротивления (типа вязкого трения) движению тележки и маятника; CQ коэффициент момента упругой силы сопротивления вращению маятника; д - гравитационная постоянная ; G 0 - коэффициент усиления двигателя; момент инерции маятника относительно центра масс; г - координаты центра масс тележки; (3 , /5 7г/2 - угол между осью маятника и вертика лью, отсчитываемый от вертикального неустойчивого положения равновесия маятника; u(t) - величина управляющего сигнала регулятора.
