Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Современное состояние проблемы создания цифровых систем управления с широтно-импульсной модуляцией 13
1.1. Введение .13
1.2. О задаче синтеза алгоритмов автоматического микропроцессорного регулирования 15
1.2.1. Цели и задачи 16
1.2.2. О выборе метода синтеза 17
1.2.3. Оценки качества переходных процессов в дискретных системах 18
1.3. Системы с ШИМ 20
1.3.1. Виды широтно-импульсной модуляции 21
1.3.2. Математические модели систем с ШИМ 24
1.3.3. Аппроксимация систем с ШИМ 29
1.3.4. Линеаризация систем с ШИМ 32
1.3.5. Устойчивость систем с ШИМ 36
1.4. Разделение движений в дискретных системах 39
1.4.1. Принцип локализации 40
1.4.2. Методики разделения движений
1.5. Постановка задач исследования 47
1.6. Выводы 50
ГЛАВА 2. Исследование возможности разделения движений в линейных дискретных системах с конечным шагом дискретизации .53
2.1. Введение 53
2.2. Разделение движений в системах с регулятором 54
2.3. Преобразования характеристических полиномов и их корневых годографов 60
2.3.1. Конечные разности 60
2.3.2. Дискретные системы на z-плоскости 66
2.3.3. Билинейное преобразование 70
2.4. Коэффициенты дискретного регулятора, обеспечивающего разделение движений
2.5. Методика разделения движений 82
2.6. Выводы 84
ГЛАВА 3. Преобразование непрерывной части системы с шим в дискретную систему 86
3.1. Введение 86
3.2. Выбор тактовой частоты 89
3.3. Установившиеся режимы объектов управления с ШИМ 92
3.4. Эквивалентное математическое описание переходных режимов с постоянным сигналом управления 101
3.5. Построение эквивалентной нелинейной дискретной модели объекта управления с применением аппроксимации 104
3.6. Методика построения эквивалентной нелинейной дискретной модели ШИМ... 112
3.7. Выводы 117
ГЛАВА 4. Синтез регуляторов методом разделения движений в системах с широтно-импульсной модуляцией 119
4.1. Введение 119
4.2. Выбор структуры регулятора
4.2.1. Выбор структуры полиномов 123
4.2.2. Выбор соотношения числа больших и малых по модулю корней 125
4.3. Выбор положения рабочей точки для линеаризации 127
4.3.1. Распределение корней характеристического полинома замкнутой системы с ШИМ при изменении рабочей точки 127
4.3.2. Приближенное определение областей распределения корней 131
4.4. Методика расчета регулятора 132
4.5. Исследование чувствительности системы к изменениям параметров объекта 134
4.6. Рекомендации по разработке алгоритма учета ограничений на управляющий сигнал 136
4.7. Выводы 141
ГЛАВА 5. Алгоритм управления термоэлектрическим модулем в цифровой системе с шим 143
5.1. Введение 143
5.2. Математическая модель термоэлектрического модуля 145
5.3. Экспериментальное определение параметров модели 151
5.4. Выбор тактовой частоты 153
5.5. Синтез алгоритмов управления 155
5.6. Выводы .159
Заключение 160
Список литературы 163
- Математические модели систем с ШИМ
- Преобразования характеристических полиномов и их корневых годографов
- Эквивалентное математическое описание переходных режимов с постоянным сигналом управления
- Выбор положения рабочей точки для линеаризации
Математические модели систем с ШИМ
Вопросы синтеза устройства управления тесно связаны с вопросами оценки качества регулирования. Для синтеза алгоритма необходимо определить цель регулирования и способ оценки меры близости полученного решения к желаемому. Прямые и точные указания по синтезу регуляторов для нелинейных систем практически невозможно сформулировать. В литературе [31, 68, 69, 100] для синтеза линейных алгоритмов предлагается использовать косвенные оценки, например, показатель колебательности или степень устойчивости [94-96]. При этом исследуется линейная часть системы, что позволяет использовать частотные характеристики.
Исключение составляет метод локализации. Применение специальной структуры регулятора позволяет охватить нелинейные блоки отрицательными обратными связями с большими коэффициентами и компенсировать тем самым влияние нелинейностей. Такой подход дает возможность задавать желаемое качество регулирования в виде линейной эталонной модели (дифференциального уравнения) и определять коэффициенты регулятора по линейной расчетной модели.
Само по себе задание желаемого качества регулирования с помощью эталонной модели является конструктивным подходом и используется в диссертации.
Цели автоматического регулирования можно сформулировать следующим образом: 1) обеспечение статической точности Нт ( Г) - v(kT)] єтах, при к - оо, т.е. величина рассогласования є между регулируемой величиной у и предписанным значением v (рис. 1.1) не должна превышать по завершению переходного процесса максимально допустимой величины єтах; 2) обеспечение близости динамических свойств замкнутой системы к свойствам эталонной модели, которая описывается операторным уравнением вида где /(), g(-) - полиномы по степеням z или А, соответствующие описанию дискретных систем с помощью z-преобразования или конечных разностей А. Для достижения поставленных целей необходимо решать несколько типовых задач: 1) дискретизация объекта управления; 2) выбор структуры регулятора; 3) расчет коэффициентов регулятора. Последние две задачи решаются в рамках выбранного метода синтеза. Предпочтительными во всех отношениях представляются те методы, которые позволяют реализовать линейные законы управления, требующие минимум вычислений для генерации управляющего сигнала.
Расчет управляющего воздействия с целью воспроизведения точных динамических свойств при использовании нелинейной модели объекта управления приводит к нелинейным алгоритмам. При использовании же линейных алгоритмов реальные динамические характеристики системы могут значительно изменятся в зависимости от положения рабочей точки. Вследствие чего разработчик ставится перед выбором: либо спроектировать регулятор, для обеспечения заданных показателей в некотором ограниченном диапазоне рабочих режимов, где действие нелинейности практически не ощутимо, либо учесть влияние нелинейности и оптимизировать алгоритм управления при ограничениях, вызванных присутствием нелинейности. В первом случае рассчитывается линейный регулятор, обеспечивающий нужные качества «в малом», во втором случае необходим расчет оптимального управления.
Принцип разделения движений позволяет разрешить указанное противоречие. Декомпозиция системы на подсистемы медленных движений (ПМД) и быстрых движений (ПБД) позволяет рассчитать линейный регулятор для нелинейного объекта, анализировать и рассчитывать систему по час 18 тям и обеспечивать близость динамических свойств системы к свойствам эталонной с точностью до быстро затухающих движений.
Если в качестве желаемых динамических свойств принять медленные составляющие, то можно считать, что замкнутая система обладает заданными характеристиками с точностью до быстрых движений. Поскольку изначально предполагается, что желаемая модель и, соответственно ПМД, устойчива, основное внимание уделяется обеспечению устойчивости ПБД.
Преобразования характеристических полиномов и их корневых годографов
Для объекта произвольного порядка (рис. 1.5) аппроксимация семейства нелинейных функций в виде единственной нелинейности оправдана при нахождении статических характеристик системы, но может допускать значительные погрешности в динамических свойствах. Поэтому в общем случае предлагается следующая форма критерия [108]. Если нелинейности в многоканальной системе удовлетворяют условию є то устойчивость обеспечивается при -\KpW\j) + W\-j)Kp] + Kp-1 0; 0 ю тг, где р - некоторое натуральное число. Однако при практическом применении требования к параметрам системы оказываются завышенными. Более точные оценки даёт исследование по линейным приближениям, хотя и в этом вопросе, судя по обзору, нет единого подхода.
Если рассматривать устойчивость по Ляпунову (устойчивость по начальным условиям), то требуется выполнение условия М ! ! „ = 123 где х - вектор состояния системы. Если оператор преобразования (1.10) можно представить в форме х[к + 1] = Р[к]х[к], то при п = 1 исследование устойчивости в линейном случае сводится к исследованию собственных чисел Р[к]. Для устойчивости достаточно, чтобы спектральный радиус р(Р[к]) был меньше единицы. В такой форме условие устойчивости справедливо для нестационарных линейных систем [61] и согласуется с модальными оценками качества переходных процессов (п. 1.2.3).
В настоящее время понятие разделения движений чаще всего связывают с декомпозицией системы на две подсистемы. Однако сама декомпозиция является сложной задачей, поскольку не всегда совпадает с функционально блочным представлением системы [30-32]. Одним из наиболее совершенных, в этом отношении, является метод локализации [1-4, 34, 36, 70, 84], позволяющий структурными преобразованиями выделить ПМД и ПБД.
Креме структурного метода разделение движений может быть осуществлено путем введения в описание замкнутой системы управления (регулятора) некоторого малого параметра ц, [34-36]. Анализ свойств дискретных систем также может быть выполнен по асимптотическим соотношениям [47, 70, 71, 84] при малых периодах дискретизации [18, 35] или при устремлении (л, к нулю.
Принцип локализации [34, 36, 47, 70, 71, 84] может быть определен как структурное требование к построению алгоритмов управления динамическими объектами, которое состоит в организации в системе управления специальной подсистемы быстрых движений, где подавляются действующие на объект возмущения. Этот принцип предполагает, что управление формируется не только в функции состояния x(t), но и в функции вектора скорости x(t). Если динамический объект управления в общем виде описывается уравнением х = f(t,x,u), то использование вектора скорости x(t) будет означать текущую оценку правой части уравнения, что и предполагает оценку действия всех возмущений. Формирование структуры закона управления в соответствии с условиями подавления влияния возмущений придает дополнительные технические возможности, которые объясняются эффектом локализации действия возмущений. При формировании закона управления в виде u=u(x,x,v) структурная схема системы примет вид, представленный на рис. 1.14. Использование закона управления, по вектору скорости требует измерение вектора состояния, поэтому задача оценки вектора скорости предполагает использование устройств измерения производных реальных сигналов.
Сама по себе операция дифференцирования не является сложной. В аналоговой и цифровой технике накоплено много различных способов оценки производных любого порядка. К настоящему времени оформился способ решения задачи многократного дифференцирования с помощью специальной подсистемы - дифференцирующего фильтра. Уравнения этой вспомогательной системы могут быть описаны линейным фильтром \\xz = AfZ + Bj-x; I y = Cfz + Dfx, где n - некоторый малый параметр, определяющий инерционность фильтра. При реализации данных алгоритмов на базе цифровых вычислителей требуется выбирать достаточно высокую частоту дискретизации для удовлетворительной оценки вектора скорости. Вычисление вектора скорости можно совместить с расчетом управляющего воздействия путем задания особой структуры регулятора.
В целом ряде работ [36, 47, 70, 71, 84] а также [18, 35], посвященном как расчёту непрерывных, так и дискретных систем, использовалась определённая структура регуляторов, обеспечивающих возможность разделения движений. Пример такой структуры регулятора представлен на рис. 1.15, здесь изображена структурная схема регулятора третьего порядка, но струк 42 тура хорошо просматривается и легко может быть распространена на регулятор произвольного порядка.
Для удобства расчета схема регулятора может быть приведена с помощью структурных преобразований к полиномиальной форме (рис. 1.16). В такой форме структурная схема регулятора носит более общий характер. Соответствие между двумя схемами задается непосредственно через коэффициенты полиномов. Принцип разделения движения можно выразить, представив характеристический полином #() = A(-)D(-) + В(-)С(-) системы регулирования (см. рис. 1.16) как произведение двух полиномов, описывающих, соответственно, быстрые F(-) и медленные L(-) составляющие движения Щ-) - F(-)L(-). В этом случае задачу расчета регулятора можно представить [35, 36] как задачу поиска решения полиномиального диофантова уравнения вида A(-)D(-) + B(-)C(-) = F(-)L(-), (1.17) где L(-) - желаемый характеристический полином замкнутой системы. В этом уравнении предполагаются известными три полинома: А(-), В(-)-и-Ь(-). В качестве G{-) (рис. 1.16) берется полином нулевой степени, т.е. масштабирующий коэффициент.
Эквивалентное математическое описание переходных режимов с постоянным сигналом управления
Сравнение свойств z-преобразований и конечных разностей позволили получить формулу перехода между двумя формами описания дискретных систем, причем собственно преобразование выражено не через преобразование корней (с помощью подстановки), а непосредственно через коэффициенты полиномов.
Для описания непрерывных частей непрерывно-дискретных систем часто используют относительный масштаб времени. В этом масштабе принято использовать обозначение q = sT , где Т- период дискретизации. Далее вместо (2.1) используется "Г ц Ї Г(д) = пп/пя" + »п-1/плп-1+ Ля+1 = П\—я+1\. (2.13) &\-q, J При точном преобразовании известно что происходит с корнями. Точное соответствие s- и z- корней на комплексной плоскости при дискретизации непрерывного объекта определяется выражением z=esT или z=e4. Известно также, что область устойчивости - левая полуплоскость - преобразуется в круг единичного радиуса. Соответствующий дискретный характеристический полином может быть получен стандартным образом F{z)=Y\{z-zf), где z, = ехр Л-71 с учетом малого параметра. Поведение коэффициентов дискретного полинома можно также определить методом замены переменных, выполнив подстановку s-— ln(z) в (2.1) или q = \n(z) в (2.13), однако формулы перехода будут содержать трансцендентные функции. Такое преобразование не выражается линейным оператором, и здесь удобнее провести анализ на примере. Без потери общности достаточно рассмотреть полином второй степени с парой устойчивых комплексно-сопряженных корней. Пусть задан полином
В этом выражении второй множитель является периодической функцией, поэтому траектории корней 2г(ц) при р.— 0 на комплексной плоскости представляют собой спирали, закручивающиеся вокруг начала координат. При устремлении ц-»оо траектории z,{\\) сойдутся в точке
Траектории движения корней zt по сравнению с непрерывным аналогом имеют довольно сложный вид (рис.2.3). Стрелками показано направление движения корней по траекториям при jLi— 0. Изображающие линии начинаются в точке (1;У0) и заканчиваются в точке (0;у0). Воспользовавшись разложением экспоненты в степенной ряд z = ехр(д) «1 + q, можно записать
Вблизи точки (1;у 0) траектории z(\x) и l+q([i) практически совпадают. Если допустить неточность в определении корней 10-15%, то это совпадение обеспечивается при q(\x) 0,3. Следовательно, если корни полинома дис 68 кретной системы попадают в заштрихованную область 1, ограниченную условием К 1 0,3 внутри круга устойчивости, или корни полинома непрерывной системы (в обычном масштабе времени)
Смысл приведенных оценок лучше поясняет рис. 2.4, где изображены соответствующие траектории полюсов непрерывной системы и дискретной в А-форме.
Если корни удовлетворяют приведенным условиям, то такие дискретные системы считают близкими к непрерывным, и часто рассчитывают как непрерывные. Переход от непрерывного описания к дискретному может быть выполнен подстановкой q = z -1. При этом коэффициенты полинома можно рассчитать по формуле (2.10), а А-форма получается простой заменой q на А.
В случаях, когда все корни и быстрые и медленные не выходят из области, оговоренной выше, к системе применимы также методики разделения движений, разработанные ранее для непрерывных систем. Однако при этом оказывается сильно завышенной тактовая частота регулятора. Это можно показать используя оценки переходных процессов парциальных составляющих движения.
Итак, точное преобразование непрерывной системы в дискретную сопровождается сложным преобразованием характеристического полинома и его корней. При изменении \і траектории смещения корней характеристического полинома непрерывной системы - лучи преобразуются в спирали для дискретной системы. При ограничении (2.15) на период дискретизации или ц. выполняется условие, при котором дискретные системы, включая систем с ШИМ, можно рассматривать как непрерывные.
Билинейное преобразование соответствует первому члену разложения натурального логарифма в степенной ряд Это уравнение описывает окружность с центром в точке (0;y ctg(p) и ра диусом г =д/1 + ctg2 ф . Следовательно, множество корней непрерывного полинома, имеющих одинаковый угол после билинейного преобразования располагаются на окружности, параметры которой однозначно связаны с фазой корней исходного непрерывного полинома.
Корни преобразованного полинома F(z) с учетом малого параметра движутся на -плоскости (рис.2.6) по дугам окружностей в направлении от точки (1;у0) к (-1;у0) при ы— 0. Если считать допустимым отличие от точно 1,2 эти траек Т го расположения также в 10 - 15%, то при Re(z,) 0,3 или тории практически совпадают с точными в области 2 (рис.2.6). Выполнение этого простого условия обеспечивает достаточную точность при использовании билинейного преобразования. Применение билинейного преобразования может расширить область применения ранее разработанных методик, однако точка предельного быстродействия остается недостижимой.
Поскольку А-форма по своим свойствам занимает промежуточное положение между непрерывными системами и дискретными в z-форме, представляется целесообразным рассмотреть сначала свойства преобразования характеристического полинома непрерывной системы к дискретной в А-форме. Промежуточное преобразование с учетом (2.4) и (2.16) будет определятся подстановкой
Выбор положения рабочей точки для линеаризации
При создании математической модели объекта управления с ШИМ принято решение использовать аппарат векторно-матричной алгебры. Это обусловлено такими его достоинствами, как простота, компактность записи, легкость автоматизации выполнения вычислительных процедур. Существенно подчеркнуть, что матричная форма записи не зависит от порядка объекта с ШИМ. Более того, она дает дополнительные преимущества, например, позволяет достаточно просто находить однотипные решения независимо от формы и порядка следования импульса и паузы внутри периода, а также избежать упрощений при описании объекта.
Как следует из материала первой главы, единых подходов к описанию объектов с ШИМ не существует. Поэтому получение дискретной модели объекта управления с ШИМ как формализованной процедуры описания его наиболее существенных свойств представляет несомненный интерес.
Поскольку предполагается расчет цифровой коррекции, то удобно под регулятором подразумевать цифровой алгоритм управления, а непрерывную часть системы совместно с ШИМ считать объектом управления. Цифровая коррекция предполагает наличие в контуре управления фиксатора нулевого порядка, поэтому по общепринятой классификации рассматриваемый тип модуляции относится к ШИМ-1.
Указанные обстоятельства определяют актуальность данного раздела диссертации. Целью главы является получение описания объекта управления с ШИМ в конечно-разностной форме. Для создания желаемого описания представлялось необходимым учитывать следующее.
Приемы составление матриц канонических форм могут быть использованы и для построения математической модели систем с ШИМ.
Период тактовой частоты определяется исходя из технических возможностей устройства управления или исходя из уровня остаточных пульсаций тактовой частоты в выходном сигнале.
Первая и основная особенность рассматриваемых объектов управления обусловлена тем, что они являются импульсными с изменяющейся длительностью импульсов. После дискретизации математическая модель содержит функциональную матрицу (1.9), которая зависит от периода тактовой частоты ШИМ. К математической модели таких объектов неприменим принцип суперпозиции. При переходе от импульсной к дискретной модели объекта с ШИМ эту особенность обычно учитывают введением в эквивалентную модель нелинейности [16, 31,40, 46, 62, 82, 97, 101, 108].
Вторая особенность рассматриваемых объектов заключается в том, что в них выходной сигнал содержит помеху в виде пульсаций тактовой частоты. При выборе этой частоты следует учитывать допустимый уровень этих пульсаций. Во второй главе было показано, что тактовая частота не является настроечным параметром регулятора. Следовательно, для модулятора эту частоту можно выбрать исходя из других, например, технологических соображений. Но её необходимо задать прежде чем строить математическую модель объекта управления и использовать в расчетах регулятора.
В дискретных системах измерение сигнала обратной связи происходит в дискретные моменты времени. Совместно с пульсациями выходного сигнала это порождает нежелательные дополнительные эффекты. Возникает, например, различие между средним за период значением и мгновенным сигналом от датчика. Необходимо оценить эти погрешности, определить пути их снижения. Таким образом, при анализе дискретных моделей систем автоматического управления, в отличие от непрерывных, возникает сразу две подзадачи - это исследование процессов проходящих на последовательности тактовых интервалов и исследование поведения объекта управления в течение тактового периода.
Первая подзадача обычно решается с помощью дискретных моделей для определения качества управления, устойчивости, точности и т.п. Исследование же поведения объекта внутри тактового импульса (по непрерывной модели) позволяет выявить характер связи между максимальным, минимальным и средним (среднеквадратичным) значением регулируемой величины за такт.
Исследование системы на протяжении одного периода работы ШИМ (периода дискретизации) можно провести по линейной непрерывной модели, заданной как в форме передаточной функции, так и с использованием методов пространства состояний.
На базе решения перечисленных задач возможно в конечном итоге сформировать методику построения эквивалентной нелинейной дискретной модели объекта управления с ШИМ в форме, позволяющей успешно решать синтез регулятора для замкнутой системы.
Задача построения математического описания решается в форме Коши, точнее, в форме Фробениуса [13, 39, 44] с использованием канонических форм [113]. Нелинейные зависимости заменяются на аппроксимирующие, более простые. В основе аппроксимации нелинейных характеристик вносимых ШИМ лежит идея, предложенная в [108], где для этой цели использовались системы ортогональных полиномов. Использование полиномиальных нелинейностей соответствует известным подходам к представлению нелинейных систем [16, 31, 101]. Практическое исследование позволило применить для аппроксимации более простой метод: метод наименьших квадратов (МНК) [12, 13].
