Введение к работе
Актуальность темы. Как отмечал академик Н.Н. Моисеев(), процесс математического моделирования сложных систем (объектов) состоит из:
комплексного системного анализа, включающего сбор информации о системе, анализ ее причинно-следственных связей, обработку входных данных;
аналитических методов системного анализа;
оценки соответствия имитационных моделей реальным процессам.
Основой аналитических методов системного анализа исследуемого процесса является составление математической модели, для чего применяются методы теории систем и принятия решений, теории оптимального управления, функционального анализа, дифференциальных уравнений и т.д. К конструктивным методам системного анализа механических систем относятся методы их аналитического интегрирования, имеющие целью как выделение стационарных множеств механических и управляемых систем, так и исследование устойчивости этих множеств. Кроме того, особый интерес представляет исследование изменения свойств исследуемых систем в зависимости от динамики параметров, входящих в эту систему. На эффективность этих методов существенно влияет выбор подходящей замены входящих в систему переменных.
Известно, что многие уравнения аналитической механики могут быть получены из вариационных принципов Гамильтона(2) наименьшего действия Эйлера-Якоби(3), наименьшего принуждения и т.д. Так теория Гамильтона-Якоби с помощью производящей функции позволяет получить каноническое преобразование(2), применение которого приводит уравнения Гамильтона к виду допускающему интегрирование. В системах Лиувилля и Штеккеля(2) с полными интегралами допускается разделение переменных. Линейные механические системы могут быть легко проинтегрированы и при одновременном приведении к каноническим (в том числе – диагональным) видам матриц кинетической а также потенциальной энергий; и в зависимости от структуры других сил (диссипативных, гироскопических или каких-либо иных сил), матриц других видов.
В консервативных системах малой размерности эффективна теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ – теория), при использовании которой форма наименьшего (второго) порядка в разложении гамильтониана должна быть приведена линейной заменой переменных к нормальной форме.
В большинстве задач качественного анализа и устойчивости движения важную роль играет приведение к простейшему виду квадратичной части гамильтониана и линейной правой части системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Такими формами являются канонические формы Вильямсона(), Жордана, Фробениуса.
Исследование нелинейных систем ОДУ часто требует применения нелинейной нормализации, основанной на нелинейной замене переменных: методом Пуанкаре в системах общего вида(), производящей функцией преобразования() в способе Биркгофа и методом Депри-Хори(4) в гамильтоновых системах. Как и в применении к задаче интегрирования систем, одновременное приведение линейным преобразованием к простейшему виду нескольких матриц квадратичных форм позволяет упростить анализ стационарных решений механических систем – особенно в плане исследования их устойчивости. Аналогичные задачи встречаются в квадратичном программировании при квадратичных ограничениях.
Эффективным методом исследования устойчивости является второй метод Ляпунова.
Основным вопросом в этом методе является построение знакоопределенной функции Ляпунова и ее производной, и этой проблеме посвящены многочисленные работы (Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.Н. Красовский, А.М. Летов, А.И. Лурье, И.Г. Малкин, Г.В. Каменков, В.В. Румянцев, В.И.Зубов, В.Д. Иртегов и др.). Распространенным видом функции Ляпунова для консервативных систем является связка Четаева из первых интегралов. При определенном наборе управлений и параметров системы квадратичная часть связки интегралов может вырождаться. По отношению к свойству устойчивости динамических систем этот случай – когда характеристическое уравнение матрицы линейного приближения правой части системы ОДУ обладает одним или несколькими нулевыми корнями – является критическим по Ляпунову. При его возникновении существенно усложняется построение функции Ляпунова даже в части проверки свойства знакоопределенности.
Значение задачи установления коэффициентных критериев знакоопределенности полинома нескольких переменных и произвольной степени не ограничивается только ее приложениями в теории устойчивости и в теории управления; она возникает и в задачах оптимизации. Ею занимался ряд исследователей, начиная с Д. Гильберта. Принципиально доказана (Зайденберг, Тарский) алгебраическая разрешимость этой задачи, и в случае невырожденности младшей формы в разложении полинома по возрастающим степеням переменных, известны конструктивные алгоритмы ее решения. Вместе с тем случай вырожденности младшей формы до последнего времени не был исследован. К теореме Гильберта о корнях полиномов примыкает также и решенная в диссертации для ряда случаев задача о нахождении точных граней множества значений полиномиальной функции.
Целью работы является нахождение преобразований, упрощающих аналитическое интегрирование систем ОДУ и качественное исследование свойств решений этих систем с помощью метода функций Ляпунова
Методы исследования. В работе используются методы нелинейной нормализации систем ОДУ, методы матричного анализа (в том числе, в применении к задаче одновременной диагонализации вещественных симметричных матриц), а так же методы исследования нелинейных алгебраических уравнений нескольких переменных и систем таких уравнений (в частности – теория исключения).
Основные положения, выносимые на защиту
1. Условия одновременной диагонализации трех вещественных симметричных матриц в регулярном и сингулярном случаях.
2. Условия знакоопределённости пучков двух и трех квадратичных форм нескольких переменных.
3. Алгоритм получения необходимого и достаточного критерия знакоопределенности полинома произвольного порядка от нескольких переменных . Условия существования точных граней множества значений полинома двух переменных и алгоритм нахождения этих граней.
4. Методика исследования задач устойчивости стационарных решений консервативных систем в критических по Ляпунову случаях с использованием полиномиальных функций Ляпунова, а также определения областей устойчивости в пространстве входящих в эти системы параметров.
Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми и опубликованы в открытой печати. Вычислительные алгоритмы составлены и программно реализованы лично автором.
Теоретическая и практическая ценность. Разработанные в диссертации методы позволяют упростить качественный анализ механических и управляемых систем, а также усовершенствовать методы их интегрирования и оценки свойств решений.
Достоверность и эффективность предложенных методов и алгоритмов позволяет использовать их в механике, космодинамике, теории управления, теории оптимизации, физической химии и биологии.
Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что на этапе построения математической модели объекта, они позволяют:
1. сократить время построения математической модели,
2. повысить качество выполняемых расчетов,
3. проанализировать динамику свойств (и адекватности) модели в зависимости от изменения параметров системы;
и, помимо этого, в том, что разработанные в ней методы и алгоритмы ориентированы на современные вычислительные средства. Реализованные в виде программного комплекса в среде аналитических вычислений Mathematica, они могут быть применены к многим прикладным задачам.
Результаты исследований прошли апробацию на следующих конференциях:
“Математика, информатика и управление” (МИУ) (г. Иркутск, 2000),
12-ая Международная конференция “Методы оптимизации и их приложения” (г. Иркутск, 2001),
8-ой Съезд по теоретической и прикладной механике (г. Пермь, 2001),
8-ая Четаевская Международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Казань, 2002),
Конференция IFAC “Modelling and Analysis of Logic Controlled Dynamic Systems” (г. Иркутск, 2003),
9-ая Четаевская Международная конференция “Аналитическая механика, устойчивость и управление движением” (г. Иркутск, 2007),
3-я Всероссийская конференция с Международным участием “Математика, ее приложения и математическое образование” (г. Улан-Удэ, 2008),
4-ый Международный симпозиум “Обобщенные решения в задачах управления” (г. Улан-Удэ, 2008),
а также на семинарах лаборатории Математических методов анализа свойств динамических систем Института динамики систем и теории управления СО РАН, и факультета прикладной математики – процессов управления С.-Петербургского государственного университета.
Публикации. По результатам диссертационных исследований опубликовано 22 статьи, cписок которых приведен в конце реферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 194 наименований. Объем работы составляет 319 страниц.
