Содержание к диссертации
Введение
1 Устойчивость линейных систем с запаздыванием 16
1.1 Общие сведения 17
1.2 Метод функционалов Ляпунова – Красовского 21
1.2.1 Функционал v0 23
1.2.2 Матрица Ляпунова 26
1.2.3 Функционал полного типа 29
1.3 Метод Разумихина 32
2 Синтез подходов Ляпунова – Красовского и Разумихина 35
2.1 Вспомогательные утверждения 36
2.2 Теоремы об экспоненциальной устойчивости 38
2.3 Теоремы о неустойчивости 45
2.4 Модификация множества S 47
2.5 Теоремы с функционалом полного типа 49
3 Конструктивные методы анализа устойчивости. Скалярное уравнениесодним запаздыванием 51
3.1 Кусочно-линейное приближение 52
3.2 Кусочно-кубическое приближение 63
3.3 Анализ неустойчивости 71
3.4 Применение функционала полного типа 73
3.4.1 Кусочно-линейное приближение 73
3.4.2 Кусочно-кубическое приближение 75
3.5 Примеры 77
4 Конструктивные методы анализа устойчивости. Общий случай 81
4.1 Описание методов 82
4.1.1 Кусочно-линейное приближение 82
4.1.2 Кусочно-кубическое приближение 91
4.1.3 Анализ неустойчивости 93
4.1.4 Применение функционала полного типа 94
4.2 Сходимость методов 96
4.3 Примеры 106
4.4 Метод нахождения запаса устойчивости 113
5 Анализ устойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями 121
5.1 Модификация функционала 122
5.2 Модификация методов анализа устойчивости 125
Заключение 130
Литература
- Функционал
- Теоремы об экспоненциальной устойчивости
- Анализ неустойчивости
- Модификация методов анализа устойчивости
Функционал
В работе [19] Н. Н. Красовским было предложено естественное обобщение второго метода Ляпунова на системы с запаздыванием. Он заметил, что, поскольку состоянием таких систем является уже не значение x(t) в текущий момент времени, а сегмент траектории Xt, аналогом функций Ляпунова для систем с запаздыванием будут функционалы, зависящие от аргумента Xf. Функционалы, используемые для анализа устойчивости, позже получили название функционалов Ляпунова - Красовского. Прежде чем перейти непосредственно к описанию структуры функционалов, введем несколько важных определений.
Под функционалом будем понимать отображение v : РС([—/г, 0],КП) — Ш. Мы будем рассматривать только такие функционалы, для которых v(0h) = 0. Здесь 0/j — нулевая функция: 0 (0) = 0пхі, в Є [—/г,0]. Определение 1.4. [17] Функционал v(cp) называется непрерывным в точке Oh (непрерывным в нуле), если для любого є 0 существует 6 0 такое, что из условия \\(p\\h 8 следует f(ty?) є.
Чтобы ввести понятие положительно-определенного функционала, вспомним, как это понятие вводилось для функций. Пусть скалярная функция V\{x) определена и непрерывна на множестве ж Н, где Н 0. Говорят, что функция V\{x) положительно определена, если г і(0Пхі) = 0 и V\{x) 0 при 0 ж Н.
Определение 1.5. [56] Пусть функционал v(cp) (v(0h) = 0) определен на множестве кусочно-непрерывных функций ср таких, что \\tp\\h Н, где Н 0, и непрерывен в нуле. Будем говорить, что функционал v(cp) положительно определен, если существует положительно-определенная функция V\{x) такая, что г ((/?) г і((/?(0)), (р Є PC([—h,0],Wn), \\(p\\h Н. Соответственно, будем называть функционал v(cp) отрицательно-определенным, если функционал ?((/?) = —v((p) положительно определен.
В дальнейшем в определении 1.5 мы часто будем полагать V\(x) = ц\\х\\2, где /І 0, причем пользоваться им будем для функционала, для которого все остальные условия определения, очевидно, выполнены. Таким образом, получение для функционала v квадратичной оценки вида
Замечание. Из первого условия теоремы 1.6 следует, что v(0h) = 0, функционал v(cp) непрерывен в нуле и положительно определен.
Замечание. На самом деле, теорема 1.6 представляет собой упрощенный вариант теоремы Красовского, сформулированный в монографии [56] для линейных систем. В более общей версии теоремы вместо выражений аі( (0)2, о Ц Щ и —/3ж(/:)2 стоят соответственно г і((/?(0)), (ty?) и —wi(x(t)), где г і, if і — положительно-определенные функции, і»2 — положительно-определенный функционал. В пункте 1.2.3 мы покажем, что наличие именно квадратичных оценок позволяет эффективно использовать функционал v в приложениях.
Теорема Красовского ставит вопрос о поиске функционала, который ей удовлетворяет. В попытках найти такой функционал сформировалась теория функционалов с заданной производной, которая будет изложена в пунктах 1.2.1-1.2.3. Изложение основано на монографии [56], наиболее существенный вклад в развитие теории внесли статьи [20,32,40,49,51,61]. Несмотря на последнее замечание, нашей целью будет поиск функционала, для которого теорема Красовского верна именно с квадратичными оценками.
В основе подхода, изложенного в монографии [56], лежит классическая идея второго метода Ляпунова для системы вида х = Ах, где х Є Mn, А — постоянная матрица: задать квадратичную форму w{x) = xTWx, а затем искать функцию Ляпунова v(x) = xTVx такую, что dv(x(t))/dt = —w{x{t)) вдоль решений рассматриваемой системы, здесь симметрические матрицы V и W положительно определены. Из этого условия сразу ясно, что матрица V должна быть решением матричного уравнения Ляпунова
Теоремы об экспоненциальной устойчивости
Теорема 1.11 дает возможность эффективно использовать функционал полного типа в приложениях. Например, она позволяет записать оценку из определения экспоненциальной устойчивости 1.1 в явном виде [57]: значения 7 и а выра жаются через константы 6j и /3j, j = 0,m, которые конструктивно определяются в доказательстве леммы 1.10. Другая задача, в которой может быть применен функционал полного типа, — анализ робастной устойчивости системы (1.1). В работах [56,61] эта задача рассматривается в следующей постановке. Предположим, что система (1.1) экспоненциально устойчива. При каких условиях возмущенная в которой матрицы Aj ограничены по норме: Aj Pj, j = 0,m, остается экспоненциально устойчивой? Идея решения этой задачи, которую мы будем использовать в параграфе 4.4, заключается в следующем. Продифференцируем функционал полного типа (1.9) вдоль решений системы (1.12):
Если константы pj таковы, что полученная производная отрицательно определена, то, согласно теореме Красовского, система (1.12) экспоненциально устойчива. В книге [56] получены явные оценки величин pj, гарантирующие экспоненциальную устойчивость. Мы не будем приводить здесь эти оценки. Отметим причину, по которой функционал (1.5) не может быть использован для анализа робастной устойчивости в такой идеологии: в его производной вдоль решений системы (1.12) вместо слагаемого —w(yt) будет стоять —yT(t)Wy(t), в результате чего отрицательную определенность производной нельзя будет гарантировать выбором величин Pj.
В монографии [56] могут быть найдены и другие полезные приложения функционалов полного типа.
Итак, построен функционал, допускающий квадратичную оценку снизу и благодаря этому эффективный в ряде задач. Однако остается открытым вопрос о том, как конструктивно построить оценку снизу из теоремы 1.11 в том случае, когда изначально нет информации об экспоненциальной устойчивости системы? Другими словами, как с помощью функционала полного типа и теоремы 1.11 проверить экспоненциальную устойчивость? Поскольку даже теорема 1.11 не дает конструктивного способа проверки экспоненциальной устойчивости, в настоящем исследовании мы будем искать другой путь построения квадратичных оценок функционалов снизу, отличный от применения функционалов полного типа.
В этом параграфе мы кратко опишем альтернативный методу функционалов Ляпунова – Красовского подход к анализу устойчивости систем с запаздыванием, основанный на использовании классических функций Ляпунова.
Вполне естественно, и Л. Э. Эльсгольц показал это в статье [34], что непосредственное применение метода функций Ляпунова к системам с запаздыванием оказывается неэффективным: производная функции Ляпунова вдоль решений системы (1.1) является функционалом, гарантировать отрицательную определенность которого на множестве всех решений можно только для очень узкого класса систем.
В работе [31] Б.С. Разумихин предложил модифицировать метод функций Ляпунова применительно к системам с запаздыванием: оказывается, достаточно исследовать отрицательную определенность производной функции Ляпунова на специальном множестве функций вместо множества решений системы. Если на этом множестве получится оценить производную сверху отрицательно-определенной функцией (исключив из нее члены, зависящие от запаздывания), то можно будет сделать вывод об асимптотической устойчивости системы, конечно, при выполнении других классических условий теорем Ляпунова. Отметим, что таким образом можно получить только достаточные условия устойчивости.
Теоремы Разумихина могут быть сформулированы для достаточно общего класса систем с запаздыванием. Мы ограничимся системой вида (1.1), исследуемой в диссертации, и теоремой об экспоненциальной устойчивости. Формулировка теоремы, с незначительными изменениями, приводится по книге Дж. Хейла [33]. Введем функционал F: С([—/г,0],Мп) — Мп,
Таким образом, анализ поведения производной функции Ляпунова на множестве функций Sy позволяет сделать вывод об устойчивости системы. Оценка сверху функционала R становится, благодаря условию Разумихина, функцией вектора (/?(0), а не функционалом, что делает условие конструктивным.
Замечание. В нашей работе идея Б. С. Разумихина используется в следующей форме — одно из условий классических теорем Ляпунова проверяется на множестве функций типа Sy, состоящем не из решений системы (1.1). Однако мы применяем эту идею в рамках метода функционалов Ляпунова - Красовского, и ее реализация существенно отличается от подхода, изложенного в этом параграфе. Глава 2
Синтез подходов Ляпунова Красовского и Разумихина В настоящей главе представлены основные теоретические результаты диссертации — необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (1.1) (теоремы 2.3-2.6). Эти результаты в определенном смысле объединяют подходы к анализу устойчивости Ляпунова - Кра-совского и Разумихина, описанные в параграфах 1.2 и 1.3. В теореме Красов-ского 1.6 для анализа экспоненциальной устойчивости требуется функционал, положительно-определенный на множестве кусочно-непрерывных функций, с отрицательно-определенной производной вдоль решений системы. А в теореме Разумихина 1.12 требуется положительно-определенная функция Ляпунова, производная которой вдоль решений является функционалом, отрицательно-определенным, но лишь на множестве функций, удовлетворяющих некоторому специальному условию — условию Разумихина. Подход, предлагаемый в этой главе, основан на методе функционалов Ляпунова - Красовского и использует функционалы с заданной отрицательно-определенной производной, введенные в параграфе 1.2. Однако, и в этом отличие от подхода Красовского, нам не требуется положительная определенность этих функционалов на множестве всех кусочно-непрерывных функций — оказывается достаточно их положительной определенности на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина, а именно, на множестве
Анализ неустойчивости
В таблице 3.2 значение N = Ni соответствует применению кусочно-линейного (теоремы 3.1), а значение N = N% — кусочно-кубического приближения (теоремы 3.5). В обеих задачах использование кусочно-кубического приближения позволяет существенно улучшить результаты, полученные с использованием кусочно-линейного.
Таблицы 3.1 и 3.2 хорошо иллюстрируют важное свойство предлагаемых методов, которое мы называем сходимостью. Значения /ідг, приведенные в таблице 3.1, — те запаздывания, при которых методы гарантируют экспоненциальную устойчивость соответствующих уравнений, — стремятся с возрастанием N к Таблица 3.2 — Задача 3.12: значения критическим запаздываниям. Второй пример в таблице 3.2 показывает, что для любого запаздывания, меньшего /г, как бы близко оно ни было к критическому, найдется значение N, гарантирующее выполнение условия соответствующей теоремы. Сходимость будет строго сформулирована и доказана в параграфе 4.2 — для системы (1.1).
Проиллюстрируем утверждение 3.3 — оценку параметра N = Ni в таблице 3.2. Рассмотрим первый пример: пусть а = —1, Ъ = —1. При h = 1 утверждение 3.3 дает значение N = 12, при h = 2 — значение N = 58, при h = 2,5 — значение N = 101. Видно, что каждый раз получается грубая оценка параметра N. Однако для того, чтобы получить эту оценку, не нужно вычислять минимум (3.9), а смысл утверждения 3.3 был пояснен на с. 63. Это утверждение связано со свойством сходимости методов. Глава 4
Конструктивные методы анализа устойчивости. Общий случай
Вернемся к рассмотрению системы (1.1). Настоящая глава посвящена обобщению на этот случай конструктивных процедур анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, изложенных в предыдущей главе. В первом параграфе главы приводится описание методов; при этом отличия от результатов главы 3 носят, в основном, технический характер, а идея остается прежней. Поэтому первая модификация метода, основанная на кусочно-линейной аппроксимации (п. 4.1.1), описана подробно, а для остальных (п. 4.1.2-4.1.4) приведены только окончательные формулы и утверждения. Методы сформулированы в наиболее общем виде — для системы (1.1) с произвольными запаздываниями. Формулы для важного частного случая — системы с кратными запаздываниями — приведены в приложении А. Это сделано по двум причинам. Во-первых, для систем с кратными запаздываниями можно рассмотреть равномерное разбиение отрезка [—/г, 0], в которое включены все запаздывания, за счет чего формулы метода упрощаются, а его программная реализация может быть сделана более рациональной. Во-вторых, как уже не раз отмечалось, эффективный способ вычисления матрицы Ляпунова известен только для систем с кратными запаздываниями, и в этой главе мы все равно ограничиваемся примерами только таких систем. В то же время общность формулировки методов понадобится нам в главе 5, в которой мы перейдем к анализу систем с несоизмеримыми запаздываниями. Все описанные алгоритмы реализованы в программной среде MATLAB. Программная реализация обсуждается в приложении Б. В параграфе 3.5 предыдущей главы уже упоминалось такое свойство предлагаемых методов, как сходимость, — в смысле стремления границ областей устойчивости, получаемых методами, к границам точных областей устойчивости (в пространстве параметров); стремления запаздываний, для которых гарантируется устойчивость, к критическим запаздываниям с увеличением параметра N — количества частей разбиения отрезка [—/г,0]. Для общего случая это свойство будет строго формализовано и доказано в параграфе 4.2.
В параграфе 4.3 описанные методы применяются к оценке областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров. В одном из примеров иллюстрируется их использование в задаче управления — в задаче стабилизации перевернутого маятника в вертикальном положении. Наконец, в последнем параграфе этой главы подход к анализу устойчивости, предложенный в работе, применяется к решению задачи о нахождении запаса устойчивости экспоненциально устойчивой системы с одним запаздыванием. Это становится возможным благодаря построению специальной интегральной оценки для производной функционала VQ. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [6,25,65-67], а содержание параграфа 4.4 — в статье [23].
Рассмотрим произвольную вектор-функцию ер Є 5 2 (определение множеств Sk см. на с. 47) и, приближая ее кусочно-линейной вектор-функцией, построим квадратичную оценку снизу для функционала (1.5) — оценку из теоремы 2.4 — по аналогии с тем, как это было сделано в параграфе 3.1. Поскольку запаздывания не предполагаются соизмеримыми, а значения —/її,..., —hm хотелось бы включить в число точек дробления промежутка
Оценка функционала. Подставим приближение (4.1) в функционал (1.5). Для этого, как и в параграфе 3.1, разобьем интегралы, стоящие во второй и третьей группах слагаемых функционала (1.5), на суммы интегралов согласно разбиению отрезка [—/г,0]. Для второй группы слагаемых функционала получим
Вектор (/9 образован последовательным соединением векторов (p{Uj: ) по всем точкам дробления промежутка [—/г,0], кроме нуля. Другими словами, как и в параграфе 3.1, этот вектор состоит из значений функции ср в узлах разбиения промежутка, отличие состоит лишь в том, что теперь эти значения — векторные. Размерность вектора (р равна n{N\ + ... + Nm) = nN. Составляющие вектора ф будем обозначать через
Модификация методов анализа устойчивости
В том случае, когда хотя бы два запаздывания в системе (1.1) несоизмеримы, т. е. их отношение не является рациональным числом, методы, описанные в предыдущей главе, оказываются неприменимыми: как уже было отмечено, эффективных способов вычисления матрицы Ляпунова в этом случае не существует. В настоящей главе будет построена модификация алгоритмов главы 4, позволяющая обойти возникающую проблему. Идея этой модификации состоит в том, чтобы заменить матрицу Ляпунова в используемом функционале соответствующей матрицей, построенной по некоторой «близкой» системе с соизмеримыми запаздываниями. При этом «близость» между системами с соизмеримыми и с несоизмеримыми запаздываниями определяется тем, является ли отрицательно-определенной производная нового функционала вдоль решений исходной системы. Доказано, что, если в теоремах главы 2 использовать модифицированный таким образом функционал, то эти теоремы останутся верными. А значит, и методы, описанные в главе 4, могут быть применены к анализу устойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями; при этом не требуется вычислять матрицы Ляпунова таких систем. Отметим, что предлагаемая модификация может быть полезной и в том случае, когда запаздывания в системе соизмеримы, но размерность вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающей при вычислении матрицы Ляпунова, велика (см. приложение Б).
В этой главе будем рассматривать систему (1.1) с двумя запаздываниями причем запаздывание h будем считать иррациональным. Ясно, что любая система с двумя несоизмеримыми запаздываниями может быть сведена к системе (5.1) простейшей заменой переменных. Идея может быть обобщена и на большее количество запаздываний. Для определенности предположим, что h 1. Основные результаты этой главы опубликованы в работах [7,22].
Функционал г о( /?, U ) отличается от функционала (1.5) только матрицей Ляпунова; отметим, что пределы интегрирования и аргументы матрицы Ляпунова в нем остаются прежними — соответствующими исходной системе (1.1). По структуре функционал v((p,U ) представляет собой частный случай функционала полного типа (1.9). Позже станет ясно, почему функционал г о( /?, / ) не может быть использован для наших целей в этой главе. Новый функционал г ((/?, [/ ) определяется значениями матрицы Ляпунова U (r) при г Є [—/г, h]. Заметим, что идея замены матрицы Ляпунова в функционале встречается в книге [56] — применительно к качественной оценке приближений матрицы Ляпунова, которые в ней строятся.
Следующее предположение необходимо для существования функционала г ((/?, [/ ) (см. теорему 1.9 и определение 1.3); далее будем считать его выполненным. Предположение 5.1. Система (5.2) удовлетворяет условию Ляпунова. Для того чтобы применить новый функционал к анализу экспоненциальной устойчивости системы (5.1), нужно вычислить его производную вдоль решений этой системы. Согласно теории параграфа 1.2, по построению функционала —v(xt,U) = —wixA at вдоль решений системы (5.1), где
Что изменится в производной функционала, когда в нем изменится матрица Ляпунова? Чтобы ответить на этот вопрос, сравним определения матриц Ляпунова U(T) и U (T) (см. определение 1.8). Ясно, что эти определения отличаются только последним слагаемым в динамическом и в алгебраическом свойствах. Поэтому вполне естественным выглядит утверждение следующей леммы. Отметим еще, что леммы 5.2 и 5.3 близки к леммам 4.17 и 4.18 предыдущей главы.
Следующее предположение гарантирует отрицательную определенность производной функционала v((/?, U ) вдоль решений системы (5.1); фактически, оно накладывает ограничение на близость между значениями hиh. Это предположение далее также будем считать выполненным.
Замечание. Если добавить в функционал v((/?, U ) слагаемые, соответствующие функционалу полного типа, и в предположении 5.4 заменить нестрогие неравенства на строгие, то для него можно доказать аналоги леммы 1.10 и теоремы 1.11. Другими словами, в определенном смысле — при выполнении предположений 5.1 и 5.4 — новый функционал удовлетворяет теореме Красовского.
Достаточность. В условиях теоремы для функционала v((/?, U ) справедлив аналог утверждения 2.1: система (5.1) не имеет собственных чисел, расположенных на мнимой оси комплексной плоскости. Действительно, можно провести доказательство утверждения 2.1, заменив в нем равенство (2.1) на неравенство
Как и теоремы главы 2, теоремы 5.5 и 5.6 дают конструктивный способ анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости системы (5.1). Действительно, функционал v(cp, U ) отличается от функционала полного типа только матрицей Ляпунова и тем, что некоторые из матриц Wj в нем считаются нулевыми. Поэтому методы, описанные в параграфе 4.1, могут быть применены к анализу устойчивости системы (5.1) практически без изменений: множество S, разбиение промежутка [—/г, 0], векторы ери р не зависят от значения h и остаются прежними. Меняются только матрицы Wj и матрица Ляпунова (во всех подынтегральных выражениях матрица U(r) заменяется на U (r)), а также добавляются предположения 5.1 и 5.4. Таким образом, достаточное условие экспоненциальной устойчивости системы (5.1) может быть записано в виде:
