Содержание к диссертации
Введение
Глава І. Модели систем синхронизации 13
1.1. Математические модели непрерывных систем синхронизации 13
1.2. Дифференциальное уравнение непрерывных систем синхронизации. 17
1.3. Разновидности нелинейных характеристик систем синхронизации . 22
1.4. Математические модели дискретных систем синхронизации при наличии помех 25
1.5. Выводы... 35
Глава 2. Статистические характеристики ДСС 1-го порядка 36
2.1. Уравнение плотности распределения вероятностей для ДСС 1-го порядка 36
2.2. Общая методика решения уравнения Колмогорова-Чепмена с применением методов Галёркина. Выбор метода
2.3. Численное решение уравнения Колмогорова-Чепмена с применением глобальных методов Галёркина
2.4.Численное решение уравнения Колмогорова-Чепмена с применением глобальных методов Галёркина при наличия помехи на входе
2.5. Экспериментальные исследования статистических характеристик ДСС 1-го порядка 75
2.6. Выводы 83
Глава 3. Динамика СС второго порядка с различными характеристиками дискриминатора 86
3.1. Анализ СС второго порядка с синусоидальной характеристикой дискриминатора 86
3.2. Частотная характеристика асинхронного режима 89
3.3. Исследование полосы захвата СС 91
3.4. Исследование полосы захвата СС при помощи метода Галёркина 92
3.5. Выводы 94
Глава 4. Статистические характеристики двухкольцевой СС и ДСС 2-го порядка в условиях воздействия гармонической помехи и шума 103
4.1. Векторное уравнение Колмогорова-Чепмена в двухкольцевой СС ... 103
4.2. Уравнение Колмогорова-Чепмена при воздействии сигнала и помехи постоянной частоты в двухкольцевой СС 106
4.3. Уравнение Колмогорова - Чепмена при воздействии сигнала и помехи с фазовой модуляцией в двухкольцевой СС 109
4.4. Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая отсутствия гармонической помехи в ДСС 2-го порядка 124
4.5. Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая наличия гармонической помехи в ДСС 2-го порядка 130
4.6. Сравнение результатов, полученных различными методами. 140
4.7. Экспериментальное исследование статистических характеристик ДСС 2-го порядка 142
4.8. Выводы 145
Выводы 147
Список литературы 149
Приложение
- Математические модели непрерывных систем синхронизации
- Уравнение плотности распределения вероятностей для ДСС 1-го порядка
- Анализ СС второго порядка с синусоидальной характеристикой дискриминатора
- Векторное уравнение Колмогорова-Чепмена в двухкольцевой СС
Введение к работе
Актуальность работы
Развитие современных систем и устройств обработки информации, радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно-измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем синхронизации (СС) [10,21,22,26,39,40,69]. Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов,[29,40,69] когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, [10] синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, [40,69] измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, [22,29] синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов.
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, [38,32,33,51] что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик.
В большинстве случаев математической моделью непрерывной СС служит либо дифференциальное уравнение, либо система дифференциальных уравнений высокого порядка с нелинейностями , имеющими периодический характер. Точные методы исследования СС
5 отсутствуют. Имеющиеся приближённые методы рассматривают частные случаи СС. Поэтому крайне важна методика позволяющая анализировать СС в общем случае с любыми видами фазового детектора и фильтра.
Большой интерес последнее время вызывает поведение систем в условиях помеховых воздействий [52]. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные-характеристики системы. При этом статистические моменты фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении СС. Поскольку СС - существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния [52]. Особенностью СС с рядом других систем (не фазовых является существование множества устойчивых состояний равновесия, а в отдельных предельных случаях и устойчивых периодических движений 1-го и 2-го рода, [19] что еще более усложняет картину при действии шумов. Ситуация становится еще более сложной, если на вход системы кроме шумового воздействия поступает и узкополосная негауссовская помеха в виде детерминированного сигнала [53] . В качестве последнего может выступать помеховый сигнал, по структуре повторяющий полезный.
Учет комбинированного воздействия позволяет ответить на вопрос об эффективности функционирования СС [55,56] в условиях сосредоточенной по частоте помехи, что становится крайне актуальным, например, в условиях непрерывно расширяющегося числа одновременно работающих радиосредств. Примером могут служить помехи по основному каналу приема, [56] характерные для систем подвижной связи, повторно использующих одни и те же частоты при формировании сотового частотного режима (соканальные помехи).
Основы теории исследования статистических характеристик СС с использованием их марковских моделей заложили Р.Л. Стратонович и В.И. Тихонов. Значительный вклад в теорию синхронизацию внесли Бакаев
Ю.М., Белых В.Н., Вайнберг А., ВитербиА., Жодзишский М.И., Капранов М.В., Кулешов В.Н., Линдсей В., Разевиг В.Д., Сизых В.В., Холмс Дж., Удалов Н.Н., Шалфеев В.Д., Шахтарин Б.И. и другие.
Динамика непрерывных систем синхронизации исследовалась в работах Е.Л.Урмана, Т.Невядомского, Т. Дж. Рея. В этих работах использовался лишь принцип гармонического баланса по одной гармонике. Значительный вклад в исследования непрерывных СС внёс Б.И. Шахтафттистическая динамика дискретных систем синхронизации исследовалась в работах Белых В.Н., Вайнберг А., ВитербиА., Жодзишский М.И., Разевиг В.Д., Сизых В.В., Холмс Дж, Шахтарин Б.И. и др. Основы теории исследования статистических характеристик СС методами Галёркина и расщеплением интегрального ядра заложили в своих работах Б.И Шахтарин и его ученики [51,55,56,59].
Исследованиям дискретных СС в условиях даже простейших узкополосных помех посвящено ограниченное число работ, среди которых особое место занимают исследования Б.И. Шахтарина и его учеников.
Подобную ситуацию можно объяснить следующими причинами. Во-первых, представляет собой достаточно серьёзную проблему переход исходных стохастических уравнений к марковским моделям, не существует общей методики перехода; ситуация значительно усложняется в условиях узкополосных воздействий [2,55,56]. Во-вторых, необходимо обеспечить строгий переход от марковской модели к векторному уравнению Колмогорова - Чепмена, корректно подстроив условную плотность вероятности перехода; сложность вызвана периодическим характером фазового пространства по фазовой координате и, соответственно, необходимостью отыскания инвариантных движений в пространстве [22]. В-третьих, задача о среднем времени до срыва слежения. В традиционной постановке эти границы фиксированы. Даже наличие простого сигнала без помехи, но с изменяющейся частотой, существенно усложняет решение задачи о срыве [2].
7 Таким образом, критический анализ работ, претендующих на достаточно строгие и полные исследования статистических характеристик дискретных СС и динамических характеристик непрерыных СС [2,9,18,20,25,33,38,
51,59,65,67 и др.] показал, что число таких работ достаточно ограничено. Отсутствие эффективных методик исследования, а следовательно, и методик расчёта статистических характеристик, особенно в условиях сложной помехой обстановки. Это приводит к необходимости разработки как прикладных методов анализа статистических характеристик дискретных СС, так проведения исследований с помощью этих методов конкретных моделей СС для технических приложений. Методы, применяемые для анализа непрерывных систем требуют подтверждения, а так же требуются методики для анализа общих случаев непрерывных СС
В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная разработке численных методов и анализу статистических характеристик дискретных систем синхронизации с применением этих методов, а так же разработке численных методов и анализу динамических характеристик непрерывных систем синхронизации является актуальной. Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре РНТОРЭС им. А.С. Попова "Синхронизация, формирование и обработка сигналов" в Ярославле в 2003 г., научных семинарах кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э.Баумана, международной конференции «2nd IEEE International Conference on Citcuits and Systems for Communications», проходившей в Москве 30.06-2.07.2004 г.
8 Цели и задачи диссертации.
Целью диссертационной работы является исследование динамики дискретных СС первого и второго порядка, разработка методов анализа непрерывных и дискретных СС, позволяющих проводить расчёт:
статистических характеристик дискретных СС с учётом воздействия аддитивной смеси полезного сигнала, узкополосной помехи и гауссовского шума;
динамических характеристик непрерывных СС в случае произвольно выбранных фазового детектора и контурного фильтра.
Задачи, решаемые в диссертации.
Построение математических моделей непрерывных СС в виде дифференциального уравнения; построение математических моделей ряда дискретных СС в форме марковских моделей;
разработка методики решения непрерывного уравнения Колмогорова-Чепмена с применением численных методов на основе метода Галёркина;
получение и анализ статистических характеристик дискретных СС 1-го порядка при наличии полезного сигнала и гауссовского шума;
получение и анализ статистических характеристик дискретных СС 1-го порядка при наличии полезного сигнала, гауссовского шума и гармонической помехи;
разработка методики получения динамических характеристик в непрерывных СС 2-го порядка на основе метода Галёркина;
адаптация полученного метода для общих случаев фазового детектора и контурного фильтра в непрерывных СС 2-го
порядка^ие динамических характеристик непрерывных СС при различных типах фазовых детекторов;
сравнение полученных результатов с квазигармоническим методом в частных случаях;
разработка методики решения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена;
получение и анализ статистических характеристик двухкольцевой цифровой СС при наличии помех до срыва
кшйшнивфное моделирование СС, исследование их динамических и статистических характеристик.
проведение экспериментальных исследований имитационной модели дискретной СС, проверка основных результатов теоретических исследований.
Общая методика исследований.
Разрабатываемые в диссертации методы анализа статистических характеристик дискретных СС базируются на общих положениях качественных методов теории дискретных СС и теории разностных уравнений, теории марковских процессов и цепей.
Для решения поставленных задач используется компьютерное моделирование, численное решение нелинейных стохастических разностных уравнений.
Разработанные методы и алгоритмы анализа статистических характеристик дискретных, в том числе и цифровых, СС ориентированы на использование персональных компьютеров.
Научная новизна результатов.
1. Автором получены обобщенные модели систем
синхронизации, определены их параметры, позволяющие легко интерпретировать результаты исследований для конкретных объектов;
предложена методика анализа СС 1-го и 2-го порядка для различных типов характеристики фазового детектора и фильтра с применением численных методов на основе метода Галёркина;
на основе разработанной методики получены и проанализированы новые статистические характеристики дискретных СС 1-го порядка при воздействии на вход наряду с сигналом в первом случае гауссовского шума, во втором -гауссовского шума и гармонической помехи, а также динамические характеристики непрерывных СС;
произведено сравнение полученных результатов с квазигармоническим методом в частных случаях;
разработаны методики решения векторного уравнения Колмогорова-Чепмена;
получены и проанализированы статистические характеристики двухкольцевой цифровой СС при наличии шума и гармонической помехи;
разработаны компьютерные имитационные модели СС, учитывающие свойства реальных узлов и позволяющие проводить . исследования для произвольных значений параметров.
Практическая ценность диссертации.
1 В диссертации разработаны методики исследования,
позволяющие определить основные статистические характеристики различных дискретных СС, разработаны алгоритмы для расчёта статистических характеристик; созданные автором программы апробированы на ряде предприятий: МГТУ им. Н.Э. Баумана, Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России.
Разработанные программы позволяют оптимизировать параметры фильтра в цепи управления с целью обеспечения заданных статистических свойств дискретных СС при воздействии полезного сигнала и помехи.
Предложенные и развитые в диссертации методики и разрабатываемые на их основе алгоритмы и программы можно использовать в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа.
Положения, выносимые на защиту.
Модели непрерывных СС. Эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных моделей СС для случаев воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума.
Методика численно-аналитического решения интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена для дискретных СС 1-го порядка при наличии и отсутствии помех.
Результаты анализа статистических характеристик дискретных СС 1-го порядка.
Методика численно-аналитического получения динамических характеристик. Сравнительный анализ с другими методами в частных случаях.
Результаты анализа динамических характеристик непрерывных СС.
Статистические характеристики двухкольцевой дискретной СС при наличии шума и гармонической помехи.
Объём и структура диссертации.
Диссертация состоит из четырёх глав, введения, заключения, списка
12 литературы (81 наименование) и приложения; изложена на 174 листах машинописного текста, включая 50 листов иллюстраций.
Внедрение результатов работы.
Результаты диссертационной работы внедрены в НИР, проводимые на кафедре «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э. Баумана, а также используются в учебном процессе кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э. Баумана (издано учебное пособие [58]), что подтверждено актами о внедрении.
Публикации.
Основные результаты диссертации изложены в работах [19,36,40,58,62,63,65-67,81 ].
Математические модели непрерывных систем синхронизации
Системы синхронизации широко распространены в технических приложениях и реализуются в виде устройств механического, электронного, электромеханического характера. К последним относятся синхронные машины, а также разного рода энергосистемы. Общим для всех систем синхронизации является наличие фазовой и угловой координаты в их модели. Эта координата представляет собой: угловое отклонение от некоторой вертикали в маятнике; разность фаз колебаний, подаваемых на чувствительный элемент (фазовый дискриминатор) системы регулирования в системе фазовой синхронизации; разность фаз между напряжением внешнего сигнала и сигнала генератора; угол между осями ротора и вращающегося поля статора синхронных машин и т п.
Различные схемы систем синхронизации, как показывает анализ их моделей, отображаются одинаковыми схемами. На такой схеме удаётся выделить три основных блока: нелинейный безынерционный преобразователь, действие которого описывается функциональной зависимостью выходного сигнала от входного в виде некоторой функции h(xT)[xT = х(Т),Т-время , с ]; блок линейного (инерционного ) преобразования переменной hT=h(xT) и блок обратной связи. Блок линейного преобразования характеризуется передаточной функцией H(s) приведенной линейной части системы. Блок обратной связи представляет собой безынерционный преобразователь (инвертор) с коэффициентом передачи, равным -1. Большинстве случаев характеристика нелинейного элемента h{x) является несимметричной, но допускает представление её выходного сигнала в виде суммы сигнала, прошедшего через симметричную характеристику g(x), и постоянного смещения /3 О. Электронная СС представляет собой регулирования с обратной связью рис 1.2. Объектом регулирования здесь является управляемый генератор УГ. Частота его напряжения иг подстраивается под частоту эталонного сигнала иэ. Чувствительным элементом данной СС является фазовый дискриминатор ФД, в котором сравниваются полные фазы колебаний сигналов иэ(Т) и иг(Т). На выходе ФД выделяется напряжение ид, зависящие от разности указанных фаз; это напряжение поступает на линейное устройство. В этом устройстве, выполняющем роль фильтра низких частот ФНЧ, подавляются высокочастотные составляющие входного колебания. В результате с помощью фильтра формируется регулирующее напряжение иР, управляющее частотой генератора. Управление осуществляется при помощи управляющего элемента УЭ в направлении сближения частот колебаний сигналов иэ(Т) и иг(Т).
Функционирование генератора совместно с управляющим элементом описывается в общем случае нелинейной зависимостью Aa r = f(u), где Асог = сог — й)го - изменение частоты генератора, й)го - значение частоты без подстройки. Второе слагаемое Ыд2 на выходе ФД представляет собой колебание с суммарной частотой (высокочастотная составляющая). Предполагается, что это колебание подавляется ФНЧ, и поэтому учитывается только первое слагаемое идХ = Ql sin ,B котором, как это видно из (1.2), и заключается информация об отклонении частоты генератора от заданного значения. В более общем случае на выходе ФД низкочастотная составляющая ЫдХ Рис. 1.3. Структурная схема электронной системы синхронизации. имеет вид Qjg( ), где g{q ) - некоторая периодическая с периодом 2я Функция, Qj = const. Ей присущи некоторые недостатки, из - за которых она не нашла практического применения. Для непрерывных систем использование перемножителя в качестве фазового- детектора не приводит к проблеме суммарной составляющей, поскольку от ней можно легко избавиться с помощью простого фильтра нижних частот, не оказывающего влияние на процессы в кольце. В значительной степени свободной от проблемы с суммарной составляющей является схема цифровой СС с квадратурным аналого- цифровым преобразованием на входе, приведенная на рис 1.8. В состав схемы входит квадратурный аналого-цифровой преобразователь (КАЦП), два идентичных цифровых перемножителя, вычитатель кодов, умножитель кодов Sn сглаживающий фильтр, состоящий из цифрового интегратора, выполненного на основе накопительного сумматора НСь пропорционального звена с коэффициентом умножения т и линейного сумматора, цифровой интегратор, выполненный на основе накопительного сумматора НС2, два функциональных преобразователя ФПі и ФПг, представляющие собой синтезаторы отсчетов сигналов соответственно синусоидальной и косинусоидальной форм. В режиме демодуляции ЧМ, ЧТ — колебаний выходной сигнал снимается с выхода цифрового сглаживающего фильтра (астатического цифрового фильтра- интегратора), в режиме демодуляции ФМ, ФТ — колебаний выходной сигнал снимается с выхода цифрового интегратора НС2, выполняющего в системе функцию преобразователя "частота — фаза". UUisin( (n] - р,[п] - р,М) UCosfe(0 UiCOs($Un]- M) Рис 1.8. Структурная схема ЦСС с квадратурным преобразователем на входе. Особенностью схемы является наличие на входе квадратурного аналого-цифрового преобразователя, осуществляющего формирование двух квадратурных кодовых последовательностей, соответствующих входному сигналу, с одновременным переносом их в область нулевых частот. Вид характеристики формируется за счет реализации математических операций с помощью двух перемножителей и вычитателя, на которые подаются квадратуры соответственно входного и выходного сигналов. Использование квадратурного детектора позволяет решить проблему суммарной составляющей, характерную для цифровых детекторов на основе одноканального перемножителя. В случае квадратурного преобразователя появление суммарной составляющей объясняется только неидентичностью каналов и нестрогой фазировкой квадратур, что с учетом относительного постоянства рабочих частот может быть сведено к минимуму.
Уравнение плотности распределения вероятностей для ДСС 1-го порядка
Для численного метода применим частный случай метода взвешенных невязок - метод Галёркина. В общем случае метод взвешенных невязок можно описать следующим образом. Предположим, что интегральное уравнение L{u) = 0 должно быть решено при начальных условиях 7(и) = 0и граничных условиях S(u) = 0 в области D{x,z). Вводится приближенное решение иа, такое, что L(ua) = R, I(ua) = Rj, ЙрХг рении приближенного решения иа можно идти по одному из следующих путей. (1) уравнение удовлетворяется точно, т. е. R - 0. В этом случае мы имеем дело с граничным методом. (2) Граничные условия выполняются точно, т. е.і? =0. Такой метод называется внутренним методом. (3) Ни уравнения, ни граничные условия не удовлетворяются точно. Это соответствует смешанному методу. Рассмотрим метод внутренних невязок по отношению к внутренним методам При использовании внутреннего метода приближенное решение иа может быть представлено в виде: иа N иа (х, z) = и0 (х, z) + ] (z)9 j ( ) (2.6) У=1 где все q)j— известные аналитические функции. Указанные функции часто называются пробными, а выражение (2.6) — пробным решением. Коэффициенты а;, подлежат определению. Функция UQ(X,Z) выбирается так, чтобы начальные и граничные условия удовлетворялись по возможности точно. Если р,- = (pAz,t) или если рассматриваемая задача стационарна, TOO,- представляют собой постоянные и уравнение приводится к системе алгебраических уравнений. Чтобы получить уравнения для определения функций о-, внутреннее произведение взвешенных невязок полагается равным нулю: {R,cO]l{z)) = 0 , k = l,...,N Функцию й называют весовой, или поверочной, функцией. В процессе определения неизвестных коэффициентов А,-, требуется иметь соответствующее число независимых соотношении, откуда ясно, что функции а к должны быть независимыми, если только они представляются в очевидной аналитической форме. Если эти оз входят в полную систему функций, то при N- оо уравнение (R,0)jc(z)) = 0 , к = 1,...,Освидетельствует о том, что невязка уравнения R должна быть ортогональна каждому элементу этой полной системы функций. Однако такое утверждение подразумевает, что величина R сходится к нулю в среднем (в пределе N -» оо ). Если такая сходимость к нулю в среднем имеет место и если представление (2.6) обеспечивает точное выполнение граничных условий, то мы могли бы ожидать сходимости приближенного решения иа к точному решению уравнения L(u) = 0 в среднем, т. е. выполнение условия Ijfll ма -ие 2 = 0 iV-»oo Такую сходимость, можно сравнить с равномерной сходимостью. определяемой условием Ijfll иа-ие =0 где Me-" Lsmaxk"M« Форма уравнения (R9cok{z)) = 0 , k = l,...,iVаналогична форме уравнения L(u) = 0, а именно (L(u),0)) = 0 где со— поверочная функция общего вида. Удобно дать следующее определение внутреннего произведения: (f,g)=\\fgdxdz D Согласно этому определению, используемое внутреннее произведение является непрерывным в интересующей нас области. Однако внутреннее произведение с тем же успехом могло быть определено и дискретным N образом, т. е. в форме (f,g) = lfigi .Выберем весовую функцию /=1 принадлежащую к тому же семейству функций, что и пробная функция, т. е e k(z) = pk(z),k = \, ,N (2.7) Поверочные и пробные функции (pAz) должны выбираться из числа первых N функций некоторой полной системы функций. Это является необходимым условием сходимости к точному решению при N —» 00. Введём условия, которые должны выполняться при применении метода Галеркина: (1) Поверочные функции со к выбираются принадлежащими к тому же семейству, что и пробные функции (р:. (2) Пробные и поверочные функции должны быть линейно независимыми. (3) Пробные и поверочные функции должны представлять собой N первых элементов полной системы функций. (4) П робные функции должны удовлетворять граничным условиям (и начальным условиям, если таковые поставлены) в точности. Условие (1) служит определением метода Галеркина, а условие (2) должно быть выполнено, чтобы обеспечить возможность получения независимых уравнений для определения неизвестных коэффициентов щ . Условия (3) и (4) связаны с эффективностью метода, и нарушение этих условий снижает эффективность. В периоды ранней разработки и применения традиционный метод Галёркина был методом ручного счёта, с применением подручных средств, например калькулятора. В рамках такого применения, эффективность могла бы измеряться точностью решения, приходящейся на единицу затраты усилий. Ясно, что, тем самым подчёркивается желательность использования меньшего числа неизвестных коэффициентов о,- при сохранении приемлемой точности. Невыполнение условия 3, т.е. использование в качестве пробных и поверочных функций не первые элементы полной системы, т.е к = 2,3,4,..., N или k = n,n + l,n + 2,..,N вместо к = 1,2,3,4,...,N существенно может снизить точность результатов.
Если наложить дополнительные граничные условия, то не выполнение условия 4, тоже может сказаться на точности результатов. Если условия (1-4) выполняются, то для повышения точности метода влияет выбор пробных функций. Как было показано в [49] применение в качестве пробных и поверочных функций чисто локальных полиномов приводило к получению менее точных собственных значений, чем применение глобальных полиномиальных представлений высокого порядка. Возможны задачи, в которых, для получения более точного решения необходимо использовать отличные от тригонометрических функций пробные функции, но использование ортогональных функций значительно упрощает реализацию метода. В данной работе особое внимание уделяется непосредственно общей концепции методов Галёркина и её использования в анализе различных систем фазовой синхронизации, поэтому точность применяемых методов оценивалась при сравнении результатов полученных для частных случаев или случаев, для которых можно получ иЖВДЧНь ёшйпШ166 в методах Галёркина мы будем применять ортогональные поверочные и пробные функции, при таком подходе рост числа операций с увеличением N приблизительно соответствует линейному закону. Эффективный приём состоит в выборе поверочных функций из числа ортогональных по отношению ко всем другим элементам полной системы. Это значит, что внутри интересующей нас области мы требуем, чтобы поверочные функции % удовлетворяли условиям: = 0 прикф j ( Pk Pj) = (2.8) ф0прик = j При применении метода Галёркина пробное решение представляется в виде N u=Yuaj(pj (2-9) 7=1 В случае линейного оператора уравнения L(u) = 0 применение метода Галёркина даёт N Y,aj(L( pj), pk) = 0 (2.10)
Во всех случаях, когда одно из слагаемых (2.10) будет совпадать с внутренним произведением (2.8), это будет давать одночледнные вырайеншпьку ортогональные функции линейно независимы, получаемые в результате алгебраические уравнения также будут линейно независимы. Это значит, что использование ортогональных поверочных и пробных функций позволяет обойти проблему получения плохо обусловленного матричного уравнения, а также приводит к экономии времени счёта благодаря отпадению необходимости в матричной факторизации и последующем матричном умножении. При этом сохраняется, однако, высокая точность расчёта, связанная с использованием глобальных пробных функций.
Анализ СС второго порядка с синусоидальной характеристикой дискриминатора
Рассмотрим нелинейную систему второго порядка с нелинейностью g(x) = sinx. Представим уравнение (1.10) в форме d2x (dx\ (dg\ \dr) -7Г-Т QQ dr \dxj При сохранении формы (1.10), учитывая наличие произведения g (x)x , необходимо в отрезках ряда Фурье для $$) и g 0(t) = g [x(t)\ оставлять на одну гармонику больше, чем их удерживается в x%t) и g0(t) = g[x(t)], и отбрасывание гармоник осуществлять после перемножения членов g (x) и д& В уравнении (3.1) при AQ = 0 и g(x) = sin л:. При AQ & 0 и g(x) = sin л: уравнение (3.1) описывает работу системы синхронизации в предположении, что фазовый дискриминатор системы действует как перемножитель. Для анализа стационарного движения воспользуемся квазигармоническим методом [61]. Приближённо решение дифференциального уравнения примем в виде [61]. х(т) = в + vr + г sin VT где v = colco =pclaQ; г = 0 Г;Г-время,с. Представим нелинейность g0(r) = sinx(r) отрезком ряда Фурье sin(# + vr + r sin vr) = d0+d] sin vr + d2 cos vr, Где d{ (і = 0,1,2) коэффициенты. Получим уравнение стационарного режима, баланс гармоник проведём исходя из дифференциального уравнения (1.10). Поскольку в (1.10) имеется произведение xg (x), то в отрезок ряда Фурье для функции g (x) = cos х необходимо включить (3.1) ви йеьларжшиюит) = doc + dlc sin vr + d2C cos vr + + d3C sin 2VT + d4C cos 2vv Где diC (i - 0,1,2) известны; l2? d3C=— I cos(# + cp + r sin ф) sin 2 pd p = In ar dr Л 2L\ 3x , „dd2 4.,,.. = - J Яят-cos = 2- - = -y2(r)sin(9 = 2 Аналогично находим d4C=2 ґ&/0 а/Л {дв 8r J Mr)—J2(r) cos# Подставив отрезки ряда Фурье для A;(r),sinx(r),cosA:(r) в (1.10) после баланса гармоник получим систему уравнений Х(г,в,Ю = -affcr + dx -dd2a Q2j3 = 0 Y{r,e,Pc) = rPc+d2+ddxafpc=b Z(r,6,fie) = do+pe=0 После исключения в этой системе параметра 9 и при d = 0 находим квадратное уравнение y2z2+a2Qriz-\ = 0 (3.2) где z = afp2;y2 = r2[jQ{r)-J2{r)\2;yx =4r2IJx{r) При а0 - 0,d 0 r2a40(\-d)2d-4[j0(r)- J2(r)l2 +r2p2cd-2[jQ{r) + J2{r)\2 =1 (3.3) Найдём асимптотические зависимости параметров движения х(т) от параметров СС. При d = О и а0 - 0 по (3.2) находим При d Ф О и а0 - 0 в (3.3) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда по (3.2) и (3.3) получаем асимптотические зависимости частоты колебания Д. от амплитуды: fie=K=aQ[jQ(r)-J2(r)],2r-1 2; а0 »0 d = 0 (3.4) = =24/,(/0 -, Вычислим асимптотические значения параметра #. Функции sin в и cos# определяются равенствами cos9 = rWx[jQ(r)-J2(r)\x s\ne = rW2[j0(r) + J2(r)ll на которых при а0 —» 0 получаем: а) при с/ = 0 «м яЬШгМЖ.,,, [ЛМ+ЛМ] я 0 » 0 а0 - 0 cos#«l; д0 «0 Ь) при J 0 sin# = -l; a0 »0 cos0 « r(\ - d)[jQ(r) - J2(r)Y ф - 0 a a0 « 0 я 0 - 0 Таким образом яг 0 -» 0 при д0 «0,d = 0;в -» — при a0 « 0,af 5б 0 (3.5) 3.2. Частотная характеристика асинхронного режима Функцию /?(Д.) определим с помощью квазигармонического метода описанного в [61]. Воспользуемся соотношением a) + d0-P = 0; Q(ico)r + R(ico)h = 0, которое было получено из уравнений баланса Q(p)0 + Q (p)co + R(p)do-/3 = O, rwQ (p) = dQ/dp, по формулам смещения Q(p + ico)r + R(p + ico)h = 0. В вещественной форме соотношение будет иметь вид Х(г, в, со) = rQx + dxRx - d2R2 = 0; Y(r, 0, со) = rQ2 + dxR2 + d2Rx = 0; Z(r,e,co) = a) + dQ-PQl=ReQ(ico); Q2=lmQ(ico); Rl=ReR(io)); R2=lmR(ico). Разрешая первые два уравнения относительно dxu d2, получаем более простую запись системы трансцендентных уравнений dx=rWx, d2=rW2, 6) + d0-fi = Q. 0 0 О _ /\ і Где Wx и W2 находятся по формулам Wx = а0 Рс (1 - d)(l + d pcaQ ) ; W2 = -Pe(\ + PW W + d2Pea?)-1. При d = 0 частотная характеристика задаётся равенством P = Pc(\ + r2/2), где значения функции Рс(г) вычисляется по (3.2). Таким образом, при d = О по Р = Рс(\ + г2/2) может быть найдена зависимость /?(r). Явную зависимость р(г) можно получить и при а0 - 0(d 0) по р = Рс{\ + г2 /2d) и выражения (3.4). В результате находим Р a0{\ + r2/2)[j0(r)-J2(r)]V2rmпри d = 0,а0 0 d = 0 а0 «О = 0 (3.6) Р = Рс(\ + ґ/2d) Jl(r)(\ + 2d/r)npu d 0,а0 Q а0 «О При малых rJ0(r)«l,J,(r)« ,J2(r)«0. Тогда находим явные зависимости Р(РС) соответственно при uf = 0n d Р = Рс + V V W /2 ;/?=& + j 2А (3.7) Эти зависимости справедливы при быстрых вращениях (когда г гП ) 3.3. Исследование полосы захвата СС Характеристическое уравнение для системы порядка имеет вид [61 ] 53V3 + В 2а 2 +ВІ(т + В 0 =0.
Вращательное движение устойчиво при Bi 0(В{ = Bi )(i = 0,1,2,3) и D = ВХВ2 - В3В0 0. Система находится на границе устойчивости, если хотя бы один коэффициентов В; либо разность D обращается в нуль. По этому критерию находим полосу/ захвата СС численными методами. Квазигармонический метод: Ри=РслЪ-г№г(Рсл)1Рс \ (3.8) Где гк,Рск -корниуравнения r2W2[jQ{r)-J2(r)\2 +r2W22[J0(r) + J2(r)]-2 =\ Рассмотри два случая: d = 0 и d . При d = 0 коэффициенты B характеристического уравнения при первой форме решения имеет вид В3 = 4а0г 0; ST} . „ (dz ех\ . _2. fax) + а! -2А ах} л д с Г J \PPcJ v33 В{ =2а0хг А21+А23 + (А32-Д1і) В0=-Д Аік - миноры определителя А Найдём аналитические оценки для критических значений /? = (Зк при а0 - 0. Для таких ограничениях /Зк = Ркс находится по критерию В2 = 0. Ввиду монотонности возрастания /?(/?с) производная этой dP л а /л л dfi А В0 функции 0 при рс є (0,оо), согласно = = —, где dP с dpc А33 А33 Азз=-ЯоЧ2 dd (ddA(dd2) (ddlYdd2 \ dr \dr j \d0j L\d0j -pcm дв Поэтому В0 О при Д. є (0,оо). Пусть г л/2 тогда 2 0, рассмотрим этот случай. При малых а0 в выражении для Вх можно пренебречь величиной (А32 - Ап), тогда Вх записывается в форме Bl = 2я0 xrp. \ r J где р = р{+р2+р3,здесь fddAfdd А = Kd9j -і 2 -2 -і + г (ddAfddA (ddAfddA \дг j \d9j \dOj \дг j fdd 2 + &0 дв аб Г/? YA {дв ЧГУ p3=2 MV(& iY дг \d6j С учётом знака производных —- и —L (і = 0,1,2) сразу находим рх 0. После преобразований получаем / = ІгРі (Т " ВД (r)cos , / о, г V2 ; а/,УП а# V2ry Отсюда р3 О при г 2. Поскольку всегда г г7 =1.841, а вблизи критических значений г «1, то отсюда следует, что 5, 0 по крайней мере при г л/2; при г л/2 заведомо Я2 0 и находится на границе устойчивости. 3.4. Исследование динамических характеристик системы синхронизации при помощи метода Галёркина Рассмотрим систему синхронизации со структурной схемой показанной на рис 1.4, дифференциальное уравнение записано в форме (1.10). \ + ao[l + W(x№) + g(x 0 \dtl) \dt) -- Q где а0=(Птф) 2;/3 = — -;Л0=сІСІтф Запишем уравнение 1.14 в следующей форме: W + dr -=L= [1 + (Л1тф Ш{ \ + g W = (3.9) V"1 У Рассмотрим модель СС (1.7), полоса захвата системы определяется при уэ = 0 критическим значением Рк параметра /5. Рассмотрим асинхронный режим удовлетворяющий соотношению x(t + tc) = x(t) + 27T (3.10) где tc = QTC, Тс - период колебаний, с. Такой режим называется режимом вращательных движений. Он интересен с той точки зрения, что на выходе периодической нелинейности (с периодом 2л) устанавливается колебательный режим с периодом Тс.
Асинхронный режим также представляет интерес, так как предшествует режиму захвата (вхождение в режим синхронизации СС). Как указывалось выше, важной характеристикой асинхронного режима является зависимость /?(/?с) - частотная характеристика асинхронного п 1п режима, где рс = нормированная частота вращательных движении. Колебание g0 (t) = g[x(t)] на выходе нелинейного элемента (дискриминатора) заслуживает особое внимание. Его постоянная составляющая gQ = gQ (t), определяет постоянную составляющую регулирующего напряжения и (t) при любом порядке дифференциального уравнения СС. При выполнении условия (3.10) колебание g0 (t) при любом порядке дифференциального уравнения СС является периодической функцией. Таким образом мы имеем: go(t + tc) = gHt + Q] = g[x(t) + l ] = g[x(t)] = go(t) (З.П) Из (ЗЛО) после дифференцирования для п производных получаем равенство x n)(t + te) = xM(t) Если все п производных существуют. Отсюда следует, что первая производная решения (частота) так же, как и каждая из п производных является периодической функцией с периодом tc и её можно представить в виде ряда Фурье: dx 2ж — = Х%) = d 0 + YJ (a2n-l Sul nCOt + a2n C0S n0)t) = dt n=i tc Интегрируя это соотношение и считывания условия асинхронного режима, находим, что должно выполняться условие d 0 = со и поэтому оказывается справедливым следующее соотношение: x(t) = cot + (я2и-іSU1 n0)t + а2п cos n0)t) (3-12) Существенной чертой асинхронного режима вращательного движения является наличие слагаемого cot - векового члена. Как видно со и /Зс вычисляются одинаково. Найдём полосу захвата и динамические характеристики для фазового детектора любого вида при помощи Глобального метода Вжв акинавые обозначения: Q P = —, T определим как QT , (/) = ф{і) Учтём 3.13,3.14,3.15 в уравнении 3.9 получаем дифференциальное (3.15) уравнение следующего вида: d ф п ат (3.16) Сделаем замену переменных: вековой член заменим на /, х = ф, у = dф I dt, учитывая замену получим следующие уравнения: dx = у 1+ (--!) ( ) 0) у-(гт)Ш-Р) = х(х,у,Р) (ЗЛ7) со Из выражения (3.12) с учётом (3.17) и замены переменных получаем m (3.18) xm (t) = t + (a2n-i sin nt + a2n cos ni) m Ут (0 = 1 + («Я2и-1C0S « - Ш2л sin «0 и=1 Найдем коэффициенты flfj - a2m и /? для заданных TJ, ,U). Произведём подстановку (3.18) в (3.17) и применим для каждой гармоники, получим 2m +1 алгебраических уравнений. Примем fp=fQ,p = aQ і 2N 0 2N% 1 IN fin-M = Т7І (0 s mnti + "4«-i= 0 iV /=i 2tf /2» = 77Z ( cos/i/, + «2д2и= 0 a = (aQ,av...,alm) n 2N /,=(2/-1) (3.19) N w + 1 Систему уравнений (3.19) решим методом Ньютона an =an-J \an)F{an) YoW X „) = /iK) M n = 0,1,2,... (3.20) Где J{an) - матрица Якоби порядка 2m+l для F(an). Получение матрицы Якоби показано в Приложении 7 Из уравнений (3.20) и (3.19) можно получит решение ап для начальных условий а0. Определим начальные условия для частного случая g(x). Пусть g{x) = Asmx (3.21)
Векторное уравнение Колмогорова-Чепмена в двухкольцевой СС
СС с пересчитанными внутрь колец компонентами входного сигнала [3]. На схеме приняты обозначения: хк, хк - фазовые ошибки соответственно в первом и втором кольцах в к-ът момент времени, П7н=шс-ш0, где ш0- нормированная частота на выходе колец, соответствующая нулевому коду по цепи управления, рх=шх-шс, г}к=вс(к + \)-9с(к) , Ъ - коэффициент связи между кольцами, Si, S2 усиления 1-го и 2-го колец соответственно.
Согласно (4.4) функции времени вс и 9Х входят в уравнение с двумя временными индексами. Это исключает для произвольного входного сигнала возможность написания уравнения Колмогорова-Чепмена [3,4]. В то же время для частных случаев, соответствующих конкретным физическим ситуациям, это удается сделать.
Отметим, что при численном решении (4.13), (4.19) бесконечные пределы суммирования можно заменить на конечные, исходя из оценки вероятности перехода изображающей точки на несколько периодов за одну итерацию. Так как условная ПРВ имеет экспоненциальный характер, вероятность такого события резко уменьшается с ростом дистанции, поэтому ряды быстро сходятся. Как показывают расчеты, для типовых параметров входных воздействий и параметров СС при суммировании можно ограничиться 7...11 (т = I = 3.. .5) слагаемыми по обеим суммам без заметной потери точности результата. По бесконечной координате дг3 также имеет смысл ввести ограничение, заменив бесконечный интервал на конечный.
Для численного решения уравнений (4.13), (4.19) с целью оптимизации вычислительных ресурсов была предложена методика, основанная на применении адаптивных шагов и пределов интегрирования уравнений [5]. Подобный подход вызван различным характером распределением вероятности по координатам х\, х\, х\ В частности, по координате х распределение имеет достаточно компактный вид независимо от дисперсии шумовых воздействий, что позволяет поднять точность счета при фиксированном числе разбиений интервала интегдавВЙи г о еньшІнІШЇь и коэффициент связи между кольцами выбирались постоянными исходя из условия эквивалентности двухкольцевой СС и однокольцевой физически нереализуемой (Si=\, Ь = \). В этом случае для малых случайных воздействий дисперсия фазовой ошибки во втором кольце при соответствующем усилении должна быть минимальной, равной полученной для линейного приближения [2]. гармонической помехи с нулевой расстройкой /?і = 0 при Dn = 0,1, А\ = 0,5 для 0, = 0 (а) и 0і= я/2 (б), с последующим переходом к одномерным ПРВ в соответствии с (4.20) для случая гармонического полезного сигнала и гармонической помехи с нулевой частотной расстройкой /?;. Следует отметить несколько особенностей приведенных графиков. Во-первых, влияние гармонической помехи сводится к изменению эквивалентного усиления в кольцах, в том числе до величин, близких к границе устойчивости системы, что проявляется в появлении двумодальности кривых (рис. 4.2а). Увеличение интенсивности помехи усиливает данное явление. Во-вторых, поскольку по отношению к аддитивной помехе система ведет себя аналогично фильтру нижних частот, то с ростом усиления, вызывающем увеличение полосы системы, кривые распределения становятся шире, что соответствует росту дисперсии фазовой ошибки (рис. 4.2а,б). В-третьих, компенсирующая роль первого кольца уменьшается с одновременным уменьшением эквивалентного усиления в обоих кольцах за счет роста фазы между полезным сигналом и гармонической помехой. Этим объясняется тот факт, что кривые на рис. 4.26 менее острые, несмотря на то, что они получены при меньшем эквивалентном усилении. Наконец, увеличение дисперсии аддитивной помехи приводит к разрушению двумодальности (рис. 4.3).
ПРВ носят периодический характер, при этом период совпадает с величиной, обратной частотной расстройке. Высота кривых объясняется двумя факторами: изменением эквивалентного коэффициента усиления (на каждом шаге влияние частотной расстройки следует рассматривать в качестве соответствующего постоянного фазового сдвига, соответственно применимы выводы предыдущего раздела) и переходными процессами, связанными с движением от предыдущей кривой к последующей. Необходимо отметить, что мгновенные ПРВ фазовой ошибки во втором кольце существенно более острые и высокие (рис. 4.46), что говорит о существенно меньшей дисперсии фазовой ошибки на выходе второго кольца по сравнению с первым кольцом (рис. 4.4а).
На рис. 4.5 приведены графики мгновенной дисперсии фазовой ошибки во втором кольце для большой (рис. 4.5а) и малой (рис. 4.56) частотной расстройки гармонической помехи. При фиксированном % существует некоторый диапазон мгновенной дисперсии, что связано с периодическим изменением эквивалентного коэффициента усиления кольца и соответственно периодическим изменением мгновенной ПРВ фазовой ошибки (рис. 4.4). На рис. 4.5 для дисперсии показан диапазон изменения, ограниченный максимальным и минимальным значениями (залитая область). С уменьшением частотной расстройки (рис. 4.56) диапазон дисперсии увеличивается, в основном за счет верхней границы. Объясняется данный результат меньшим диапазоном характеристики детектора, задействованным под реализацию периодического процесса в первом случае, соответственно меньшим диапазоном изменения эквивалентного усиления. Стремление к нулю дисперсии с уменьшением & во втором кольце объясняется характером полезного воздействия, при котором отсутствует динамическая ошибка.
На следующих рисунках приведены зависимости усредненной дисперсии фазовой ошибки от интенсивности гармонической помехи при фиксированной аддитивной помехе (рис. 4.6) и от интенсивности аддитивной помехи при фиксированной гармонической помехе.
Усредненное значение дисперсии рассчитывалось на основе усредненной ПРВ, которая в свою очередь получена как результат суммирования мгновенных ПРВ с последующей нормировкой. Усредненная дисперсия фазовой ошибки характеризует фильтрующие свойства двухкольцевой СС за период разностной частоты полезного сигнала и гармонической помехи. На рисунках горизонтальная линия с цифрой 1 соответствует дисперсии фазовой ошибки на выходе первого кольца при Aj=0 (при А{ 0 дисперсия будет расти). На рисунках подтверждены основные закономерности, полученные выше. Прежде всего значительно увеличивается дисперсия с ростом интенсивности гармонической помехи (рис. 4.6) и с ростом интенсивности аддитивной помехи (рис. 4.7). Сравнение рис. 4.6а, рис. 4.7а с рис. 4.66 и рис. 4.76 показывает, что для усредненной дисперсии заметной зависимости от частотной расстройки не наблюдается.
