Содержание к диссертации
Введение
1 Математический анализ логистических систем социодина мики 12
1.1 Логистические модели социодинамики 12
1.2 Теория Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ 16
1.3 Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ 32
2 Регулярная, волновая и хаотическая динамика в распреде ленной модели саморазвивающейся рыночной экономики 45
2.1 Вывод уравнений распределенной саморазвивающейся рыночной экономики 45
2.2 Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики 54
2.3 Волновые решения распределенной экономической системы 59
3 Прогнозирование временных рядов методами хаотической динамики 66
3.1 Постановка задач прогнозирования экономических индексов и показателей 66
3.2 Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды 67
3.3 Аппроксимация временного ряда решением хаотической динамической системы 80
Заключение 86
Список литературы 89
- Теория Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ
- Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ
- Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики
- Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды
Введение к работе
Актуальность проблемы. В естественных науках, главным образом в физике, математические модели, записанные на языке дифференциальных уравнений или динамических систем, давно служат надежным инструментом исследования. За небольшим исключением, все современные физические теории - электродинамика, квантовая механика, теория упругости, гидромеханика и многие другие — опираются именно на этот язык. Многовековое успешное применение дифференциальных уравнений в естественных науках стало основой их плодотворного использования и в экономию - математическом моделировании. На первом этапе использовались, в основном, методы линейной экономической динамики при изучении устойчивости моделей равновесного рынка. Однако, довольно быстро стало ясно, что линейное динамическое моделирование, хорошо объясняющее постепенное затухание любого вызванного извне отклонения от неизменного равновесия, является совершенно недостаточным для описания более сложных циклических и кризисных социально - экономических процессов. В связи с этим в экономико - математическом моделировании появились новые направления, такие как синергетическая экономика и социодинами-ка, использующие более адекватный аппарат нелинейных динамических систем.
Социодинамика является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной экономико-математической науки, связанным с разработкой математического инструментария для исследования и анализа пространственно-временной эволюции систем, элементами которых являются люди Она исходит из предположения, что состояние исследуемой динамической системы в каждый момент времени можно задать с помощью конечного или бесконечного набора числовых значений некоторых параметров. Множество всех возможных (допустимых) состояний образует фазовое пространство системы. А изменение состояния динамической системы в последующие моменты времени вычисляется, исходя из некоторого эволюционного дифференциального уравнения с нелинейной функцией фазовых переменных и времени в правой части. В случае конечного набора фазовых переменных (параметров состояния) система является сосредоточенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а в случае их бесконечного набора - распределенной нелинейной динамической системой или нелинейной системой уравнений с частными производными.
Нелинейные динамических системы могут иметь периодические любого периода и квазипериодические (многочастотные) решения. Кроме того, являясь детерминированными, такие системы при отсутствии всяких случайных воздействий могут вести себя неупорядоченно, непредсказуемо, хаотически, что является одним из главных и парадоксальных проявлений нелинейности. Поэтому естественно предположить, что именно нелинейные динамические системы являются наиболее подходящими для описания не только различных циклических социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, но также и для описании различных кризисных ситуаций и сценариев перехода к социально - экономическому и общественно - политическому хаосу. Из всего вышесказанного следует, что разработка математических методов анализа сложных нелинейных систем социодинамики, включая методы анализа стационарных, периодических и хаотических решений, является актуальной проблемой.
Целью диссертационной работы являлось проведение аналитического и численного исследования двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики: логистической системы уравнений, т.е. автономной нелинейной трехмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с правыми частями логистического типа, описывающей широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений, и распределенной системы саморазвивающейся рыночной экономики, являющейся нелинейной системой дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа. В соответствии с целью исследования были определены задачи:
анализа устойчивости стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем;
исследования возможных сценариев развития в рассматриваемых системах сложной нерегулярной и хаотической динамики;
разработки методов прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов
Используемые методы. Теоретическую основу диссертационного исследования составили: качественная теория и теория бифуркаций систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, теория динамического и пространственно-временного хаоса в сосредоточенных и распределенных нелинейных динамических системах, теория уравнений с частными производными, теория интегральных преобразований, метод наимень-
ших квадратов, численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна диссертации состоит в разработке оригинальных математических методов анализа сложных нелинейных систем социоди-намики, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными:
доказаны теоремы об условиях устойчивости стационарных и периодических решений нелинейных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;
найдены условия и впервые численно исследованы сценарии перехода к динамическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социо-динамики;
исследована зависимость макропеременных нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики от ее структурных параметров;
найдены условия, доказана теорема существования и получен аналитический вид бегущих по технологическому пространству волн в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;
предложены два новых метода анализа и прогноза временных рядов, являющихся компонентами сложных непериодических решений нелинейных систем социодинамики, лежащих в областях их хаотических аттракторов
По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, на защиту выносится:
-
разработка математических методов анализа и доказательство теорем об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики, описываемых трехмерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида;
-
разработка методов анализа хаотической динамики в нелинейных о д у. с логистическими правыми частями и численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения;
-
разработка метода и численное исследование поведения решений си-
стемы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров;
-
доказательство теоремы существования и получение аналитических решений в виде бегущих волн по технологическому пространству в диффузионной нелинейной системе уравнений саморазвивающейся рыночной экономики;
-
доказательство теоремы о разложении хаотического временного ряда на колебательные негармонические компоненты и разработка метода его прогноза,
-
разработка метода аппроксимации и прогнозирования хаотического временного ряда решением нелинейной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Практическая значимость работы состоит в использовании ее результатов для анализа возможных сценариев развития сложных общественно - политических и социально - экономических систем при изменении различных параметров этих систем, включая возникновение кризисных ситуаций, для прогнозирования таких ситуаций и нахождения путей выхода из них. Разработанные методы и предложенные в работе алгоритмы могут быть использованы также для прогнозирования курсов валют, курсовой стоимости акций различных компаний и ценовых индексов на различные виды товаров.
Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на международных научных конференциях «Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,2006), «Системный анализ и информационные технологии» (САИТ-2007, Обнинск), «Синергетика в естественных науках» (Тверь,2007), «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007, Москва), «Нелинейный динамический анализ» (Санкт-Петерб.,2007), на семинарах Учреждения Российской академии наук Института системного анализа РАН и факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 74 наименований, содержит 95 страниц текста и 15 рисунков.
Теория Фейгснбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса в нелинейных ОДУ
В этом случае двумерные неавтономные диссипативные системы с особыми точками типа ротор могут иметь сколь угодно сложную хаотическую динамику на плоскости, следствием чего и является наличие хаотической динамики в трехмерных автономных системах. Рассмотрим механизм развития такой динамики в результате последовательных бифуркаций изначально устойчивой особой точки типа ротор. Сначала при \i 0 в соответствии с представлением (1.10) происходит рождение вокруг неустойчивого ротора 0(0,0) неавтономной двумерной системы (1.8) простого устойчивого цикла удвоенного периода 2Т, не имеющего самопересечений. Так как в плоскости (г 1, гіг) происходит вращение траекторий решения u(t) системы (1.8) вокруг ротора , то это дает возможность определить монотонно убывающее непрерывное отображение / отрезка одномерной прямой (например, отрезка с щ d прямой щ = 0 такого, что с 0 d) в себя за полуоборот вокруг ротора О. Одномерное отображение /(щ) имеет, очевидно, неустойчивую неподвижную точку ui = 0 и устойчивый цикл (с, d), соответствующий устойчивому циклу удвоенного периода системы (1.8), родившемуся в плоскости (tii, 2) и не имеющему самопересечений.
Пусть с ростом значений параметра ц, 0 величина интервала (с, d) увеличивается и, начиная с некоторого значения параметра /х, траектории двумерной неавтономной системы дифференциальных уравнений (1.8) начинают самопересекаться и закручиваться вокруг ее устойчивого цикла удвоенного периода. В терминах одномерного отображения f(u\) этому соответствует появление точки максимума на его графике в области мі 0, что приводит к появлению двузначности его обратного отображения /_1(ui). Тогда имеет место следующий результат.
Лемма. Пусть в однопараметрическом семействе неавтономных двумерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (1-8) СГ(ІІ)-периодическими коэффициентами в линейной части при \х — 0 происходит бифуркация рооїсдения из ротора простого устойчивого цикла удвоенного периода 2. Тогда в семействе систем (1.8) при возрастании по-ложительных значений бифуркационного параметра \± возлюэюен сценарий перехода к хаосу, первые стадии которого совпадают со стадиями перехода к хаосу при итерациях непрерывного отображения единичного 1.2 Теория Феигснбаума-Шаркопского-Магницкого динамического хаоса п нелинейных ОДУ отрезка в себя, имеющего обратное двузначное отобраоїсенис. Сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгепбау ма удвоения периода родившегося устойчивого предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского
Доказательство леммы вытекает из проведенных выше построений непрерывного одномерного отображения f{u\) отрезка в себя, имеющего двузначное обратное отображения /-1(«i), и из результатов Фейгенбаума [41,42] и Шарковского [43,44] об итерациях таких отображений. При этом периодической или непериодической траектории одномерного отображения f[u\) однозначно соответствует периодическая или непериодическая траектория системы (1.8), лежащая в двумерной плоскости переменных (щ,и2). Все устойчивые циклы рождаются либо в результате бифуркаций удвоения периода предыдущих устойчивых циклов каскада, либо в результате бифуркаций сингулярных аттракторов, а затем претерпевают каскад бифуркаций удвоения периода, становясь неустойчивыми. Неустойчивые циклы не исчезают, а остаются в системе. Под знаком упорядочения о в (1.14) понимается тот факт, что из существования цикла периода п следует существование всех циклов периодов к при к 3 п, причем таких циклов может быть несколько.
Следствие. Существует бесконечное множество интервалов значений параметра д, при которых семейство систем (1.8) имеет регулярные аттракторы (асимптотически орбитально устойчивые периодические траектории пусть даже очень большого периода). Сингулярные аттракторы (замыкания непериодических полуустойчивых траекторий) семейство систем (1.8) имеет в бесконечном числе точек накопления различных бесконечных субкаскадов бифуркаций удвоения периодов различных циклов. Простейшим из таких аттракторов является, очевидно, аттрактор Фейгенбаума - первый непериодический аттрактор, существующий в семействе систем (1.8) при /І = Доо, где значение Доо соответствует пределу последовательности значений параметра д, при которых происходят бифуркации удвоения периода начального цикла.
Субгармонический каскад бифуркаций Шарковского не исчерпывает всей сложности перехода к хаосу в двумерных неавтономных системах обыкно 1.2 Теория Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого динамического хаоса п нелинейных ОДУ венных дифференциальных уравнений. После рождения устойчивого цикла периода три и каскада бифуркаций удвоения его периода при дальнейшем увеличении значений параметра ц происходит приближение витков сингулярных аттракторов к ротору О, что в терминах отображения f(ui) означает стремление /(с) к нулю. Этот процесс описывается гомоклиниче-ским каскадом бифуркаций Магницкого образования устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру - петле сепаратрисы ротора. Но /(щ) не может пересечь линию щ = 0 ни в какой другой точке, отличной от точки щ = 0. Поэтому найдется значение параметра /І. такое, что при /л JJC в отображении f l(u\) появляется третья ветвь! Здесь заканчивается гомоклинический каскад бифуркаций. Дальнейшие бифуркации должны описываться теорией полимодальиых одномерных отображений, имеющих многозначные обратные отображения.
В качестве примера рассмотрим простейшую двумерную неавтономную систему вида (1.8) с периодической главной линейной частью вида (1.11) при pil/i) = 2fi,(32{ ) = 2/i - 4 й\ = 2(/І — 1 + cosu t)u\ + (2sina; — LU/2)U 2 — w2, Uo = (2 Sincjt + to/2)u\ + 2([l — 1 — COSUlt) U2. Укажем некоторые решения из каскада бифуркаций удвоения периода, которые наблюдаются при численном интегрировании системы (1-15) в ходе изменения параметра \i при со — 4. Исходный простой цикл сохраняет устойчивость до значения д « 0.0972. В области значений fj, Є (0.0972,0.1105) является устойчивым цикл периода 2, при значении /І. = 0.112 наблюдается цикл периода 4, при fj, = 0.11363 - цикл периода 8, при /J, = 0.11405 - цикл периода 16 и т.д. Каскад бифуркаций удвоения пери- \ ода завершается образованием аттрактора Фсйгенбаума при JJJ г 0.1143. Далее при увеличении параметра \х в системе рождаются устойчивые периодические решения, следующие согласно порядку Шарковского. Так при значении \i — 0.11451 наблюдается цикл периода 12 = 3-22, при /І = 0.1159 - цикл периода 6 = 3-2, при /і = 0.11794- цикл периода 7, при (і = 0.11908 - цикл периода 5, а при значении fi 0.1222 рождается цикл периода 3. При ji Ft 0.12282 происходит удвоение периода этого цикла, и дальнейшее увеличение величины параметра \х приводит к появлению аттрактора Фейгенбаума на цикле периода 3. При значении д РИ 0.1245 формируется аттрактор Шарковского (см. рис. 1.1).
Регулярная и хаотическая динамика в логистических системах ОДУ
В модели рассматривается неструктурированная замкнутая экономическая система, процесс развития которой происходит в конечномерном евклидовом пространстве Еп, называемом пространством технологий. Каждая точка с пространства Шп соответствует определенной технологии производства некоторого продукта и имеет своими координатами затраты а, (г = 1, 2,..., п) ресурса і на единицу выпускаемого продукта. Для описания основных характеристик экономической системы используются следующие функции: - K(t, с) - плотность распределения капитала в момент t в пространстве технологий, то есть стоимость капитала (суммарная стоимость производительного, товарного и денежного капитала), задействованного предпринимателями в момент t в производстве некоторого потребительского продукта по технологии (по затратам) сив производстве средств производства этого продукта; - Cx{t, с) - плотность распределения производительного (постоянного K(t,c) и переменного H(t,c)) капитала предпринимателей; - Y(t, с) - плотность распределения товарного капитала предпринимателей, равная товарным запасам в момент t произведенного с затратами с потребительского продукта и средств для его производства; - M(t, с) - плотность распределения денежного капитала предпринимателей (платежеспособный спрос предпринимателей на средства производства и рабочую силу для производства продукции по технологии с); - Di(t,c), 2?г(,с) и D (t,c) - платежеспособный спрос соответственно предпринимателей, трудящихся и государства на произведенный по технологии с потребительский продукт; - u(t, с) - распределение нормы прибыли в момент t в пространстве технологий; - pcT{t, с,) и рм{к, с,) - векторы плотности потока соответственно производительного и денежного капитала, то есть количество капитала, прошедшего через единицу поверхности некоторого объема пространства технологий Rn в единицу времени; - PDi{t, с, ), PD2{ I CI ) и PD3{ti ci ) " векторы плотности потока платеже способного спроса соответственно предпринимателей, трудящихся и государства на потребительские товары, определяемые как количество денежных средств, прошедших через единицу поверхности некоторого объема пространства технологий Жп в единицу времени; - Ri(t, с), R2{t, с) и Rii(t, с) - текущее потребление соответственно предпринимателями, трудящимися и государством потребительских товаров, произведенных по технологии с.
Так как норма прибыли в производстве товаров однозначно определяет норму прибыли в производстве средств производства этих товаров, то этим оправдано введение в рассмотрение одной функции u(t,c) для каждого вектора технологического пространства.
Согласно теории прибавочной стоимости К. Маркса, основанной на строгих законах экономического развития, справедливых и в наше время, саморазвитие рыночной экономики осуществляется за счет движения и самовозрастания капитала, которое в свою очередь, происходит в процессе кругооборота последнего посредством создания трудящимися прибавочной стоимости.
Рассмотрим подробно процесс кругооборота капитала, принимая его длительность за единицу. Первая стадия кругооборота капитала происходит в сфере обращения. Денежный капитал предпринимателей М затрачивается на покупку средств производства (постоянного капитала АК) и рабочей силы (переменного капитала АН). Соединение предпринимателем постоянного и переменного капитала означает их производительное потребление и дает начало следующей стадии кругооборота капитала - производству стоимости и прибавочной стоимости. Капитал, сменив денежную форму М на форму производительного капитала {Ст = К + Н) продолжает движение в сфере производства. При этом стоимость производительного капитала уменьшается на часть стоимости переменного капитала оиН, которая выплачивается трудящимся в виде заработной платы и на часть стоимости \iK постоянного капитала вследствие выбытия оборотного капитала, а также физического и морального износа постоянного капитала. Одновременно в технологическом пространстве возникают потоки производительного капитала p (t,c, ) из мест с менее высокой в места с более высокой нормой прибыли. Следовательно, для произвольного объема v пространства Жп уравнение, описывающее изменение производительного капитала имеет
Вывод уравнений распределенной саморазвивающейся рыночной экономики ВИД — [cT{t,c)dv= [{-иН - fiK + АК + AH)dv - [ pT(t,c,-)dS. № Jv Jv JS Переходя в последнем интеграле к интегрированию по объему и в силу произвольности объема интегрирования v получаем дСт - -divert , с, ) + АК - цК + АН - шН. (2.1)
В результате производства капитал приобретает товарную форму, причем стоимость вновь произведенных товаров складывается из амортизации иК и вновь созданной трудящимися стоимости, которая состоит из стоимости переменного капитала шН и прибавочной стоимости иСт- Произведенные по технологии с товары покупаются предпринимателями R\, трудящимися i?2 и государством і?з- Таким образом, уравнение изменения товарного капитала имеет вид dYiQ =vK + wH + иСт - (Дх + R2 + R3). (2.2)
Продавая произведенные товары на рынке, предприниматель реализует в деньгах заключенную в них стоимость. Капитал меняет товарную форму на денежную, причем источником прироста денежного капитала предпринимателей является идущая на накопление часть / средств, вырученных от продажи потребительских товаров, а стоком - стоимость вновь авансированного производительного капитала АК + АН. Вместе с тем, в технологическом пространстве возникают потоки денежного капитала рм{ї,с, ) направленные в места с более высокой нормой прибыли. Это означает стремление ссудных капиталистов вкладывать свои деньги в развитие таких производств, которые обеспечивают получение наибольшей прибыли и, следовательно, большего процента на ссудный капитал . Таким образом, применяя тот же подход, что и в уравнениях (2.1) - (2.2), получаем уравнение движения денежного капитала
Качественный анализ зависимости макропоказателей от структуры рыночной экономики
Следовательно, для выделенной компоненты ряда X(t) вида (3.4), соответствующей значению a i локального максимума функции д{а) и значению величины ее модуля А;, найденному описанным выше способом, имеет место формула: е- /2(1_е-ш а /2) e-42a?/2(l-e-w?"?/2) Zi(t) = ХІУІ(І) = \LaiX{t) = xk(t) _,2,ЛЛ _„,2„2/о( « a;i(i) к=1 Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема 3.2. Длл любой функций X(t) вида (3.4), являющейся конечной суммой гармонических колебаний X{{t) с произвольными амплитудами и достаточно далекими друг от друга частотами щ такими, что Wfc/ i 1 или ujk/uii С 1, функция Zi(t) — XiLatX(t) с точностью до краевых аффектов совпадает с компонентой X{(t) ряда X(t). При вычислении колебательной компоненты ряда Zi(t) интегральное преобразование La%X{t) вида (3.2) применяется к функции X(t) с а — оц, где д (а{) = 0. Функция д{а) вычисляется, по формуле (3.3), а модуль Aj компоненты Z{(i) находится по формуле (3.5).
Доказанная теорема имеет важное самостоятельное значение, так как дает возможность разложить на колебательные компоненты произвольную конечную сумму гармонических колебаний с произвольными, не обязательно затухающими с ростом частоты амплитудами, что имеет место при разложении функций в ряды Фурье. Покажем теперь, что результат Теоремы 3.2 может быть обобщен на произвольные непрерывные интегрируемые функции X(t) с нулевым средним на отрезке [0,Г].
Определение. Функцию Zi(t) = XiLaiX{t) назовем непериодической колебательной компонентой произвольной непрерывной на отрезке [0,Т] функции X(t) с нулевым средним значением, если величина аг- в интегральном преобразовании (3.2) определена из условия локального максимума функции д(а) вида (3.3), построенной по функции X(t).
Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды При этом квазичастота компоненты zi(t) определяется по формуле V21n2 и. _ а ее модуль - по формуле т j X(t)La.X(t)dt f(LaiX(t))4t о Итак, локальному максимуму функции д(а) с наибольшим значением параметра а (пусть это значение будет ai) соответствует компонента zi(t) — \iLaiX(t) исходного непрерывного интегрируемого временного ряда X(t) с нулевым средним, имеющая наименьшую квазичастоту u i или наибольший квазипериод Ті = 2-к/ш\. Такую колебательную непериодическую компоненту назовем первой или главной собственной функцией нелинейной колебательной среды исходного временного ряда. Квазиамплитуда Ь\ главной собственной функции находится как средняя амплитуда всех колебаний компоненты z\(t) на отрезке [0,Т].
Для выделения второй и последующих непериодических компонент (собственных функций) исходного временного ряда X(t) вычтем из него первую компоненту zi(i), и полученную разность Xi(t) — X(t) — z\{t) будем рассматривать в качестве нового исходного ряда на отрезке 0 t Т. Применяя к ряду Xi(t) описанную выше процедуру, выделим из него вторую компоненту, соответствующую локальному максимуму функции дг(а), достигаемому при наибольшем значении параметра а = a i- Ясно, что с 2 о.\ и, следовательно, выделенная таким образом из исходного ряда вторая компонента (вторая собственная функция) z if) имеет большую квазичастоту to 2 и меньший квазипериод. Ее квазиамплитуда 62 находится как средняя амплитуда всех колебаний компоненты Z2(t) на отрезке [0,Т]. Эта процедура выделения из исходного ряда X{t) все более высокочастотных компонент происходит до тех пор, пока на некотором шаге очередная разность Xn(t) = Xn-i(t) — zn(t) не будет удовлетворять при некотором малом є условию
Произвольная непрерывная на отрезке [О, Т] функция X(t) с нулевым средним значением может быть представлена с любой точностью в виде конечной суммы ее непериодических колебательных компонент - собственных функций нелинейной среды X(t) = ]Г zk{t) = J2 Ашй = X) Л а -і W, (3.6) A;=l k=l k=l где Xk(t) = Xk-i(t) — zk(t), Xo(t) = X(t). Величина ak в интегральном преобразовании (3.2), примененном к функции Xk-i{t), определяется из условия наибольшего значения аргумента из всех локальных максимумов функции д(а) вида (3.3), построенной по функции Xk_\{t). При этом квазичастота компоненты zk(t) определяется по формуле ик = , а ее модуль - по формуле Т /AVl()baA-l( )cft \ - f(LakXk (t))4t о Квазиамплитуды Ьк собственных функций находятся как средние амплитуды всех колебаний компонент zk(t) на отрезке [О, Т].
Прогноз значений временного ряда как сумма прогнозов значений собственных функций его нелинейной колебательной среды. Результатом разложения исходного непрерывного и интегрируемого на отрезке [О, Т] временного ряда x(t) на непериодические колебательные компоненты - собственные функции его нелинейной колебательной среды является представление ряда на отрезке [0,Т] с произвольной точностью є в виде: x(t) &a + bt + 2zk(t). /0=1 Прогноз значений исходного ряда x(t) вне заданного отрезка [О, Т] осуществляется в виде суммы прогнозов значений отдельных компонент zk{t) ряда X(t) = x(t) — a — bt, имеющего пулевое среднее, с добавлением к полученным величинам значений линейной функции а + Ы. Прогноз значений 3.2 Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды каждой из компонент Zk(t) ряда X(t) при t Т вне заданного интервала времени [0,Т] осуществляется функцией bksm.{ujkt + ipk), гладко состыкованной с компонентой Zkit) в краевой точке Т посредством фазы рь. Построенный таким образом прогноз вне интервала времени [О, Т] исходного ряда x(t) может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний п x(t) = а + Ы + 2. bk sm(cjkt + (fk), t T, іь=і где bk, и к и 4 к - квазиамплитуда, квазичастота и фаза соответствующей собственной функции нелинейной колебательной среды Zk{t).
Разложение в ряд по собственным функциям нелинейной среды
Из приведенных формул видно, что коэффициенты при почти всех квадратичных членах в этих уравнениях ничтожно малы и, по-видимому, их можно отбросить, сделав ответственными за оптимизацию в этих уравнениях только линейные члены и некоторые квадратичные члены, что значительно сократит размерность пространства параметров. Этот способ повышения эффективности процесса оптимизации предполагается исследовать в дальнейшем.
Таким образом, в настоящей главе диссертации предложены два строгих математических метода аппроксимации и прогнозирования произвольных хаотических временных рядов. Первый из них заключается в представлении ряда с произвольной точностью в виде конечной суммы его различных колебательных компонент - собственных функций нелинейной среды, что является более предпочтительным и естественным по сравнению с методами гармонического и регрессионного анализа. Доказаны теоремы о сходимости такого разложения и рассмотрен ряд модельных примеров.
Второй метод заключается в аппроксимации временного ряда решением нелинейной трехмерной хаотической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана теорема и предложен конкретный алгоритм оптимального построения такой системы, свободный от некоторых недостатков широко известного "вложения методом задержек"Ф.Такенса. Рассмотрен модельный пример предложенного оригинального подхода. Заключение
В диссертационной работе проведено аналитическое и численное исследование двух классов нелинейных систем уравнений социодинамики, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Проанализирована устойчивость стационарных и периодических решений рассматриваемых нелинейных систем, исследованы возможные сценарии развития в этих системах сложной нерегулярной и хаотической динамики, разработаны новые методы прогнозирования данных наблюдений, являющихся компонентами нерегулярных траекторий рассматриваемых систем, лежащих в областях их хаотических аттракторов. В ходе проведенных исследований получены следующие основные результаты.
1. Разработаны математические методы анализа и доказаны теоремы об устойчивости стационарных и периодических решений логистических систем социодинамики, описываемых трехмерными нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с логистическими правыми частями общего вида.
2. Разработаны математические методы анализа хаотической динамики в нелинейных логистических системах социодинамики.
3. Проведено численное исследование сценариев перехода к общественно-политическому и социально-экономическому хаосу в трех конкретных логистических моделях социодинамики: эволюционирующего рынка ценных бумаг, макроэкономического развития и формирования общественного мнения.
4. Разработаны математические методы и проведено численное исследование поведения решений системы макроэкономических показателей в модели саморазвивающейся рыночной экономики при изменении ее структурных экономических параметров.
5. Найдены условия, доказана теорема существования и получены ана Заключение литические решения в виде бегущих волн капитала и нормы прибыли по технологическому пространству в двух начально-краевых задачах для диффузионной нелинейной системы уравнений саморазвивающейся рыночной экономики.
6. Доказана теорема о разложении хаотического временного ряда данных наблюдений на колебательные негармонические компоненты и разработан метод прогнозирования такого ряда.
7. Доказана теорема об аппроксимации и предложен метод прогнозирования хаотического временного ряда данных наблюдений решением нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Полученные результаты и доказанные теоремы позволили провести полный анализ устойчивости стационарных состояний и периодических решений в трехмерных нелинейных автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений логистического типа общего вида, описывающих широкий круг социально - экономических и общественно - политических процессов и явлений. Разработанные математические методы позволили также установить, что логистические системы обыкновенных дифференциальных уравнений обладают хаотической динамикой и что переход к хаосу в таких системах происходит в соответствии с универсальным сценарием Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого через субгармонический и затем гомоклинический каскады бифуркаций устойчивых предельных циклов. Разработанные в диссертации численные методы анализа логистических систем обыкновенных дифференциальных уравнений позволили обнаружить и проинтерпретировать ФШМ-сцснарии перехода к социально -экономическому и общественно - политическому хаосу в трех конкретных социодинамических моделях: макроэкономического развития, эволюционирующего рынка ценных бумаг и формирования общественного мнения.
Использованные в диссертации математические методы анализа решений сложных нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений дали возможность исследовать поведение решений системы макроэкономических показателей саморазвивающейся рыночной экономики при изменении структурных экономических параметров, характеризующих платежеспособный спрос трудящихся, подвижность капитала, инертность населения по отношению к покупке потребительских товаров и органическое строение капитала. В диссертационной работе численно показано, что значительное уменьшение платежеспособного спроса трудящихся, состоящего в сокращении объема их заработной платы, малая подвижность капитала,
