Введение к работе
Актуальность темы. Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, издавна привлекающим внимание механиков и математиков. Интерес к явлению волнообразования на свободной поверхности жидкости, находящейся под действием гравитационных и других сил, объясняется распространенностью этого физического явления и многочисленными практическими приложениями. В частности, это задачи проектирования и эксплуатации судов, освоения богатств Мирово-- го океана, обеспечения безопасности мореплавания и строительства гидротехнических сооружений в прибрежной зоне. При этом теория волновых движений жидкости представляет значительный интерес и с математической точки зрения.
Исследования в данной области имеют долгую, почти трехвековую историю. Среди основателей теории назовем имена Л.Эйлера, Ж.Л.Лагранжа, О.Л.Коши, С.Д.Пуассона, Дж.Дж.Стокса и лорда Кельвина. Существенный вклад в теорию в 20-м столетии внесли Г.Лэмб, Т.Х.Хавелок, Н.Е.Кочин, М.А.Лаврентьев, Л.Н.Сретенский, М.Д.Хаскинд, Дж.Дж.Стокер, Ф.Джон и другие Тем не менее, несмотря на огромное количество работ теория еще далека от завершения. В первую очередь среди недостаточно исследованных математически (и важных для практических приложений) укажем на задачи о взаимодействии волн с погруженными в жидкость телами. Большая часть работ в этой области посвящена численным исследованиям и прикладным вопросам, а почти все математически строгие результаты связаны с линейными моделями теории волн. Значительное продвижение в исследовании нелинейных моделей в работах Л.В.Овсянникова, Т.Б.Бенджамина, В.И.Налимова, П.И.Плотникова, К.Дж.Амика, Дж.Ф.То-ланда и др. в основном относится к ситуации, когда в жидкости отсутствуют погруженные тела.
В то же время для линейных задач, описывающих взаимодействие жидкости с телами, многие важные теоретические вопросы остаются открытыми. Это, в частности, касается вопроса о корректности соответствующих краевых задач, в исследова-
ний которого, в том числе при участии автора, в последние годы достигнут существенный прогресс. Исследования проводились в период 1993-2006 гг. в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИПМаш РАН по темам с per. №№ 01.9.20005487, 01.9.70008193, 01.200.201840 и в рамках проектов РФФИ, per. №№ 01-01-00973, 02-01-06051, 05-01-14029
Состояние вопроса. В данной работе рассматриваются два основных класса стационарных задач линейной теории поверхностных волн, описывающих взаимодействие жидкости с телами
Задачи об установившихся гармонических по времени колебаниях жидкости при наличии свободной поверхности и твердых границ. Такие задачи, в частности, описывают процессы излучения волн и их рассеяния препятствиями.
Задачи об установившихся волнах, вызываемых поступательным движением полностью или частично погруженных тел. Они носят собирательное название задача Неймана-Кельвина
Первые математически обоснованные результаты для этих задач были получены в 30-50-е годы 20-го в., в частности, построены функции Грина, при помощи которых задачи сводились к интегральным уравнениям. В дальнейшем ряд достижений линейной теории поверхностных волн связан с именами Ф.Эрселла, Р. М.Га-рипова, Б.Р.Вайнберга, В.Г.Мазьи, СЮ Доброхотова, Н.Г Кузнецова, М.Мак-Айвер, Ф.Мак-Айвера и др.
Остановимся подробнее на некоторых результатах, относящихся к исследуемым классам задач. Существующие доказательства теорем единственности основаны на трех основных схемах: метод Джона 14, тождество Мазьи И и метод, основанный на граничных интегральных уравнениях и теореме об обратимости оператор-функции, зависящей аналитически от параметра [3]. Обзор результатов может быть найден в книге W. Еще две общие схемы доказательства единственности и получения оценок параметров задачи,
'"John F. Сотт. Pure Appl Math 1950 V 3(1) Р 45-101. 12,Мазья В.Г. Тр. семинара С Л.Соболева. 1977 №2 С 57-79 13'Вайнберг Б Р., Мазья В Г. Тр Моек мат общества 1973 Т 28 С 35-56 |41Kuznetsov N.G., Maz'ya V.G., Vainberg В R. Linear Water Waves A Mathematical Approach. Cambridge: Cambridge University Press, 2002
при которых может нарушаться свойство единственности, предложены в работах автора [13,16].
Указанные подходы имеют ограничения на геометрическую конфигурацию препятствий и параметры задачи. Оказывается, что это диктуется существом проблемы. В 1996 г. М.Мак-Айвер в работе І5! построила первый для данного класса задач пример неединственности, доказав существование локализованных (собственных) мод колебаний для изолированных значений частоты, погруженных в непрерывный спектр. Предложенная в работе И для задачи об излучении и рассеянии волн, так называемая «обратная процедура», была развита для построения локализован-- ных мод для различных линейных задач (в том числе в работах автора [1,4,6]).
Другой тип неединственности, впервые обнаруженный на математическом уровне строгости в работе I6!, возникает в задаче о движении частично погруженных тел. Плоская задача для всех значений скорости имеет семейство решений, зависящее от параметров, количество которых определяется количеством точек пересечения контуров со свободной поверхностью. Обзор известных дополнительных условий для плоской задачи можно найти в книге И1. Для трехмерной задачи о движении частично погруженных тел не существует математически строгих результатов, касающихся вопроса о дополнительных условиях. В данной работе исследуется постановка плоской задачи, основанная на асимптотиках решения в дальнем поле и формуле для сопротивления.
Задача о колебаниях жидкости значительно лучше изучена в случае, когда жидкость имеет ограниченную свободную поверхность и имеется только точечный спектр. При этом, такие свойства собственных значений как кратность и зависимость от геометрических параметров для рассматриваемого в работе класса задач практически не исследовались. В частности, известно лишь несколько результатов о простоте, полученных в последние годы (см. [12,14]).
|5|McIver М J Fluid Mech 1996 V 315 Р 257-266
I6|UrsellF Proc 13th Symp Naval Hydrodynamics (Tokyo, 1980). Shlpbuild Res Assoc Japan, 1981. P.245-251
Целью работы является изучение вопроса о корректности постановок линейных задач теории поверхностных волн, описывающих взаимодействие жидкости с телами. Исследование с одной стороны включает в себя описание классов препятствий и параметров задачи, для которых имеет место однозначная разрешимость краевой задачи, с другой — нахождение условий, при которых однородная краевая задача имеет нетривиальные решения, исследование свойств таких решений, построение примеров неединственности в явном виде.
Методика исследований. Для решения поставленных задач используются методы интегральных уравнений, преобразований, тождеств и неравенств, принципы максимума, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, в частности, теории аналитических функций и оператор-функций нескольких аргументов, спектральной теории линейных операторов. Также используются результаты теории эллиптических операторов в областях с особенностями границы.
Достоверность. Обоснованность научных положений, а также достоверность полученных результатов вытекают из того, что проведенные исследования не противоречат выводам работ других авторов, в частности, являясь их продолжением и развитием.
Научную новизну определяют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту:
Построение локализованных мод для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости — впервые не только выше, но и ниже частоты отсечки и для произвольного количества частично погруженных тел. Ниже частоты отсечки класс контуров, для которых доказано существование локализованных мод, существенно расширен при помощи найденного принципа монотонности собственных значений.
Новый признак единственности (отсутствия локализованных мод) для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости ниже частоты отсечки. Получение оценок параметров, для которых возможно существование собственных колебаний жидкости в присутствии частично и полностью погруженных тел.
- Новый общий признак единственности для задачи об излучении
и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества тел
произвольной формы. Получение оценок параметров, для которых
возможно существование собственных частот колебаний жидкости
для плоских и трехмерных задач.
Новый общий критерий (необходимое и достаточное условие) единственности для плоской и трехмерной задачи об излучении и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества погруженных тел произвольной формы. Построение эффективного численного алгоритма для проверки свойства единственности.
Обнаружение новых классов препятствий с особыми точками границы — точками возврата в плоском случае и линиями заострения — в трехмерном, для которых отсутствуют локализованные моды для всех значений частоты колебаний.
Изучение зависимости дискретного спектра от геометрических параметров на примере задачи о колебаниях полупространства под твердой крышкой с двумя прорезями. Доказательство простоты всех собственных значений, монотонности собственных частот как функций расстояния между прорезями. Новые формулы для производных собственных частот как функций геометрического параметра.
Новый признак единственности для задачи об установившемся движении полностью погруженных тел. Для плоского случая и жидкости бесконечной глубины получение оценок параметров задачи, для которых возможно нарушение единственности.
Доказательство разрешимости и единственности решения задачи, описывающей докритическии режим движения погруженных тел в слое конечной глубины.
Новые дополнительные условия, замыкающие плоскую задачу о движении тандема частично погруженных тел в жидкости бесконечной глубины. Доказательство однозначной разрешимости предложенной постановки для почти всех значений скорости. Построение примеров неединственности, впервые демонстрирующих возможность существования таких исключительных значений.
Новая схема доказательства разрешимости для задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью. Доказательство одно-
значной разрешимости плоской задачи о движении тел для всех значений параметров задачи кроме возможно пустого аналитического множества меньшей размерности. Построение первых примеров неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоев различной плотности.
Практическая значимость. Результаты работы могут быть полезны в гидродинамической теории качки корабля, геофизической гидродинамике и других прикладных областях. Ввиду известной связи локализованных мод с явлением резонанса (см., например, I7)) изучение условий существования или отсутствия локализованных мод имеет непосредственное отношение, в частности, к обеспечению безопасности эксплуатации морских инженерных сооружений. Кроме того, наличие локализованных мод проявляется при реализации численных алгоритмов, в частности, приводит к бесконечным гидродинамическим нагрузкам и другим особенностям численных схем (см., например, 181).
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены автором на семинарах Института проблем машиноведения РАН, Института проблем механики РАН, Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН, кафедры гидроаэродинамики СПбГУ, Математического департамента университета г. Лаф-боро (Великобритания), Математического департамента университета г. Осло (Норвегия), Санкт-Петербургском семинаре по вычислительной и теоретической акустике Научного Совета по акустике РАН, семинаре «Математические вопросы распространения волн» Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова. Результаты исследований докладывались на международных конференциях «Асимптотики в механике» (С -Петербург, Морской технический университет, 1994, 1996), международном симпозиуме по гидродинамике судна, посвященном 85-летию со дня рождения A.M.Васина (С.-Петербург, 1995), 10-13, 17, 20 и 21-м международных семинарах по волнам на воде и плавающим телам (IWWWFB, 1995-1998, 2002, 2005), международ-
17)McIver М. Proc 12th Intl. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Carry-le-Rouet, France, 1997). P. 177-181. [8INewman J N J Eng Math. 1999. V 35 P. 135-147
ной конференции «Дни дифракции» (ПОМИ, С.-Петербург, 1997— 2001, 2004, 2006), на XXVIII-й летней школе «Современные проблемы в механике» (АРМ) (С.-Петербург, 2000), 6-й международной конференции по математическим и численным аспектам распространения волн «Waves'2003» (Финляндия, Ювяскюля, 2003).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 32 работы, в том числе одна монография, в автореферате приведены 17 наиболее важных. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы, включающего 214 наименований, и трех приложений. Работа изложена на 316 страницах текста (включая 27 страниц списка литературы и приложений), подготовленного в издательской системе Ш"еХ, и содержит 45 рисунков.
