Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотический подход к описанию эволюции возмущений и теории устойчивости пристеночной струи. Асимптотика верхней и нижней ветвей нейтральной кривой 13
1.1. Постановка задачи 13
1.2. Трехпалубная теория свободного взаимодействия возмущений в плоской струе несжимаемой жидкости. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой 17
1.2.1. Асимптотические разложения в основной части течения 17
1.2.2. Асимптотические разложения в пристеночной нелинейной области 19
1.2.3. Линейное приближение 21
1.2.4. Неустойчивая мода в спектре собственных колебаний. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой 25
1.2.5. Асимптотика функции эйри в окрестности отрицательной вещественной оси 28
1.2.6. Анализ бесконечного спектра собственных решений 30
1.2.7. Некоторые решения дисперсионного соотношения 36
1.3. Пятипалубная теория устойчивости пристеночной струи. Асимптотика верхней ветви нейтральной кривой 39
1.3.1. Решение уравнений для возмущений в основной толще пограничного слоя 40
1.3.2. Критические и вязкие критические слои 43
1.3.3. Сращивание асимптотических разложений 45
1.3.4. Вывод дисперсионных соотношений 47
Глава 2. Четырехпалубная асимптотическая теория взаимодействия возмущений в пристеночной струе 50
2.1. Четырехпалубная асимптотическая теория сильно нелинейных Возмущений 50
2.1.1. Вывод уравнения кортевега-де вриза 50
2.1.2. Фазовая плоскость автомодельных решений уравнения кортевега - де вриза 53
2.1.3. Роль вязкого пристеночного подслоя 57
2.2. Осциллирующая стенка 59
2.2.1. Генерация солитонов на неоднородности поверхности 70
Глава 3. О нейтральных кривых в задаче устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля 73
3.1. Нелинейное взаимодействие пристеночных слоев с ядром течения куэтта-пуазейля 73
3.2. Асимптотическая теория устойчивости течения куэтта-пуазейля 79
3.3. Свойства дисперсионного соотношения 82
3.4. Предельный случай для дисперсионного соотношения 87
Глава 4. Асимптотическая теория устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля 90
4.1. Введение 90
4.2. Ядро возмущенного течения куэтта-пуазейля 93
4.3. Трехъярусная схема возмущений: uw = 0(re~2^7) 96
4.4. Многоярусная схема возмущений с отделенными от стенок критическими слоями: uw — 0(ret2ln) 103
4.5. Структура возмущений с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой: uw = 0(re~2/13)
4.6. Структура возмущений с одним критическим и двумя пристеночными слоями: uw 115
Выводы 122
Список литературы
- Трехпалубная теория свободного взаимодействия возмущений в плоской струе несжимаемой жидкости. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой
- Вывод уравнения кортевега-де вриза
- Свойства дисперсионного соотношения
- Многоярусная схема возмущений с отделенными от стенок критическими слоями: uw — 0(ret2ln)
Введение к работе
Введенная в конце шестидесятых годов концепция самоиндуцированного давления оказалась исключительно плодотворной и во многом определила облик современной теории пограничного слоя с взаимодействием и отрывом. Согласно этой концепции градиент давления, в отличие от классических представлений Прандтля [1], индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса [2-8] состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.
Наиболее впечатляющим результатом названной теории явилось раскрытие внутренней структуры течения вязкого газа в окрестности точки отделения нулевой линии тока от тела, включая описание самой сложной из подобластей в глобальной картине поля скоростей, а именно, той подобласти, где меняется знак параболичности системы уравнений Прандтля. Применение метода внешних и внутренних асимптотических разложений [9-16] и построение решения уравнений Навье-Стокса в виде рядов по обратным степеням числа Рейнольдса в трех расположенных друг над другом слоях (палубах) фактически придавало совершенно иной, неклассический, смысл уравнениям для пристеночной зоны течения: хотя эти уравнения сохраняли вид уравнений Прандтля, градиент давления уже не являлся известной функцией и подлежал определению из решения нетривиальной краевой задачи.
Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения [17-20], причем производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое, если скорость набегающего из бес-
конечности потока сверх- либо дозвуковая. В двух других подобластях, а именно, в основной толще пограничного слоя и внешнем потенциальном потоке, движение газа квазистационарно, а производные по времени входят лишь в асимптотические уравнения для высших приближений.
Наоборот, при трансзвуковых скоростях движения газа зависимость искомых функций от времени оказывается существенной именно во внешней потенциальной части течения. Последнее обстоятельство составляет важную особенность распространения предложенной в [21] асимптотической модели взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым потоком на нестационарные движения [22]. Здесь квазистационарными оказываются поля скоростей в основной толще пограничного слоя и в вязком подслое. Однако обобщение [22] асимптотической схемы [21] не является единственно возможным. Альтернативный подход [23] к построению трехслойной теории нестационарных трансзвуковых течений имеет следствием ситуацию (не встречавшуюся ранее в асимптотическом анализе), когда члены с производными по времени входят как в систему уравнений для вязкого пристеночного подслоя, так и в уравнение для внешних потенциальных возмущений (которое, в отличие от аналогичного уравнения [22], становится линейным).
Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями теории [2-8], то асимптотический анализ пульсационных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверх- и дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырехслойной асимптотической теории [24, 25], существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса [26] и Бенджамина-Оно [27, 28] к описанию эволюции возмущений.
Развитые в [24, 25] представления позволили рассмотреть трансзвуковые течения с четырехслойной структурой области взаимодействия [29]. Как и в [22], волновая картина включает существенно нестационарные области в нижней пристеночной части пограничного слоя и в верхнем потенциальном поле
потока. Однако само асимптотическое разделение области самоиндуцированного давления на четыре подслоя связано с рассмотрением класса возмущений, характеризующихся иной по сравнению с [22] нормировкой независимых переменных и искомых функций, в частности, большей относительной величиной амплитуд. Полученное в [29] интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает процесс свободного взаимодействия, приводится к уравнениям Бюр-герса либо Бенджамина-Оно при выходе из трансзвукового диапазона (в сторону увеличения либо уменьшения числа Маха). В этом смысле развитая в [29] теория является аналогом подходов [24, 25], предложенных для отличающихся от единицы на конечную величину чисел Маха.
Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [30], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [31], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, которое взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [32], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам давления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [33-37].
Таким образом, разделение поля возмущенного потока на ряд расположенных друг над другом подслоев и последующее асимптотическое сращивание решений в каждом из них оказалось адекватным математическим приемом для асимптотического описания не только течений в пограничных слоях, но и внутренних течений в каналах и трубах. Элементы новизны по сравнению с известными результатами вносят выполненные в [38-42] исследования, в которых
обнаружены явления и особенности движений вязкой жидкости, ранее остававшиеся вне поля зрения, но, как оказалось, поддающиеся анализу в рамках теории свободного взаимодействия.
Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [43-46]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [47] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с многослойной структурой [48-51].
Круг проблем неклассической теории пограничного слоя, который поддается исследованию посредством современных асимптотических методов, обрисован в обзорах [3, 5, 52-62] и в монографиях [8, 63, 64], по которым может быть восстановлена разработка интересных и важных вопросов, не затрагиваемых в дальнейшем изложении.
Как отмечено выше, нестационарный вариант трехпалубной теории свободного взаимодействия подразумевает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [17, 18, 22]; зависимость от времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [31]. Однако
начало исследований, в которых включение временной переменной в уравнения трехпалубной схемы трактуется не как реализация формальной возможности модификации некоторой известной асимптотической теории, а как принципиальный элемент для правильного описания нового класса физических механизмов, положено в работах [19, 20, 22]. Найденное в [20] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны демонстрирует существование нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных: волна бежит вверх по потоку, если градиент давления достаточно велик, и вниз по потоку, если инкремент роста градиент давления не превышает критической величины, найденной в ранней работе [65].
Дополнительный интерес к асимптотическим подходам при описании течений в случае больших чисел Рейнольдса придает достаточно глубокая связь между теорией устойчивости пограничного слоя и свободным взаимодействием [66, 67]. Классическая задача об устойчивости пограничного слоя уже в своей формулировке отражает асимптотическую природу объекта изучения, ибо сам пограничный слой существует для чисел Рейнольдса, стремящихся к бесконечности.
То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [66] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [68-72]. При этом именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [70], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.
Общие свойства выведенного в [20] дисперсионного соотношения исследованы в [73-75]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [76-78], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубой; таким образом, как отмечается в [20], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.
Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра). Найденное в [65] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [20]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [2-3]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [79] как специфическая форма потери устойчивости.
Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [80]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.
Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [81] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [82] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [66, 67] применительно к внешним течениям ив [38, 83] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [84-86].
Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения обсуждается в [87]. Теория [66, 70], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старших членах асимптотических рядов, свободна от недостатка присущего исследованиям в предположении о плоскопараллельном невозмущенном течении, и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.
Предлагаемая работа, основные результаты которой опубликованы в [88-95] (еще три работы автора приняты к печати: Жук В.И., Проценко И.Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая теория устойчивости испускаемой вдоль
стенки струи вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая структура волновых возмущений в теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004) иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Куэтта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.
Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рейнольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории, пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской стуи и течения Куэтта-Пуазейля.
Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое) толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в
главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кноидальных волн.
Трехпалубная теория свободного взаимодействия возмущений в плоской струе несжимаемой жидкости. Асимптотика нижней ветви нейтральной кривой
Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [80]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.
Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [81] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [82] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [66, 67] применительно к внешним течениям ив [38, 83] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [84-86].
Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь "почти параллельным" лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения обсуждается в [87]. Теория [66, 70], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старших членах асимптотических рядов, свободна от недостатка присущего исследованиям в предположении о плоскопараллельном невозмущенном течении, и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.
Предлагаемая работа, основные результаты которой опубликованы в [88-95] (еще три работы автора приняты к печати: Жук В.И., Проценко И.Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая теория устойчивости испускаемой вдоль стенки струи вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004; Жук В.И., Проценко И.Г. Асимптотическая структура волновых возмущений в теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004) иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Куэтта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.
Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рейнольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории, пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской стуи и течения Куэтта-Пуазейля.
Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое) толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кноидальных волн.
Вывод уравнения кортевега-де вриза
При Re —- со, пятипалубная теория должна переходить в асимптотику трехпалубной при К. Проверим это: в терминах трехпалубной теории (в трехпалубной теории k = Re К, в пятипалубной - к = Re К, и, таким —2/77 л нам образом, К = Re і К) формула (1.85) при К — оо дает и = -Кь т-775" в точности совпадая с (1.39) для трехпалубной теории. 42К г
Вернемся к переменным пятипалубной теории и найдем нейтральное решение СІ = 0: нейтральное значение скорости, с которой распространяется волна Толлмина Шлихтинга. Таким образом, нейтральное решение существует лишь для случая Х2 О (график щ(ут) имеет выпуклость вверх). Если \2 0, то теория остается справедливой и указывает на усиление роста возмущений при реализации пяти-палубной теории.
В главе 2 продолжено построение трехпалубной теории внутренних волн для предельного случая сильно нелинейных возмущений. Получено соли-тонное решение, которое движется влево без изменения своей формы и имеющее амплитуду в трое превышающую модуль фазовой скорости. Так же получено четырехпараметрическое семейство волновых решений уравнения Корте-вега-де Вриза с фазовыми скоростями любого знака.
Снова обратимся к системе уравнений пограничного слоя с самоиндуцированным давлением в области взаимодействия донной части струи несжимаемой жидкости с ее основной толщей (1.24). Введем параметр х и совершим преобразование зависимых и независимых переменных следующего вида:
Решение (2.4) удовлетворяет предельному условию из (2.2) при у со. Что касается граничных условий при у = 0, то для (2.5) выполнено лишь условие непротекания при у = 0. Переход от уравнений (2.2) к уравнениям (2.3) ведет к потере граничного условия и = 0 при у = 0 из-за понижения порядка системы. Если рассматривать выражения (2.4) как асимптотику решения (2.2) при х т0 она пригодна всюду за исключением тонкого подслоя, примыкающего к стенке у = 0. Поскольку в данном подслое производные по вертикальной координате у велики, то в первом уравнении системы (2.2) член с ма-лым параметром х в качестве коэффициента должен быть сохранен. Именно существование пристеночного подслоя дает возможность удовлетворить условиям прилипания и = v = 0 при у = 0. Остановимся на этом вопросе более подробно.
Решение в пристеночном подслое (где существенны задаваемые членом д2йІду2 вязкие тангенциальные напряжения) назовем внутренним решением, в то время как невязкое решение (2.4) назовем внешним решением. Равенство по порядку величины вязкого и конвективных членов в первом уравнении системы (2.2) устанавливает оценку Ау = 0(х 14) толщины примыкающего к стенке подслоя. Следовательно, внутреннее решение имеет вид
Как видно из (2.6), в случае больших х внешний край у —> оо пристеночного подслоя отвечает нижней границе у —> 0 внешней области, где спра- ведливы выражения (2.4). В системе (2.7) функция A(,t), как и давление $(,1), берутся из уравнения Кортевега-де Вриза (2.5). Поскольку решение последнего может быть найдено независимо, внешняя и внутренняя задачи раз- деляются, причем вязкий пристеночный подслои описывается классическими уравнениями Прандтля (2.7) с заданным градиентом давления. получим после однократного интегрирования (константа интегрирования выбрана равной нулю, что дает возможность искать затухающие на бесконечности решения
Свойства дисперсионного соотношения
Рассмотренная выше теория вязких течений типа пристеночной струи с многоярусной структурой волновых возмущений сводит построение поля флуктуации к решению некоторой краевой задачи для уравнений Прандтля с самоиндуцированного давлением. Изложенный формализм свободен от каких-либо параметров, связанных с числом Рейнольдса, которое предполагается стремящимся к бесконечности. Отсюда вытекает, что достоверность качественных выводов о свойствах устойчивости, полученных путем линеаризации названных уравнений, достигается применительно к асимптотике нижней ветви кривой нейтральных колебаний, а также некоторой окрестности этой кривой.
Область определения (по вертикальной координате) соответствующих собственных функций распадается на три палубы. Заметим, что волны Толлмина-Шлихтинга с наибольшей скоростью роста амплитуды имеют именно трехъярусную структуру. Последнее следует из изложенных результатов анализа поведения инкремента нарастания первой неустойчивой моды из спектра собственных функций.
Отличительная особенность спектра собственных функций состоит в том, что возможные возмущения могут одновременно содержать как моды Толлми-на-Шлихтинга, аналогичные волнам в пограничном слое в дозвукового потока [100], так и внутренние волны, характерные для пограничного слоя сверхзвукового потока [63]. В этом смысле спектр имеющих гидродинамический смысл решений дисперсионного уравнения для возмущений в пристеночной струе оказывается более сложным по сравнению с возникающим в задаче устойчивости пограничного слоя.
Специальный случай течений в пристеночных струях, когда амплитуда возмущений сравнительно велика, при некоторых дополнительных предположениях правильно моделируется четырехъярусной асимптотичекой теорией. В этой ситуации ее формализм может базироваться на уравнении Кортевега-де Вриза. Солитонные решения данного уравнения, а также решения в форме кноидальных волн, указывают на один из возможных механизмов, ответственных за возникновение упорядоченных детерминированных нелинейных пульсаций на ранних стадиях ламинарно-турбулентного перехода.
Устанавливается асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Показано, что дисперсионное соотношение, связывающее параметры собственных линейных колебаний, приобретает качественно новые свойства, которые не имеют места в случае течения Пуазеиля.
Вопрос о причине возникновения неустойчивости в плоском течении Ку-этта [115] далек от своего разрешения из-за отсутствия нейтральной кривой линейных возмущений. В [117, 118] доказано, что течение Куэтта остается устойчивым в линейном приближении при всех числах Рейнольдса. Напротив, основные аспекты неустойчивости течения Пуазеиля хорошо известны [119, 120, 121]. Ниже изучается течение несжимаемой жидкости в канале, образованном двумя бесконечными плоскими параллельными стенками [122], которые движутся по касательной к себе с противоположными скоростями (Рис. 24). Теория возмущений такого течения Куэтта-Пуазейля строится в форме внешних и внутренних асимптотических разложений, которые описывают предельную структуру осцилляционных полей.
Для изучения устойчивости стационарного решения (3.4) предположим, что в поток внесено возмущение продольной компоненты скорости и порядка а С 1. Очевидно данное возмущение распространиться на всю толщину трубы. Характерную длину возмущения обозначим как Л.
Разобьем поле скоростей на три области, так как в соответствии с основным представлением теории свободного взаимодействия [31, 35], диссипатив-ные факторы существенны только в пристеночных областях, в то время как в ядре потока (область 1) влияние вязкости пренебрежимо мало.
Применим уравнения (3.14), (3.15), (3.19), которые описывают взаимодействие пристеночных слоев с ядром потока, к анализу устойчивости рассматриваемого движения. Для удобства изложения опустим далее индексы у, хт, tm.
Решение уравнений (3.14), (3.15), (3.19) будем искать в виде свободных колебаний вязкой жидкости Для двух уравнений третьего порядка (3.21) поставлена задача на собственные значения. Последние находятся из дисперсионного соотношения (3.30), а асимптотическое представление соответствующих собственных функций даются формулами (3.26). Основной интерес представляет знак мнимой части фазовой скорости собственных колебаний с = cr + Cj. Если q 0, то течение неустойчиво.
Следующие рисунки иллюстрируют свойства собственных значений. На Рис. 25 представлено решение дисперсионного соотношения (3.30) для скорости стенки (для простоты изложения в дальнейшем скорость стенки будем обозначать как и ) и = 0 (то есть для течения Пуазейля)
Многоярусная схема возмущений с отделенными от стенок критическими слоями: uw — 0(ret2ln)
Из (3.51) видно, что отбрасывание вязких членов порядка Re 1 в уравнениях (3.46) дает правильное асимптотическое приближение к точному решению при Re — оо лишь вне критических слоев, а именно вне окрестностей точек у = у±с являющихся корнями уравнения и0(у) = с. Действительно, фигурирующий в (3.51) интеграл от неограниченной в окрестностях точек у = у±с функции является расходящимся. Поскольку функция и0 задаваемая (3.41), является полиномом второго порядка, то упомянутое уравнение и0(у) = с имеет два корня у±с.
Для у —» y±c в первом уравнении системы (3.46) два члена, а именно гК(и0 — с)щ и a-1 Re Uj/dy2 становятся одного порядка, если
Асимптотическая оценка (3.56), выведенная из (3.55), и определяет размеры тех подобластей в окрестностях точек у±с где часть вязких членов в уравнениях (3.46) оказывает существенное влияние на структуру решения.
С другой стороны, решение невязких уравнений (3.51), (3.52) не может удовлетворять двум условиям (3.49) на каждой стенке канала одновременно (в противном случае это решение должно быть тривиальным, так как отбрасывание правой части (3.48) приводит к уравнению второго порядка). Следовательно, вязкая природа возхмущений сохраняется в пристеночных слоях даже в пределе Re — оо.
В окрестностях стенок канала удобно использовать растянутые координаты Y± вводимые как толщин вязких пристеночных слоев. Для получения данной оценки достаточно приравнять порядки величин первого и третьего членов в правой части первого уравнения системы (3.46).
Найдем поведение решения невязких уравнений (3.51), (3.52), которым описывается возмущенное течение в основной толще (ядре) канала, при приближении извне к критическим слоям (где само невязкое решение непригодно). Именно локальные значения pj(±l) определяют главную часть расходящегося в точках у = у±с интеграла в формуле (3.51).
Но тогда соотношение у±с =f 1 с вытекающее из выведенной для с — 0,с uw формулы (3.54), приводит к оценкам c = 0(Re-2/7),uw=0(Re-2 7):
Таким образом, рассматривается трехъярусная структура поля возмущен ного потока в канале, состоящая из невязкого ядра у = 0(1) и двух примы кающих к стенкам канала вязких критических слоев Y± — (1 р у) Re2 7 = 0(1). Вышеприведенные оценки для с и иш делают естественной нормировку с = Re-2 7 с, uw = Re 2 7uw, (3.62) ГДЄ С = 0(1) , UW = 0(1) . Тонкие критические слои характеризуются большими значениями производных по вертикальной координате у, поэтому, заменяя в уравнении Орра-Зоммерфельда (3.48) коэффициент й0 — с его асимптотическим представлением (3.55), имеем для главных членов «/ \ d2vi 1 d4V! - WT TRW (3-б3) Уравнения (3.63) справедливы в критических слоях, причем из (3.54), (3.57), (3.61), (3.62) очевидно T(y-y±J = lTy-l± = [Y±- ± ])Re-2/7. (3.64)
Параметр Re в уравнениях (3.63) исключается посредством перехода к комплексным переменным Z± = т(ЗгКу/3(у - y±c)Re2 7 = (y-j (8Y± -c±uw), (3.65) а сами уравнения (3.63) приобретают вид уравнения Эйри [123] d2Vj d4vj (3.66) - dZ2± dZ4± относительно второй производной d Vi/dZJ_. Согласно (3.65)в критических слоях Z± = 0(1).
На комплексной плоскости К проведем разрез по положительной мнимой полуоси и зафиксируем однозначную ветвь многозначной функции К в (3.65), полагая argK e[-f,fj. (3.67)
Граничные условия (3.49) в терминах переменных Z± переписываются следующим образом: Z± = C±: 4=- = 0, (3.68) где комплексные постоянные ± представляют собой значения Z± на стенках канала у = ±І, то есть при Y± = 0: (±={f)1/3(±uw-c). (3.69)
Конечные значения ± = 0(1) внутренних переменных Z± на ограничивающих течение твердых поверхностях отражают то обстоятельство, что критические слои соприкасаются со стенками.
Помимо граничных условий (3.68) решения уравнений (3.66) должны удовлетворять асимптотическим условиям сращивания с внешним невязким решением (3.51), (3.52) в ядре потока.
Похожие диссертации на Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях
