Исследование возбуждения и развития волн неустойчивости внешними волнами завихренности в пограничном слое на затупленных телах Ерофеев Евгений Александрович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Исследование взаимодействия плоских волн завихренности с двумерным несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре. 22

1.1. Постановка задачи. Общий метод решения

1.2. Построение первого частного решения линеаризированных уравнений Навье-Стокса для волны завихренности. "Падающая' вол на завихренности 15

1.3. Построение второго частного решения. "Отраженная" волна завихренности 20

1.4. Построение третьего частного решения. Полное решение для волны завихренности 24

Глава II. Волны завихренности в пограничном слое. Обобщения теории . 29

2.1. Исследование взаимодействия плоских волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на симметричном профиле при безотрывном обтекании. 29

2.2. Взаимодействие трехмерных волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре . 36

Глава III. Исследование возбуждения и развития волн неустойчивости плоскими волнами завихренности в двумерном несжимаемом пограничном слое 43

Глава ІV. Численный расчет возбувдения и развития волн неустойчивости плоскими волнами завихренности 47

4.1. Расчет течения в пограничном слое. Тестовые расчеты волны завихренности 47

4.2. Тестовые расчеты собственных функций и собственных значении локально-однородной задачи

4.3. Результаты численного решения задачи о взаимодействии плоских волн завихренности с пограничным слоем на параболическом цилиндре 58

4.4. Результаты численных расчетов возбувдения и развития волн неустойчивости волнами завих ренности. 64

Заключение

Литература

• Построение первого частного решения линеаризированных уравнений Навье-Стокса для волны завихренности. "Падающая' вол на завихренности
• Построение третьего частного решения. Полное решение для волны завихренности
• Взаимодействие трехмерных волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре
• Тестовые расчеты собственных функций и собственных значении локально-однородной задачи

Введение к работе

Вопросы, связанные с проблемой перехода ламинарного пограничного течения в пограничном слое в турбулентное, являются в настоящее время чрезвычайно важными. Это вызвано необходимостью управления пограничным слоем с целью снижения сопротивления летательного аппарата. Кроме того, проблема перехода является составной частью более общей проблемы исследования турбулентности.

Для практических задач аэродинамики важным является определение местонахождения перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. В случае достаточно малых амплитуд внешних возмущений возникновение турбулентности, как установлено, связано с неустойчивостью ламинарного пограничного слоя, причем линейная область развития сформировавшихся волн неустойчивости составляет около 90$ всей области ламинарного течения [I - 5,14]. Собственные колебания пограничного слоя, порождаемые внешними возмущениями, получили название волн Толлмина-Шлихгинга.

Линейная область развития волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа исследована достаточно подробно Г6 - 12,533. На базе линейной теории в последнее время интенсивно разрабатываются полуэмпирические методы расчета чисел Рейнольдса перехода [13 - 16,39]. Согласно амплитудному методу С6,17J, переход к турбулентному режиму наступает в том месте, где амплитуда возмущений отнесенная к характеристикам набегающего потока, становится порядка 1%. Авторами [18 - 20] было показано, что для практических целей местоположение перехода можно определить из условия того, что амплитуда возмущений достигает порогового значения І0 .

Однако, многочисленные экспериментальные работы показывают, что положение перехода и сам характер развития возмущений сильно зависят от спектрального состава и интенсивности набегающих возму _ 5 їдений С22,23,5ІІ. Классической работой здесь стала работа Шубауэра и Скрамштеда [21] (см. также обзоры и монографии [5,24,25]). Существенно также влияние возмущений, связанных с вибрациями поверхности [26, 27J, шероховатостью поверхности и т.п. К настоящему времени выделено четыре основных типа механизмов возбуждения волн неустойчивости в пограничном слое [5, 24,25,27,507:

1. Генерация волн неустойчивости внешними возмущениями на локализованных неоднородноетях (единичная шероховатость, присоединенный отрыв и т.п.).

2. Генерация волн неустойчивости локализованным источником внешних возмущений (узкий пучок звука, вибратор на поверхности тела и т.п.).

3. Распределенная генерация на неоднородности основного течения.

4. Генерация волн неустойчивости в окрестности передней кромки.

В работах [28,293 первый тип механизмов возбуждения исследовался на примере единичной шероховатости поверхности, расположенной вдали от передней кромки. Результаты показывают, что шероховатость оказывает заметное влияние на местоположение перехода, малые неровности обтекаемой поверхности способны порождать волны неустойчивости, приводящие к переходу.

Из факторов второго типа наибольший практический интерес представляют вибрации поверхности. Так в [27] показано, что даже малые поперечные вибрации поверхности пластины в окрестности точки потери устойчивости приводят к ингенсивнохму возбуждению волн Толлмина-ІШіихгинга.

В работе [30] был предложен общий метод определения амплитуда возбуждаемой волны Толлмина-Шлихгинга на слабой неоднородности основного течения, было выделено три типа возмущений в набегающем потоке, взаимодействующих с пограничным слоем: акустические волны, волны завихренности, волны давления. Позже этот метод был обобщен для трехмерных пограничных слоев сжимаемого газа и в наиболее общем виде изложен в С3IJ.

В этой работе впервые был вскрыт весь механизм преобразования внешних возмущений в колебания пограничного слоя, показана фундаментальная роль фазового лоргрега эйконала. Реализация эгого метода значительно проще прямых численных расчетов линеаризированных уравнений Навье-Сгокса, она позволяет с единых позиций рассматривать различные факторы, влияющие на переход.

Данным методом изучалась распределенная генерация волн Толл-мина-Шяихгинга под воздействием внешнего акустического поля на плоской пластине [ 52]. Эта работа, а также работн L32, 33J показывают, что акустические волны могут приводить к переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Распределенная генерация волн Толлмина-Шлихгинга волнами завихренности и волнами давления на слабой неоднородности основного течения, связанной с медленным расширением пограничного слоя на пластине, исследовалась в [40]. Рассмотренный механизм оказался недостаточно эффективным для возбуждения волн неустойчивости,приводящих к переходу.

В работе [47] был теоретически рассмотрен вопрос о взаимодействии внешних возмущений типа вихревой дорожки Кармана с пограничным слоем на пластине. В соответствии с [45] было получено, что величина возмущенной скорости быстро уменьшается от внешней границы пограничного слоя к стенке. Такие волны, по-видимому, не могут вызывать переход. Однако, в[47] в качестве основного течения рассматривался ллоскопараллелышй пограничный слой, в то время как непараллельноегь пограничного слоя является необходимым условием для возбуждения вихревыми волнами волн неустойчивости [ 31].

Этого недостатка лишена работа [ 48], в которой сделана попытка связать внешние возмущения с собственными колебаниями пограничного слоя. В ней в пограничном слое на плоской пластине анализируются линеаризированные уравнения Навье-Стокса для возмущенной функции тока. Уравнения выписываются в области ее (зс- декартова координата, направленная вдоль поверхности пластины), расположенной в районе точки потери устойчивости, район передней кромки не включается. Исследуется асимптотическое поведение решения при стремлении ос оо f и асимптотическое поведение функции тока, описывающей волну Толлмина-Шлихтинга в окрестности нижней ветви нейг-ральной кривой, при стремленииэеу = ос - о (- малый параметр задачи). Автор показывает,что эти два решения допускают аналитическое сращивание, причем необходимым является учет слабой непараллельности течения, В Е493 численно определяется константа сращивания перед решением для волны Толлмина-Шлихтинга. Результаты этих работ доказывают возможность преобразования волн завихренности в волны Толлмина-Шлихтинга в развитом пограничном слое вне области передней кромки. Хотя эта работа не содержит ничего нового по сравнению с более ранними [30,31] , она может служить их подтверждением.

В упомянутых работах распределенная генерация изучалась для пограничного слоя на плоской полубесконечной пластине. Для реальных тел как экспериментальные, так и теоретические работы отсутствуют. В теоретическом плане это связано с тем, что решение линеаризированных уравнений Навье-Сгокса в пограничном слое на реальных телах должно "сшиваться" с решением вне пограничного слоя.

Построение решения вне пограничного слоя, описывающего развитие внешних возмущений в течении с градиентом давления, а затем сращивание с решением внутри пограничного слоя, представляет собой сложную самостоятельную задачу. Известно лишь решение Столярова К П. [34,41,42] линеаризированных уравнений Гельмгольца для произвольного тела при отсутствии вязкости. В [41] получено общее решение, а в [34,42] находятся решения, соответствующие вихревым, энтропийным и акустическим внешним возмущениям. Однако, решение для волны завихренности при подходе к поверхности тела имеет логарифмическую особенность в фазе. Для получения решения во всей области течения, включая пограничный слой, необходимо учитывать вязкость и проводить асимптотическое сращивание.

В [43] применялось прямое численное интегрирование уравнений Навье-Сгокса для случая облучения акустическими волнами (несжимаемый аналог) параболического цилиндра. Используя спектральный метод автор получил, что амплитуда возмущенной скорости достигает максимума в районе передней кромки, при этом ее величина падает с увеличением радиуса закругления. При радиусе закругления образующей параболы, равном нулю, результаты совпадают с результатами, полученными им ранее для плоской пластины [441. Необходимо подчеркнуть, что результаты [44] по возбуждению волн Толлмина-Шлихтинга на пластине не соответствуют экспериментам С 33] и теоретической работе [27].

Вопрос о взаимодействии вихревых возмущений с пограничным слоем на затупленных телах тесно связан с вопросом о влиянии передней кромки на переход. "Проблема передней кромки", по-видимому, впервые была сформулирована в работах авторов [11,45]. В институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения АН СССР был проведен ряд экспериментов, посвященных специальному изучению связи передней кромки плоской пластины с переходом в пограничном слое. В [45] пластина с эллипсовидным носиком облучалась сносимыми потоком вихревыми возмущениями, создаваемыми вибрирующей ленточкой.

При этом ядро возмущений попадало на развитый пограничныйtслой,не затрагивая переднюю кромку. Возбуждения волн Толлмина-Шлихгинга не наблюдалось, возмущение быстро затухало внутри пограничного слоя по направлению к поверхности пластины. В этой же работе плоская пластина с заостренным носиком в виде сопряженных полуэллипсов облучалась акустическими волнами и вихревыми волнами. При этом на носик пластины попадала периферийная часть вихревых возмущений. Определяющую роль в генерации волн Толлмина-Шлихтинга, как показали эксперименты, играет поперечная к поверхности пластины составляющая возмущенной скорости. Когда ленточка устанавливалась так, что эта компонента отсутствовала, генерация волн Толлмина-Шлихтинга не наблюдалась. При наличии этой компоненты были зафиксированы волны Толлмина-Шлихтинга. Важным моментом является го, что в этих экспериментах наблюдалась область повышенной интенсивности продольной компоненты пульсаций скорости, локализованная вблизи передней кромки. В этой же области регистрировался скачок фазы. В 46] были проведены численные расчеты линеаризированных уравнений Навье-Стокса сиспользованием теоретической модели внешних возмущений, соответствующей условиям экспериментов. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными. 

На плоской пластине с эллипсовидным входным участком исследовался процесс перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный в условиях "естественного" перехода 1233. При степени турбулентности набегающего потока &н - 0,03$; 0,7$ наблюдалось резкое увеличение интегральной величины пульсаций скорости в окрестности передней кромки. При этом оказалось, что степень усиления зависит от радиуса закругления носика. При увеличении радиуса в 2 раза "коэффициент" усиления уменьшается на порядок. В работе делается вывод об определяющей роли поперечной составляющей возмущенной скорости, которая вызывает изменение локального угла входа потока, что приводит к изменению распределения давления и скорости на криволинейном участке пластины с одновременным усилением. Отсюда следует, что решающая роль при взаимодействии внешних возмущений с пограничным слоем на пластине в районе носика принадлежит конкретной геометрии передней кромки.

Из этих работ следует то, что пограничный слой на телах, имеющих даже небольшие участки течения с градиентом давления, очень чувствителен к воздействию внешних возмущений.

Существует целое направление теоретических исследований ( в основном зарубежных авторов) которое можно было бы назвать как изучение устойчивости течения в точке застоя W-5Q. В этих работах отыскивается решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Граничные условия на бесконечности берутся однородными. При этом решение отыскивается в узкой области в районе передней критической точки. Очевидно, что такие теоретические работы имеют дело с решениями, описывающими собственные колебания пограничного слоя,при этом отсутствует связь с.внешними возмущениями, т.е. вопросы генерации остаются в стороне. Кроме того, практический интерес могут представлять лишь нестационарные возмущения, развитие которых необходимо изучать во всей области течения вплоть до точки перехода.

Таким образом, ввиду малочисленности экспериментальных и теоретических работ, вопрос о. передней кромки на переход (который можно считать составной частью вопроса о восприимчивости пограничных слоев на телах с градиентом давления) остается открытым.

Диссертационная работа посвящена изучению влияния вихревых возмущений во внешнем потоке на переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный на затупленных телах.

В главе І в качестве затупленного тела берется параболический цилиндр, для которого методом асимптотического сращивания строится частное решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса, удовлетворяющее условию прилипания на стенке и имеющее асимптотическое поведение на бесконечности как у сносовои плоской волны завихренности.

В главе П изложенным методом выстраивается аналитическое решение для случая произвольного симметричного профиля. В этой же главе теория обобщается для случая взаимодействия трехмерных волн завихренности с пограничным слоем на параболическом цилиндре.

В главе Ш общий метод определения амплитуда возбужденной волны Толлмина-ІШшхгинга [31]конкретизируется для случая вихревых возмущений в течениях с градиентом давления.

Глава ІУ посвящена численному исследованию возбуждения и развития волн неустойчивости плоскими волнами завихренности на параболическом цилиндре.

В заключении сформулированы основные выводы диссертационной работы.

В приложении приведен явный вид функций, полученных в главах I и П и операторов, используемых в численных расчетах. 

Построение первого частного решения линеаризированных уравнений Навье-Стокса для волны завихренности. "Падающая' вол на завихренности

Вопросы, связанные с проблемой перехода ламинарного пограничного течения в пограничном слое в турбулентное, являются в настоящее время чрезвычайно важными. Это вызвано необходимостью управления пограничным слоем с целью снижения сопротивления летательного аппарата. Кроме того, проблема перехода является составной частью более общей проблемы исследования турбулентности.

Для практических задач аэродинамики важным является определение местонахождения перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный. В случае достаточно малых амплитуд внешних возмущений возникновение турбулентности, как установлено, связано с неустойчивостью ламинарного пограничного слоя, причем линейная область развития сформировавшихся волн неустойчивости составляет около 90$ всей области ламинарного течения Собственные колебания пограничного слоя, порождаемые внешними возмущениями, получили название волн Толлмина-Шлихгинга.

Линейная область развития волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа исследована достаточно подробно Г6 - 12,533. На базе линейной теории в последнее время интенсивно разрабатываются полуэмпирические методы расчета чисел Рейнольдса перехода [13 - 16,39]. Согласно амплитудному методу С6,17J, переход к турбулентному режиму наступает в том месте, где амплитуда возмущений отнесенная к характеристикам набегающего потока, становится порядка 1%. Авторами [18 - 20] было показано, что для практических целей местоположение перехода можно определить из условия того, что амплитуда возмущений достигает порогового значения І0 .

Однако, многочисленные экспериментальные работы показывают, что положение перехода и сам характер развития возмущений сильно зависят от спектрального состава и интенсивности набегающих возму _ 5 їдений С22,23,5ІІ. Классической работой здесь стала работа Шубауэра и Скрамштеда [21] (см. также обзоры и монографии [5,24,25]). Существенно также влияние возмущений, связанных с вибрациями поверхности [26, 27J, шероховатостью поверхности и т.п. К настоящему времени выделено четыре основных типа механизмов возбуждения волн неустойчивости в пограничном слое [5, 24,25,27,507: 1. Генерация волн неустойчивости внешними возмущениями на локализованных неоднородноетях (единичная шероховатость, присоединенный отрыв и т.п.). 2. Генерация волн неустойчивости локализованным источником внешних возмущений (узкий пучок звука, вибратор на поверхности тела и т.п.). 3. Распределенная генерация на неоднородности основного течения. 4. Генерация волн неустойчивости в окрестности передней кромки.

В работах [28,293 первый тип механизмов возбуждения исследовался на примере единичной шероховатости поверхности, расположенной вдали от передней кромки. Результаты показывают, что шероховатость оказывает заметное влияние на местоположение перехода, малые неровности обтекаемой поверхности способны порождать волны неустойчивости, приводящие к переходу.

Из факторов второго типа наибольший практический интерес представляют вибрации поверхности. Так в [27] показано, что даже малые поперечные вибрации поверхности пластины в окрестности точки потери устойчивости приводят к ингенсивнохму возбуждению волн Толлмина-ІШіихгинга.

В работе [30] был предложен общий метод определения амплитуда возбуждаемой волны Толлмина-Шлихгинга на слабой неоднородности основного течения, было выделено три типа возмущений в набегающем потоке, взаимодействующих с пограничным слоем: акустические волны, волны завихренности, волны давления. Позже этот метод был обобщен для трехмерных пограничных слоев сжимаемого газа и в наиболее общем виде изложен в С3IJ.

Построение третьего частного решения. Полное решение для волны завихренности

В этой работе впервые был вскрыт весь механизм преобразования внешних возмущений в колебания пограничного слоя, показана фундаментальная роль фазового лоргрега эйконала. Реализация эгого метода значительно проще прямых численных расчетов линеаризированных уравнений Навье-Сгокса, она позволяет с единых позиций рассматривать различные факторы, влияющие на переход.

Данным методом изучалась распределенная генерация волн Толл-мина-Шяихгинга под воздействием внешнего акустического поля на плоской пластине [ 52]. Эта работа, а также работн показывают, что акустические волны могут приводить к переходу ламинарного пограничного слоя в турбулентный.

Распределенная генерация волн Толлмина-Шлихгинга волнами завихренности и волнами давления на слабой неоднородности основного течения, связанной с медленным расширением пограничного слоя на пластине, исследовалась в [40]. Рассмотренный механизм оказался недостаточно эффективным для возбуждения волн неустойчивости,приводящих к переходу.

В работе [47] был теоретически рассмотрен вопрос о взаимодействии внешних возмущений типа вихревой дорожки Кармана с пограничным слоем на пластине. В соответствии с [45] было получено, что величина возмущенной скорости быстро уменьшается от внешней границы пограничного слоя к стенке. Такие волны, по-видимому, не могут вызывать переход. Однако, в[47] в качестве основного течения рассматривался ллоскопараллелышй пограничный слой, в то время как непараллельноегь пограничного слоя является необходимым условием для возбуждения вихревыми волнами волн неустойчивости [ 31].

Этого недостатка лишена работа [ 48], в которой сделана попытка связать внешние возмущения с собственными колебаниями пограничного слоя. В ней в пограничном слое на плоской пластине анализируются линеаризированные уравнения Навье-Стокса для возмущенной функции тока. Уравнения выписываются в области ее (зс- декартова координата, направленная вдоль поверхности пластины), расположенной в районе точки потери устойчивости, район передней кромки не включается. Исследуется асимптотическое поведение решения при стремлении ос оо f и асимптотическое поведение функции тока, описывающей волну Толлмина-Шлихтинга в окрестности нижней ветви нейг-ральной кривой, при стремленииэеу = ос - о (- малый параметр задачи). Автор показывает,что эти два решения допускают аналитическое сращивание, причем необходимым является учет слабой непараллельности течения, В Е493 численно определяется константа сращивания перед решением для волны Толлмина-Шлихтинга. Результаты этих работ доказывают возможность преобразования волн завихренности в волны Толлмина-Шлихтинга в развитом пограничном слое вне области передней кромки. Хотя эта работа не содержит ничего нового по сравнению с более ранними [30,31] , она может служить их подтверждением.

В упомянутых работах распределенная генерация изучалась для пограничного слоя на плоской полубесконечной пластине. Для реальных тел как экспериментальные, так и теоретические работы отсутствуют. В теоретическом плане это связано с тем, что решение линеаризированных уравнений Навье-Сгокса в пограничном слое на реальных телах должно "сшиваться" с решением вне пограничного слоя.

Построение решения вне пограничного слоя, описывающего развитие внешних возмущений в течении с градиентом давления, а затем сращивание с решением внутри пограничного слоя, представляет собой сложную самостоятельную задачу. Известно лишь решение Столярова К П. [34,41,42] линеаризированных уравнений Гельмгольца для произвольного тела при отсутствии вязкости. В [41] получено общее решение, а в [34,42] находятся решения, соответствующие вихревым, энтропийным и акустическим внешним возмущениям. Однако, решение для волны завихренности при подходе к поверхности тела имеет логарифмическую особенность в фазе. Для получения решения во всей области течения, включая пограничный слой, необходимо учитывать вязкость и проводить асимптотическое сращивание.

Взаимодействие трехмерных волн завихренности с несжимаемым пограничным слоем на параболическом цилиндре

Построенное в I.I-2.I решение для волны завихренности не является полным решением линеаризированных уравнений Навье-Стокса. При фиксированном для параболического цилиндра (или ос для профиля) к этому решению с той же самой невязкой по можно добавить спектр собственных решений задачи Орра-Зоммерфельда. То есть, если обозначить через А вектор-функцию возмущенного течения; то полное решение линеаризированных уравнений Навье-Стокса мы будем искать в виде:

В этом выражении параболические координаты, применяемых для случая обтекания параболического цилиндра. Для случая произвольного профиля (3.2) и ниже переписываются в координатах

В (3.2) через обозначена вектор-функция построенного решения для волны завихренности, X означает суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру h , АпО?,)-собственное решение задачи Орра-Зоммерфельда. Коэффициенты сл () подлежат определению. В постановке (3.2) предполагается полнота системы собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда.

Таким образом, задача о построении полного решения линеаризированных уравнений Навье-Стокса с граничным условием на бесконечности, соответствующем волне завихренности, сносимой на тело со скоростью основного потока, и условием прилипания на поверхности — тела сводится к нахождению А (? ) и сп 7 в (32). В работе С31] был предложен общий метод определения величин - 44 -cn C p) - Здесь мы конкретизируем его для нашего случая.

В дальнейшем под вектор-функцией возмущенного течения мы будем подразумевая его Фурье компоненту по времени:

Индекс со везде ниже опускаем. С точки.зрения перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный нас, прежде всего, интересует амплитуда собственных колебаний пограничного слоя - волн Толлмина-Шлихтинга. Поэтому, пренебрегая межмодовым обменом, мы имеем:

Линеаризированные уравнения Навье-Стокса .для течения в пограничном слое удобно представить в матричном виде:

В этом выражении L представляют собой матрицы размерности 6x6, L0 - единичная матрица, L,, 12 зависят от характеристик основного течения - T7,v --?, - компонент скорости соответственно, их производных по (главных членов в разложении по , ). Є L3 представляет собой матрицу неоднородности, которая связана с медленным расширением пограничного слоя вниз по потоку и с эффектами кривизны поверхности. Явный вид матриц дан в приложении П. Индекс "г" означает транспонирование. Введем скалярное произведение: Здесь приняты следующие обозначения:

Величина стъ С-т)0) определяется из начальных условий В выражении (3.10) величина 1STS(y) представляет собой диагональный матричный элемент (по терминологии [31] ), который описывает развитие волн Толлмина-Шлихгинга в медленно расширяющемся пограничном слое на геле, имеющем отличную от нуля кривизну. Недиаго - 46 -нальный матричный элемент W ор) в двухмодовом приближении (3.4) определяет возбуждение волн Толлмина-ІШіихтинга волнами завихренности.

Специфика выражения (З.І0) состоит в том, что недиагональный матричный элемент получается не из решения задачи Орра-Зоммерфель-да полностью, как в случае плоской пластины С35], а зависит от решения задачи о проникновении волн завихренности в пограничный слой от вектор-функции Av (?»з) . Кроме того, для случая плоской пластины матричные элементы конструируются с участием только линейных операторов, являющихся операторами умножения. В (3.12) числителе стоит оператор I , который представляет собой не что иное как оператор уравнений Навье-Стокса (3.13), включающий в себя дифференцирование по двум координатам. Это связано с тем, что вектор-функция Av не удовлетворяет локально-однородной задаче

Тестовые расчеты собственных функций и собственных значении локально-однородной задачи

На рис. 6 изображена функция В 3 (кривая I - ее действительная часть, 2 - мнимая) для этого же случая. Обозначения прежние.

На рис. 7 приведена развертка нейтральной кривой х-компонен-ты скорости по сечению пограничного слоя при F = 200«ІСГ6 [38]. Пунктирная линия - линия движения минимума скорости. Крестики -способ I, при котором матричные элементы вычислялись численным интегрированием по методу Симпсона внутри пограничного слоя, к результату добавлялся интеграл от верхней границы пограничного слоя до бесконечности, который брался аналитически. При вычислении матричных элементов по способу П использовалась та же подпрограмма с заменой L2 L3 на Ц,Ц (явный вид этих матриц дан в приложении П).

Способами I - П проводились тестовые расчеты на параболических цилиндрах. На рис. 8 приведены вычисленные точки потери устойчивости для различных радиусов закругления с Йе = и і/0 - 10 . Сплошная кривая - способ I, нолики - П. Максимальное отличие 1д?пл, !/?„,,« 0,2 .

Вычисление интеграла (3.8 ), имеющего сильно осциллирующую под-интегральную функцию проводилось следующим образом. Векгор-функция А и матричный элемент wv rs вычислялись с мелким шагом, равным 0.005 ( при обезразмеривании по $ ). Вычисление функции A- , матричного элемента WTSTS , собственных чисел o/TS велось с более крупным шагом 0.1, и при интегрировании использовалась интерполяция этих величин в промежуточных точках. Использовалась интерполяция второго и четвертого порядка. В контрольном расчете р0 = 0.367 Р = 13,9 10 . Отличие при =]ice при различных порядках интерполяции составило 0.6 , что удовлетворяет точности конечного результата. ( 5 7$). Вычисления вектор-функции Av Ср, )проводились для случая dj=uj0 f За масштаб длины бралось значение у у (1.1), рассчитанное для данного параболического цилиндра (рис. 8).

Величина В., (у) при р = 0.41, = 500 показана на рис. 9. Результаты расчетов осредненной по времени т -компоненты возмущенной скорости волны завихренности, отнесенной к степени турбулентного набегающего потока 6U : UJ = u!y /&н представлены на рис. 10-14. На рис. 10 показана функция й по сечению пограничного слоя при = 1450; РО= 0.41; р =2.5; 0.5 (кривая I), оо0 = 1.0 (кривая 2), со = 2.0 ( кривая 3). Пунктирная линия - граница пограничного слоя.

На рис. II показана й как функция к0 при у - 2 5 и ооо= 0.5 в сечении Фз= (кривая I); ф3 = 0.75 (кривая 2); к= 0.65 (кривая 3). Из графика видно, что взаимодействие волны завихренности с пограничным слоем сильно зависит от волнового числа ic . При этом, существует такое волновое число к , при котором амплитуда uJ становится максимальной.

На рис. 12 показана зависимость й от ка при со0 = 0.5 и - & при разных -у . Значениям т = 3.0: 2,5; 2.0; 1.5 соответствуют кривые 1,2,3,4. Здесь 2 = 1450; р0= 0.41. Кривым 1,2,3,4,5 на рис. 13 соответствуют значения 0= 1.0; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8 при 2 = 1450, р0= 0.41; оэс= 0.5; р = 2. Эти результаты показывают; при подходе к пограничному слою наблюдается резкое увеличение значения «- . , что находится в качественном соответствии с С 23J . Характер этого усиления различен для различных волновых чисел 4 , а интенсивность "проникновения" (т.е. значение и! при ъ = & ) тем больше, чем меньше

Это связано, по-видимому, с тем, что при уменьшении oj толщина вязкого слоя волны завихренности уменьшается. Для очень низг ких частот применяемый метод наховдения Av становится непригодным, т.к. существует ограничение на снизу: п» $щ .

Вывод о связи й с зависимостью іх от аЗ подтверждают результаты расчета на рис. 14. Здесь Р 13.92 х 10 ; ч? = 1.5 ; 4= 750; кривая I - р0 = 0.367, 2= 1188; кривая 2 - Р0 =0.41, а= 1450. При увеличении радиуса закругления носика цилиндра в 1,2 раза безразмерная .ul уменьшилась на порядок ( в сечении $а= ). Такое изменение качественно совпадает с результатами где при удвоении" радиуса эллиптического носика пластины интегральная величина пульсаций скорости уменьшилась на порядок.

Результаты численных расчетов возбуящения и развития волн неустойчивости волнами завихренности

В параболических координатах , были рассчитаны собственные функции и собственные значения для различных параболических цилиндров для случая оо = 0 . Мнимая часть . ty lm (OLTS су) при р0= 0.369 изображена на рис. 15. Характер кривой I находится в качественном соответствии с кривыми возбуждения волн Толлмина-Щяихгинга звуковыми волнами на пластине C27J. Так, на участке у = 0.4 2,0 функция Qy)представляет собой так называемую промежуточную волну. Из рисунка видно, что наличие такой волны определяет характер Qty) до = 2,0, в го время как свободная волна Толлмина-Шлихгинга сильно затухает в этой области. В районе = 2,0 амплитуда возбужденной волны Толлмина-ІШшхгинга становится сравнимой с амплитудой промежуточной волны, что приводит к биениям кривой I. Далее идет усиление волны Толлмина-Шлихтинга в зоне неустойчивости.

Интеграл в (3.8 ) вычислялся от значения о = 0.015. При интегрировании от у0 = 0.2; 0.4 конечный результат (значения О. Ср) при у = 2.75) изменялся на 0.70$,Q82$ соответственно. . :, Ввиду того, что вычисления WVTS необходимо производить с мелким шагом, что связано с большими затратами машинного времени, в расчетах бралось уо - 0.4.

Отсутствие зависимости конечного результата от у при V0= 0.015, 0.40 доказывает, что возбуждение волн Толлмина-Шлихтинга происходит на интервале, который не включает переднюю . критическую точку.