Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние проблемы и постановка задачи 6
1.1 Обзор экспериментальных и теоретических исследований 6
1.2 Основные уравнения для турбулентного и ламинарного потоков 15
2 Неустойчивость плоско-параллельного течения 19
2.1 Безволновое решение для турбулентного потока 19
2.2 Неустойчивость плоско-параллельного течения для турбулентного потока 33
2.3 Критические параметры двумерного перехода 48
2.4 Резонансное влияние топографии дна на волновые режимы . 62
3 Сильнонелинейные волны 65
3.1 Обсуждение системы Сен-Венана 65
3.2 Стационарные бегущие катящиеся волны типа солитонов . 70
3.3 Обобщение системы Сен-Венана и условий на скачке на трехмерный случай 80
3.4 Спектр и устойчивость уединенной катящейся волны в двумерном случае 83
3.5 Устойчивость катящихся волн к трехмерным возмущениям . 94
4 Основные результаты и заключения 105
5 Приложение. Конечно-разностная схема 106
Список литературы 111
- Основные уравнения для турбулентного и ламинарного потоков
- Неустойчивость плоско-параллельного течения для турбулентного потока
- Стационарные бегущие катящиеся волны типа солитонов
- Спектр и устойчивость уединенной катящейся волны в двумерном случае
Введение к работе
Исследование волновых течений с поверхностью раздела является одним из важнейших направлений гидродинамики. Основу его развития в своих фундаментальных работах заложили СВ. Алскссенко, П.Л. Капица, В. Левич, X. Лэмб, В.Е. Накоряков, А.А. Непомнящий, Б.Г. Покусапв, В.В. Пухначев, Л.Н. Сретенский, Дж. Уизем, В.Я. Шкадов [2], [22], [84], [81], [27], # [28], [94], [31], [100], [38], [39], [40]. Обзор экспериментальных и теоретических работ и методов можно найти в монографиях [41], [63]. Интенсивное изучение этой проблемы связано с ее широким применением в технике и технологии. Обзор приложений приведен в [41], [63].
Несмотря на то, что к настоящему времени достигнут значительный прогресс в понимании проблемы и разработке теоретических методов ее исследования, многие вопросы остались недостаточно изученными, в частности, волновые течения по наклонному каналу при достаточно больших * числах Рейнольдса, когда силы поверхностного натяжения неважны, рис. 1. Такие режимы могут встречаться как в технологических установках [41], [G3], так и в природных условиях [66].
Бора или катящиеся волны в каналах и реках существенно меняют динамику русла и поэтому исследования их важны с практической точки зрения. Вш)34}году КорнипТ [ббПнаблюдал и описал эти волны. Согласно его наблюдениям, когда вода стекает вниз по наклонному открытому каналу, течение характеризуется квазидвумерными катящимися волнами или борой. Эти волны существуют на всей ширине канала и распространяются вниз по течению. Тип волн не завист от поверхностного натяжения, и они могут существовать как для турбулентного, так и ламинарного режимов течения. Толщина слоя меняется от миллиметров до метров, то есть более, чем в 1000 раз, хотя природа катящихся волн остается той же самой. Для возникновения этих волн важны два фактора: а) угол наклона должен быть достаточно велик для проявления неустойчивости; б) влияние поверхностного натяжения, которое стабилизирует поток, должно быть пренебрежимо малым. При выполнении первого условия малые поверхностные возмущения экспоненциально растут вниз по потоку. В случае отсутствия стабилизирующих капиллярных сил (наше второе условие), волна достаточно большой амплитуды опрокидывается, и на фронте ее возникает вихрь водовоздушной смеси. Этот вихрь предохраняет волну от дальнейшего разрушения и делает возможным существование бегущих стационарных волн с длинным хвостом и коротким фронтом с вихрем на нем. Такая волна распространяется вниз по потоку с постоянной скоростью. Для некоторых режимов область вихря может визуально проявляться в виде белой пены на фронте.
Спустя 15 лет Дресслер [67] вывел упрощенную версию гидравлических уравнений, которые описывают катящиеся волны. Эта система также называется системой ДСен-ВенанаЛ До настоящего времени эта система являлась единственной для теоретического изучения такого рода волн. Существенным упрощением задачи Дресслером явилось то, что область вихря была аппроксимирована разрывным решением, или слабым решением гиперболической системы Сен-Венана.
Мы будем исследовать волны при достаточно больших числах Рейнольдса, "толстые слои", когда силы поверхностного натяжения не важны. При этом режим течения может быть как ламинарным, так и турбулентным. Несмотря на длинную историю исследования катящихся волн, остается множество теоретических открытых вопросов, таких как: их развитие из малых естественных возмущений, устойчивость катящихся волн, эффект влияния дна на волновые режимы и т.д. Даже задача о линейной неустойчивости плоского течения при турбулентном режиме течения была рассмотрена только на базе упрощенных гидравлических уравнений и поэтому требует более углубленного исследования.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Основное содержание и результаты изложены в опубликованных работах [12], [37], [13], [3G], [15}, [14]. В этих работах научному руководителю профессору Демехину Е.А. пренадлежит постановка задач и основные идеи. Автору диссертации принадлежит реализация этих идей, вывод основных соотношений и формул, получение численных результатов и их анализ.
Основные уравнения для турбулентного и ламинарного потоков
Для вертикального слоя, 9 — 7г/2, для воды, 40, Ле(3) и 400, йе(4) и 700 - 1000, Ле(5) и оо. Для наклонного течения, в 7г/2, некоторые из вышеуказанных режимов могут исчезать. В нашей работе мы исследуем последние два режима, когда числа Рейнольдса велики и мы можем пренебречь силами поверхностного натяжения. В этом случае поверхность покрыта квазидвумерными катящимися волнами, режим течения может быть ламинарным или турбулентным. Структура таких волн показана на рис. 2. Эта волна квазидвумерная, в том смысле, что она заполняет всю ширину канала, волна имеет длинный задний фронт и короткий передний фронт с вихрем из воздуховодяной смеси. Этот вихрь играет стабилизирующую роль, ту самую роль, которую капиллярные силы играют при малых числах Рейнольдса. Наличие вихря делает возможным существование стационарных бегущих волн.
Можно предположить, что первым экспериментальным описанием катящихся волн была работа, сделанная Корнишом [66], который представил чудесные фотографии таких волн в слабо наклоненных каналах, рис. 5. Его книга, к сожалению, не содержит количественных параметров волн.
В экспериментах Белкина и др. [43] было исследовано течение на вертикальной стенке при числах Рейнольдса Re га 700 — 10000. Были применены фотографические методы для определения режимов течения. Были представлены фотографии катящихся волн, рис. 4, и зависимость средней толщины от числа Рейнольдса. Было получено, что переход к турбулентности осуществляется при Re и 700 — 800.
В ряде работ Даклера [68] и Чу и Даклера [64], [65] число Рейнольдса течения менялось от 220 до 500 так, что режим течения мог быть, как ламинарным, так и переходным. Эксперименты проводились на вертикальном канале, сделанном из плексигласа, шириной 15 см и длиной 5,5 м. Поверхность слоя была покрыта сложной системой волн, более сложной, чем наблюдалось в слегка наклоненном канале. Авторы нашли существование двух принципиально различных групп волн и назвали это течение двухволновой системой. Большие квазидвумерные волны, разделенные расстоянием порядка 30 см, могут быть рассмотрены как двумерные катящиеся волны, они аналогичны наблюдаемым в [43], рис. 4. Эти волны не имеют капиллярной ряби на переднем фронте, как это имеет место при малых числах РеЙнольдса [lj, [41 j, [56j, [17]. Поверхность между быстрыми волнами была покрыта маленькими и медленными волнами, имеющими капиллярную природу.
В работах Ганчева, Козлова, Лозоветского и Никитина [7], Ганчева и Козлова [7] были проведены измерения распределения скоростей стробоскопическим методом, Re — 40 — 2000. Начиная с Re = 200 было получено отклонение от ламинарного полу парабол и чес кого профиля. Из работы следовало, что ламинарно-турбулентный переход происходит при Re = 700 — 1000. Получено, что профиль скоростей уплощается при увеличении числа РеЙнольдса. Авторы нашли, что закон "1/7" плохо подходит для описания этого профиля, г В исследованиях Брока [53], [54], [55] были проведены эксперименты в лаборатории Кека гидравлики и водных запасов Калифорнийского технологического института. Был взят прямоугольный канал из алюминия шириной 30-40 см и длиной 25 м. Было использовано три угла наклона: 2.9, 4.8 и 6.8. Числа РеЙнольдса менялись в диапазоне 104 до 105, так что режим течения был всегда турбулентным. Естественные или вынужденные возмущения на входе росли вниз по потоку и переходили в катящиеся волны, рис. 6 (а). Были представлены профили волн, их скорости и длины в разных местах канала при различных режимах. Были рассмотрены только закритические режимы: Fr Fr = 2. Фоли и Ванони [71] экспериментально исследовали докритические режимы, Fr Fr = 2. Эксперименты были проведены на той же установке, что и Броком. Длина канала была 18 м и угол наклона 4.8. Число Фруда менялось от 0.71 до 1.06, что намного меньше, чем критическое значение Fr = 2. Их числа Рейнольдса были около 104, то есть течение было турбулентным. Наблюдались следующие интересные феномены: a) была обнаружена неустойчивость в докритической области; b) найдены отрицательные катящиеся волны в докритической области. Авторы назвали эти волны "антидюнами"и представили их профили в четырех точках вдоль длины канала, рис. 6 (б). Браун ер и Марон [51] исследовали волновые режимы в наклонном канале из стекла длиной в 1 м, число Рейнольдса менялось от 100 до 7000, режим течения мог быть как ламинарным, так и турбулентным. Угол наклона менялся от 2 д,о 90. Синусоидальные волны на входе превращались в катящиеся после эволюции возмущений вниз по потоку. Были рассмотрены естественные и вынужденные возмущения на входе. Кулов и др. (24] провели эксперименты в наклонных пленках при Re = 220 — 1500 при одном угле наклона в = 14 12". Канал был выполнен из органического стекла шириной 15 и длиной 153 см. В работе было проведено измерение среднего профиля скоростей. Для этого был использован эффект Допплера и лазерная технология. Область чисел Рейнольдса покрывала как ламинарные, так и турбулентные режимы. Авторы получили ламинарно-турбулентный переход при Re РИ 800. В ряде интересных работ [71], [72], [103) авторы нашли, что при специальных условиях топографии дна, топография может оказывать большое влияние на поверхностные волны.
Неустойчивость плоско-параллельного течения для турбулентного потока
Уравнение (2.26) вместе с граничными условиями (2.27) - (2.30) дают задачу на собственные значения. В случае временного роста комплексная скорость с является собственным значением, а параметрами являются волновое число а, число Фруда Fr и угол наклона в (или число РсЙиольдса Re). Синусоидальное возмущение с некоторым волновым числом а будет расти во времени, если мнимая часть с положительна и затухать - если а отрицательно. Нейтральная устойчивость и нейтральное волновое число 0 определяются соотношением Сі = 0. Большинство расчетов проведено в отсутствии поверхностного натяжения, W = 0. В таком случае система описывается двумя параметрами: Для удобства сравнения с экспериментами также использовались среднерасходные числа Рейнольдса и Фруда, Re , Fr , см. 2.1.
Система (2.26)-(2.30) слишком громоздка для аналитического решения. Мы решим систему численно, используя конечно-разностный метод, см. детали в приложении 1. Здесь мы представим только результаты этого решения. В силу примененного метода проблема собственных значений для обыкновенного дифференциального уравнения заменяется матричной обобщенной проблемой собственных значений: где А ж В матрицы N + 1 порядка, если число узлов равно N. N менялось от 100 до 1000 с последующим применением QR- алгоритма. Типичный спектр собственных значений {с } при Re = 5000, Fr = 3 и а = 0.1 можно найти на рис. 15. В спектре присутствуют две поверхностные моды, описывающие возмущения, распространяющиеся вверх и вниз по потоку. Возмущения, распространяющиеся вверх по потоку, всегда устойчивы СІ 0, и поверхностная неустойчивость может быть вызвана только модой, распространяющейся вниз по потоку. Фазовая скорость с? этой моды всегда положительна, потому что эта скорость является композицией трех эффектов: а) перенос с основным потоком, б) длинноволновая компонента \fgh и в) компонента дисперсии. Первые две компоненты всегда положительны, в то время, когда третья компонента мала для существенного влияния. Это приводит к тому, что скорость вниз по потоку всегда положительна. Фазовая скорость вверх по потоку может менять свой знак и может быть как положительной, так и отрицательной. Действительно, основной поток сносит возмущения вниз, в то время, как вторая компонета теперь отрицательна —ygh, и смещает волну вверх по потоку. Эти две поверхностные моды могут быть грубо описаны гидравлическим подходом Дресслера, уравнением (3.12), имеющим второй порядок производной по отношению ко времени. Кроме поверхностных мод существуют также внутренние или сдвиговые моды. Эти моды для турбулентного профиля всегда устойчивы, потому что турбулентный профиль уже результат неустойчивости Толлмина - Шлихтинга для полупараболического профиля. Эти внутренние моды распространяются со скоростью 0.8-0.9 от скорости на поверхности раздела, всегда вниз по потоку, и практически не искажают поверхность. Имеется счетное множество таких сдвиговых мод с , причем они не описываются системой Дресслера. Единственная мода, которая может быть неустойчива, это поверхностная мода, распространяющаяся вниз по течению. Для этой моды на рис. 16 мы представили зависимость коэффициента роста а ц от волнового числа а при Re — 10000 и разных Fr. Неустойчивость является длинноволновой, как это имеет место для ламинарного течения. Если мы будем уменьшать число Фруда при фиксированном числе Рейнольдса, область неустойчивости сжимается к началу координат и «о — 0. При Fr = Fr неустойчивость исчезает, и течение становится устойчивым. Гидравлический подход предсказывает Fr = 2, но наш подход дает меньшее значение Fr . Мы отложим обсуждение этого вопроса до 2.3, где он будет рассмотрен в деталях.
Малые возмущения на входе растут вниз по потоку согласно линейной теории устойчивости. Согласно этой теории вниз по потоку выживает узкий диапазон частот около максимума а — ас. Волновое число, при котором имеет место максимум, ат, дает частоту волны шт — атСг вблизи точки возникновения волн и период, Тт = 2тг/шт, которые можно пересчитать на размерные. Обычно период волны является консервативным и не меняется сильно вниз по потоку. Таким образом, он предсказывает временной интервал и расстояние между соседними катящимися волнами в самом начале нелинейной области. Более того, информация об шт может быть преобразована в информацию для определения члена трения второго порядка, подправляющего гидравлическую систему. Возникает вопрос, может ли гидравлический подход предсказать эти характеристические период и длину. Линеаризуя уравнение (3.12) около тривиального решения, получим:
Стационарные бегущие катящиеся волны типа солитонов
В ряде статей (см. Фоли и Ванони [71], Грант [72J, Занутти [103]) авторы нашли; что для специальных условий топографии дна (в реках это осадки, песок и глина) может иметься большое влияние топографии на поворхностные волны. При этом поверхность оказывается покрыта очень большими стоячими или медленно движущимися волнами. Иногда авторы этих работ связывают волны с началом неустойчивости. Действительно, такое явление случается, когда число Fr близко или меньше единицы, и мы находимся близко к неустойчивой зоне по нашим вычислениям, хотя еще в устойчивой зоне. С другой стороны, это явление не случается при больших числах Фруда, где мы имеем обычную конвективную неустойчивость с последующим возникновением катящихся волн. Существует также другое объяснение явления: присутствие отложений делает жидкость неньютоновой и меняет механизмы неустойчивости. Тот факт, что обычно волны на поверхности являются стоячими или медленно перемещающимися в комбинации с фактом, что такое явление случается при Fr pa 1, предлагает возможность другого объяснения явления. Рассмотрим отложения как род волнистого дна с характерной длиной волны и волновым числом. Из экспериментов Бонтозугло [49] и численных вычислений Трифонова [98] известно, что для ламинарного потока возможно очень сильное взаимодействие между волнистым дном и поверхностными волнами. Амплитуда получающихся стоячих волн может быть в несколько раз больше, чем амплитуда волнистости дна. В статье Каллиадасиса, Демехина, Бонтозугло [?], авторы показали, что такая необычная реакция связана с частотным резонансом, и они провели сравнение своих теоретических предсказаний с экспериментами. Мы приложим их аргументы к нашей проблеме. Имеются две поверхностные моды. В случае горизонтальной плоскости для мелкой воды они соответсвуют волнам, распространяющимся со скоростями, примерно равными ±л/дК. Если плоскость слегка наклонена, появляется сдвиговое течение, которое переносит обе моды вниз по потоку. В этом случае одна из мод всегда положительна, в то время, как вторая может сменить знак, когда два эффекта в точности балансируют друг друга. Когда результирующая скорость в точности равна нулю, как и частота, имеется резонансное условие между волнистым дном, которое также имеет нулевую частоту, и этой модой. Тот факт, что данная мода имеет затухающий коэффициент с , не очень важен для условия резонанса, потому что при больших числах Рейнольдса щ мало. Коэффициент затухания дает малую расстройку резонанса, при котором частота должна быть взята в комплексной форме. Чем больше по модулю коэффициент затухания с$, тем меньше резонанс, но его положение по отношению к размеру волнистости дна остается без изменения. Это объяснение также подходит для турбулентных потоков в реках и каналах. Действительно, волны от этого резонанса являются стоячими, и нам нужно проверить соответсвие экспериментальных условий условию нулевой скорости этой поверхностной моды.
Мы рассмотрели вторую поверхностную моду в наших вычислениях и нашли условия, при которых действительная часть скорости сг меняет знак. На рис. 32 мы дали зависимость длины волны этой моды и нашли очень интересную вещь: мы можем видеть из рисунка и наших вычислений, что обычно длина волны для резонанса очень велика, но в окрестности FT И 1 эта длина становится порядка 1. На рис. 32 мы привели наши результаты вместе в результатами Фоли и Ванони [71], последние обозначены кружками. Хорошее соответствие с экспериментами подтверждает предложенный нами резонансный механизм взаимодействия.
В конечном итоге эволюция малых возмущений приводит к установлению сильнонелинейных волн конечной амплитуды или так называемых катящихся волн. Решение задачи об устойчивости плоско-параллельного течения к малым возмущениям удалось получить в точной постановке уравнений Рейнольдса с турбулентной вязкостью. Подобное решение в нелинейной постановке наталкивается на очень сложную задачу в окрестности вихря на фронте волны, где имеется воздухо-водяная смесь. В принципе, решение задачи возможно прямым численным моделированием решения уравнений Навье-Стокса в турбулентной области или с помощью подсеточного моделирования, но мы оставим эти очень сложные задачи для будущих исследований.
Уже в постановке задачи в рамках гидравлического приближения Дресслера осталось много нерешенных проблем. В частности, отсутствует систематическое исследование двумерных катящихся волн типа уединенных волн, как для ламинарного, так и для турбулентного течений; обобщение системы уравнений и условий на скачке на трехмерный случай; исследование устойчивости катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям. В данной главе будут исследованы вышеуказанные и связанные с ними проблемы.
Спектр и устойчивость уединенной катящейся волны в двумерном случае
Впервые на базе уравнений Рейнольдса была исследована устойчивость турбулентных потоков в каналах относительно поверхностных возмущений. Были получены критические параметры, когда это течение теряет устойчивость. Найдены частота и волновое число возмущения с максимальным коэффициентом роста, и оценено расстояние между катящимися волнами в начале канала. Исследовано влияние поверхностного натяжения на устойчивость и найдено, что его влияние пренебрежимо мало. Результаты нашего анализа устойчивости хорошо согласуются с экспериментальными данными. 2) Предложен новый механизм влияния топографии дна на поверхностные волны. При условии резонанса показано существование стоячих волн большой амплитуды. Получено хорошее соответствие с экспериментами. 3) Развита полная теория двумерных катящихся уединенных волн для турбулентных и ламинарных потоков как слабых решений гидравлической системы уравнений. Найдены две новые ветви нелинейных решений типа отрицательных солитонов (типа впадины). Эти волны появляются в результате жесткой бифуркации от тривиального решения, в то время как положительные катящиеся уединенные волны ответвляются в результате мягкой бифуркации. Найдено экспериментальное подтверждение существования отрицательных катящихся волн. 4) Система гидравлических уравнений Дресслера была обобщена для описания трехмерных возмущений. Идея Дресслера об отсутствии сингулярности была обобщена для исследования устойчивости двумерных катящихся волн к двумерным и трехмерным возмущениям и построены спектры. Получен важный результат об устойчивости положительных стационарных волн и неустойчивости отрицательных волн. Система (АЛ) дискретизируется с помощью центральных разностей второго порядка точности (А.6)-(А.9), которые записываются для точек от к = 1 до к = N включительно (рис. 50). При этом получается, что точки к = — 1, fc = 7V+ 1, fc = iV + 2 выходят за границы интервала интегрирования задачи. Эта трудность решается использованием граничных условий [29]. Граничные условия дискретизируются также с помощью конечных разностей (А.6)-(А.9). При этом из граничных условий при у = 0 линейно выражается значение в точке к = —1, а из граничных условий линейно выражаются значения в точках к = iV + 1 и & = N + 2. Все эти выражения подставляются в дискретизованиое уравнение (АЛ). Для различных значений к 1..N задача сводится к системе линейных уравнений.
