Содержание к диссертации
Введение
Глава I Функция когерентности случайного поля в приближении МГГВ 33
2. Общий вид функций корреляции и когерентности поля 34
3. Построение моментов комплексной фазы 37
4. Функция корреляции полного поля 44
Глава II Функция рассеяния плоской волны в случайно-возмущённой плазме в режиме слабых флуктуации (в приближении МПВ) 47
5. Общий вид функции рассеяния плоской волны в плазме с флуктуациями 48
6. Случай гауссовой корреляционной функции флуктуации неоднородностей среды 56
7. Случай степенного спектра корреляционной функции флуктуации неоднородностей среды 68
8. Учёт конечной толщины слоя с флуктуациями 76
9. Заключение к главам I и II 81
Глава III Пространственно-частотная функция когерентности в марковском приближении 83
10. Параболическое уравнение для функции когерентности в диффузионном марковском приближении 84
11. Случай падения плоской волны
11.1 Преобразование уравнения (10.4) в случае фона без дисперсии и точное решение для квадратичной структурной функции 88
11.2 Квазиклассическое приближение для уравнения (11.2) Случай среды фона без дисперсии 90
11.3 Асимптотическое решение в случае квадратичной структурной функции 95
12. Случай падения сферической волны
12.1 Точное решение в случае квадратичной структурной функции 97
12.2 Квазиклассическое приближение для уравнения (12.3) 100
12.3 Случай статистически изотропных неоднородностей 104
12.4 Асимптотическое решение в случае квадратичной структурной функции 106
13. Первый вариант обобщения асимптотического метода на случай произвольного граничного условия для функции Г
13.1 Асимптотическое представление решения уравнения (10.8) 111
13.2 Случай падения плоской волны 118
13.3 Случай падения сферической волны 121
14. Второй вариант обобщения асимптотического метода на случай произвольного граничного условия для функции Г 124
Глава IV Функция когерентности поля в марковском приближении в случае реалистичных моделей эффективной корреляционной функции неоднородностей 132
15. Случай обратно степенной
эффективной функции корреляции 133
16. Случай экспоненциальной эффективной корреляционной функции 140
17. Профиль Пёшля-Теллера 152
18. Заключение к главам III и IV 154
Заключение 158
Приложения
- Построение моментов комплексной фазы
- Случай гауссовой корреляционной функции флуктуации неоднородностей среды
- Преобразование уравнения (10.4) в случае фона без дисперсии и точное решение для квадратичной структурной функции
- Случай экспоненциальной эффективной корреляционной функции
Введение к работе
Обзор литературы
Повышенный интерес к проблемам распространения волн в случайно-неоднородных средах возникает приблизительно с начала пятидесятых годов предыдущего века. Причина этого в появлении большого количества прикладных задач, актуальных и в настоящее время, в радиофизике, оптике, акустике, физике плазмы и в некоторых других разделах современной физики, приводящих к необходимости изучения случайных полей и их статистических характеристик. К таким задачам можно отнести помимо классических объектов теории — рассеяние света в атмосфере и мерцание внеземных источников излучения, обусловленное ионосферой Земли и межпланетной плазмой, — флуктуации рефракции, некогерентное рассеяние электромагнитных волн в плазме, рассеяние звука и ультразвука в морской воде, распространение в воздухе и морской воде пучков лазерного излучения, проблемы, связанные с точностью измерения радиометодами координат объектов, движущихся в ионосфере или космическом пространстве, и ряд других проблем. Необходимость решения подобных задач послужила причиной разработки и совершенствования статистических методов описания волновых полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах или прошедших слой такой среды.
Обычно под распространением волн в случайно-неоднородных средах понимают достаточно широкий круг вопросов [1, 2]. В настоящей работе мы ограничимся проблемами свободного распространения поля волны в сплошных средах с крупномасштабными флуктуирующими неоднородностями (характерный пространственный масштаб которых много больше длины волны [2]). При этом мы, прежде всего, будем иметь в виду задачу о распространении радиоволн УКВ диапазона в земной ионосфере с флуктуациями электронной концен-
трации, обусловленных вихрями турбулентности, и, как следствие, с флуктуа-циями диэлектрической проницаемости.
Один из способов описания случайного поля заключается в построении его статистических моментов. Большую роль в исследовании случайных полей играют моменты второго порядка: функция когерентности и центральный момент — функция корреляции. Так, именно эти функции необходимы для описания энергии монохроматического и немонохроматического (импульсного) сигнала в среде с флуктуациями. Здесь, в представленной работе мы будем интересоваться только этими моментами. Даже в самом простом случае, когда скалярное поле распространяющейся волны подчиняется волновому уравнению (уравнению Гельмгольца) — такая постановка задачи встречается довольно часто и достаточна для ряда общеволновых явлений — построение статистических моментов сложная математическая задача. Трудность, как известно, заключается в том, что исходное уравнение теории в случае присутствия флуктуации в среде оказывается параметрическим — случайная функция точки и времени, моделирующая диэлектрическую проницаемость в среде с флуктуациями, входит в уравнение в качестве сомножителя при искомой волновой функции [1, 2]. Поэтому для решения этой проблемы приходится прибегать к приближённым способам построения реализаций поля волны и его статистических моментов в случайно-неоднородной среде, в основе которых лежит представление о малости тех или иных параметров задачи.
При распространении волн в случайно-неоднородных средах возможны две качественно разные ситуации: режим слабых флуктуации поля (амплитуды) и режим сильных флуктуации. В первом случае для расчёта реализаций случайного поля и его моментов обычно применяют методы, в основе которых, по сути, лежит в той или иной форме метод возмущений по малой величине флуктуации диэлектрической проницаемости (по корню квадратному из дисперсии этой величины). К таким методам относятся приближение однократного рассеяния (борновское приближение), метод геометрической оптики, в дальней-
шем МГО, и метод Рытова — метод плавных возмущений, в дальнейшем МПВ. Из перечисленных методов наиболее универсальным можно считать МПВ, поскольку он позволяет в определённой мере учитывать дифракционные эффекты и эффекты многократного рассеяния. Изначально этот метод был предложен С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции света на ультразвуковой волне [3], к статистическим задачам его впервые применил А. М. Обухов [4]. К настоящему моменту издано достаточно много монографий, сборников и обзоров статей, где подробно изложен МПВ и показано его применение к случаю распространения волны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном [1, 2, 5 — 11]. МПВ применялся для расчётов статических характеристик полей в случайных средах в разных физических задачах, так, например, в работах [12, 13] с помощью этого метода рассматривалось распространение радиоволн и волн оптического диапазона соответственно в турбулентной атмосфере, в работе [14] данный метод использовался при изучении статистических проблем в астрофизике. Границы области применения классического варианта МПВ обсуждались во многих работах. Помимо приведённых выше работ, где непосредственно описан сам метод, можно указать также ещё ряд работ [15 — 19], в которых приведены как теоретические оценки, так и экспериментальные данные. Наряду с требованиями, связанными с расстоянием, пройденным волной в случайно-неоднородной среде, с характерным размером флуктуирующих неодно-родностей и частотой волны, по-видимому, наиболее существенным является ограничение, определяемое режимом флуктуации поля: дисперсия логарифма амплитуды поля в первом приближении должна быть не больше единицы [1,2, 9]. Однако расчёты флуктуации фазы волны, выполненные в рамках МПВ, оказываются пригодными и в области сильных флуктуации поля [1, 2, 9].
Как известно, при построении квадратичных характеристик поля в рамках МПВ необходимо проводить рассуждения с точностью до второго члена (как минимум) ряда возмущений для комплексной фазы [6]. В работах [19, 20] разложение метода Рытова сравнивалось с борновским разложением метода рас-
сеяния, и был предложен оригинальный способ построения второго члена разложения комплексной фазы метода Рытова — он был выражен в терминах борцовского разложения через рассеянные поля второго и первого приближения (рассеянные поля первой и второй кратности). В работе [21] был развит метод построения моментов первого и второго приближений комплексной фазы, предложенный в [20, 22], и в результате была построена двухчастотная двухпо-зиционная функция когерентности поля гауссового волнового пучка в случайной среде, при этом для описания поля пучка использовалось представление, предложенное ранее в работе [23].
Мы рассмотрели применение МПВ для задач с однородным фоном, однако большинство реальных сред с флуктуациями, и в том числе возмущённая ионосфера, имеют неоднородный фон. В ряде работ [24 — 32] было предложено и развито обобщение МПВ на случай распространения поля в случайной среде — ионосфере с флуктуациями диэлектрической концентрации — со слоисто-неоднородным фоном. При таком подходе для построения статистических характеристик поля применялись локальные лучевые переменные, связанные с полем отдельного луча в плавно-неоднородной среде фона. Подобный подход неприменим в ситуациях, где появляются эффекты многолучёвости, например, вблизи каустик, или эффекты фокусировок поля. В этом случае для описания поля в случайной среде с таким фоном необходимо использовать интегральное представление поля по парциальным волнам [33 — 38]. Обобщение МПВ на случай трёхмерно-неоднородной среды фона предложено в работе [39].
Теперь перейдём к режиму сильных флуктуации амплитуды поля. В этом случае, пожалуй, наиболее разработанным и удобным методом для расчёта моментов поля является метод диффузионного марковского приближения для параболического уравнения. Как известно, для его применения не требуется предположений о малости флуктуации амплитуды волны, и поэтому этот метод можно использовать как в случае слабых, так и в случае сильных флуктуации (поля). Одна из особенностей метода параболического уравнения в марковском
приближении заключается в том, что в его рамках выводятся уравнения непосредственно для моментов поля, в том числе и для интересующего нас момента второго порядка — функции когерентности. Метод марковского приближения, был разработан в [40 — 46]. В работах [2, 9, 10, 47 — 49] достаточно подробно показано его применение для ставшей классической задачи о распространении волны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном без потерь в разном физическом контексте. В этих же работах обсуждаются границы применения данного метода.
Обычно в литературе, где приводится вывод уравнений для моментов поля в рамках диффузионного марковского приближения, предполагается, с теми или иными оговорками, что случайное поле флуктуации среды гауссово. Тогда, например, можно воспользоваться аппаратом функциональных производных и, привлекая формулу Фуруцу-Новикова [50], получить нужные уравнения моментов [2, 40, 42]. Альтернативный способ вывода этих уравнений описан в [2, 41, 42]. В работах [51, 52] предложен способ получения этих же уравнений для моментов волнового поля и уравнения Фоккера — Планка (Эйнштейна — Фок-кера согласно [2, 49]) в функциональных производных для характеристического функционала случайного поля распространяющейся волны без привлечения предположения о гауссовом характере флуктуации неоднородностей среды. Однако В. И. Кляцкин не согласен с методом, предложенным в работах [51, 52]. Случай, когда флуктуирующие неоднородности среды представляют собой негауссово случайное поле, специально разобран им в работах [53, 54], где выведены уравнения для моментов и уравнение (в функциональных производных) для характеристического функционала волнового поля.
В первых работах, посвященных марковскому приближению, если говорить о втором моменте, интересовались чисто пространственной двухточечной (од-ночастотной) функцией когерентности. Был предложен метод построения точного аналитического решения соответствующего уравнения в одночастотном случае при произвольных граничных условиях (при условии нормального паде-
ния волны на полупространство с флуктуациями), а также получено точное решение для функции когерентности в случае падения плоской волны [1, 2, 9, 10, 42, 44]. При этом среда фона считалась однородной.
В работе [55] метод марковского приближения обобщён на случай распространения поля волны в случайно-неоднородной среде с потерями (поглощением), при этом мнимая часть диэлектрической проницаемости, описывающая поглощение, тоже предполагалась случайной. Среда фона по-прежнему считалась однородной. В указанной работе для случая учёта поглощения получены уравнения для пространственных моментов поля и в том числе и для одночастотной двухпозиционной функции когерентности. В дальнейшем мы не будем больше касаться случая сред с поглощением, так как в задачах о трансионосферном распространении высокочастотных сигналов потерями (определяемыми мнимой частью комплексной диэлектрической проницаемости) традиционно пренебрегают, поскольку частота волны (несущая) много больше эффективной частоты соударений электронов с другими частицами.
Известен ряд работ, где параболическое уравнение для функции когерентности поля обобщается на случай неоднородного фона. Так в работе [56] учитывается плавная неоднородность фона в поперечном направлении (относительно выделенного направления распространения волны) с помощью добавления дополнительного члена в параболическое уравнение для одночастотной функции когерентности. В этой же работе предложен способ учёта статистической анизотропии среды. В работе [57] найдено решение уравнения, представленного в [56], для случая, когда среда фона зависит только от одной координаты, играющей роль, например, глубины или высоты (в этих работах рассматривается акустическая задача и функция когерентности строится для случайного поля давления), причём эта зависимость определённая: среднее волновое число изменяется по параболическому закону относительно этой переменной. В работе [58] это уравнение рассматривается уже при произвольной зависимости фона от одной из поперечных переменных и строится его решение с помощью асимпто-
тического метода, предложенного в [59] при решении детерминированной задачи о интенсивности поля вблизи каустик. В основе этого метода лежит выделение быстрых и медленных переменных с последующим применением процедуры двухмасштабного разложения. Однако наибольший интерес представляет случай, когда свойства фона среды изменяются (плавно) произвольным образом относительно всех трёх пространственных переменных. Для такого случая тоже оказывается возможным применить технику параболического уравнения: так в работе [60] предложен вывод параболического уравнения для отдельной реализации поля (стохастического уравнения) и для моментов поля в полных лучевых координатах — ортогональной криволинейной системе координат, в основе которой полный набор лучей данного лучевого поля (например, центрального поля лучей) в пределах сохранения взаимно однозначного соответствия (пока нет многолучевости) определения координат точки, например, по отношению к декартовым координатам. Известен и другой способ формулировки параболического уравнения в плавно-неоднородной среде: для этого можно использовать локально-лучевые координаты — криволинейная ортогональная система координат, связанная с выделенным лучом в невозмущённой неоднородной среде (без флуктуации). Параболическое уравнение в этих переменных применялось в детерминированной задаче для поля акустического давления звукового пучка в трёхмерной неоднородной среде [61], а также при описании акустического поля случайно-неоднородной среде с неоднородным фоном [62 — 64]. Для решения таких уравнений, которым удовлетворяют одночастотная пространственная функция когерентности и высшие моменты поля соответственно, был предложен асимптотический метод трёхмасштабных разложений в [62, 63] и метод многомасштабных разложений при более сложных условиях задачи [64], представляющие собой развитие метода двухмасштабного разложения [58 — 59].
Мы обсудили проблему построения одночастотной пространственной функции когерентности поля, однако, в ряде задач необходимо учитывать таюке час-
тотную когерентность. Всё дальнейшее изложение будет относиться к случаю однородной среды фона, если специально не оговорено обратное. По-видимому, набор уравнений для моментов поля распространяющейся волны, учитывающих также статистическую связь между полями разных частот (в различных точках пространства), можно получить аналогично одночастотному случаю [2]. Точное аналитическое решение соответствующего уравнения для второго момента — двухчастотной двухпозиционной функции когерентности имеет ряд трудностей, которые обсуждаются ниже, и не найдено до сих пор. Не найдено и достаточно хорошего приближенного метода решения данного уравнения.
В случае падения плоской волны на область с флуктуациями (предполагается, что граница области — плоскость) исследуемое уравнение заметно упрощается. Для этого случая в ряде ранних работ, посвященных исследованию случайных полей в рамках марковского приближения, эта проблема была исследована численно [10, 65 — 68], к этим же работам по постановке задачи следует отнести и [69]. В последней работе [69] приводится уравнение для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в среде с крупномасштабными флуктуациями, но без предположения о дельта-коррелированности случайного поля диэлектрической проницаемости среды, и для случая падения плоской волны численно построена одночастотная функция когерентности при разных значениях параметров задачи. В работах [65, 67] марковское приближение применялось к статистическим проблемам в астрофизическом контексте, и была численно построена двухчастотная двухпозиционная функции когерентности для обратно степенного (спектра Колмогорова) и гауссова спектров флуктуации неоднородностей среды. При этом для гауссова спектра использовалась квадратичная аппроксимация эффективной структурной функции флуктуации среды, особенности и недостатки такой аппроксимации мы обсудим ниже. В [10] приведены расчёты интересующей нас функции когерентности для случая аппроксимации структурной функции среды рациональной функцией,
соответствующей спектру Колмогорова. В работе [66] исследовался трансионосферный канал связи, и было построено численное решение соответствующего уравнения для двухточечной двухчастотной функции когерентности поля. При этом область с флуктуациями моделировалась слоем конечной толщины, и решение уравнения строилось за этим слоем. В указанной работе функция когерентности была построена для случаев обратно степенного и гауссова спектров флуктуации электронной концентрации среды, причём о каких-либо приближениях эффективной структурной функции не говорится.
Теперь перейдём к вопросу о поиске аналитического решения интересующего нас уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля. Прежде всего, следует отметить, что если область с флуктуациями моделируется в задаче достаточно тонким слоем, таким что можно пренебречь дифракционными эффектами внутри этого слоя, то тогда в уравнении можно пренебречь дифракционными членами — лапласианами по поперечным пространственным переменным [65]. При таком подходе остаётся учёт рефракции. В указанной работе таким способом была построена функция когерентности поля за тонким слоем с флуктуациями. В этом случае уравнение заметно упрощается — становится обыкновенным линейным дифференциальным уравнением (первого порядка), и его решение очевидно.
В ряде первых работ [70 — 73] предлагалось строить аналитическое решение интересующего нас уравнения в духе МПВ: путём подстановки перейти в уравнении к новой неизвестной функции — комплексной фазе, а затем воспользоваться рядом возмущений и пренебречь малыми нелинейными членами. Однако при таком подходе теряется главное преимущество метода марковского приближения — возможность его применения для режима сильных флуктуации поля. К этой же группе работ молено отнести и [74], где рассматривалось рассеяние плоской волны оптического диапазона (оптического импульса) в плотном облаке на хаотически расположенных (дискретных) частицах, при этом для функции когерентности поля волны в приближении рассеяния вперёд было по-
лучено уравнение формально схожее с рассматриваемым, для решения которого и применялся обсуждаемый метод. В работах [71, 72] функция когерентности, построенная в данном приближении, использовалась для описания трансионосферного канала связи.
Рассматривая известные на данный момент способы построения аналитического решения уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном марковском приближении, следует отметить следующее весьма важное обстоятельство. Традиционно предполагается, что в режиме сильных флуктуации поля функция корреляции поля достаточно быстро убывает по сравнению с корреляционной функцией флуктуации среды при росте расстояния между точками в поперечной плоскости, для которых рассматривается корреляция, а функция когерентности поля, очевидно, при этом должна быстро стремиться к константе. Это позволяет в данном режиме применять при малых значениях разностной поперечной переменной различные аппроксимации эффективной структурной функции (или эффективной корреляционной функции) флуктуации среды, например, приближая её с помощью параболической функции, не принимая во внимание дальнейшее поведение этих приближённых функций (при больших значениях поперечной разностной переменной). Однако для того чтобы полученное решение рассматриваемого уравнения могло работать и в режиме слабых (или умеренных) флуктуации поля, необходимо использовать лишь такие модели эффективной структурной функции флуктуации среды, которые стремятся к положительной константе при стремлении поперечной разностной переменной к бесконечности.
В уже упоминавшейся работе [73] для случая сильных флуктуации поля было предложено изменение приведённой там схемы решения с применением неизвестной функции — комплексной фазы: комплексная фаза раскладывалась в ряд Маклорена при малых значениях разностной поперечной координаты и оставлялись члены не старше квадратичного. Тогда при параболической аппроксимации эффективной корреляционной функции флуктуации среды удаётся по-
строить решение уравнение, падающая волна при этом была плоской. С другой стороны, в работе [75] было найдено точное аналитическое решение задачи в случае падения плоской волны при квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуирующих неоднородностей среды. Это точное решение также было получено в работе [76], там же с позиции точного аналитического решения были проанализированы численные результаты работ [65, 67]. В работе [68] численно исследовалась задача о рассеянии оптического импульса в плотном облаке на дискретных хаотически расположенных частицах. В данной работе было показано, что в случае малых значений "оптического расстояния" — параметра задачи, связанного с расстоянием, пройденным волной в такой среде, можно пользоваться решением, полученным в приближении МПВ в работе [74]. В случае больших значений этого параметра можно использовать в данной задаче точное аналитическое решение работы [75]. Известно два обобщения этого точного решения: в работе [77] построено точное аналитическое решение интересующего нас уравнения для случая падения волнового пучка на область с флуктуациями. В указанной работе решение строилось с помощью преобразования Фурье по суммарным переменным. В работе [78] был предложен способ построения точного аналитического решения уравнения для случая, когда полем, падающим на область с флуктуациями, является поле сферической волны. В этих работах [77, 78] эффективная структурная функция флуктуации среды по-прежнему оставалась параболической, что не даёт возможности использовать полученные решения для режима умеренных и слабых флуктуации поля. В работе [79] было предложено обобщение решения работы [78] на случай статистически анизотропных флуктуации среды, при этом также учитывалась возможность зависимости флуктуации от времени.
В работе [80] для решения интересующего нас уравнения был применён метод дифракции на множественных фазовых экранах. Суть метода заключалась в следующем: протяжённый слой конечной толщины, где происходят флуктуации электронной концентрации, моделируется набором тонких фазовых экра-
нов. Внутри экрана пренебрегают дифракционными членами, тогда, как уже отмечалось выше, параболическое уравнение для функции когерентности упрощается и его легко решить. Между экранами никаких флуктуации нет — в этом случае тоже можно построить функцию когерентности по заданному условию на выходе с предыдущего экрана, например, с помощью двойного преобразования Фурье. В данной работе рассматривалось падение поля сферической волны на область с флуктуациями, при этом для упрощения уравнения было использовано преобразование исходного уравнение, предложенное в [78]. В случае квадратичной аппроксимации эффективной корреляционной функции флуктуации среды предложенным методом можно аналитически получить решение для функции когерентности (в области за экранами) при произвольном количестве экранов. В противном случае необходимо прибегать к численным расчётам. В данной работе для случая квадратичной эффективной структурной функции была построена функция когерентности поля для двух разных частот, двух разных поперечных координат и двух разных моментов времени. Флуктуации среды считались статистически анизотропными и зависящими от времени — была использована модель вмороженного переноса. При этом данный метод позволяет считать, что внутри каждого слоя — экрана скорость переноса разная, что даёт возможность более адекватно описать область с флуктуациями. Сравнение с результатами работы [78], где тоже рассматривалось распространение поля изначально сферической волны в протяжённом слое с флуктуациями и строилось решение за этим слоем, показало, что использование модели с шестью экранами приводит лишь к незначительным отличиям от точного решения [78], которые исчезают при увеличении числа экранов до двенадцати.
Авторы работ [81 — 84] применили к решению данной проблемы классический метод разделения переменных, а в случае статистически однородных флуктуации и однородного фона переменные разделяются, и представили решение уравнения для функции когерентности в виде разложения в ряд по собственным функциям соответствующего поперечного эллиптического диффе-
ренциального оператора. При этом эффективная структурная функция флуктуации неоднородностей среды могла быть произвольной. При использовании квадратичной эффективной структурной функции неоднородностей этот метод также даёт известные результаты [75, 77]. Однако применение данного метода сопряжено с рядом трудностей. Прежде всего, следует отметить, что при преобразовании уравнения, связанным с заменой поперечных переменных, которую используют авторы метода, у соответствующего дифференциального оператора появляется сингулярность при стремлении разностной частоты к нулю. С другой стороны, при определённых условиях задачи, например, в случае падения плоской волны, появляются проблемы со сходимостью рядов на граничной плоскости (при стремлении к нулю расстояния, пройденного волной в среде с флуктуациями). В случае описания флуктуации среды реалистичными мо- „ делями эффективной структурной функции, т. е. функциями, стремящимися к положительной константе при стремлении поперечной разностной переменной к бесконечности, у поперечного оператора, по-видимому, может появиться также сплошной спектр, что заметно усложняет построение функции когерентности. Рассматриваемая схема решения, очевидно, не работает, если перемен-; ные в уравнении не делятся, что может иметь место в случае неоднородного фона или отсутствия у флуктуации среды статистической пространственной однородности.
Выше мы уже обсуждали возможность применения метода параболического уравнения для случая, когда среда с флуктуациями имеет плавно-неоднородный фон. При этом мы рассматривали уравнение для одночастотной функции когерентности поля распространяющейся волны. В работе [85] исследовался случай, когда фон среды плавно зависит от двух поперечных координат, и было предложено обобщение уравнения, введённого в работе [56] и решавшегося в работах [57, 58], на случай зависимости функции когерентности поля также и от двух разных частот. Для построения решения данного уравнения в [85] применялся уже упоминавшийся выше асимптотический метод
двухмасштабного разложения, разработанный в [58, 59] и основанный на увеличении числа переменных задачи — введении быстрых и медленных переменных. При этом решение формулировалось в терминах лучей геометрической акустики. Используя данный метод, автору [85] удалось получить в явном виде интегральное выражение для искомой функции когерентности. В качестве частного случая предложенного интегрального представления функции когерентности был рассмотрен случай однородного фона среды с флуктуациями. Для однородного фона в данной работе был продемонстрирован переход к известному одночастотному решению [1, 2, 9, 10, 42, 44]. Также для случая однородного фона было получено выражение для функции когерентности в случае квадратичной эффективной структурной функции флуктуации среды. Из сравнения полученного решения (приближённого) с известным точным решением, задачи [75] автор работы [85] сделал вывод о пригодности предложенного им интегрального представления в случае не очень больших расстояний, пройденных волной в среде флуктуациями, и при достаточно малых расстройках частоты.
Говоря о постановке задачи в среде с неоднородным фоном, следует отме-s тить одно важное обстоятельство. В рассмотренной работе [85], а также в работах [62, 63] рассматривалась акустическая задача о распространении поля давления в случайно-неоднородной среде, фон которой не обладает частотной дисперсией. Это делает затруднительным применение методов, разработанных в указанных работах, к задаче о распространении электромагнитных волн в трансионосферном канале (во флуктуирующей ионосфере), поскольку в этом случае поля различных частот распространяются, в общем случае, по разным траекториям.
В работе [86] был предложен альтернативный по отношению к представленному в [85] способ применения асимптотической техники метода двухмасштабного разложения к задаче о построении двухчастотной функции когерентности поля при распространении волны во флуктуирующей среде с однород-
ным фоном. Авторы этой работы рассмотрели случай падения поля плоской волны на границу области с флуктуациями. После значительных преобразований исходного параболического уравнения, связанных с увеличением числа независимых переменных и переходом к новой неизвестной функции, являющейся произведением искомой функции когерентности и функции, удовлетворяющей комплексно сопряжённому уравнению невозмущённой задачи, в данной работе также применялась процедура двухмасштабного разложения. В результате этих преобразований проблема была сведена к дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка, к решению которого затем был применён метод характеристик. При этом, как следует из вида характеристической системы, характеристики должны быть, вообще говоря, комплексными, что должно приводить к дополнительным трудностям. При использовании параболической аппроксимации эффективной структурной функции флуктуации среды предложенный метод позволяет получить известное точное аналитическое решение задачи [75]. Данный метод был также применён к случаю, когда флуктуации среды описывались реалистической моделью эффективной корреляционной функции флуктуации неоднородности среды — профилем Пёшля-Теллера {Poschl-Teller). Характеристическую систему, соответствующую этому случаю, удаётся проинтегрировать, но в результате получаются сложные (трансцендентные) уравнения относительно точек выхода траекторий, аналитически разрешить которые и, соответственно, получить конечный результат в исходных физических координатах не представляется возможным. Также в рассматриваемой работе в рамках предложенного метода решения не был продемонстрирован переход к одночастотному случаю.
Известен ещё один способ построения аналитического решения интересующего нас уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля: в работе [87] это уравнение было сведено к интегральному, к которому затем применялся метод итераций. В результате для функции когерентности поля, прошедшего слой с флуктуациями (конечной толщины), было получено
интегральное выражение, которое содержит разложение эффективной функции корреляции неоднородностей среды в ряд Тейлора по разностным поперечным переменным. Подобный подход применим при самых общих условиях постановки задачи, фон среды с флуктуациями при этом считался однородным. При переходе к одночастотному случаю данное представление, по утверждению авторов, позволяет получить известное аналитическое выражение для функции когерентности [75, 78]. Однако примера построения функции когерентности поля с помощью предложенного интегрального представления в случае описания флуктуации среды какой-либо конкретной реалистической моделью эффективной корреляционной функции продемонстрировано не было. В рассматриваемой работе [87] и в работе [88] подобный метод был применён для расчёта временных статистических характеристик импульсного сигнала, прошедшего слой через слой с флуктуациями (в задаче о трансионосферном распространении).
Существуют и другие способы расчёта статистических характеристик случайных полей, в том числе и функции когерентности поля, в режиме сильных флуктуации (поля). Так в работе [6, 15] задача о распространении поля волны (плоской) в случайно-неоднородной среде в режиме сильных флуктуации амплитуды поля рассматривалась в приближении МГО в предположении о малости флуктуации направления лучей (направления распространения волны). В работе [89] к задаче о построении двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля волнового пучка в случайной среде с однородным фоном был применён обобщённый метод Гюйгенса-Френеля [9, 90, 91] (В отечественной литературе известный как метод Гюйгенса-Кирхгофа). И хотя в рамках данного метода для построения моментов функции, определяющей случайный набег фазы сферических волн, можно использовать МПВ [9, 89, 90], есть основания полагать, в том числе и опираясь на экспериментальные данные, что результаты, полученные обобщённым методом Гюйгенса-Френеля будут верны и в режиме сильных флуктуации поля, там, где непосредственное применение
МПВ невозможно [9, 89]. В случае, когда в качестве граничного условия задачи выступает поле волнового пучка и при квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуации среды данный метод приводит к известному результату, полученному в рамках марковского приближения [77].
В ряде работ [92 — 95] для решения проблем, связанных со статистическим описанием полей, распространяющихся в случайно-неоднородных средах, был применён заимствованный из квантовой механики метод интегралов по траекториям, изложенный в [96]. Данный метод также применим и в случае режима сильных флуктуации поля. В рамках этого можно получить выражение для отдельной реализации случайного поля (в приближении квазиоптики), однако применение его для построения моментов поля вызывает ряд трудностей. Как показано в работе [93], применение метода интеграла по траекториям к проблемам, связанным с построением двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в случайной среде с недиспергирующим однородным фоном (нахождение средней интенсивности импульсного сигнала), при использовании квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции флуктуирующих неоднородностей среды (в предположении о дельта-коррелированности этих флуктуации), также приводит к известному результату, полученному с помощью метода параболического марковского уравнения [75]. В работе [95] был предложен способ вычисления путевых интегралов Фейнмана с помощью техники кумулянтного (семиинвариантного) разложения, и затем данный метод был применён для построения одноточечной двухчастотной функция когерентности поля.
Другой важной характеристикой поля волны, распространяющейся в случайно-неоднородной среде с пространственно-временными флуктуациями параметров, будет функция рассеяния. Функция рассеяния представляет собой распределение энергии (средней) изначально монохроматического сигнала по доплеровским частотам, временам групповой задержки и возможно по углам прихода [97, 32]. Функцию рассеяния наиболее общего вида формально можно
получить с помощью преобразования Фурье от функции корреляции поля волны по разностному времени, разностной частоте и разностной поперечной координате [97, 32]. Примеры функции рассеяния, построенной на основании экспериментальных данных, для ионосферного KB канала приведены в работах [80, 98]. В работе [32] для этого же случая функция рассеяния была построена численно, используя обобщенный метод Рытова для существенно-неоднородной фоновой среды в предположении о ненасыщенном режиме флуктуации.
В ряде работ [75, 78 — 80] функция рассеяния строилась с помощью соответствующих преобразований Фурье от функции когерентности поля. При этом функция когерентности во всех этих работах была найдена как решение соответствующего параболического уравнения в диффузионном марковском при-,, ближений при аппроксимации структурной функции флуктуации электронной концентрации квадратичной функцией. Так в работе [78] таким образом было получено аналитическое выражение для функции рассеяния поля сферической волны за слоем с флуктуациями в пространстве времён задержки сигнала и волновых векторов. В работе [79] для этого же случая была построена более общая функция рассеяния, включающая в качестве аргумента также и допле-ровское уширение частоты. При этом в данной работе [79] использовались разные модели зависимости флуктуирующих неоднородностей от времени: модель вмороженного переноса и турбулентная модель. В работе [80] функция рассеяния была построена также и теоретически исходя из функции когерентности, полученной методом множественных фазовых экранов (тоже при квадратичной структурной функции флуктуации внутри каждого экрана, включающей в себя и временную зависимость). Как уже обсуждалось выше, параболическая модель эффективной структурной функции флуктуации среды удобна с точки зрения математики при решении соответствующего параболического уравнения, но при этом не адекватно отражает статистические свойства случайных неоднородностей. Поэтому и функция когерентности, полученная с её использовани-
ем, обладает нереальными свойствами, что и позволило в данном случае построить функцию рассеяния (как преобразование Фурье от функции когерентности). Следует отметить, что построенная таким образом функция рассеяния поля работает в режиме сильных флуктуации поля и при значительной экс-тинкции среднего поля, обусловленной протяжённостью трассы в случайно-неоднородной плазме.
В предлагаемой работе объектом исследования будут моменты второго порядка — функции когерентности и корреляции поля, и функция рассеяния. В качестве случайно-возмущённой среды выбрана плазма с флуктуациями электронной концентрации. Плазма фона (невозмущённая плазма) будет считаться однородной.
В первых двух главах рассмотрен режим слабых флуктуации поля. В первой главе построены в приближении метода Рытова (МПВ) функции корреляции и когерентности поля плоской волны для двух пространственных точек, двух разных частот и двух моментов времени. Результаты первой главы можно расценивать как технические, вспомогательные, они необходимы для дальнейшего построения функции рассеяния. Во второй главе аналитически построена функция рассеяния поля плоской волны во флуктуирующей плазме. В рамках МПВ предложенным способом аналитически построена функция рассеяния для двух моделей корреляционной функции флуктуации неоднородностей среды — гауссового и степенного (анизотропных) спектров. Приведено обобщение решения на случай конечной толщины слоя с флуктуациями. Результаты первых двух глав были частично доложены на конференции [99].
В третьей и четвёртой главах рассматривается двухчастотная двухпозицион-ная функция когерентности поля в приближении диффузионного марковского процесса. В третьей главе сформулирован новый для этой проблемы асимптотический метод построения решения соответствующего параболического уравнения при произвольной эффективной корреляционной (и, соответственно, эффективной структурной) функции неоднородностей среды. Метод разработан
для случаев нормального падения плоской и сферической (в малоугловом приближении) волн на область с флуктуациями, а затем предложено два альтернативных варианта его обобщения на случай падения волны произвольного вида — на случай, когда в качестве граничного условия к соответствующему уравнению для функции когерентности выступает произвольная функция. При использовании квадратичной аппроксимации эффективной структурной функции предложенный метод автоматически приводит к известным результатам [75, 78]. Результаты третьей главы в части, касающейся плоской волны, опубликованы в работе [100]. В работе [100] каждым из соавторов выполнена одна треть работы. А также результаты этой главы частично были сообщены на конференциях [101, 102]. Результаты, относящиеся к случаю падения волн произвольной формы и, как частный случай, падению сферической волны, опубликованы в работе [103, 104]. В работе [103] каждому из соавторов принадлежит одна треть представленного материала. В работе [104] Н. Н. Зернову принадлежит постановка задачи, А. А. Битюков предложил способ обобщения метода на случай падения волн произвольного вида на область с флуктуациями. Изложение асимптотического метода в случае падения сферической волны будет близким работе [105]. В четвёртой главе показано применения предложенного асимптотического метода для построения функции когерентности поля в случае падения сферической волны при использовании реалистических моделей эффективной корреляционной функции флуктуации среды. Рассмотрены случаи обратно степенной и экспоненциальной эффективной корреляционной функции неод-нородностей, а также профиль Пёшля-Теллера, заимствованный из [86]. Результаты, приведённые в четвёртой главе, частично опубликованы в работе [105]. В последней работе Н. Н. Зернову принадлежит постановка задачи, А. А. Битюков предложил способ развития метода и выполнил построение функции когерентности для реалистических моделей корреляционной функции. Некоторые результаты, приведённые в третьей и четвёртой главах и относящиеся к случаю
распространения поля сферической волны, были сообщены на конференции [106].
В представленной диссертационной работе выдвигаются на защиту следующие положения:
Аналитическое построение в рамках МПВ функции рассеяния поля плоской волны в плазме с однородным фоном и флуктуациями электронной концентрации с корреляционной функцией общего вида. Функция рассеяния построена как для случая, когда случайно-неоднородная плазма занимает неограниченное полупространство, так и произведено обобщение на случай слоя с флуктуациями конечной толщины.
Результаты расчётов функции рассеяния по полученным соотношениям для двух анизотропных моделей флуктуации неоднородностей среды и различных гелио- и геофизических параметров, моделирующих высокочастотный канал распространения. Полученные результаты позволяют строить численные оценки функции рассеяния для различных условий распространения в этом канале.
Применён асимптотический метод построения решения параболического уравнения для двухчастотной двухпозиционной функции когерентности поля в диффузионном марковском приближении, основанный на квазиклассическом приближении с комплексными траекториями. Предлагаемый метод пригоден для построения функции когерентности в случае реалистических моделей эффективной корреляционной функции флуктуации среды и позволяет описывать как режим сильных флуктуации поля (в рамках марковского приближения), так и режим умеренных и слабых флуктуации.
Обобщение представленного метода, изначально сформулированного для случая падения плоской волны на границу полупространства с флуктуациями, как на случай падения сферической волны, так и на случай падения волн произвольного вида на область с флуктуациями.
Построение с помощью развитого метода функции когерентности поля в случае падения сферической волны для трёх реалистических моделей эффек-
тивной корреляционной функции флуктуации электронной концентрации — обратно степенной, экспоненциальной и профиля Пёшля-Теллера.
Научная новизна представленной работы заключена в следующих результатах:
В рамках МПВ предложен аналитический способ построения функции рассеяния поля в случайно-неоднородной среде с однородным фоном, в основе которого лежит физически корректное представление функции рассеяния ПОЛЯ в среде с флуктуациями как преобразование Фурье от функции корреляции поля по разностному времени, разностной координате и разностной частоте.
Построена функция рассеяния поля плоской волны в случайно-неоднородной плазме для метрового и дециметрового диапазонов и для ряда типичных ионосферных параметров.
Квазиклассическим приближением с комплексными траекториями построено решение марковского параболического уравнения для двухчастотной двухпо-зиционной функции когерентности поля. Предложенный асимптотический метод применён для случаев падения плоской и сферической волны на область с флуктуациями, а также развит на случай, когда падающее на границу полупространства с флуктуациями поле, представляет собой заданную волну достаточно произвольного вида.
С помощью разработанного метода аналитически построена функция когерентности поля сферической волны в среде с флуктуациями электронной концентрации, описываемыми реалистическими моделями эффективной структурной функции.
1. Физическая и математическая постановка задачи
В предлагаемой работе рассматриваются задачи распространения волн в случайных средах, т. е. в средах с пространственно-временными флуктуациями параметров. В качестве среды со случайными параметрами мы выберем плазму с флуктуациями электронной концентрации. Мы будем использовать модель холодной, изотропной, бесстолкновительной плазмы.
Построение моментов комплексной фазы
Обычно под распространением волн в случайно-неоднородных средах понимают достаточно широкий круг вопросов [1, 2]. В настоящей работе мы ограничимся проблемами свободного распространения поля волны в сплошных средах с крупномасштабными флуктуирующими неоднородностями (характерный пространственный масштаб которых много больше длины волны [2]). При этом мы, прежде всего, будем иметь в виду задачу о распространении радиоволн УКВ диапазона в земной ионосфере с флуктуациями электронной концен- трации, обусловленных вихрями турбулентности, и, как следствие, с флуктуа-циями диэлектрической проницаемости.
Один из способов описания случайного поля заключается в построении его статистических моментов. Большую роль в исследовании случайных полей играют моменты второго порядка: функция когерентности и центральный момент — функция корреляции. Так, именно эти функции необходимы для описания энергии монохроматического и немонохроматического (импульсного) сигнала в среде с флуктуациями. Здесь, в представленной работе мы будем интересоваться только этими моментами. Даже в самом простом случае, когда скалярное поле распространяющейся волны подчиняется волновому уравнению (уравнению Гельмгольца) — такая постановка задачи встречается довольно часто и достаточна для ряда общеволновых явлений — построение статистических моментов сложная математическая задача. Трудность, как известно, заключается в том, что исходное уравнение теории в случае присутствия флуктуации в среде оказывается параметрическим — случайная функция точки и времени, моделирующая диэлектрическую проницаемость в среде с флуктуациями, входит в уравнение в качестве сомножителя при искомой волновой функции [1, 2]. Поэтому для решения этой проблемы приходится прибегать к приближённым способам построения реализаций поля волны и его статистических моментов в случайно-неоднородной среде, в основе которых лежит представление о малости тех или иных параметров задачи.
При распространении волн в случайно-неоднородных средах возможны две качественно разные ситуации: режим слабых флуктуации поля (амплитуды) и режим сильных флуктуации. В первом случае для расчёта реализаций случайного поля и его моментов обычно применяют методы, в основе которых, по сути, лежит в той или иной форме метод возмущений по малой величине флуктуации диэлектрической проницаемости (по корню квадратному из дисперсии этой величины). К таким методам относятся приближение однократного рассеяния (борновское приближение), метод геометрической оптики, в дальнейшем МГО, и метод Рытова — метод плавных возмущений, в дальнейшем МПВ. Из перечисленных методов наиболее универсальным можно считать МПВ, поскольку он позволяет в определённой мере учитывать дифракционные эффекты и эффекты многократного рассеяния. Изначально этот метод был предложен С. М. Рытовым в детерминированной задаче о дифракции света на ультразвуковой волне [3], к статистическим задачам его впервые применил А. М. Обухов [4]. К настоящему моменту издано достаточно много монографий, сборников и обзоров статей, где подробно изложен МПВ и показано его применение к случаю распространения волны в случайно-неоднородной среде с однородным фоном [1, 2, 5 — 11]. МПВ применялся для расчётов статических характеристик полей в случайных средах в разных физических задачах, так, например, в работах [12, 13] с помощью этого метода рассматривалось распространение радиоволн и волн оптического диапазона соответственно в турбулентной атмосфере, в работе [14] данный метод использовался при изучении статистических проблем в астрофизике. Границы области применения классического варианта МПВ обсуждались во многих работах. Помимо приведённых выше работ, где непосредственно описан сам метод, можно указать также ещё ряд работ [15 — 19], в которых приведены как теоретические оценки, так и экспериментальные данные. Наряду с требованиями, связанными с расстоянием, пройденным волной в случайно-неоднородной среде, с характерным размером флуктуирующих неодно-родностей и частотой волны, по-видимому, наиболее существенным является ограничение, определяемое режимом флуктуации поля: дисперсия логарифма амплитуды поля в первом приближении должна быть не больше единицы [1,2, 9]. Однако расчёты флуктуации фазы волны, выполненные в рамках МПВ, оказываются пригодными и в области сильных флуктуации поля [1, 2, 9].
Как известно, при построении квадратичных характеристик поля в рамках МПВ необходимо проводить рассуждения с точностью до второго члена (как минимум) ряда возмущений для комплексной фазы [6]. В работах [19, 20] разложение метода Рытова сравнивалось с борновским разложением метода рассеяния, и был предложен оригинальный способ построения второго члена разложения комплексной фазы метода Рытова — он был выражен в терминах борцовского разложения через рассеянные поля второго и первого приближения (рассеянные поля первой и второй кратности). В работе [21] был развит метод построения моментов первого и второго приближений комплексной фазы, предложенный в [20, 22], и в результате была построена двухчастотная двухпо-зиционная функция когерентности поля гауссового волнового пучка в случайной среде, при этом для описания поля пучка использовалось представление, предложенное ранее в работе [23].
Мы рассмотрели применение МПВ для задач с однородным фоном, однако большинство реальных сред с флуктуациями, и в том числе возмущённая ионосфера, имеют неоднородный фон. В ряде работ [24 — 32] было предложено и развито обобщение МПВ на случай распространения поля в случайной среде — ионосфере с флуктуациями диэлектрической концентрации — со слоисто-неоднородным фоном. При таком подходе для построения статистических характеристик поля применялись локальные лучевые переменные, связанные с полем отдельного луча в плавно-неоднородной среде фона. Подобный подход неприменим в ситуациях, где появляются эффекты многолучёвости, например, вблизи каустик, или эффекты фокусировок поля. В этом случае для описания поля в случайной среде с таким фоном необходимо использовать интегральное представление поля по парциальным волнам [33 — 38]. Обобщение МПВ на случай трёхмерно-неоднородной среды фона предложено в работе [39].
Случай гауссовой корреляционной функции флуктуации неоднородностей среды
По полученной формуле (6.3) построим трёхмерный график функции рассеяния SE(tg,fd) как функции времени групповой задержки tg и доплеровского уширения частоты fd (где fd\ v = 2/r/d) и посмотрим, как меняется его вид при изменении различных параметров. Здесь и далее все расчёты функции рассеяния (вычисление интегралов в соотношении (6.3)) произведены с помощью стандартных программ математического пакета программ MATLAB 6.5. Поскольку эта функция имеет особенность в точке (0,0), то её графики строились при значениях переменной tg больше нуля (tg \-10 14 с).
Ниже будут приведена целая серия результатов, соответствующих типичным ситуациям различного географического положения трансионосферного канала. Везде под скоростью вмороженного переноса будет пониматься некоторая скорость, которая является продуктом (соотношением) скорости направленного переноса неоднородностей (ветра на ионосферных высотах), высоты спутника над поверхностью Земли и его скорости [11]. Мы рассмотрим ряд частот, типичных для спутниковых систем связи: 100 МГц, 500 МГц и 1000 МГц. В качестве плазменной частоты возьмём характерное (возможное) значение для F-слоя fp=5 МГц.
Вначале построим функцию рассеяния SE для следующих значений пространственных масштабных коэффициентов а, Ъ и d функции корреляции флуктуации электронной концентрации Чі:а=2км,6 = 7кми і=5км (таких же, как были выше при оценке дисперсии флуктуации). Построим график функции рассеяния SE для трёх разных значений центральной частоты /: 100 МГц, 500 МГц и 1000 МГц. Остальные параметры при этом будут следующими: расстояние, пройденное волной в среде с флуктуациями z = 300 км, дисперсия флуктуации относительной электронной концентрации т2=0,01, плазменная частота / = 5 МГц, составляющая скорости вмороженного переноса 1 =0,1 км/с. На рисунках 6.1, 6.2 и 6.3 представлены трёхмерные графики функции рассеяния SE при значениях центральной частоты / 100 МГц, 500 МГц и 1000 МГц соответственно. Здесь и в дальнейшем на всех графиках функции рассеяния по оси аппликат отложено значение десятичного логарифма функции рассеяния \gSE.
Увеличение плазменной частоты с /р =5 МГц до / =10 МГц практически не меняет вид графика функции рассеяния (при сохранении всех прочих параметров неизменными). Оставим прежнее значение плазменной частоты / = 5 МГц и увеличим расстояние z, пройденное волной в среде с флуктуациями, — z = 400 км, значение центральной частоты возьмём / = 500 МГц, соответствующий график представлен на рисунке 6.4. И последним параметром, влияние которого на вид графика функции рассеяния мы хотим посмотреть, будет составляющая макроскопической скорости вмороженного переноса вдоль оси ОХ — vx. На рисунках 6.5 и 6.6 представлены графики функции рассеяния SE в случае центральной частоты / = 500 МГц, плазменной частоты fp=5 МГц, длины трассы в среде с флуктуациями z = 300 км и составляющей скорости вмороженного переноса их=1 км/с. Как и следовало ожидать, при увеличении скорости смещения флуктуирующих неоднородностей вид графика функции рассеяния не изменяется при соответствующем уменьшении масштаба оси доплеровского уширения спектра fd, см. рисунок 6.6. Посмотрим вид графика функции рассеяния при малых значениях времён групповой задержки t , остальные параметры оставим такими же как и в предыдущем случае. На рисунке 6.7 построен график функции рассеяния SE в случае меньших на два порядка значений времён групповой задержки tg. Отметим, что от величины дисперсии флуктуации относительной электронной концентрации т2 вид графика функции рассеяния SE не зависит, тж. а1 входит как коэффициент в выражение (6.3) для функции рассеяния SE, от а1 не зависят ни подынтегральная функция, ни нижний предел интегрирования А.
Теперь рассмотрим другое сочетание значений пространственных масштабных коэффициентов а, Ъ и d функции корреляции флуктуации электронной концентрации W. Пусть два из трёх коэффициентов равны между собой, тогда поверхности, на которых функция корреляции среды (и её спектр) принимает одинаковые значения, будут эллипсоидами вращения [ПО], вытянутыми вдоль направления магнитного поля Земли (при этом плазму фона мы всё равно считаем изотропной) [2]. Это типичный случай для среднеширотной ионосферы. Возьмём b = d =3 км и а = 15 км — падающая волна в таком случае распространяется перпендикулярно направлению геомагнитного поля. График функции рассеяния для этого случая приведён на рисунке 6.8. Остальные параметры были взяты такими же, как и в случае, представленном на рисунке 6.2: / = 500 МГц, fp = 5 МГц, ох = 0,1 км/с, z = 300 км и о-2 = 0,01.
Как уже говорилось, при распространении изначально монохроматической волны в плазме с флуктуациями электронной концентрации, в рамках выбранной нами физической модели, происходит уширение спектральной линии вследствие наличия медленных временных изменений у случайных неоднород-ностей, а также появление некоторого распределения времени запаздывания расплывшегося сигнала (ставшего квазимонохроматическим) как из-за дисперсии фона, так и дисперсии самих неоднородностей. Распределение энергии рассеянного на флуктуациях поля волны по доплеровским частотам уширения спектра и временам групповой задержки и описывается функцией рассеяния.
Преобразование уравнения (10.4) в случае фона без дисперсии и точное решение для квадратичной структурной функции
Вначале рассмотрим наиболее простой случай — падение плоской волны на полупространство с флуктуациями диэлектрической проницаемости. Такой случай рассматривается в работе [75], и, как уже говорилось, там предлагается точное аналитическое решение для параболической структурной функции.
Пусть на полупространство с флуктуациями падает плоская волна с единичной амплитудой Е0=е1 ", напомним, мы выбрали систему координат таким образом, что волна распространяется вдоль оси OZ. Также как и в предыдущих главах, будем считать, что на границе раздела справа при z = 0 амплитуда прошедшей волны равна единице. Тогда, поскольку среда обладает статистической однородностью и граничное условие Г не зависит от суммарных поперечных координат, можно считать, что искомая функция когерентности Г также не зависит от этих координат: У5Г = 0 и уравнение (10.4) упрощается. Следуя работе [75], сделаем также дополнительное предположение, упрощающее задачу, и откажемся в уравнение (10.4) от частотной зависимости у функции Д.: Al (0) = 42 (0) = Jf(0), пренебрегая, очевидно, при этом частотной дисперсией среды фона.
Способ интегрирования уравнения (11.2), предложенный в [75], и исследование решения вынесены в приложение, см. Приложение 3. 11.2. Квазиклассическое приближение для уравнения (11.2). Случай фоновой среды без дисперсии
Приведённое для квадратичной структурной функции решение (11.4) может быть использована лишь для описания сильных флуктуации поля. В случае умеренных или слабых флуктуации поля необходимо применять модели структурной функции, стремящейся при р -» оо к конечной положительной константе.
Для решения марковского параболического уравнения (11.2) мы применим новый для этой задачи асимптотический метод, предложенный в нашей работе [100], в основе которого лежит представление о комплексных траекториях, формально аналогичный классическому методу геометрической оптики (МГО). При этом мы получим возможность строить решение для любых реалистических моделей корреляционной функции флуктуации. Здесь мы применим этот метод к уравнению (11.2), которое было получено для случая падения плоской волны на полупространство с флуктуациями на однородном фоне без дисперсии, а в дальнейшем разовьём этот метод для ряда более общих случаев.
Как уже говорилось, в [1, 2, 9, 10, 42, 44] приведено точное решение для функции одночастотной пространственной когерентности поля в случае падения плоской волны на среду с флуктуациями на однородном фоне. Это же решение можно получить предлагаемым методом из системы (11.7) — 01.9), приравнивая kd=0. Уравнение (11.8) для амплитуды нулевого приближения VQ заметно упростится и даст нам константу V0(0), определяемую граничным условием при z = 0 (в рассматриваемом случае, когда амплитуда волны на границе раздела справа, пересчитанная через соответствующий коэффициент Френеля (коэффициент прохождения), равна единице, то V0(0) = 1). Тогда решения однородных уравнений (11.9) для амплитуд высших приближений будут нулевыми в силу граничных условий (11.11) для функции Vm. Уравнение для функции q {p,z) сведётся к обыкновенному дифференциальному уравнению с граничным условием (11.10). И таким образом, уже в первом приближении мы получим точное решение.
Уравнение (11.7) является уравнением типа Гамильтона-Якоби [ПО]. Для его решения формально применим метод характеристик, т.е. будем искать эйконал (р вдоль лучей-траекторий г(г), которые в нашем случае будут комплексными. Вообще, комплексные лучи широко используются в квазиклассическом приближении МГО для описания, например, рассеяния волн на неоднородных образованиях, полей в области каустической тени (и асимптотического представления поля в окрестности самих каустик) или полей в поглощающих средах (как изотропных, так и анизотропных) [121, 123 — 133]. При этом можно по-разному приходить к понятию комплексных траекторий, так, например, в работе [128] предлагалось аналитически продолжить уравнение для функции эйконала в комплексную область координат и затем применить метод характеристик.
Величина т, входящая в уравнения (11.12) — (11.16), — параметр вдоль луча-траектории, как следует из уравнения (11.12), его удобно считать чисто вещественным: reR. Уравнения (11.13) — (11.14) можно считать аналогами уравнений лучей в классическом МГО, они задают, вообще говоря, комплексную траекторию в трёхмерном комплексном пространстве. Систему уравнений (11.12) — (11.16) необходимо дополнить величинами р0, р0±, р0:, р0 — начальными значениями функций р(г), рх(г), р,(т) и ф(т) соответственно на луче-траектории (мы будем считать, что началу луча соответствует значение параметра г = 0 ), т. е. Р(0) = Р0 ={Х0,У0}, Рх(0) = р0± ={/ „,, Р0у} Pz(.) = Pos » PW) = Po
Т. е., компоненты вектора р0 являются комплексными координатами точки выхода луча-траектории (при г = 0) с начальной поверхности S, определяемой в рассматриваемом случае условием z = 0. Точки выхода траекторий р0 должны подбираться таким образом, чтобы при фиксированном лучевом параметре г„ траектория приходила бы в точку наблюдения рн с вещественными координатами: р„еЯ2 [125]. При этом при 0 г г„ векторная функция р(г) принимает комплексные значения: р = р + /р". Уравнение (11.18) определяет функцию р (г) вдоль луча, вышедшего из точки р0, где интеграл вычисляется вдоль луча-траектории р(г). Таким образом, решив уравнение лучей (11.19) и вычислив квадратуру в (11.18), найдём эйконал р как функцию лучевых координат: {р0,т}. Для того чтобы вернуться к исходным координатам r = {p,z}, необходимо разрешить систему уравнений p = F(p0,r) — которые получатся в результате решения уравнения лучей (11.19) — относительно р0 и заменить г на z. Причем, как уже отмечалось, при фиксированном значении г, равном z, необходимо выбирать такие комплексные значения р0, чтобы конечное значение р на луче-траектории было бы вещественным: р є R2.
Случай экспоненциальной эффективной корреляционной функции
В связи с необходимостью перехода от цилиндрических к декартовым координатам, функции А(р) и D(p), заданные таким образом, теряют аналитичность в точке р = 0. Коэффициент корреляционной функции А{р) вида (16.1) можно рассматривать как асимптотику при больших значениях р/l соответствующей эффективной корреляционной функции флуктуации среды, выраженной через модифицированные цилиндрические функции (модифицированную функцию Ханкеля) [100], или как эффективную корреляционную функцию, соответствующую обратно степенному спектру флуктуации. К сожалению, используя такую структурную функцию флуктуации D(p) (16.2), мы лишаемся возможности построить чисто частотную функцию когерентности для двух разных частот в одной и той же точке пространства (или функцию когерентности при малом разносе пространственных точек).
Мы получили, что здесь, также как и в случае обратно степенной эффективной корреляционной функции неоднородностей, рассмотренной в предыдущем п., в выражения (16.3) для траекторий р(т) и (16.4), (16.5) для амплитуды U0{r) входят многозначные аналитические функции. Поэтому эти выражения мы также будем понимать, как аналитические продолжения соответствующих элементов-ростков этих функций, заданных указанным образом в точке т- = 0, при изменении параметра г [138 — 140]. Так, например, соотношение (16.3) следует понимать как аналитическое продолжение на комплексной плоскости w исходного элемента-ростка функции lnw, определённого в некоторой окрестности VWa точки w0 условием In w0 = In 1 = 0, вдоль кривой, задаваемой комплексно значной функцией w(r) вещественного переменного г, принимающей начальное значение w(0) = w0 = 1.
В рассматриваемом случае — случае корреляционной функции флуктуации А{р) (16.1) — не возможно выразить точно координаты точек выхода траекторий р0 из зависимости для траекторий (16.3) ни при падении сферической волны, ни при падении плоской волны. Выражение (16.3) представляет собой трансцендентное уравнение относительно р0, и, по-видимому, мы сталкиваемся здесь также как и в предыдущем пункте с проблемой многолучёвости. Всё сказанное там по этому поводу верно и здесь. Мы также знаем, что в одночастотном случае (при нулевой разностной частоте) траектории чисто вещественные, см. выражение (13.46), причём их вид не зависит от структурной функции флуктуации среды. Мы можем считать, что при не очень больших разностных частотах fd = /, - f2 точки выхода траекторий р0 находятся в правой полуплоскости на комплексной плоскости (р) (имеют положительную вещественную часть: Rep0 0) и располагаются вблизи вещественной оси. Это даёт нам возможность приближённо искать точки выхода траекторий р0.
Мы выберем в выражении (16.10) главную ветвь логарифма, определяемую условием Inер = р/1, где peR, при а -» 0, поскольку именно эта функция даёт правильный переход к одночастотному случаю, когда р0-р. При таком способе нахождения р0 мы, возможно, упускаем (при больших fd) траектории, исходные точки которых лежат в левой полуплоскости (р) и имеют отрицательную вещественную часть: Rep0 0.
Выберем точку наблюдения р, вычислим по формуле (16.10) приближённые точки выхода р0 траекторий, которые должны приходить в выбранную точку р, и построим из этих найденных р0 траектории по точной формуле (16.9) при разных значениях параметров задачи. Посмотрим: насколько "промахиваются" относительно выбранной точки наблюдения g (относительной) траектории, вышедшие из точек g0 = p0/l, рассчитанных по приближённой формуле (16.10). Пусть безразмерная точка наблюдения будет: g = р/1 = 0,10. При больших значениях относительной точки наблюдения g увидеть различия в траекториях и (их разброс относительно выбранной точки наблюдения) при изменении параметров трудно. На рисунке 16.1 приведены для сравнения траектории при разных значениях дисперсии флуктуации относительной электронной концентрации а2: траектория 1 (синий цвет) соответствует значению а2 = 1, траектория 2 (зелёный цвет) — а2 = 0,5 и траектория 3 (красный цвет) — а2 = 0,01. Остальные значения параметров для графиков рисунка 16.1 были следующими: fs = 1 ГГц, fd = 20 МГц, fp = 10 МГц, / = 10 км и = z/l = т/1 = 50. Теперь посмотрим, как влияет на значение приближённой точки выхода g0 (относительной) изменение расстройки частоты fd. На рисунке 16.2 показаны: траектория 1 (синий цвет) при fd = 10 МГц, траектория 2 (зелёный цвет) при fd = 20 МГц и траектория 3 (красный цвет) при fd = 30 МГц. Дисперсия флуктуации для траекторий на рисунке 16.2 была: о-2 =1. Из приведённых рисунков видно, что мы можем пользоваться приближённой формулой (16.10) для нахождения точек выхода траекторий р0 тем точнее, чем меньше у нас будет разностная частота fd и меньше дисперсия флуктуации относительной электронной концентрации а2. При этом следует иметь ввиду, что мы разрабатываем наш метод прежде всего для режима плавных и умеренных флуктуации поля, что реализуется (в реальной ионосфере) при не очень больших значениях дисперсии флуктуации относительной электронной концентрации.
Построим по полученной формуле (16.11) график модуля функции когерентности Г как функции расстройки частоты fd и расстояния р в поперечной плоскости между точками наблюдения при разных значениях дисперсии флуктуации относительной электронной концентрации а2. Графики модуля функции когерентности были построены с помощью стандартных программ математического пакета программ MATLAB 6.5. На рисунке 16.3 представлен график Г при т2 = 5-10 4, на рисунке 16.4 — при о-2 =5-10-3 и на рисунке 16.5 при а2 = 0,01. Остальные параметры были следующими: fs = 1 ГГц, fp = 10 МГц, / = 10 км и z = 500 км. Посмотрим поведение модуля функции когерентности Г при больших значениях расстояния между точками наблюдения р. На рисунке 16.6 построены графики зависимости Г от поперечного расстояния между точками наблюдения р для двух значений дисперсии a2 =5-10-4 и a2 = 1-10-3 при фиксированной разностной частоте fd = 20 МГц.
На построенных графиках модуля функции когерентности поля волны, распространяющейся в случайно-неоднородной ионосфере, мы видим следующие общее черты: как и следовало предполагать, плавное убывание модуля функции при увеличении разностной частоты и поперечного расстояния между точками, в которых рассматривается статистическая связь между значениями поля. При этом убывание тем плавнее, чем меньше дисперсия флуктуации относительной электронной концентрации. Максимальное же значение модуля функции когерентности наступает при совпадении частот разных компонент поля — при нулевой разностной частоте.
