Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Функции грина краевых задач теории волн 19
I.I. Функции Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой одноосной среде 20
п .I. Скаляризация функций Грина 20
п. 2. Регуляризация функций Грина уравнений Максвелла 25
п. 3. Разложение по собственным волнам 30
1.2. Функции Грина уравнений Эйлера в пространственно неоднородной среде 37
п.. I. Представление через скалярный потенциал 37
п. 2. Регуляризация функций Грина уравнений Эйлера. 39
п. 3. Разложение по собственным волнам 41
1.3. Интегральные уравнения краевых задач теории волн в неоднородной среде 43
п. I. Интегральные уравнения электродинамики в плоскослоистой среде 44
п. 2. Низкочастотное приближение 48
п. 3. Разложение рассеянного поля по собственным волнам 50
п. 4. Интегральные уравнения акустики в неоднородной среде 53
Выводы 55
ГЛАВА 2. Рассеяние волн на детерминированных вюшчениях в плоскослоистой среде 57
2.1. Внутреннее электромагнитное поле рассеивателя, погруженного в неоднородную среду 59
п. I. Переходные операторы 59
п. 2. Внутреннее поле малого включения 64
п. 3. Частные случаи ориентации 68
2.2. Рассеянное электромагнитное поле малого включения в неоднородной среде 71
п. I. Ближняя зона рассеяния 72
п. 2. Дальняя зона рассеяния 75
п. 3. Резонансное рассеяние 85
2.3. Низкочастотное рассеяние звуковых волн в неоднородной среде 89
п. I. Внутреннее поле рассеивателя 90
п. 2. Ближняя зона рассеяния 92
п. 3. Дальняя зона рассеяния 93
Выводы 95
ГЛАВА 3. Среднее поле в случайной слоистонеоднородной среде 97
3.1. Эквивалентная диэлектрическая проницаемость дискретной среды с некоррелированными рассеивателями 99
п. 1. Теория возмущений для дискретной среды 101
п. 2. Общие свойства проницаемости 104
п. 3. "Мягкие" рассеиватели 111
3.2. Эквивалентная диэлектрическая проницаемость дискретной среды с коррелированными рассеивателями 120
п. 1. Замена полевых переменных 123
п. 2. Эквивалентная проницаемость "сплошной" среды 124
п. 3. Возникновение волноводного слоя 130
3.3. Собственные волны в слоистонеоднородной среде с дискретными возмущениями 133
п. 1. Деполяризация и искажение распределения 134
п. 2. Затухание и сдвиг фазовой скорости 139
п. 3. Возникновение собственных волн 143
Выводы 144
Заключение 146
Приложение 1 151
Литература 199
- Функции Грина уравнений Эйлера в пространственно неоднородной среде
- Интегральные уравнения акустики в неоднородной среде
- Рассеянное электромагнитное поле малого включения в неоднородной среде
- Эквивалентная диэлектрическая проницаемость дискретной среды с коррелированными рассеивателями
Введение к работе
Анализ распространения волн в пространственно неоднородной среде является ключевой теоретической проблемой в решении обшир -ного круга практических задач.
При расчете тропосферных радиолиний нужно зачитывать влияние на распространение радиоволн пространственной неоднородности электромагнитных свойств атмосферы, что связано с зависимостью сред -него показателя преломления от высоты, наличием достаточно ста -бильных одиночных образований, гидрометеоров и турбулентных флуктуации диэлектрической проницаемости [l-4]. Фокусировка звука под действием надлежащего профиля плотности и сжимаемости лежит в основе подводной океанической связи, осложненной мезомасштабными явлениями, которые приводят к пространственным искажениям скорости звука, внутренними волнами, связанными с флуктуациями плотно -сти среды, наличием морских организмов [5-7]. Реальные возможно -сти оптических волноводов, направленных ответвителей и других устройств интегральной оптики существенно ограничиваются несовершенством технологии их изготовления, что приводит к возникновению объемных дефектов [8-Ю] .
Возникающие в перечисленных выше областях - радиосвязи, гидроакустике, интегральной оптике - прямые краевые задачи теории волн имеют общую черту - речь идет о совместном учете детермини -рованных и пространственных вариаций свойств среды, где происхо -дит распространение волны. Она характерна и для соответствующих обратных задач при противоположной постановке вопроса - об интерпретации экспериментальных данных дистанционного зондирования природных или искусственных сред. Такие задачи возникают в радиоме -теорологии [11,12] , океанографии [13,14], неразрушающем контроле
и диагностике изделий из полимерных композиционных материалов (15—18], волоконнооптических линий [19], в геофизике [20,21].
В решении прямых и обратных задач теории волн существенную роль играет выбор математической модели строения среды. В перечисленных выше задачах основной моделью является пространственно-не -однородная среда, которая получается из некоторой регулярной плоскослоистой среды с материальными параметрами, зависящими от одной декартовой координаты, внесением в нее детерминированной или слу -чайной, сплошной или дискретной (финитной) среды - возмущения. Такая модель, с одной стороны, достаточно хорошо отражает реальность, с другой - позволяет четко сформулировать теоретическую задачу.
Таким образом, необходимость исследования волн в слоистонеод-нородной среде с объемными возмущениями возникает во многих акту -альных задачах.
Решение полной задачи о совместном влиянии всевозможных воз -мущений вряд ли возможно. Для перечисленных выше приложений, как правило, характерна ситуация, когда вклад возмущения каждого типа в формирование результирующего волнового поля проявляется в "чистом виде", безотносительно к наличию других возмущений. Следова -тельно, логично и целесообразно рассматривать задачи с возмущением одного, вполне определенного типа.
Отвлекаясь от специфики возмущений, связанной с их физичес -ким происхождением, классифицируем соответствующие задачи по ха -рактеру среды - возмущения, которая может представлять собой (I) детерминированное возмущение, заполняющее (I.I) неограниченную в пространстве или (1.2) финитную область или же (2) случайные возмущения в виде (2.1) сплошной среды, непрерывным и случайным об -разом изменяющейся в пространстве или (2.2) совокупности дискретных возмущений со случайными параметрами.
Принципиальная особенность этих моделей, затрудняющая их
рассмотрение, заключается в том, что соответствующая невозмущен -ная среда также является пространственно-неоднородной - плоско -слоистой. Этим обусловлено разнообразие собственных волн такой среды - спектр их в общем случае является смешанным и содержит дискретную и непрерывную части. Нахождение их связано с решением обыкновенных дифуравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами, что далеко не всегда осуществимо аналитически. Однако волновые явления в слоистых средах таят в себе богатое физическое содержание и широкие возможности использования в радиофизике и радиотехнике. Это стимулировало постоянный интерес к этой области физики, так что к настоящему времени принципиальные вопросы теории волн в слоистых средах можно считать решенными. Обширное и систематическое изложение методов и обзор результатов по излучению и распространению волн в слоистых средах содержится в монографиях [22-24]. Сле -дует отметить основополагающую роль работ [23,25-27], где установлена физическая эквивалентность представлений для поля в виде разложения по собственным функциям различных операторов, входящих в соответствующую краевую задачу. Надлежащие теоремы разложения по собственным функциям "поперечного оператора", возникающего в тео -рии слоистых сред, сформулированы в [28], а математическая подоп -лека этой эквивалентности ясна из [29].
Подчеркнем, что возмущенные задачи из группы (I) являются детерминированными, тогда как задачи (2) - принципиально статисти -ческие и формулируются в терминах теории вероятностей [ЗО].
Слоистая среда со сплошным детерминированным возмущением яв -ляется, пожалуй, одним из наиболее исследованных объектов, что связано с широким техническим применением таких структур в радиоэлектронной аппаратуре [зі]. Это, прежде всего, диэлектрические антенны в форме открытых линий с медленным изменением параметров в направлении распространения волны [32-34], оптические волноводы
8 с плавными изгибами [8-П], сочленения двух диэлектрических волноводов разного поперечного сечения Г35-37І.
Точное аналитическое исследование полей в плавнонерегулярной в продольном направлении структуре удобно проводить методом поперечных сечений [23,38-39], который основан на разложении поля в каждом поперечном сечении регулярного волновода по собственным волнам некоторого эталонного волновода с параметрами, совпадающими в этом сечении с параметрами нерегулярного волновода. Подстановка этого разложения в исходные уравнения для поля доставляет систему дифференциальных уравнений для величин, характеризующих волны эталонного волновода (амплитуд, волновых чисел и т.д.), которые ока -зываются функциями продольной координаты. Основные применения этого метода связаны с плавными переходами в открытых линиях [23] и изогнутыми диэлектрическими волноводами [Ю,40-42]. Этот же метод, в сущности, используется при рассмотрении резких нерегулярностей типа скачка сечения открытого волновода или, иначе говоря, сочленения двух волноводов L23,35,43-46], когда в результате сшивания на стыке полей в виде разложений по собственным волнам каждого из полубесконечных волноводов приходим к системе уравнений относи -тельно коэффициентов этих разложений.
Получаемые системы уравнений являются бесконечными и для открытых структур содержат континуальную часть. Аналитическое решение их можно найти лишь приближенно, используя малость какого-либо параметра, описывающего те или иные характеристики возмущения (плавность перехода, величину скачка материальных параметров на стыке и т.п.). Это, в свою очередь, накладывает определенные ог -раничения на применимость конечных результатов, которые, впрочем, для упомянутых приложений всегда выполняются.
Случай плавных в масштабе длины волны нерегулярностей в среде весьма общего вида удается рассмотреть аналитически с помощью
9 асимптотических методов: геометрической оптики [47], эталонных уравнений [48], канонического оператора Маслова [49]. Примеча -тельной является возможность описания волн в тонкопленочных вол -новодах интегральной оптики на основе геометрооптических принци -пов [50-51].
Слоистая среда со сплошными случайными возмущениями изучена менее полно, хотя в этом направлении получены существенные результаты. Слоистый характер случайной среды в данном контексте озна -чает, что ее материальные параметры представляют собой случайное поле, статистически неоднородное по вертикальному и однородное по горизонтальным направлениям. Сюда, в частности, относятся практически важные случаи, когда от вертикальной координаты зависят средние материальные параметры (случайные среды с регулярной рефрак -цией) или же когда случайные возмущения локализованы в ограниченном по вертикали слое.
В задачах о распространении волн в случайной среде нас, в конечном итоге, интересуют статистические моменты волнового поля, и прежде всего - среднее поле и функция взаимной когерентности. При теоретическом рассмотрении таких задач вплоть до недавнего времени в основном использовался подход, который в качестве промежуточного этапа включает отыскание случайного волнового поля для каждой реализации случайных возмущений методами, описанными выше. Окончательный результат получается при этом усреднением найденного ре -шения случайной краевой задачи. Итоги анализа, основанного на таком подходе и реализованного в форме метода плавных возмущений Ры-това, подведены в ряде монографий [52-54]. Полученные здесь ре -зультаты ограничены, однако, условием малости относительных флуктуации интенсивности волнового поля и, следовательно, пригодны для достаточно коротких дистанций распространения и не слишком сильных флуктуации материальных параметров Г55]. Основные приме -
10 нения этого метода связаны с безграничным и однородным в среднем пространством. Другая реализация этого подхода в форме метода связанных волн [9, с.81-89], [56] использована в [57,58] для анализа распространения собственных волн в планарном волноводе с флуктуа-циями диэлектрической проницаемости. Соответствующие асимптотические разложения для случайных амплитуд связанных волн являются не -равномерными по длине возмущенного участка волновода и не допускают предельного перехода к возмущенным участкам бесконечной длины. Это обстоятельство также связано с ограничениями на величину флук-туационного волнового поля по сравнению со средним. Между тем "наибольший практический и научный интерес привлекают задачи, в которых существенно проявляются эффекты многократного рассеяния волны на флуктуациях" [59, с.4] , которые можно учесть, перейдя от уравнений для случайного волнового поля к уравнениям для его ста -тистических моментов.
Такой подход, реализованный в форме статистической теории возмущений [54], не ограничен требованием малости случайных возмущений среды и пригоден для исследования сильных искажений волнового поля по сравнению с полем в невозмущенной среде. При этом по от -ношению к статистически среднему полю случайная среда описывается эквивалентными (эффективными) параметрами, построение которых является главным в постановке задачи для среднего поля. Основные результаты здесь таковы. Теория многократного рассеяния для акустического волнового поля, развитая в [54] для статистически однородной среды с флуктуациями показателя преломления, перенесена в [60--62] на более общую ситуацию статистически неоднородной среды с флуктуациями показателя преломления и плотности. Схема замены полевых переменных, представляющая собой видоизменение метода мно -гократного рассеяния применительно к векторным задачам электродинамики, предложена в [бЗ]. С ее помощью в [64-66] построен опера-
тор эквивалентной диэлектрической проницаемости и исследовано среднее электромагнитное поле в статистически однородной среде с сильными флуктуациями диэлектрической проницаемости. Модификация этой схемы применительно к статистически неоднородной - слоистонеодно -родной - случайной среде, связанная с иным по сравнению с [63] способом регуляризации функций Грина уравнений Максвелла для ело -истой среды, предложена в [67]. Здесь же построен оператор экви -валентной диэлектрической проницаемости такой среды, что позволило изучить искажение собственных волн в нерегулярных волноводах интегральной оптики [68-70] и распространение электромагнитных волн в турбулентной слоистонеоднородной атмосфере [71-72].
Отметим в заключение, что в более частной ситуации, когда распространение волны в сплошной случайной среде описывается Марков -ским случайным процессом, уравнения для моментов поля можно полу -чить методом [73].
Приведем краткий обзор литературы по распространению волн в слоистой среде, возмущенной дискретным образом. Невозможность разделения переменных в соответствующей краевой задаче сразу во всей рассматриваемой области пространства существенно затрудняет теоретический анализ даже в простейшем случае кусочно-однородной нере -гулярной среды.
В классе детерминированных задач к настоящему времени в строгой постановке известны только численные решения для дифракции электромагнитной волны на сфероиде в неограниченном однородном пространстве [74], на шаре в кусочно-однородной регулярной среде с одной границей раздела [75] и на цилиндре в однородном планар -ном волноводе [76]. В этих работах одиночное включение канонической формы рассматривается как равноправная составная часть нерегулярной среды: для каждой из областей с границами, совпадающими с координатной поверхностью ортогональной системы координат, решение
12 ищется в виде разложения по собственным функциям, а коэффициенты этого разложения находятся из граничных условий для поля на гра -ницах раздела среды. Необходимость решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений для коэффициентов делает этот путь решения задачи достаточно трудоемким и ненаглядным. Исключение составляет работа [76], где соответствующая задача сформулирована в духе теории возмущений: включение рассматривается как ис -точник возмущающего - рассеянного - поля, которое совместно с первичным полем дает полное поле в нерегулярной среде. Такой подход в форме метода объемных интегральных уравнений оказался весьма плодотворным в смежном круге задач о рассеянии волн на телах в безграничной однородной среде или в полом волноводе. Впервые он был реализован практически применительно к задачам макроскопической электродинамики в основополагающих работах [77-79]. Дальней -шее его развитие связано с задачами акустики идеальной жидкости [80], физики плазмы fell, электродинамики плоскослоистой среды [82-84]. Интегральное уравнение теории волн, включая в себя все краевые условия, " в весьма компактной форме представляет всю физику задачи и оказывается удобнее, чем дифференциальное уравнение" |85;, с.828]. Интегральная формулировка составляет также мощную основу для разнообразных численных методов [8б].
В частном, но практически важном и физически содержательном случае больших длин волн по сравнению с размерами включения воз -можно применение метода Релея. В рамках этого метода решение мо -жет быть представлено в виде ряда по степеням отношения характерного размера тела к длине волны в регулярной среде. Коэффициенты этого разложения, являющиеся функциями пространственных координат, подчиняются бесконечной цепочке зацепляющихся уравнений, обрыв которой в определенном звене доставляет некоторое приближенное вы -ражение для поля. Для случая, когда включение погружено в однород-
ІЗ ную среду - безграничную или ограниченную абсолютно отражающей поверхностью (закрытый волновод или резонатор), аналитическая теория низкочастотного приближения построена в [77-79, 87] (см. по этому поводу также [88} ). Ее можно вывести как из дифферен -циальной [88-91], так и интегральной [77,87] формулировки соот -ветствующей краевой задачи, причем последний способ в силу физической прозрачности и лаконичности построений, как видно на примере упомянутых работ, представляется предпочтительным.
Однако низкочастотная теория рассеяния на включении, погру -женном в плоскослоистую среду, вплоть до недавнего времени отсутствовала, когда этот пробел в некоторой степени был восполнен работами [83,92].
Для дискретных случайных сред строгие результаты, относящиеся к формулировке эквивалентной краевой задачи для среднего поля, отсутствуют [93, с.145]. Естественной является идея об определе -нии свойств среды, содержащей статистический ансамбль включений, по индивидуальным рассеивающим свойствам одиночного включения. Классический пример такого подхода - исследования Релея, который использовал приближение однократного рассеяния для ансамбля идентичных частиц; анализ результатов, полученных в этом направлении, дан в [94]. Приближение однократного рассеяния описывает слабые искажения первичного поля. Для реальных ситуаций более характер -ным является сильное воздействие включений на волновой процесс из-за явлений многократного рассеяния [95-97]. Соответствующий метод был развит в [98-101J, где, однако, исследован случай,когда невозмущенная среда, заполняющая пространство между рассеивателя-ми, является однородной. Отчасти это связано с отсутствием точных решений задачи дифракции на включении в пространственно неоднородной - слоистой - среде. Полученные нами асимптотические решения для "мягкого" рассеивателя, слабо искажающего воздейст -
вующее на него поле, и рассеивателя, малого по сравнению с длиной волны, позволили построить и исследовать краевую задачу для ста -тистически среднего поля в слоистой среде с ансамблем таких рас -сеивателей в акустическом Сбі} и электродинамическом [68,69,72, 84,102,103] вариантах.
Таким образом, основные исследования распространения волн в слоистой среде с объемными возмущениями относятся к сплошным, детерминированным или случайным, возмущениям.
Цель данной работы - исследование закономерностей волновых процессов (акустического и электромагнитного) в слоистой среде с дискретными объемными возмущениями. Рассеяние волн на одиночном детерминированном включении рассмотрено методом объемных интег -ральных уравнений в низкочастотном приближении, а распространение волн в слоистой среде, содержащей статистический ансамбль идеи -тичных рассеивателей - путем построения эквивалентной краевой задачи для среднего поля с учетом явления многократного рассеяния. Следовательно, настоящую работу можно рассматривать как некоторое обобщение известных ранее результатов в следующем направлении: низкочастотная теория рассеяния на детерминированных проницаемых телах и метод переходного оператора для случайных рассеивателей, развитые применительно к однородной регулярной среде, перенесены на более общую ситуацию слоистой среды, окружающей включения.
В силу единства используемой схемы решение скалярных и век -торных (электродинамических) задач производится параллельно. Со -образно логике исследования, рассмотрение дифракции волн на оди -ночном детерминированном включении предшествует и служит основой для анализа свойств статистического ансамбля таких включений. Очевидна также целесообразность сведения в начальную главу вопросов, образующих рассчетно-математическую основу диссертации в целом.
Соответственно этому диссертация состоит из трех глав, за -
ключения, четырех приложений и списка литературы.
Первая глава посвящена исследованию функций Грина краевых задач акустики и электродинамики в плоскослоистой среде. Функции Грина уравнений Максвелла построены в I.I, а уравнений Эйлера -в 1.2. Показано, что эти величины есть обобщенные функции [Ю4, 105] и предложены удобные представления для этих функций через скалярные потенциалы, удовлетворяющие известным уравнениям математической физики. С помощью известной идеологии в 1.3 на этой основе выведены интегральные соотношения для задач акустики и электродинамики о рассеянии волн на проницаемых телах в слоистой среде и определены характеристики рассеянного поля (распределение мощности по собственным волнам, диаграмма рассеяния) в такой среде.
Во второй главе эти результаты применяются к задаче о рассеянии волн на одиночном детерминированном включении, погруженном в слоистую среду. В интегральной формулировке решение краевой задачи рассеяния сводится к нахождению внутреннего поля включения, а поле в окружающей его среде находится по прямым квадратурным формулам. В 2.1 найдено внутреннее электромагнитное поле для "мягкого" рассеивателя с материальными параметрами, близкими к параметрам окружающей среды, и для малого однородного рассеивателя эллипсоидальной формы в кусочно-однородной среде. Сделан вывод о существенном влиянии неоднородности окружающей среды на формирование внутреннего поля малого рассеивателя,когда масштаб этой неоднородности не превосходит длины волны. 2.2 посвящен исследованию рассеянного электромагнитного поля в ближней и дальней зонах малого включения. Рассмотрением охвачен случай, когда размеры включения малы по сравнению с длиной волны в окружающей среде, но соизмеримы с длиной волны в материале рассеивателя. Для некоторых характерных ситуаций обнаружена сильная зависимость рас-
сеянного поля от параметров включения. Низкочастотное приближение для соответствующей акустической задачи получено в 2.3.
В третьей главе проведено исследование статистически среднего электромагнитного поля в слоистой среде, содержащей ансамбль идентичных включений со случайным расположением и ориентацией. В 3.1 методом переходного оператора найдена эквивалентная диэлектрическая проницаемость случайной среды для некоррелированных рассеивателей и слабых концентраций последних и построена общая схема приближенного решения краевой задачи для среднего поля в нелокальной среде. Далее, в 3.2, с помощью замены полевых переменных рассмотрен случай коррелированных рассеивателей, когда среду, возмущенную дискретным образом, правомерно описывать в рамках представлений, развитых для сплошной случайной среды.Полученные результаты использованы в 3.3 для определения деполяризации, затухания, сдвига фазовой скорости и искажения пространственного распределения волн среднего поля в дискретной случайной среде, а также для решения задачи о собственных волнах, "захваченных" слоем дискретных возмущений.
Заключение содержит итоговые результаты научных исследований распространения волн в слоистой среде с объемными возмущениями, полученные автором, а также рекомендации относительно перспектив дальнейших исследований.
В приложении I приведены аналитические выражения для величин, определяющих внутреннее поле малого эллипсоида в частных реализациях кусочно-однородной среды, в приложении 2 содержатся некоторые соотношения для задачи о рассеянии волн на эллипсоиде в однородном полупространстве, в приложении 3 - выражения для собственных векторных волн слоистой среды, а в приложение; 4 вынесены результаты численных исследований - 29 рис.
В результате проведенного рассмотрения получены следующие
новые результаты, которые выносятся на защиту:
Результаты аналитического исследования функций Грина краевых задач теории волн для слоистой среды, включающие формулы регуляризации в области источника с помощью бесконечно малого исключаемого объема произвольной формы, представления функций Грина через скалярные потенциалы и разложения по собственным волнам слоистой среды.
Аналитическое решение задачи о низкочастотном рассеянии электромагнитного и звукового полей на малом однородном эллипсоиде произвольной ориентации в кусочно-однородной среде, а именно - выражения для внутреннего поля включения, рассеянного поля в ближней и дальней зонах - и закономерности этого рассеяния: существенное воздействие неоднородности окружающей среда на формирование внутреннего поля включения, когда характерный масштаб этой неоднородности не превосходит длины волны;
сильная зависимость величины рассеянного поля от глубины залегания включения в слое, толщина которого сравнима с длиной волны; резонансное возрастание сечений рассеяния сферического включения с большой диэлектрической проницаемостью при резонансных значениях частоты, материальных параметров или размера включения.
Формулировка эквивалентной краевой задачи для статистически среднего поля на основе найденных выражений для эквивалентных параметров слоистой среды, возмущенной статистическим ансамблем идентичных рассеивателей со случайным местоположением и ориентацией, которые учитывают эффекты многократного рассеяния.
Результаты аналитического исследования искажения собственных волн (затухания, сдвига фазовой скорости, деполяризации, изменения пространственного распределения) в слоистонеоднородной среде с дискретными возмущениями и возникновения новых собственных волн в слое дискретных рассеивателей при наличии и в отсутст-
виє корреляции между ними.
Диссертация представляет собой изложение и обобщение опубликованных работ [61,62,68-72,83,84,92,102,103] . Основные результаты её обсуждались на научном семинаре кафедры теоретической радиофизики ХГУ, Всесоюзном научно-техническом совещании "Измерительные устройства на диэлектрических волноводах оптического диапазона" (Могилев, 24-26 мая 1983 г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" (Саратов, 27-29 сентября 1983 г.) и на Всесоюзной научно-технической конференции "Метрологическое обеспечение измерений больших длин" (Харьков, 23-25 ноября 1983 г.).
Диссертация изложена на 209 страницах машинописного текста, из них основной текст - 150 с, 4 приложения на 48 с, в том числе 29 рисунков на 42 с. Список литературы на II с. содержит 121 наименование работ советских и зарубежных авторов, на которые сделаны ссылки в тексте диссертации.
В диссертации принята сквозная нумерация формул в пределах каждого параграфа. При ссылке на формулы другого параграфа указывается номер параграфа и формулы: (2.1.10) - формула (10) из 2.1.
Функции Грина уравнений Эйлера в пространственно неоднородной среде
Диссертация представляет собой изложение и обобщение опубликованных работ [61,62,68-72,83,84,92,102,103] . Основные результаты её обсуждались на научном семинаре кафедры теоретической радиофизики ХГУ, Всесоюзном научно-техническом совещании "Измерительные устройства на диэлектрических волноводах оптического диапазона" (Могилев, 24-26 мая 1983 г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах" (Саратов, 27-29 сентября 1983 г.) и на Всесоюзной научно-технической конференции "Метрологическое обеспечение измерений больших длин" (Харьков, 23-25 ноября 1983 г.).
Диссертация изложена на 209 страницах машинописного текста, из них основной текст - 150 с, 4 приложения на 48 с, в том числе 29 рисунков на 42 с. Список литературы на II с. содержит 121 наименование работ советских и зарубежных авторов, на которые сделаны ссылки в тексте диссертации.
В диссертации принята сквозная нумерация формул в пределах каждого параграфа. При ссылке на формулы другого параграфа указывается номер параграфа и формулы: (2.1.10) - формула (10) из 2.1.
Аппарат функций Грина хорошо известен в электродинамике и акустике. Он позволяет в замкнутой форме получить компактные выражения для волнового поля, порождаемого сторонними или наведенными источниками. Существенно и другое - с помощью функций Грина удается исследовать некоторые общие свойства поля, в частности, в области источников, безотносительно к конкретному виду последних. В электродинамике такая задача возникает при вычислении входного импеданса и излучаемой мощности антенны [321, в теории случайных сред со сплошными флуктуациями материальных параметров (метод замены полевых переменных [63-66] ) ; без нее не обойтись при построении аксиоматической теории метода интегральных уравнений в задачах о рассеянии электромагнитных и звуковых волн на включении, погруженном в регулярную среду Гбб].
В данной главе рассмотрены функции Грина краевых задач электродинамики в плоскослоистой одноосной среде и краевых задач акустики в среде с произвольной зависимостью материальных параметров от пространственных переменных.
Своеобразие операторов Грина, порожденных уравнениями Макс -велла и уравнениями Эйлера, заключается в том, что они представляют собой линейные операторы на функциональном пространстве ис -точников поля, не сводимые к интегральным операторам с локально--интегрируемым ядром ГбЗ,104 ] .
Исследованию функций Грина уравнений Максвелла и уравнений Эйлера посвящены соответственно I.I и 1.2. В 1.3 полученные результаты применяются к анализу интегро-дифференциальных и сингулярных интегральных уравнений электродинамики и акустики внеоднородных средах. Окончательные результаты данной главы без особых затруднений переносятся на случай, когда материальные параметры среды и источники поля есть менее гладкие функции пространственных координат, чем это требовалось для отнесения функций Грина к классу обобщенных функций - при этом функции Грина представляют собой линейные функционалы, не обязательно непрерывные в том смысле, который нужен для применения теории обобщенных функций [І07І.
Для однородных сред, с постоянными материальными параметрами, функции Грина уравнений Максвелла уже исследованы в [63,104,105] . Если же среда является неоднородной, задача построения функций Грина заметно усложняется. Известные к настоящему времени результаты для плоскослоистой среды L24] являются неполными - в них пропущены сингулярные части электрической и магнитной функций Грина в области источника из-за игнорирования математической природы функций Грина как обобщенных функций. Впрочем, они могут быть оправданы для частного случая расположения источника и точки наб -людения.
Используемый нами способ построения функций Грина, основанный на решении уравнений для электромагнитного поля в нормально--тангенциальной форме [108] с помощью обобщенных потенциалов,применялся, в сущности, в Г24І. Основные результаты данного параграфа - выражения (I.I2) для функций Грина через скалярные потенциалы и формулы (1.25)-(1.26) для сингулярных частей этих функций.
Интегральные уравнения акустики в неоднородной среде
Рассмотрим акустическую задачу о рассеянии волн в среде, характери -зуемой параметрами М (R) , п (R) , на включении с параметрами JU,pC&) PpCR) . Звуковое поле в этом случае удовлетворяет урав -нениям (2.1) вне включения, уравнениям в области Vp і занятой включением, и подчиняется условиям непрерывности давления и нормальной компоненты скорости на границе области Vp Кроме того, должны выполняться соответствующие условия в бесконечности и на внешней поверхности, ограничивающей рассмат -риваемую область среды. Здесь J с , &с - эффективные источники, наведенные во включении: которые при RVp представляют собой систему сингулярных интегральных уравнений для внутреннего звукового поля включениям при R Vp обращаются в прямые квадратурные формулы для нахож -дения поля вне включения - при этом символ 0у естественно,игнорируется, поскольку все интегралы в (3.35) дляіВб Vp ,&Ур являются обычными и несингулярными. Заметим, что хотя при&Є Vp сингулярным в (3.35) является только один интеграл в нижнем соотношении, корректное рассмотрение этой системы следует проводить с привлечением соответствующей теории [і10 J .
Пользуясь представлениями (2.5) функций Грина уравнений Эйлера через скалярный потенциал &в(&,#/ ) и, возможностью выносить операцию обобщенного дифференцирования поІ2 за знак интеграла,из (3.35) получаем систему интегро-дифференциальных уравнений нашей которая представляет простое обобщение интегральных уравнений [80j на случай неоднородной окружающей среды. Пользуясь правилами дифференцирования интегралов со слабой особенностью, отсюда нетрудно перейти обратно к сингулярным интегральным уравнениям (3.35).
Всевозможные разложения рассеянного поля по собственным волнам получаются тривиальным образом из формулы (2.21), и поэтому здесь не приводятся. Выводы Результаты проведенного исследования можно кратко суммировать следующим образом: I. Корректно обоснована математическая природа функций Грина краевых задач теории волн как обобщенных функций и предложен способ исследования сингулярности этих функций в области источника для общего случая пространственно неоднородной анизотропной среды. Показано, в частности, что в неоднородной среде регуляризация с помощью бесконечно малого объема в силу принципа локальности приводит к результатам, аналогичным для однородной среды с матери -альными параметрами неоднородной среды в точке источника. Предложено новое представление (I.I2) функций Грина уравнений Максвелла в плоскослоистой среде, пригодное для произвольного расположения источника и точки наблюдения и разложения (1.46), (1.47) функций Грина по собственным волнам слоистой среды. Эти результаты необходимы в задачах о возбуждении волн и являются основой математического аппарата для метода интегральных уравнений в задачах о рассеянии волн в пространственно-неодно -родной среде. 3. Получены характеристики рассеянного электромагнитного поля (распределение мощности по модам, диаграмма рассеяния) в нерегулярной плоскослоистой среде. 4. Построены интегро-дифференциальные (3.36) и сингулярные интегральные (3.35) уравнения задачи о рассеянии скалярных (акустических) волн в неоднородной среде, обобщающие ранее известные соотношения для однородной среды. Низкочастотная теория дифракции на телах в полых волноводах, созданная в основополагающих работах [77-79,8?] , позволила ре -шить ряд важнейших прикладных задач радиоэлектроники СВЧ. Цель данной главы - исследование низкочастотного рассеяния на включениях, погруженных в плоскослоистую среду. Прикладное значение этой проблемы для задач интегральной оптики, неразрушающего контроля изделий из полимерных композиционных материалов, дистанционного зондирования природных сред несомненно. В основу рассмотрения положен метод интегральных уравнений электродинамики для слоистых сред, изложенный в предыдущей главе. Альтернативный подход, основанный на дифференциальной формулировке задачи, приводит к необходимости построения решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих требуемым граничным условиям на всех границах раздела. Для включений достаточно простой формы в безграничной однородной среде этот подход в форме метода разделения переменных позволяет без особых формальных трудностей найти это решение как разложение по собственным функциям оператора Максвелла. В усложненных задачах, когда однородная среда с включением ограничена абсолютно отражающей поверхностью, а форма включе -ния и (или) этой границы делает разделение переменных во всей области невозможным, известные реализации такого подхода (различные схемы теории возмущений [24,112] , частичных областей [112] ) в ряде ситуаций оказываются менее удобными для аналитических или численных исследований, чем методы, основанные на интегральной формулировке задачи.
Рассеянное электромагнитное поле малого включения в неоднородной среде
Полученные общие результаты, относящиеся к двухслойной среде на проводящей подложке, проиллюстрированы на рис.1-12 приложения 4 применительно к рассеянию основного мода ТМт планарного волновода интегральной оптики на малом изотропном и однородном сферическом включении. Численные расчеты были проделаны на ЭВМ. В качестве характеристик рассеяния выбраны безразмерные полное сечение рассеяния 2/# и сечение рассеяния в волны излучения lier, удельные вклады cLi (ty№i&i) мДа того же типа, что и падающий, и волн излучения dy == CLC t) , а также диаграмма рассеяния &(&, У) =? 6 /. Диэлектрические проницаемости волновода f и ок -ружающего пространства 5Л равны соответственно 2.25 и 1.0; маг -нитная проницаемость всюду равна I. Все величины с размерностью длины (радиус включения CL , толщина волновода б , длина волны в свободном пространстве /Ь0 , координата р центра включения) измеряются в одних и тех же единицах длины, которые конкретизиро -ваны лишь в отдельных случаях. Падающая волна распространяется вдоль оси х-ов: %0 ЭС0 ; от нее же отсчитывается азимутальный угол р в направлении на точку наблюдения.
Из рис.1-2 видно, что когда толщина волновода намного больше или меньше длины волны, зависимость 2ль , от вертикальной коор -динаты«?р центра включения повторяет профиль первичного элект -рического поля. Следовательно, определяющее значение в формировании внутреннего поля включения и его характеристик рассеяния для таких волноводов принадлежит величине первичного поля, возбуждаки щего включение. Для ситуации, когда толщина волновода сравнима с длиной волны (рис.3), свойственно резкое,на 1-2 порядка,изменение величины рассеиваемой энергии с глубиной залегания при сравнительно медленном изменении первичного электрического поля. Таким образом, имеет место изменение характера взаимосвязи первичного и внутреннего полей, определяемой диадой %е , по сравнению с тонким или толстым волноводами. Очевидно, это связано с определяющим влиянием многократных отражений волн от границ волновода на формирование внутреннего поля включения.
В тонком волноводе большая часть энергии рассеивается в мод того же типа, что и падающий: - , . С увеличением толщины волновода величина Сь уменьшается и в толстом волноводе становится пренеорежимо малой (и поэтому на рисунках отсутствует), а удельный вклад волн излучения превращается в осциллирующую функцию глубины залегания.
Вследствие сложных интерференционных явлений с изменением частоты (рис.4-7) удельный вклад волн излучения колеблется в значительных пределах. Это следует учитывать в практических задачах неразрушающего контроля, где надлежащим выбором частоты можно значительно увеличить рассеянную мощность, излучаемую из волновода, что облегчит идентификацию включения.
Если диэлектрическая проницаемость включения превосходит диэлектрическую проницаемость окружающей среды, сечения рассеяния включения с ростом 6р возрастают (рис.8). При приближении 6р снизу к значению диэлектрической проницаемости окружающей среды они уменьшаются, стремясь к нулю, так как рассеиватель по существу исчезает.
Для зависимости сечений рассеяния от радиуса диэлектрического включения характерно монотонное возрастание с увеличением размеров рассеивателя (рис.9).
Во всех случаях сечения рассеяния включения вне волновода значительно меньше этих же величин для включения в волноволе, что связано с экспоненциальным уменьшением возбуждающего поля по мере удаления от верхней границы волновода. При этом рассеяние происходит, в основном, в волны излучения.
Диаграммы рассеяния включения в различных по толщине волноводах приведены на рис. 10-12. В тонком волноводе (рис.Ю) при смещении включения к верхней границе почти равномерное рассеяние энергии по азимутальным направлениям сменяется рассеиванием большей части энергии вперед. Угол скольжения, отвечающий максимуму рассеиваемой энергии в (азимутальном) направлении распространения первичной волны при этом слегка увеличивается.
По мере увеличения толщины волновода закономерности изменения диаграммы рассеяния с изменением глубины залегания усложняются -они видны из рис.11. Число лепестков диаграммы рассеяния при этом увеличивается (рис.12). Как видно из этих рисунков, характер распределения рассеиваемой энергии по направлениям может служить основой для определения глубины залегания включения.
Проведенное выше исследование низкочастотного рассеяния волн на включении с необходимостью предполагает, что размеры включения (в данном случае - радиус сферы оь ) малы по сравнению с длиной волны как в окружающей среде, так и в материале включения. Однако для сферического рассеивателя его можно обобщить на случай,когда выполняется только первое из этих условий, а длина волны в материале включения сравнима с его раз -мерами или превышает их. Формально модификация полученных выше результатов заключается в замене материальных параметров включения бру /До в формуле (2.22) для рассеянного поля и вытекающих из неё выражений на т.н. "кажущиеся"параметры б0 = бр 2 4).
Эквивалентная диэлектрическая проницаемость дискретной среды с коррелированными рассеивателями
Во всех случаях сечения рассеяния включения вне волновода значительно меньше этих же величин для включения в волноволе, что связано с экспоненциальным уменьшением возбуждающего поля по мере удаления от верхней границы волновода. При этом рассеяние происходит, в основном, в волны излучения.
Диаграммы рассеяния включения в различных по толщине волноводах приведены на рис. 10-12. В тонком волноводе (рис.Ю) при смещении включения к верхней границе почти равномерное рассеяние энергии по азимутальным направлениям сменяется рассеиванием большей части энергии вперед. Угол скольжения, отвечающий максимуму рассеиваемой энергии в (азимутальном) направлении распространения первичной волны при этом слегка увеличивается.
По мере увеличения толщины волновода закономерности изменения диаграммы рассеяния с изменением глубины залегания усложняются -они видны из рис.11. Число лепестков диаграммы рассеяния при этом увеличивается (рис.12). Как видно из этих рисунков, характер распределения рассеиваемой энергии по направлениям может служить основой для определения глубины залегания включения.
Проведенное выше исследование низкочастотного рассеяния волн на включении с необходимостью предполагает, что размеры включения (в данном случае - радиус сферы оь ) малы по сравнению с длиной волны как в окружающей среде, так и в материале включения. Однако для сферического рассеивателя его можно обобщить на случай,когда выполняется только первое из этих условий, а длина волны в материале включения сравнима с его раз -мерами или превышает их. Формально модификация полученных выше результатов заключается в замене материальных параметров включения бру /До в формуле (2.22) для рассеянного поля и вытекающих из неё выражений на т.н. "кажущиеся"параметры б0 = бр 2 4) .Фактически эта замена производится в диадах поляризуемости & m6 p)t которые определяют величины ре fa эквивалентных точечных источников рассеянного поля из (1.3.22):
Физически такая ситуация отвечает возникновению резонансов электрического (oi = е) или магнитного (pL = fib) типов в материале включения. При этом присходит резкое увеличение сечений рассеяния одновременно во все типы распространяющихся волн, поскольку условие (2.31) обращает в бесконечность все коэффициенты &»&) из (2.22)
Применительно к задаче о включении в двухслойной среде на идеально проводящей подложке из предыдущего пункта условия резонансов электрического или магнитного типов имеют соответственно вид: конечность обращается компонента O fc , а при oC=J? — L одноосной диады из (2.20) . Эти же формулы дают условия ре зонансов для более простых предельных ситуаций. Так, для полубес конечных однородных сред (формула (1.26)),граничащих при = О , следует положить для однородной при ? среды на идеально проводящей подложке з „= (&/%g) у п б іии ; для безграничной однородной среды (2.32) сводятся к виду и не зависят - в отличие от всех прочих случаев - от расположения включения по вертикальной координате. Для рассмотренного в предыдущем пункте пленарного волновода на проводящей подложке и сферического включения резонансное изменение сечений рассеяния при падении основного мода ТМт показано на рис.13-22 приложения 4. Здесь же приведены удельные вклады за счет рассеяния в волну того же типа, что и падающая, и в волны излучения. Первый пик сечений рассеяния на этих рисунках отвечает резо нансу магнитного типа,а второй по порядку следования - резонансу электрического типа. В согласии с работой [ill] , резонансные кривые ассимметричны. Если включение расположено вне волновода, для резонанса электрического типа справа от резонансного пика имеется острый локальный минимум, тогда как вблизи резонансных значений параметров для резонанса магнитного типа локальных мини мумов нет. Для включения внутри волновода ҐО р ) ло кальные минимумы возле резонансных максимумов отсутствуют. В области больших частот вклад рассеяния в волну того же типа, что и падающая, быстро убывает (рис.13-16). Надлежащим подбором f можно добиться, чтобы основной вклад в рассеяние был связан либо с излучением в окружающее пространство, либо с преобразованием в мод того же типа, что и падающий (рис. 17-20).
