Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Определение поля показателя неоднородной среды по параметрам электро-магнитной волны - 15
1.1. Постановка задачи восстановления пространственных флуктуации показателя преломления неоднородной среды 15
1.2. Представление решения задачи распространения электромагнитной волны для неоднородной падающей волны конечной энергии 21
1.3. Алгоритм решения обратной задачи 31
1.4. Влияние шумов на решение задачи восстановления пространственных флуктуации неоднородного поля 42
1.5. Оптимальное решение задачи восстановления спектра реализации пространственных вариаций неоднородной среды 56
Выводы по главе I 68
Глава .II Стохастическая линеаризации при оптимальном решении ряда обратных задач: электродинамики . 73
2.1. Постановка обратной задачи 73
2.2. Метод стохастической линеаризации при исследовании устойчивости на шумах решения обратной задачи 78
2.3. Оптимальное восстановление коэффициента отражения в задаче нестационарных плоских волн 89
Выводы по главе II 98
Глава III. Восстановление полей, характеризуемых набором параметров 100
3.1. Влияние шумов на измерения параметров дифракционных полей, представимых рядами .100
3.2. Оценка параметров полей, дифрагированных на периодических и некоторых одиночных структурах 104
3.3. Учет влияния неоднородной среды на измерение линейных базисов 117
Выводы по главе III. 129
Литература 137
Приложение 145
- Представление решения задачи распространения электромагнитной волны для неоднородной падающей волны конечной энергии
- Оптимальное решение задачи восстановления спектра реализации пространственных вариаций неоднородной среды
- Метод стохастической линеаризации при исследовании устойчивости на шумах решения обратной задачи
- Оценка параметров полей, дифрагированных на периодических и некоторых одиночных структурах
Введение к работе
В комплексе проблем, связанных с исследованием природных ресурсов, окружающей среды, созданием прецезионных радиоиэмеритальных систем и СВЧ-устройств, используемых в радиоастрономии, радиолокации, навигации, антенной и волноводной технике, в физике неразрушающего метода контроля существенное место принадлежит задачам восстановления дифракционных полей и сред распространения волн или их конечномерных аппроксимаций. Специфика рассматриваемого класса задач в том, что информация, по которой происходит восстановление, не может быть измерена без искажений и имеет косвенный характер. Подобные задачи по сложившейся традиции называются обратными. Развитие устойчивых методов решения обратных задач в ситуации, когда искажения исходных данных имеет случайный характер, на современном этапе является, безусловно, актуальным.
Данная работа посвящена разработке методов решения и физическому анализу задач восстановления неоднородной среды распространения электромагнитной (акустической) волны, когда распространение в среде описывается в малоугловом приближении, и дифракционных полей, устойчивых к случайным возмущениям, которые трактуются как измерительные шумы.
Актуальность предпринятого исследования вытекает из необходимости наряду с решением конкретных задач выяснить основные общие закономерности присущие устойчивым к измерительным шумам решениям достаточно широкого круга обратных задач дифракции и распространения электромагнитных волн, которые зачастую имеют нелинейный характер. Привлекаемый в связи с этими обстоятельствами математический аппарат принадлежит теории вероятностей, теории интегральных и дифференциальных уравнений в частных производных и функциональному анализу.
По методам восстановления различных радиофизических полей в настоящее время имеется многочисленная, журнально-монографичес-кая литература. В приведенном ниже кратком литературном обзоре обсуждается материал, имеющий непосредственное отношение к теме диссертации.
Общие методы решения обратных задач были развиты в последние 20-25 лет усилиями, главным образом, математиков советской школы, возглавляемых А.Н.Тихоновым. Из работ общего характера отметим следующие /24-29, 49/, Учет специфики распространения в случайно-неоднородной среде электромагнитной или акустической волны выделяет из всего многообразия работ по восстановлению ере-ды некоторую их часть, распадающуюся на две группы по характеру информации, по которой определяются характеристики среды. А именно, информация содержится в отраженном сигнале (методы радио и акустозондирования) / 2, 4, 8, 10, 57, 61, 69, 70/ или в сигнале, регистрируемым на выходе неоднородной среды (методы просвечивания) / I-I7, 21, 23/. В указанной литературе разработан ряд методов,позволяющих восстановить электромагнитные и акустические параметры среды по данный измерений волновых полей. В соответствии со спецификой использованных моделей распространения и применяемых математических средств для решения обратной задачи эти методы можно условно разбить на следующие группы.
I. Методы использующие модель среды, например, высотный профиль диэлектрической проницаемости, который зависит от конечного числа параметров / 1-5, 7 /. В результате, существенно многомерная континуальная задача сводится к оценке неизвестных параметров. & то же время, практически во всех руководствах по теории распространения электромагнитных волн в случайно-неоднородных средах / 1-5, 9, 18-22 / констатируется существенная изменчивость среды в силу чего модельные значения могут в значительной
г б -
степени не; соответствовать ее действительному состоянию, что значительно ограничивает практическую область применимости полученных результатов.
2* В работах / 1,3-6, 10-17 / предложены методы восстановления регулярного профиля случайно-неоднородной среды по различным радиоданным: углы рефракции и рефракционное ослабление / I, 3-5, 10-12, 16, 17 /, амплитудно-фазовые характеристики распространяющейся волны / 9, 13, 14, 22 /. В. первом случае связь между измеряемыми радиоданными и характеристиками среды установлена из лучевой теории распространяющейся волны, поэтому она не справедлива в областях пересечения лучевых линий и не учитывает дифракционные явления, то есть область применимости результатов ограничена. Во втором случае связь между радиоданными и средой установлена из приближенного метода решения волнового уравнения. Как установлено в / 18-21, 22 /, в этой ситуации, например, дисперсия флуктуации логарифма уровня амплитуды пропорциональна длине трассы распространения; Экспериментальные данные совпадают с теорией для малых длин трасс (в приближении геомоптики, однократного рассеяния, метода плавных возмущений в / 9, 18-21 / приведены точные выражения), а для больших трасс эксперимент показывает белее медленное нарастание дисперсии уровня (область сильных флуктуации логарифма уровня амплитуды); Иначе говоря, результаты по восстановлению характеристик среды, в рассматриваемых работах,' не точны за счет ее значительного изменения в направлении перпендикулярном распространению / 9, 18-21 / и имеют ограничения на длины трасс распространения (область малых флуктуации).
3. Методами.зондирования и просвечивания, в части работ / 8, 9, 26, 45 /, находится многомерная характеристика, среды, что достигается линеаризацией рассеянного в ней поля по малому параметру (обычно дисперсия флуктуации среды), когда точное зна-
чение распространяющегося поля заменяется первые приближением. Это приводит к приближенному определению характеристик неоднородной среды и ограничению на длины трасс распространения.
В рассмотренных результатах по восстановлению регулярных характеристик среды отсутствуют оценки точности их определения. Это связано с тем, что не определяются статистические характеристики флуктуации среды, в которых содержится соответствующая точностная информация / 21 /. При выоокоточных измерениях (например, координат и скорости летательных аппаратов, радиодально-метрия) этот вопрос существенен. Требование определения характеристик среды с большой степенью точности приводит к нелинейным уравнениям относительно их.
Таким образом, обсуждаемым результатам свойственны следующие недостатки. Они либо дают недостаточную для нужд практики характеристику среды, либо эта характеристика находится неточно, что объясняется! введением приближенной связи между измеряемым сигналом и искомой характеристикой. Это приводит к тому, что полученные результаты, применимы в области малых флуктуации.
Существенным для приложений, например, при проектировании и построении различных прецезионных радиоизмерительных систем, является вопрос о точности полученных результатов, когда информация, на основе которой происходит восстановление, искажена случайными помехами. Этот вопрос эквивалентен устойчивости решения обратной задачи на шумах. В известной литературе / 24, 29, 46, 49, 71, 72 / этот вопрос исследовался, но авторы ограничились линейными задачами, в то время как задачи восстановления многомерных характеристик среды обычно имеют нелинейный характер;
Еще один круг вопросов тесно связанный с задачей восстановления физических свойств объекта возникает в связи с измерением
дифракционных полей (Ж-устройств с учетом статистической природы ошибок измерений. При всей многочисленности литературы по расчету дифракционных полей в настоящее время отсутствует методика оптимальной оценки параметров дифрагированного поля (коэффициентов отражения или прохождения) хотя бы для некоторого класса полей, которые можно было бы проклассифицировать, например, по геометрии препятствия (одиночные структуры, периодические структуры и т.д.). Имеющаяся литература, где учитывается статистика ошибок измерений / 24, 29, 71 / изучает в основном одномерные- процессы, а дифракционные поля - многомерные. Результаты такого исследования имеют существенное значение для аттестации устройств, где основной элемент - дифракционная структура.
Как следует из обзора литературы, задача теоретического исследования процессов восстановления среды распространения электромагнитной волны и дифракционных полей решена далеко не полностью. Q точки зрения современных требований, основной пробел заключается в следующем: I) отсутствует метод определения трехмерных характеристик неоднородной среды, имеющей менее жесткие ограничения на длины трасс распространения, то есть применимый в области сильных флуктуации; 2) не выяснены общие закономерности, присущие устойчивым к измерительным шумам решениям нелинейных обратных задач прикладной электродинамики; 3) отсутствие методики оптимального определения параметров дифрагирующего поля.
Целью диссертационной работы является разработка методов решения и физический анализ задач восстановления дифракционных полей и среды распространения электромагнитных (акустических) волн, устойчивых по среднеквадратичному критерию к случайным искажениям исходных данных.
Научная новизна работы заключается в следующем:
I. Впервые, в- строгой постановке предложен метод определе-
ния многомерных характеристик для ряда случайно-неоднородных и регулярных сред.
Найдено новое представление решения задачи распространения волн типа ограниченных световых и волновых пучков в параболическом приближении. Получено интегральное уравнение для функции ослабления спектра рассеянного поля и изучены ее свойства.
Разработаны принципы построения устойчивого к измерительным шумам решения обратной задачи и алгоритмы нахождения оптимального и квазиоптимального фильтров для отыскания трехмерного спектра реализаций диэлектрической проницаемости среды.
В рамках корреляционной теории реализован новый подход, основанный на методе стохастической линеаризации, при определении устойчивого и оптимального решения ряда нелинейных обратных задач теории дифракции и распространения электромагнитных волн.
Разработаны методики оптимального оценивания параметров дифракционных полей и состояния атмосферы для аттестации соответствующих приборов.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Первая глава посвящена строгому методу решения задачи определения спектра реализации пространственных флуктуации показателя преломления случайно-неоднородной среды, устойчивому к случайным возмущениям радиоданных, по которым происходит восстановление характеристик среды. Используемый метод восстановления по данным радиопросвечивания отличается от известных в литературе большей общностью, содержащейся в отказе от конкретизации некоторых физических свойств среды, что существенно отражается; на адекватной математической модели, рассматриваемой задачи. Процесс, определения характеристик сведен к обратной задаче для дифференциального оператора относительно комплексной амплитуды
поля, описывающего распространение волн в приближении параболического уравнения, и поэтому метод восстановления параметров среды применим в области больших флуктуации. На основе представления: решения задачи рассеяния! для ограниченных световых и волновых пучков получено интегральное уравнение второго рода типа Фредгольма относительно спектра реализации диэлектрической проницаемости восстанавливаемой среды. Приведен алгоритм решения задачи* Методом стохастической линеаризации, который обоснован в главе 2, исследован вопрос об устойчивости решения к. случайным возмущениям исходных радиоданных. Щш оптимальном решении задачи восстановления разработаны алгоритмы построения оптимального и квазиоптимального фильтров для определения многомерных характеристик среды. Исследовано качество оптимального решения в зависимости от длин падающей волны, трассы распространения и отношения сигнал-шум. Эффективность метода проиллюстрирована на примере восстановления параметров турбулентной атмосферы.
Во второй главе обобщается развитый в главе I метод определения устойчивых к случайным возмущениям решений одного класса нелинейных обратных задач теории распространения и дифракции электромагнитных волн* Выяснены основные общие закономерности присущие устойчивым решениям рассматриваемых задач. При этом методологически сохраняются принципы использованные при изучении задачи восстановления среды. Обобщение состоит в том, что исследованы свойства решения обратной задачи для нелинейного операторного уравнения. Вопрос об устойчивости решения на шумах изучен, обоснованным в главе методом стохастической линеаризации. Исследован вопрос о построении фильтра дающего оптимальные решения задачи. На; примере задачи восстановления коэффициента отражения при распространении упругих волн показано, что предлагаемая методика исследования на устойчивость имеет более широкую область
- II -
применимости;
Третья глава посвящена восстановлению некоторых радиофизических полей, а именно дифракционных и интегрального показателя преломления атмосферы, при наличии статистически неопределенной информации. Задача восстановления дифракционного голя при наличии тепловых и измерительных шумов при определенных условиях, которые по сути закодированы в геометрии препятствия, сводится к оптимальной оценке дифракционных гармоник. Метод расчета оценок применим для широкого класса дифракционных полей. Например, для полей дифрагирующих на периодической структуре и на некоторых одиночных структурах (шар, два шара, цилиндр, два цилиндра и т.д.). Эффективность методики состоит в том, что получены удобные для инженерного расчета и физического анализа соотношения, что проиллюстрировано на примерах дифракции плоской волны на плоской металлической решетке и волны TEjq в прямоугольном волноводе с:; индуктивной диафрагмой.
При высокоточном измерении длин светодальномером ошибки за счет атмосферы имеют преобладающий характер. Приведен анализ статистических характеристик существующей методики, введения поправок на текущее состояние атмосферы и показана удовлетворительность рассчитанных характеристик экспериментальным данным. Разработан алгоритм оптимальной обработки для учета текущего состояния атмосферы.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе, а также даны рекомендации относительно перспектив дальнейших исследований.
В приложении приведены два примера вывода уравнения восстановления спектра реализации диэлектрической проницаемости случайно -неоднородной среды, расширяющие границы метода, изложенного в главе I.
В работе защищаются следующие научные положения
и результаты:
I. Задача восстановления спектра реализации пространствен
ных флуктуации показателя преломления; случайно-неоднородной или.
регулярной среды формулируется как обратная задача для дифферен
циального оператора в частных производных, описывающего процесс
распространения электромагнитной волны в изучаемой среде. Впер
вые в общей постановке реализован строгий метод решения задачи
и исследована его устойчивость тс случайным возмущениям радиоданных.
Определение спектра реализации вариаций пространственных характеристик среды на семействе неоднородных падающих волн конечной энергии сведено к анализу нелинейного интегрального уравнения. Решение задачи в линейной постановке.
Представление решения задачи распространения электромагнитной волны в неоднородной среде в малоугловом приближении,
І.'З. Разработан и обоснован строгий метод решения, обратной задачи на основе результатов предыдущих пунктов. При определении спектра реализации флуктуации, обусловленных турбулентностью атмосферы, получены соотношения, пригодные для инженерных расчетов и физического анализа,
1,4. Исследование устойчивости решения задачи восстановления к случайным возмущениям радиоданных. Для возникающей в этой ситуации задачи определения оптимальных по средиеквадратному критерию характеристик среды, разработан алгоритм построения оптимального и квазиоптимального фильтров для отыскания трехмерных спектров реализаций диэлектрической проницаемости.
II. Широкий круг обратных задач теории дифракции и распроо-
тршения электромагнитных волн описывается нелинейным оператор
ным уравнением, которое при определенных условиях имеет едшст-
- ІЗ -
венное детерминированное решение. Выяснены основные закономерности присущие устойчивым к случайным возмущениям исходных данных решениям рассматриваемого уравнения. При этом реализован новый подход, учитывающий нелинейность задачи, основанный на методе стохастической линеаризации, который обоснован в рамках корреляционной теории;
2,1% Изучены свойства детерминированного решения обратной задачи в операторном виде,
Щш определении устойчивого решения задачи в случае искажения исходных данных случайным возмущением разработан и обоснован метод стохастической линеаризации, учитывающий нелинейный характер исходной задачи. Исследован вопрос о построении фильтра, определяющего оптимальное (квазиоптимальное) решение обратной задачи.-.- - ..,._.
Методика исследования на устойчивость применима не только к задачам электродинамики. На примере задачи-восстановления коэффициента отражения при распространении упругих волн показана эффективность предлагаемого метода и в этом случае.
Ш. Методами теории оценки параметров сигнала получены новые результаты по оптимальной оценке дифракционных полей и по учету текущего состояния атмосферы при светодальномерных измерениях.
Для дифракционных полей, представленных в виде ряда по ортогональной системе функций, предлагается методика оптимального определения параметров поля, которая сводится к оценке, дифракционных гармоник,
Развитая методика применяется к полям, дифрагирующим на периодических и ряде одиночных структур. Эффективность методики в том, что получаются удобные для физического анализа соотношения'. Это проиллюстрировано на примерах внешней и внутренней
- 14: -
задач дифракции,
3.3. Приведен анализ статистических характеристик существующей методики компенсации погрешности за счет случайного характера среды распространения при светодальномерных измерениях длин. Показана удовлетворительность рассчитанных характеристик экспе*-риментальным данным. Разработан оптимальный алгоритм для учета текущего состояния атмосферы.
Результаты работы; докладывались на П Всесоюзном симпозиуме пю миллиметровым и сублиллиметровым волнам (Харьков, 1978 г.), Всесоюзной школе-семинаре "Пространственно-временная обработка сигналов и учет влияния среды их распространения" (Харьков, 1980 г.), Всесоюзном симпозиуме "Обобщенно-обратные задачи идентификации сложных систем" (Харьков, 1979 г.), Всесоюзном научно-техническом семинаре "Численные методы линейного программирования" (Москва-Харьков, 1979 г.), УШ Ваесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению электромагнитных волн (Львов, 1981 г;) и опубликованы в работах / 34-38, 62, 65, 79-81, 83, 84 /.
Представление решения задачи распространения электромагнитной волны для неоднородной падающей волны конечной энергии
В рассмотренных результатах по восстановлению регулярных характеристик среды отсутствуют оценки точности их определения. Это связано с тем, что не определяются статистические характеристики флуктуации среды, в которых содержится соответствующая точностная информация / 21 /. При выоокоточных измерениях (например, координат и скорости летательных аппаратов, радиодально-метрия) этот вопрос существенен. Требование определения характеристик среды с большой степенью точности приводит к нелинейным уравнениям относительно их.
Таким образом, обсуждаемым результатам свойственны следующие недостатки. Они либо дают недостаточную для нужд практики характеристику среды, либо эта характеристика находится неточно, что объясняется! введением приближенной связи между измеряемым сигналом и искомой характеристикой. Это приводит к тому, что полученные результаты, применимы в области малых флуктуации.
Существенным для приложений, например, при проектировании и построении различных прецезионных радиоизмерительных систем, является вопрос о точности полученных результатов, когда информация, на основе которой происходит восстановление, искажена случайными помехами. Этот вопрос эквивалентен устойчивости решения обратной задачи на шумах. В известной литературе / 24, 29, 46, 49, 71, 72 / этот вопрос исследовался, но авторы ограничились линейными задачами, в то время как задачи восстановления многомерных характеристик среды обычно имеют нелинейный характер;
Еще один круг вопросов тесно связанный с задачей восстановления физических свойств объекта возникает в связи с измерением дифракционных полей (Ж-устройств с учетом статистической природы ошибок измерений. При всей многочисленности литературы по расчету дифракционных полей в настоящее время отсутствует методика оптимальной оценки параметров дифрагированного поля (коэффициентов отражения или прохождения) хотя бы для некоторого класса полей, которые можно было бы проклассифицировать, например, по геометрии препятствия (одиночные структуры, периодические структуры и т.д.). Имеющаяся литература, где учитывается статистика ошибок измерений / 24, 29, 71 / изучает в основном одномерные- процессы, а дифракционные поля - многомерные. Результаты такого исследования имеют существенное значение для аттестации устройств, где основной элемент - дифракционная структура.
Как следует из обзора литературы, задача теоретического исследования процессов восстановления среды распространения электромагнитной волны и дифракционных полей решена далеко не полностью. Q точки зрения современных требований, основной пробел заключается в следующем: I) отсутствует метод определения трехмерных характеристик неоднородной среды, имеющей менее жесткие ограничения на длины трасс распространения, то есть применимый в области сильных флуктуации; 2) не выяснены общие закономерности, присущие устойчивым к измерительным шумам решениям нелинейных обратных задач прикладной электродинамики; 3) отсутствие методики оптимального определения параметров дифрагирующего поля.
Целью диссертационной работы является разработка методов решения и физический анализ задач восстановления дифракционных полей и среды распространения электромагнитных (акустических) волн, устойчивых по среднеквадратичному критерию к случайным искажениям исходных данных. Научная новизна работы заключается в следующем: I. Впервые, в- строгой постановке предложен метод определе - 9 ния многомерных характеристик для ряда случайно-неоднородных и регулярных сред. 2. Найдено новое представление решения задачи распространения волн типа ограниченных световых и волновых пучков в параболическом приближении. Получено интегральное уравнение для функции ослабления спектра рассеянного поля и изучены ее свойства. 3. Разработаны принципы построения устойчивого к измерительным шумам решения обратной задачи и алгоритмы нахождения оптимального и квазиоптимального фильтров для отыскания трехмерного спектра реализаций диэлектрической проницаемости среды. 4. В рамках корреляционной теории реализован новый подход, основанный на методе стохастической линеаризации, при определении устойчивого и оптимального решения ряда нелинейных обратных задач теории дифракции и распространения электромагнитных волн. 5. Разработаны методики оптимального оценивания параметров дифракционных полей и состояния атмосферы для аттестации соответствующих приборов. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.
Первая глава посвящена строгому методу решения задачи определения спектра реализации пространственных флуктуации показателя преломления случайно-неоднородной среды, устойчивому к случайным возмущениям радиоданных, по которым происходит восстановление характеристик среды. Используемый метод восстановления по данным радиопросвечивания отличается от известных в литературе большей общностью, содержащейся в отказе от конкретизации некоторых физических свойств среды, что существенно отражается; на адекватной математической модели, рассматриваемой задачи. Процесс, определения характеристик сведен к обратной задаче для дифференциального оператора относительно комплексной амплитудыполя, описывающего распространение волн в приближении параболического уравнения, и поэтому метод восстановления параметров среды применим в области больших флуктуации. На основе представления: решения задачи рассеяния! для ограниченных световых и волновых пучков получено интегральное уравнение второго рода типа Фредгольма относительно спектра реализации диэлектрической проницаемости восстанавливаемой среды. Приведен алгоритм решения задачи Методом стохастической линеаризации, который обоснован в главе 2, исследован вопрос об устойчивости решения к. случайным возмущениям исходных радиоданных. Щш оптимальном решении задачи восстановления разработаны алгоритмы построения оптимального и квазиоптимального фильтров для определения многомерных характеристик среды. Исследовано качество оптимального решения в зависимости от длин падающей волны, трассы распространения и отношения сигнал-шум. Эффективность метода проиллюстрирована на примере восстановления параметров турбулентной атмосферы.
Оптимальное решение задачи восстановления спектра реализации пространственных вариаций неоднородной среды
Константа С из с/ является точностной характеристикой поля, которая для случайно-неоднородной среды находится из статического описания ее. В случае однородного поля с вероятностью 0,997
Для неоднородных полей можно проложить С-рГЛОХ6jc(X,p) = 00,0, где константа р зависит от вероятности изучаемой реализации. Исходя из этого, уравнение относительно К имеет вид Сс р(2и/[2({-2 1)гҐ=пгпахМ , то есть К зависит от отношения шум-сигнал по среднеквадратичному отклонению полей и от Л , . Очевидно, что к определяет точность восстановления, пространственных характеристик среды в реальной помеховой обстановке. Выясним, как соотносится это число с числом m , определяющим по (Ґ.59) точность решения обратной задачи. Заметим, что эта точность определяется величиной С$ (2«//" [2(4-2о02] —
Отсюда следует, что при наличии помех и без них точности будут совпадать при К-т . Если К т , то произведение в правой части последнего равенства по порядку величин равно (7) У(.&є)т+І то еоть восстановление происходит с худшей точностью, чем в отсутствии помех. Ери К гп та же величина имеет вид(б е) -( е)171 то есть помехи практически не влияют на процесс; восстановления. Так как К=К(-zA, J. ) J а ве-личины в скобках меняются в достаточно широком интервале, то может реализоваться любой из рассмотренных случаев процесса определения характеристик среды.
Используя неравенство X /сХ для 0 Х { 9 найдем fc из соотношения где квадратные скобки обозначают операцию взятия целого числа. В случае турбулентной атмосферы, которая моделируется однородным поле м /9, 20/,: р = 3, 6 = 6 , С=3б #
Таким образом, процесс Мт Є+ A/m заменяется процессом Мт = Єк+ Мт , причем погрешность такой замены практически не; превышает дисперсии исходного шума. Устремляя т-+- х= найдем возмущенное решение задачи восстановления спектра реализации вариаций диэлектрической проницаемости неоднородной среды". где К определяется через статистические характеристики исходного шума и определяемого поля, длины, падающей волны и трассы распространения. Отметим, что если рассеянное поле измеряется идеальными приборами, что статистически соответствует 6п = О, то уравнение для К удовлетворяется при к1- - =- и следовательно, возмущенное решение совпадает а невозмущенным Cji = Є );. Другой предельный случай состоит в том» что шум является широкополосным. Это приводит к необходимости фильтрации начальных данных обратной задачи. Соответствующий анализ составляет содержание следующего раздела,
Аналогично, как при анализе задачи восстановления Єо(07дг.), наличие щ чайного возмущения в решении основной задачи (ІІ74) естественным образом ставит задачу о выделении полезного "сигнала" на фоне помех, то есть задачу фильтрации и оптимального определения спектра Є В связи с этим привлечем априорную информацию, которая заключается в статистической природе исследуемых полей. Предположим, что (Хрр) - нормальное однородное поле. В силу явления нормализации при линейных преобразованиях интегрирующего типа /43/ из (1.24) следует нормальность поля iTfXj В, де.) , Статистическое истолкование (К2б) дает однородность случайного поля 7)4 , р) , Повторяя эти рассуждения, находим, что поля 0(Х, ) , ( , ) ,n0(X;j ) ,z(Xff ) -нормальные и однородные.в следующем смысле. ПЬсле преобразования (1.54) поля Є0(Хр О) , п(Х9 Q) будут нормальные, но неоднородные. Дисперсия этих полей соответственно & , Єп t в области усечения и равна нулю вне ее. В этом уточненном смысле употребляется термин однородное поле. Аналогичное замечание верно для полей Т о(Х, о) , п0(х, )9 Я(х,Р) % Отметим, что из определения следует & - Єє ; При оптимальном восатановлении полагаем,что /Q(&x)) = 0 и задана спектральная гоїотность &о(9,эе.), Є(9 эг) получается преобразованиями (1.35), (1.36) случайного поля о(6,зе). Подвергнем линейной фильтрации начальные, данные М0 (буЗг) фильтром, характеризуемым передаточной функцией п(о,д) То есть, образуем J40 = H(0, )jHo(09ae) = Є0(в,де)+ п(0, ае) . Фильтрация и0 вызывает необходимость обсуждения состоятельнос ти результатов разделов 1,3, 1.4, так как преобразуются Є0 , исходное данное обратной задачи, и искажающий ее шум П , Отме тим следующий момент в обработке М0 . В (1,35), (І.Зб) и соот ветствующем им (1.58), (1,59) итерационных процессах обрабатыва ются фильтрованные cf0 , п нефильтрованными ядрами, зависящими от Єо , то есть ЄС зе), V0(x, в\х)9 у(Х; в, д) В сла гаемых со случайными ядрами в (1,58), (1.59) они заменяются на фильтрованные. Такое построение обработки приводит к линейному уравнению относительно передаточной функции фильтра Основные свойства ?0 , используемые при решении обратной задачи: непре рывность по в , эе и принадлежность L (R5). Условие ограни ченности (?о (х р) не; существенно в силу специфики обработки (нефильтрованные ядра). Так как ?о- Н60, то непрерывность по 9 , эе ?0 будет следовать из непрерывности Н(9,эе), ибо не прерывность е0 была установлена в разделе 1;3. Из (1.54) сле дует, что 0(х, р) и П-(Х, Р) „ арезанные функции.
Метод стохастической линеаризации при исследовании устойчивости на шумах решения обратной задачи
Задача восстановления реализации пространственных флук туации показателя преломления слоя случай но-неодно род ной среды сформулирована как обратная задача определения коэффициента, за висящего от пространственных координат, линейного дифференциа льного оператора,- описывающего распространение падающей волны в параболическом приближении. Поэтому результаты исследования при менимы; для разнообразных физических сред и более длинных трасс по сравнению с другими методами (область больших флуктуации ло гарифма уровня ампжитуды). Впервые в такой постановке реализо ван строгий метод определения спектра реализации флуктуации не однородной среды и исследована его устойчивость к случайным возмущениям радиоданных. Приведенная обратная задача является некорректной. Корректная постановка достигается радиопросвечива нием среды семейством падающих волн типа ограниченных световых и волновых пучков (1,9). Рассмотренная, задача в линейной постановке отличается от подобных/ изучавшихся ранее, так как исходная информация задается точным решением задачи распространения. Указана связь между решением задачи в линейном приближении с результатами исследований других авторов. Информация, по которой восстанавливаются многомерные ха рактеристики неоднородной среды, заключена в поле, регистрируе мом на выходе из слоя среды. Это привело к необходимости тщате льного анализа структуры распространяющейся, а значит и измеря емой волны. В результате установлена связь между спектром комплексной амплитуды распространяющегося поля и(ъе) и спектром поля тУ(эе ) , являющегося функцией ослабления спектра рассеянного на неоднородностях поля первичной волны. Эта связь установлена при помощи найденного автором оригинального представления спектра решения параболического уравнения для падающих волн (1.9); Для функции 1?(зе) получено интегральное уравнение. Показано, что тУ(Х Р) (?» где const С определяет точность задания реализаций неоднородной среды и находится из ее статистических характеристик. Установл еда,что спектр функции ослабления совпадает с преобразованным интегральным оператором ВХ пространственным спектром реализации флуктуации случайно-неоднородной среды (1.24). 3. На основе последнего результата предложен алгоритм решения; обратной задачи, который заключается в применении метода последовательных приближений к нелинейной системе (1.35), (1.36). Доказана сходимость метода к точному решению задачи восстановления спектра реализации относительных флуктуации диэлектрической проницаемости среды и приведена оценка погрешности т.-го приближения (1.43), (ІІ44), зависящая от длин падающей волны Л , трассы распространения Z и среднеквадратичного отклонения флуктуации неоднородной среды. Показано, что при распространении электромагнитной волны в среде, где вариации диэлектрической проницаемости обусловлены турбулентностью атмосферы, априорные сведения статистического характера дают неравенство (Х, P)UC= -Зб где 6 —10 . В этих условиях из (1.43) вытекает, что для определения (эе;) с точностью порядка 0( ) , достаточно сделать три-четыре последовательных приближения. Установлено,что условие существования решения обратной задачи (I.3I) не противоречит условиям применимости задач распространения в приближении параболического уравнения и марковского процесса. В случае, когда регистрируемое поле искажено аддитивным шумом, рассмотрен вопрос; об устойчивом к шуму восстановлении в,{2&) Исследование проведено в рамках корреляционной теории методом стохастической линеаризации системы (1.35), (і.Зб). Приведено обобщение результатов раздела 1.3 на рассматриваемый случай и показано, что при наличии случайных искажений в исходной информации обратная задача имеет устойчивое в среднеквадратичном смысле решение. Это решение зависит от параметра о (1,70), характеризующего степень не зашумленности восстанавливаемого поля
Показано, что, например, регламентирует среднеквадратичное значение шумов прибора, измеряющего рассеянное поле, при известных сведениях о величинах Устойчивое: решение имеет вид М (98)=6 (36)+ N(de) t где Єк - К -ая итерация- к точному решению и это число определяется через статистические характеристики шума ( Dp ), Я и с . Причем при б -+-0 » К- - и возмущенное решение совпадает о точным.
Наличие шумов привело к задаче фильтрации и оптимального определения (эе) . Получено уравнение (1.75) для импульсной характеристики Н(х"?Р) линейного фильтра. Его решение (1.80) для передаточной функции определяет вид оптимального фильтра, обобщающий фильтр Винера на случайные поля в рассмотренной ситуации. Найдено оптимальное фильтрованное решение задачи восстановления спектра реализации вариаций диэлектрической проницае-мости случайно неоднородной среды M(2e = ;(2e)+NOe} .Физический анализ результатов проведен для нормальных, однородных полей и дельта-коррелированной помехи, характеризуемой спектральной плотностью N0 » и состоит в следующем. При = бя/ І вполне удовлетворительна квазиоптимальная фильтрация и при /V «/ $() переходит в /И (ЗЄ) , а последнее - в точное решение СдЄ) .
Оценка параметров полей, дифрагированных на периодических и некоторых одиночных структурах
Малость возмущений Z характеризуется нормой пространства %, Отметим, что обратные задачи для дифференциальных уравнений, рассматриваемые в работе, сводятся к уравнению (2.5) соответствующей конкретизацией входящих в них операторов. Но, как видно из рассмотренных задач, условие существования непрерывно обратимой производной Фреше [Ug ) в каждом конкретном случае может быть заменено некоторым другим условием, дающим возможность решить (2.5). Так в задаче восстановления пространственных характеристик неоднородной среды из главы I уравнение(2.5) сводится к интегральному уравнению второго рода типа свертки с ограниченным ядром, что дает возможность построить решение обратной задачи. В задаче восстановления граничного условия (коэффициента отражения) в теории распространения нестационарных плоских волн, которая будет исследоваться в. разделе 2.3 операторы, входящие; в (2.5), будут сжимающими, что также приводит к возможности решения (2.5).
Приведенный алгоритм решения, обратной задачи (2.1), (2.2) дает возможность исследовать поведение решения при наличии случайных возмущений в исходных данных, что является конечной целью исследования данной главы.
В реальных условиях, исходя из физических или технических условий, информация о данных ( Я ), по которым определяется решение обратной задачи, известна с некоторой погрешностью, определенной, как правило, в терминах, отличных от нормы пространства % . Рассмотрим случай, когда погрешность задания z описывается статистически, т.е. z гаиое шум. Тогда, естественно, возникает задача о поведении решения (2.1), (2.2) на таких элементах, в частности задача о стохастической устойчивости, так как теорема 2.1 в этих условиях теряет смысл. При этом появляются следующие трудности: I) так как возмущение имеет вероятностный характер, то влияние его на решение задачи характеризуется статистически и на метрических пространствах, которым принадлежат исходные данные и решение детерминированной задачи, необходимо ввести новую: метрику, связанную с вероятностными характеристиками возмущения; 2) возникают сложности при определении исходных операторов; и их свойств нат шумах (норма, ограниченность, сжимаемость). Преодоление этих трудностей осложняется нелинейным характером обратной задачи.
Определение корректности при решении уравнений, когда возмущение имеет вероятностный характер, дано в /46/. В рамках этого определения исследован значительный круг задач (библиография по этому вопросу, например, в /24, 25, 49/), при этом существенно используется дополнительная информация о решении и случайном возмущении. В основном эта информация сводится к следующему: I) известны законы распределения вероятностей решения и. шума; 2) известны спектральные плотности решения и шума. В первом случае требование задания закона распределения вероятностей шума не вызывает трудностей. В то же время определение распределения решения сводит исходную задачу к одной из задач теории статистических решений, а именно, к задаче оценки параметров распределения, которая в случае нелинейных преобразований по трудности не уступает первоначальной. Отметим, что требование нормальности шума не дает нормального распределения решения из-за нелинейного преобразования начальных данных в решение /42, 43, 53/, Те же самые трудности имеют место при анализе второго условия, при котором корректно решение уравнения на статистическом возмущении. Эти трудности анализируются и устраняются ниже.
Общая ситуация описывается следующим образом /52, 54/. Пространство Л является подмножеством векторного топологического пространства Т , и операторы, входящие в (2.7), продолжаются на Т . Проанализируем решение обратной задачи (2;5) на элементах вида К + Тґ ҐЯЄл єТ ). Возмущение V определим как случайный элемент на вероятностном пространстве ( Q , Р) со значением в пространстве /53/, где Р -счетно-аддитивная нормированная вероятностная мера. Считаем, что возмущения и вероятностная мера удовлетворяют условиям где ffiiCyj 2 Of Vz) соответственно первая и вторая момент ные формы; у - произвольный линейный ограниченный функционал из сопряженного к Т пространства Т\ Топология в Т задается системой [/г?2(Уг)] » элементы которой удовлетворяют известным аксиомам полунормы /52, 53, 60/. /VY(YJ г(У / ViJ " обобщение определения среднего и корреляционной функции случайного процесса и для физической интерпретации результатов несколько видоизменим; определение моментов.
