Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Задачи дифракции н - поляризованной электромагнитной волны на открытых двумерных резонаторах, расположенных в металлическом экране 20
1.1. Прямоугольные резонаторы с полупрозрачными внешними стенками. Применение и развитие О - варианта обобщенного метода, собственных колебаний (ОМСК). Использование неоднородных интегральных уравнений второго рода 20
1.2. Прямоугольные резонаторы со щелями во внешних стенках. Модификация О - варианта ОМСК с заданным поведением собственных функций 45
1.3. Метод частичных пересекающихся областей в задачах со щелевыми резонаторами кругового профиля 65
ГЛАВА 2. Задачи дифракции н - поляризованных электромагнитных волн на открытом двумерном круговом цилиндрическом резонаторе,находящемся в свободном пространстве 76
2.1. Дифракционное излучение плоского модулированного потока электронов в присутствии полупрозрачного резонатора 76
2.2. Р - вариант ОМСК в задачах с резонатором, образованном металлической поверхностью с одной или с несколькими щелями 95
ГЛАВА 3. Дифракция неоднородной плоской н - поляризованной электромагнитной волны на полупрозрачном круглом волноводе (квазитрехмерная задача) или на диэлектрическом шаре (трехмерная задача) 102
3.1. Дифракционное излучение плоского модулированного потока электронов в присутствии круглого волновода, образованного полупрозрачной поверхностью 102
3.2. Длинноволновое дифракционное излучение плоского модулированного электронного потока в присутствии диэлектрического шара 117
Заключение 128
Приложения 135
Литература
- Прямоугольные резонаторы со щелями во внешних стенках. Модификация О - варианта ОМСК с заданным поведением собственных функций
- Метод частичных пересекающихся областей в задачах со щелевыми резонаторами кругового профиля
- Р - вариант ОМСК в задачах с резонатором, образованном металлической поверхностью с одной или с несколькими щелями
- Длинноволновое дифракционное излучение плоского модулированного электронного потока в присутствии диэлектрического шара
Введение к работе
Современный уровень развития радиофизики требует использования для обоснованного расчета, проектирования и совершенствования многих функциональных устройств, применяемых в электронных приборах, квазиоптике, антенной, волноводной и ускорительной технике решений задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях, образованных частично экранированными или заполненными диэлектриком областями. Так как число таких областей в этих устройствах всегда конечно, они представляют собой ограниченные неоднородности, взаимодействующие с электромагнитным полем. Особый прикладной интерес имеют случаи, когда это взаимодействие приобретает резонансный характер.
Обширный крут указанных задач обусловлен разнообразием важных для приложений конфигураций дифрагирующих структур и спецификой возбуждающих их полей, которые реализуются в используемых на практике устройствах. Для их эффективного решения необходимо привлечение конструктивных методов теории дифракции,позволяющих провести электродинамическое исследование рассматриваемого устройства в частотных диапазонах, включающих длины волн, соизмеримые с характерными размерами дифрагирующей структуры. При отмеченной многочисленности названных задач разработка таких методов и выбор определенного метода для решения задачи дифракции с конкретной геометрией - актуальная и, часто, достаточно сложная проблема. Она вызвана, в частности, тем, что резонирующие области в структурах указанного типа являются открытыми. Исследования широких классов задач, связанных с этой проблемой представлены в [I - 20 J . Значительные результаты в ее
решении достигнуты благодаря развитию и применению эффективных численных методов решения задач дифракции [з - 12 ] .
Настоящая работа расширяет в определенной мере число решенных задач по обсуждаемой -теме для случаев, когда характерный размер неоднородности может быть сравним с длиной волны поля. Это расширение касается как геометрии дифрагирующих структур в сочетании с реализацией связи частично экранированных областей с внешним пространством, так и способа электромагнитного возбуждения рассматриваемых неоднородностей. В работе построены решения задач дифракции п - поляризованной электромагнитной волны на двумерных резонансных структурах, состоящих из одного или из нескольких открытых цилиндрических резонаторов прямоугольного или кругового профиля. Они являются частью металлического экрана, образуя в нем ограниченную неоднородность, взаимодействующую с полем. Каждый прямоугольный резонатор связан с внешним пространством через полупрозрачную стенку или произвольное ограниченное число продольных щелей во внешней стенке, а круговой - через одну продольную щель. Рассмотрены также задачи дифракции неоднородной И - поляризованной электромагнитной волны на полупрозрачном полом круговом цилиндре, который в зависимости от ориентации первичного поля представляет собой двумерный резонатор или является вол-новедущей структурой, f-| - поляризованной электромагнитной волны на двумерном круговом цилиндрическом резонаторе, образованном металлической поверхностью с произвольно выбираемым ограниченным числом продольных щелей, неоднородной плоской [~| -поляризованной электромагнитной волны на диэлектрическом шаре. При решении задач используются комплексные амплитуды Е и f-J
- б -
электромагнитного поля и зависимость от времени v вида вХр ( -l(x)"t ), которая опускается ( СО - круговая частота колебаний поля).
В первой главе работы рассматриваются задачи с резонаторами, расположенными в металлическом экране. Во второй - задачи с локализованным в свободном пространстве полупрозрачным или щелевым круговым цилиндрическим резонатором. Каждая из задач дифракции в первой и во второй главе решается как двумерная скалярная граничная задача. В третьей главе построены решения задачи с полупрозрачным круглым волноводом, находящимся в свободном пространстве, и задачи с расположенным в пустоте диэлектрическим шаром. В первой из этих задач зависимость поля дифракции в направлении вдоль оси волновода такая же как у первичного поля. Это приводит к тому, что эта задача, которую мы назовем квазитрехмерной, сводится к двум скалярным двумерным граничным задачам. Вторая задача с рассматриваемым случаем возбуждения шара решается в длинноволновом приближении как векторная трехмерная задача.
Неоднородная плоская Н - поляризованная волна используется в качестве первичного поля и в других задачах, рассмотренных в работе. Такой выбор возбуждающего дифрагирующие структуры поля обусловлен тем, что важная в практическом отношении задача о дифракционном излучении плоского модулированного по плотности потока электронов в присутствии пространственной неоднородности решается в приближении заданного тока как задача дифра -кции неоднородной плоской Н - поляризованной волны на этой неоднородности [21 ] . Следует отметить, что постановка и решения задач о дифракционном излучении осуществлялись в данной
работе, как и в [22] , в частности, с целью исследования возможности диагностики характеристик перемещающегося заряда. Так, например, анализ характеристик излучения, проведенный в задаче о длинноволновом дифракционном излучении потока электронов в присутствии диэлектрического шара (когда он может рассматриваться как пробное тело в поле неоднородной волны) показал возможность определения ( в рамках используемой математической модели физического явления) скорости движения электронного потока по пространственному распределению интенсивности излучения. Кроме того, исследование дифракционного излучения модули -рованного электронного потока в присутствии открытых резонаторов проведено в работе в связи с известной необходимостью использования и учета эффекта дифракционного излучения в электронных приборах и в ускорительной технике [21 - 26 ] . Определенное прикладное значение имеют полученные результаты исследования дифракционного излучения электронного потока, пролетающего вблизи добротных полупрозрачных резонаторов, практическая реализация которых обсуждалась впервые в работах, вошед -ших в[з] . Отмечено, что добротность определенного колебания такого резонатора может изменяться в широких пределах за счет изменения прозрачности его стенки. При этом междутиповая связь этого колебания с другими не возникает, что может иметь место в открытых резонаторах с небольшим числом отверстий связи [27]. Такая особенность полупрозрачного резонатора представляет определенный интерес для дифракционной электроники, так как устойчивость и добротность возбуждающегося колебания в открытой колебательной системе оротрона или генератора дифракционного излучения определяют стабильность частоты и мощность генериру-
емого излучения [_21,28J .
Геометрия дифракционных задач и специфика возбуждения открытых дифрагирующих структур, рассмотренных в них, определили выбор соответствующих методов решения этих задач.
Для решения задач дифракции с прямоугольными или с круговыми открытыми резонаторами, которые изображены на рис.1,2,6-9, 20,21 привлекался о - вариант обобщенного метода собственных колебаний, который кратко называют О - методом. Теория обобщенного метода собственных колебаний (ОМСК) в применении к задачам дифракции была разработана Войтовичем Н.Н., Кацене-ленбаумом Б.З. и Сивовым А.Н. и наиболее полно изложена в монографии L 3 J . Вопросам строгого математического обоснования ОМСК на основе теории несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве и теории эллиптических дифференциальных и псевдодифференциальных операторов в пространствах Соболева посвящено дополнение Аграновича М.С. в [з] . В этой монографии показана целесообразность использования ОМСК для исследования электродинамических характеристик собственных и вынужденных колебательных режимов одиночных открытых резонаторов. Она обусловлена дискретностью спектра собственных значений, использующихся при применении ОМСК, а также небольшим числом этих значений и соответствующих им собственных функций, которого достаточно для эффективного нахождения электромагнитного поля внутри и вне добротного резонатора. Эти собственные значения О и функции Ц^ удовлетворяют вспомогательной однородной задаче, в которой О ^ вводится в граничном условии, выполняющемся на контуре, соответствующем поверхности, через которую осуществляется связь резонатора с внешним пространством.
Кроме того, в [ 3,29*1 показана возможность использования ОМСК для строгого численного решения задач дифракции электромагнитных волн.
Представленные в данной работе обобщение и модификация О -метода расширяют обсуждавшуюся в [ЗJ область его применения, позволяя построить на общей методической основе относительно простые алгоритмы эффективного численного решения задач дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны ( с произвольным амплитудно-фазовым распределением) на имеющих сложную конфигурацию открытых двумерных колебательных структурах двух типов. Структуры первого типа состоят из полупрозрачных (рис. 1,2) или щелевых (рис.6 - 9) прямоугольных резонаторов, являющихся частью металлического экрана. Расположенный в свободном пространстве щелевой цилиндрический резонатор кругового профиля (рис.20,21) образует структуры второго типа. Причем, предлагаемые алгоритмы решения задач со структурами этого типа следует рассматривать как развитие еще одного, наряду с методом задачи Римана-Гильберта [_4 J и методами, основанными на численном решении неоднородных интегральных уравнений! 7J fметодического подхода к построению эффективных численных решений задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутой круговой цилиндрической поверхности с различным числом продольных щелей в ней.
Искомое поле в.задаче, к решению которой применяется развиваемое обобщение О - метода, определяется без привлечения непрерывного спектра с помощью ряда по собственным функциям с ортогональными нормальными производными этих функций на соответствующем многосвязном контуре. Это обобщение состоит в ис-
пользовании многосвязного контура, на котором в вспомогательной однородной задаче вводится граничное условие, содержащее спектральный параметр О .В использующейся при построении решений задач дифракции волн на щелевых резонаторах модификации О - метода вспомогательная однородная задача формули-руется таким образом, что функции Ы^и У и, = г-гг~ U^^s?" направленная во внешнюю область нормаль к образованному совокупностью щелей контуру S* в структуре первого типа или S в структуре второго типа) имеют заданное поведение на S" или на 'S4 в окрестностях кромок каждой щели. Зто поведение такое же как у представляемых рядами по U^ и 4 тангенциальной и нормальной к тем же кромкам магнитной и электрической составляющих поля дифракции, что является одним из факторов определяющих эффективность построенных таким способом решений дифракционных задач.
Решения вспомогательных однородных задач, используемые при построении решений соответствующих задач дифракции, сводятся к решению однородного интегрального уравнения второго рода, если в задаче дифракции один резонатор, имеющий один контур связи с внешним пространством, или системы L однородных интегральных уравнений второго рода, если рассматривается один или несколько резонаторов,имеющих L контуров связи с внешней областью. Интегральная формулировка вспомогательных однородных задач позволяет решать их численно путем аппроксимации методом Крылова-Боголюбова [ЗО] интегральных операторов матричными конечномерными операторами с последующим решением алгебраической проблемы собственных значений для возникающей в результате такой аппроксимации комплексной матрицы N - ого порядка.Что-
- II -
бы набирать необходимое для решения задачи дифракции число членов соответствующего ряда в работе были построены алгоритмы численного решения на ЭВМ полной алгебраической проблемы этой матрицы стандартным методом Якоби [_3I,32J . В результате решение любой из рассматриваемых задач дифракции сведено с помощью соответствующей спектральной задачи к численному решению полной алгебраической проблемы собственных значений комплексной матрицы N - го порядка. То есть нет принципиального отличия построенных таким образом алгоритмов решения задач дифракции волн на структурах с полупрозрачным (рис.1) или однощелевым (рис.6) резонатором и задач с более сложными открытыми резонансными структурами, содержащими несколько полупрозрачных (рис.2) или однощелевых (рис.7), либо один (рис.8) или несколько (рис.9) многощелевых резонаторов. Связано это с тем, что привлекаемые для построения решения задачи дифракции собственные функции О - метода удовлетворяют как и искомое поле условиям излучения и вместе с соответствующими им собственными значениями учитывают геометрию всей рассматриваемой открытой колебательной системы. Она включает в себя каждую резонансную полость исследуемой структуры и внешнюю область по отношению ко всем рассматриваемым резонаторам. В результате в развиваемом здесь спектральном подходе к решению задач дифракции нет принципиального различия между "простой" и " сложной" открытой колебательной структурой, которая при любом числе открытых резонаторов в ней и рассматриваемых способах их связи с внешним пространством исследуется как колебательная система в целом.
В разделе работы, посвященном задачам с прямоугольными полупрозрачными резонаторами (рис.1,2) показано, что их решения
могут быть получены также с помощью неоднородного интегрального уравнения второго рода, если в задаче рассматривается один резонатор, или неоднородной системы интегральных уравнений второго рода, если в структуре несколько резонаторов.
Основанная на изложенном использовании однородных или неоднородных интегральных уравнений второго рода возможность конструктивного численного решения дифракционных задач с прямоугольными или круговыми открытыми резонаторами, показанными на рис.1,2,6-9,20,21, обусловлена тем, что ядра этих уравнений легко вычисляются, так как известны замкнутые представления для функций Грина, через которые они выражаются. Это функции двумерного уравнения Гельмгольца для смежных внутренней и внеш -ней по отношению к разделяющему контуру S или S областей резонаторов в рассматриваемой структуре. Каждая из этих функций имеет на контуре области, в которой она определена,обращающуюся в ноль производную по нормали к нему,
В представленных на рис.13,14 цилиндрических структурах с круговыми резонаторами (каждый из которых расположен в металлическом экране и имеет продольную щель связи с внешним пространством) при любом контуре, разделяющем область, в которой отыскивается поле дифракции, на смежные области, по крайней мере одна из них такова, что нахождение для нее соответствующей функции Грина достаточно сложная в конструктивном отношении задача. Это обстоятельство приводит к выводу, что привлечение интегральных уравнений р - метода к решению задач дифракции (-( - поляризованной электромагнитной волны на структурах, показанных на рис.13,14,нецелесообразно. Для решения этих задач в работе предложено использовать метод частич-
- ІЗ -
ных пересекающихся областей, который был разработан, обоснован математически и применялся для электродинамического анализа сложных по конфигурации, закрытых волноводно-резонатор-ных узлов и для исследования излучения выпуклых антенных решеток 33-37J . Привлечение этого метода, основанного на решении системы неоднородных интегральных уравнений второго рода при нахождении поля дифракции, обусловлено тем, что ядра этих уравнений в задачах со структурами, изображенными на рис.13,14, выражаются через известные функции Грина простых пересекающихся областей, представляющих собой либо внутреннюю область круга, относящегося к определенному резонатору, либо полуплоскость, соответствующую внешней по отношению ко всем резонаторам области.
Алгоритмы численных решений неоднородных интегральных уравнений, используемых в работе, построены путем их алгебраизации методом Крылова-Боголюбова.
Решение задачи дифракции неоднородной плоской Н - поляризованной волны на находящемся в свободном пространстве полупрозрачном круговом цилиндре построено в замкнутом виде методом разделения переменных с использованием разложения первичного поля по системе цилиндрических функций.
С помощью метода решения уравнений электромагнитного поля в интегральной форме, предложенного в [зв] , получено выражающееся через элементарные функции решение задачи дифракции неоднородной плоской Н - поляризованной электромагнитной волны на диэлектрическом шаре в длинноволновом приближении.
В связи с рассматриваемым численным решением дифракционных задач со щелевыми резонаторами спектральным методом необходимо
назвать еще ряд работ, в которых другими методами были изучены электродинамические характеристики структур близких по конфигурации к представленным на рис.6-9. Это работы [39-42] , в которых на основе решения задач дифракции с помощью метода саморегуляризации интегральных уравнений первого рода [б,43J построены алгоритмы эффективного численного решения задач об излучении Н - поляризованных волн из системы плоских волноводов и электромагнитной связи плоских и прямоугольных волноводов через щели. Решения соответствующих однородных интегральных уравнений привлекались для исследования дисперсии Е-и Н-мод прямоугольного волновода, соединенного с внешним пространством продольной узкой щелью в стенке конечной толщины (_44j. В работах [25,45] для решения задач дифракции плоской неоднородной или однородной Н - поляризованной волны на щели конечной толщины в металлическом экране применялся метод переразложения близкий к используемому в [46 ] . Этот метод использовался также в [47] для решения задачи об излучении из волновода с фланцем, которая исследовалась и в [20,48J с помощью модифицированного уравнения Винера-Хопфа и обобщенного метода вычетов. Определенный интерес представляет также способ учета особенности поведения поля на краях раскрыва фланцевого волновода при численном решении задачи об излучении на него методом моментов [49]. В приведенных к [48,49] списках литературы указаны работы, в которых для решения задачи об излучении из плоского фланцевого волновода применялся еще ряд методов.
С учетом изложенного следует отметить, что используемый в данной работе спектральный подход к решению задач дифракции удобен не только из-за небольшого числа собственных значений
и функций достаточного для эффективного решения дифракционной задачи с добротной резонансной структурой, но и в связи с возможностью многократного использования решений однородных интегральных уравнений для решения задач дифракции с различными случаями возбуждающего структуру поля.
Построенные в работе алгоритмы для численного решения задач дифракции реализованы в виде программ на алгоритмических языках МГОЛ-60 и АЛГОЛ-ГДР. Вычисления проводились на ЭВМ М-220 и БЭСМ-б.
В приложения к работе вынесены некоторые доказательства и выкладки ввиду их громоздкости или однотипности при использовании в разных параграфах основного текста.
Значительная часть работы посвящена физическому анализу исследовавшихся характеристик энергии и направленности резонансного и нерезонансного дифракционного излучения для изучения закономерностей его возникновения. Проведенный анализ позволил сделать выводы о свойствах дифракционного излучения электронного потока в присутствии каждого из рассматривавшихся открытых резонаторов; полупрозрачной волноведущей структуры; диэлектрического шара. Эти выводы сосредоточены в сформулированных ниже основных положениях работы в основном тексте и в заключении.
Основные результаты , выводы и рекомендации, выносимые на защиту:
I. Предложены и развиты обобщения и модификация Р - метода, расширяющие известную ранее область применения этого спектрального с дискретным спектром собственных значений метода для эффективного анализа электродинамических свойств открытых резонаторов. Это расширение обусловлено возможностью:
- исследования О - методом дифракционных характеристик
двумерной, образованной одним или несколькими полупрозрачными или щелевыми резонаторами, колебательной структуры как резонансной системы в целом при любом рассматриваемом способе связи каждого из этих резонаторов с внешней областью через полупрозрачную стенку или различное число щелей;
- численного построения р - методом собственных функций и их нормальных производных, удовлетворяющих на кромках щелей дифрагирующей структуры тем же условиям, что и составляющие искомого поля дифракции, представляемые рядами по этим функциям и производным.
2, Построены алгоритмы численного решения задач дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны на двумерных цилиндрических полупрозрачных или щелевых резонаторах прямоугольного или кругового профиля, образующих неоднородную часть металлического экрана, и на находящемся в свободном пространстве двумерном круговом цилиндрическом резонаторе с одной или несколькими щелями. Эффективность этих решений и отсутствие принципиального отличия построенных алгоритмов решения задач с одним полупрозрачным или однощелевым резонатором определенного профиля от алгоритмов решения задач с более сложными дифрагирующими структурами, содержащими несколько полупрозрачных или однощелевых,либо один или несколько многощелевых резонаторов такого же профиля обеспечивается выбором определенных методов решения рассматриваемых задач. В связи с этим, кроме р - метода, использовался метод частичных пересекающихся областей (в задачах с круговыми резонаторами, каждый из которых имеет щель связи с внешней областью и является частью металлического экрана) и показано,что наряду с р методом, для решения задач с прямоугольными резонаторами, имеющими полупрозрачные стенки, можно привлечь ме-
тод, основанный на применении неоднородных интегральных уравнений второго рода. Указанные алгоритмы имеют общую методическую основу построения, связанную с алгебраизацией однородных или неоднородных (соответствующих применяемому методу) интегральных уравнений второго рода или систем таких уравнений методом Крылова-Боголюбова I 30 J . Построенные алгоритмы могут быть использованы при различных случаях двумерного амплитудно-фазового распределения волны первичного поля и значениях параметров, определяющих геометрию и степень связи с внешним пространством каждого из рассматриваемых резонаторов.
3. Разработанные таким образом алгоритмы применены для ис
следования характеристик дифракционного излучения плоского элек
тронного потока, собственное поле которого Н - поляризован
ная электромагнитная волна, движущегося в присутствии являющего
ся частью металлического экрана:
прямоугольного резонатора с полупрозрачной стенкой или щелью;
кругового резонатора со щелью.
Исследования осуществлены по разработанным на языке АЛГОЛ-ГДР программам на ЭВМ БЭСМ-6.
4. Решены задачи о дифракционном излучении названного выше
потока электронов, перемещающегося в присутствии:
образованного полупрозрачной поверхностью кругового цилиндра, представляющего собой при определенных ориентациях направления распространения первичной волны резонатор (двумерный) или волновод;
диэлектрического шара.
Решение задачи с цилиндром получено в виде рядов по цилиндрическим функциям методом разделения переменных.С помощью урав-
нений электромагнитного поля в интегральной форме построено аналитическое, выражающееся через элементарные функции, длинноволновое приближение решения задачи с шаром. Исследованы характеристики дифракционного излучения, вызванного каждой из этих не-однородностей. В случае цилиндра исследование проведено численно с помощью ЭВМ М-220 по разработанным на языке АЛГОЛ-60 программам.
5. Рассмотренные задачи о дифракционном излучении решаются в работе в приближении заданного тока как задачи дифракции неоднородной, затухающей по мере удаления от поверхности потока волны его собственного поля. Поэтому результаты и методы проведенных исследований могут быть непосредственно использованы для анализа широкого класса устройств и процессов с поверхностными электромагнитными волнами. В результате анализа характеристик исследовавшегося дифракционного излучения:
установлено, что резонансное увеличение мощности излучения происходит, когда в открытом резонаторе, находящемся в присутствии потока электронов, устанавливается низкочастотное или одно из следующих за ним колебаний Н - типа этого резонатора;
обнаружено аномальное поведение резонансного излучения,соответствующего колебанию Н0^-типа полупрозрачного кругового резонатора при изменении скорости движения потока;
проверена целесообразность расчета характеристик резонансного излучения упрощенным способом, основанным на использовании одного или двух слагаемых в представлении искомого поля с помощью соответствующего ряда;
показано, что резонансное увеличение мощности излучения, имеющее место при движении электронного потока в присутствии полупрозрачного кругового цилиндрического волновода, связано с
резонансом электромагнитных колебаний в поперечном сечении волновода;
- отмечены возможности: определения параметров, задающих степень прозрачности полупрозрачного кругового резонатора по положению резонанса излучения; изменения в широких пределах добротности определенного колебания резонатора с полупрозрачной стенкой без появления междутиповой связи этого колебания с другими; направленного ответвления энергии неоднородной плоской Н - поляризованной волны полупрозрачным круговым волноводом; определения скорости движения потока электронов и фазовой скорости распространения волны собственного поля потока по его излучению в присутствии полупрозрачного кругового волновода или диэлектрического шара.
Основные материалы диссертационной работы сосредоточены в публикациях [70-75] и вошли в отчет по НИР "Алгоритм" (номер государственной регистрации 76.020.091) ИРЭ АН УССР.
Результаты работы докладывались на X Научно-методической конференции физиков высших учебных заведений Грузинской ССР (Сухуми, 1978 г.), УШ Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Львов, 1981 г.), Всесоюзной научно-технической конференции "Метрологическое обеспечение температурных и теп-лофизических измерений в диапазоне высоких температур" (Харьков, 1983 г.) и на научных семинарах отдела прикладной электродинамики Отделения радиоастрономии ИРЭ АН УССР, лаборатории вычислительной электродинамики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета и в Харьковском государственном научно-исследовательском институте метрологии.
Прямоугольные резонаторы со щелями во внешних стенках. Модификация О - варианта ОМСК с заданным поведением собственных функций
То есть можно отметить, что метод, связанный с использованием неоднородных интегральных уравнений (25) , (27), может конкурировать с р - методом при решении дифракционных задач с открытыми через полупрозрачные стенки резонаторами. Однако при значениях оа\» I, соответствующих большой прозрачности внешней стенки рассматриваемого резонатора (предельный переход р&- -оо соответствует отсутствию этой стенки и переходу неоднородных интегральных и алгебраических уравнений второго рода в уравнения первого рода) эффективность приближенного численного решения задачи дифракции с помощью неоднородных уравнений ухудшается. Чтобы обеспечить требуемую точность вычислений при таких значениях ра необходимо заметно увеличивать порядок рассматриваемой неоднородной системы алгебраических уравнений или принимать меры для регуляризации вычислений. В связи с этим необходимо подчеркнуть, что независимость вспомогательной однородной задачи р - метода (большая часть машинного времени,затрачиваемого на решение задачи дифракции 9 методом,уходит именно на решение однородной задачи) от параметра р& позволяет эффективно использовать это решение при различных значениях ра и строить, в случае необходимости,зависимости дифракционных характеристик поля от pft , В связи с этим необходимо упомянуть еще раз о возможности многократного использования полученного при определенном значении КО. решения однородной задачи р - метода для решения задач дифракции с различными случаями возбуждающего структуру поля.Кроме того, эф 44 фективность р - метода связана и с отмечавшейся выше возможностью исследования характеристик поля дифракции с помощью небольшого числа членов ряда, определяющего это поле. Если учесть также , что привлечение стандартных библиотечных программ и современных быстродействующих ЭВМ для численного решения соответствующих задач приводит к тому, что относительная сложность используемого алгоритма решения и затрачиваемое машинное время становятся несущественными факторами, можно сделать вывод, что О - метод является более универсальным методом для решения задач дифракции рассмотренного типа, чем метод, основанный на использовании указанных неоднородных интегральных уравнений.
Прямоугольные резонаторы со щелями во внешних стенках. Модификация О - варианта ОМСК с заданным поведением собственных функций
В изложенном в предыдущем параграфе спектральном подходе к решению дифракционных задач односвязность или многосвяз-ность контура, на котором в однородной задаче вводится спектральный параметр, определяется числом отверстий связи рассматриваемых резонаторов с внешним пространством. Используем это обстоятельство, чтобы построить на общей методической основе с помощью р - метода решения задач дифракции электромагнитных волн на одном или на нескольких двумерных прямоугольных цилиндрических резонаторах, каждый из которых имеет произвольное ограниченное число продольных щелей связи с внешним пространством. Эти резонаторы расположены в металлическом экране (рис.б-9), и возбуждаются извне п - поляризованными электромагнитными волнами таким же образом, как полупрозрачные резонаторы в рассмотренных выше задачах. Учитывая однотипность постановки рассматриваемых дифракционных задач с полупрозрачными и щелевыми резонаторами и применяемого подхода к их решению, будем излагать решения задач со щелевыми резонаторами кратко,пользуясь в основном обозначениями, которые были введены выше. При этом предлагаемая для решения дифракционных задач со щелевыми резонаторами модификация О - метода несколько отличается от использовавшегося выше спектрального способа решения задач с полупрозрачными резонаторами. Это отличие дает возможность эффективного численного нахождения поля дифракции,удовлетворяющего известным условиям в окрестности
Метод частичных пересекающихся областей в задачах со щелевыми резонаторами кругового профиля
Рассмотрим задачи дифракции И - поляризованной электромагнитной волны на одном или на нескольких двумерных цилиндрических резонаторах кругового профиля, показанных на рис. 13,14. Каждый из этих резонаторов имеет продольную щель связи с внешней областью Ц о , образует, как и рассмотренные выше прямоугольные полупрозрачные и щелевые прямоугольные резонаторы, ограниченную неоднородность в металлическом экране и возбуждается извне таким же образом, как эти прямоугольные резонаторы. Чтобы найти решение каждой из этих дифракционных задач необходимо отыскать магнитную составляющую Hz поля дифракции, через которую выражаются остальные составляющие. Поле Н2 удовлетворяет двумерному неоднородному уравнению
Гельмгольца, граничному условию на контуре S в О Ns ь сечении Z = О , который соответствует металлической поверхности структуры, и непрерывно на односвязном (рис.13) или многосвязном (рис.14) контуреS,формально отделяющем область с распространяющимся первичным полем от внутренней области каждого резонатора,вместе со своей нормальной к этому контуру производной. При любом таком контуре, разделяющем область, в которой отыскивается поле дифракции, на смежные области, по крайней мере одна из них такова, что нахождение для нее функции Грина, необходимой при построении поля дифракции с помощью интегральных представлений р - метода, достаточно сложная в конструктивном отношении задача. Это приводит к выводу о том, что привлечение интегральных уравнений 9 метода к решению задач дифракции электромагнитных волн рассматриваемой поляризации на структурах, изображенных на рис.13,14, нецелесообразно. Для решения этих задач будем использовать метод частичных пересекающихся областей, который был разработан, строго обоснован и применялся для электродинамического анализа сложных по конфигурации закрытых волноводно-резонаторных узлов и для исследования излучения выпуклых антенных решеток Г 33-37J . Привлечение этого метода, основанного на решении неоднородной системы интегральных уравнений второго рода при нахождении поля дифракции, обусловлено тем, что ядра этих уравнений в задачах со структурами, показанными на рис.13,14, выражаются через легко вычисляемые функции Грина простых пересекающихся областей, представляющих собой либо внутреннюю область круга, относящегося к определенному резонатору, либо полуплоскость, соответствующую внешней по отношению ко всем резонаторам области.
Решение рассматриваемых задач указанным методом строится с помощью интегральных представлений для п z в любой двумерной точке р области, в которой отыскивается поле дифракции, которые получаются путем применения второй формулы Грина к Н и функциям Грина 6 и G , где G - удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца в области, находящейся внутри окружности, соответствующей резонатору с номером в сечении Z = 0 , и имеет образующуюся в ноль производную по нормали к контуру этой окружности, a G введена в предыдущих параграфах. Отметим, что, подставляя (46.1)в (46.0 можно получить из (46) неоднородное интегральное уравнение второго рода типа свертки для задачи с одним резонатором,или неоднородную систему из L интегральных уравнений второго рода типа свертки для задачи, в которой дифрагирующая структура содержит L резонаторов . Это уравнение или система уравнений относительно 4 ( ), по которой с помощью (46.1) можно найти Н/ (sp) «Проведенные при решении аналогичных уравнений или систем уравнений вычисления на ЭВМ БЗСМ-6 в работах Г32,351 показали, что оба эти варианта формулировки уравнений для определения функции р эквивалентны в отношении затрат машинного времени. В рассматриваемых в данном параграфе задачах мы пойдем по пути "одновременного" определения значений Tfee) и vWH3 системы интегральных уравнений вида (46) , построив алгоритм ее численного решения с помощью метода Крылова-Боголюбова, аналогично тому, как это осуществлялось при решении систем интегральных уравнений, рассматривавшихся в предыдущих параграфах. При этом не принципиальное отличие от предыдущего состоит в том, что в данном случае контур S » который разбивается на L частей, состоит из имеющих по две общие точки контуров Se и Se
Р - вариант ОМСК в задачах с резонатором, образованном металлической поверхностью с одной или с несколькими щелями
Используем изложенную на примерах дифракционных задач с двумерными прямоугольными цилиндрическими резонаторами схему их численного решения с помощью однородных интегральных уравнений р - метода для построения алгоритмов численного решения задач дифракции Н - поляризованной электромагнитной волны на двумерном круговом цилиндрическом резонаторе, образованном металлической поверхностью с одной или с несколькими продольными щелями (рис.20,21).Конструктивность этих решений связана с тем, что ядра соответствующих однородных интегральных уравнений в этих случаях выражаются через функции Грина внутренней и внешней области круга,для которых могут быть найдены замкнутые представления (способами,приведенными,например, в [б7,б8_] ), пригодные для эффективного вычисления значений этих функций. В связи с тем, что ранее другими методами были получены эффективные численные решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутой цилиндрической поверхности (4,7,63,64 , построение в данной работе алгоритмов решения дифракционных задач со щелевым цилиндрическим резонатором кругового профиля следует рассматривать как изложение еще одного общего методического подхода к эффективному численному решению задач, в которых поверхность такого дифрагирующего резонатора может иметь различное ограниченное число продольных щелей. Эта ограниченность, связанная с заданной точностью вычислений и возможностями привлекаемой для расчетов ЭВМ, не является принципиальной, так как при достаточно большом числе таких щелей искомое решение,как и решение рассматривавшейся в предыдущем параграфе задачи с полупрозрачным цилиндрическим резонатором может быть получено с помощью эквивалентных граничных условий [50 J , вводимых на поверхности Z = О. .
Решение любой из задач с дифрагирующей на одной из структур, показанных на рис.20,21, Н - поляризованной электромагнитной волной, не имеющей зависимости от Z и распространяющейся в области Z CL , состоит в отыскании магнитной соста ( нг=н Н2 = Н2 внутри резонатора), через которую выражаются остальные его компоненты. Поле Нз удовлетворяет следующим соотно шениям представляющим собой дифференциальную формулировку рассматриваемой задачи дифракции. Здесь А - двумерный по l , f оператор Лапласа, a S односвязный (рис.20) или многосвязный (рис.21) контур, через который осуществляется связь щелевого резонатора с областью Ч. OL .
В соответствии с намеченной выше схемой решения задачи дифракции (65) , представим пн в виде с известной магнитной составляющей п первичного поля в Используемые здесь функции ІІ п удовлетворяя следующей однородной вспомогательной задаче равно числу щелей в рассматриваемом резонаторе) дают возможность отыскания Н в лю ой двумерной точке P(T,tf) с помощью выражений где и G функции Грина двумерного уравнения Гельм-гольца для внешней и внутренней области круга с Ч — Х .Каждая из этих функций имеет на контуре области, в которой она определена, обращающуюся в ноль производную по нормали к нему. В приложении I показано, что для функций Ч выполняется соотношение ортогональности
С помощью этой ортогональности нетрудно получить выражения для коэффициентов A Yi следующего вида Ход получения этих выражений такой же, как и вывод аналогичных выражений при решении задач с прямоугольными резонаторами. Кроме того, таким же образом как и в представленных выше задачах (28),(38)с прямоугольными щелевыми резонаторами можно показать, что выбор функции Q в виде (67) обеспечивает заданное поведение функций Ц, я и п. на S в окрестностях кромок каждой щели в рассматриваемом резонаторе. Это обстоятельство является одним из факторов, обеспечивающих эффективность предлагаемого численного метода отыскания поля дифракции по формулам (68) , так как указанное поведение U и У и, такое же, как у представляемых рядами по этим функциям тангенциальной и нормальной к тем же кромкам магнитной и электрической составляющих поля дифракции. Таким образом, излагаемый спектральный способ решения дифракционных задач с любым из показанных на рис.20,21 резонатором является той же модификацией О - метода, которая использовалась выше при решении задач со щелевыми прямоугольными резонаторами.
Длинноволновое дифракционное излучение плоского модулированного электронного потока в присутствии диэлектрического шара
Полученное замкнутое решение (88) рассматриваемой задачи позволяет сделать ряд выводов о характере поля дифракции, следующих непосредственно из выражений (88.1),(88.2) и пригодно для проведения эффективного численного анализа характеристик дифракционного излучения. Формулы (88.1),(88.2) показывают, что вторичное поле дифракции, представляет собой суперпозицию волн электрического и магнитного типов. Если іІПоС эти волны являются быстрыми как и в направлении (с йазо-вой скоростью равной XYLJL » совпадающей с фазовой скоростью волны собственного поля потока в этом направлении), так и в направлении X ( с фазовой скоростью і »& tinW С Таким образом, при fcVio( вторичное поле дифракции представляет собой поле дифракционного излучения (в приближении заданного тока), возникающего в рассматриваемой идеализированной модели этого явления. Приведенные в (88.1),(88.2) представления для компонент Е и поля дифракции, через которые выражаются остальные его составляющие, позволяют установить, что исследуемое дифракционное излучение может возрастать резонансным образом вблизи значений ( и ( )ц удовлетворяющих соответственно уравнениям
Как и в случае рассмотренного выше цилиндрического кругового полупрозрачного резонатора (формулы (88) переходят в (53) если положить сі =о) индекс т. =1,2... определяет при номер корня уравнения (89.1) или (89.2). Эта нумерация по YYL сохраняется при П. = О для уравнения (89.1). Если же К = 0 в уравнении (89.2) , то нумерация Ж- = 1,2,... начинается со второго корня, а первый корень уравнения (89.2):обозначим ($&)оо Учитывая, что входящая в соотношения (89) постоянная распространения поля дифракции в направлении t выражается через параметры можно исследовать зависимость характеристик излучения от каждого из них фиксируя остальные и задавая значения рна , р , \, , JL , которые в определенных сочетаниях однозначным образом определяют электродинамические свойства поверхности Г- & . Если ввести соответствующие и yi vn. обозначения (К fl)y, о и.гм и j nm резонансных значений изменяющегося параметра то эти значения будут соответствовать резонансам излучения, которые могут иметь место при изменении частоты Ко. , утла о( , или фазовой скорости распространения волны собственного поля потока, которое обусловлено изменением скорости "tfb C его движения.
На рис.22 приведены результаты численного исследования уходящей в направлении Ъ с единицы длины цилиндра нормированной мощности дифракционного излучения
Применяемая здесь нормировка такая же как и при определении гц в задаче с цилиндрическим резонатором. Выражение (90) найдено с помощью формул (88), в которых использованы асим-тотические представления для функций п п.(ІЇ) при больших значениях УТ , соответствующих дальней по Z зоне по отношению к рассматриваемому цилиндру. Оно показывает, что мощность исследуемого дифракционного излучения складывается из мощностей, уносимых во внешнее пространство волнами Е и Н типов вторичного поля дифракции. Расчеты зависимостей РнС Я) f показанных на рис.22 сплошными линиями, проводились на ЭВМ М-220 (программа вычислений составлена на алгоритмическом языке) при нескольких значениях с и f , удовлетворяющих неравенству -$lho( . Были выбраны значения 9Н- = - 0,3 и коэффициент % заполнения решетки, образующей поверхность Ч Х , равный 0,99999. Из соотношений (76.1),(76.2) следует, что таким значениям рна и cj, соответствует частопериодическая решетка с достаточно узкими щелями для ко-торой параметр -г- близок к нулю. Это означает, что при таком выборе параметров рн& и поверхность Ч = (X обеспечивает слабую электродинамическую связь внутренней области цилиндра с внешним пространством по отношению к составляющей Н - типа первичного поля и практически идеально отражает составляющую Е - типа этого поля.
