Содержание к диссертации
Введение
1. Методика численного моделирования распространения коротких радиоволн в трехмерно-неоднородной ионосфере 13
1.1. Основные уравнения геометрической оптики 14
1.2. Система лучевых уравнений 17
1.3. Вычисление расходимости 21
1.4. Тестирование расчетов траекторий и расходимости 30
1.5. Комбинированный метод решение двухточечной задачи в двухмерно-неоднородной ионосфере 37
1.6. Методика решения двухточечной задачи в трехмерно-неоднородной ионосфере 47
1.7. Тестирование расчетов доплеровского смещения частоты 50
1.8. Методика учета поперечных градиентов и нестационарности ионосферы при дискретном задании вертикальных профилей электронной концентрации 52
1.9. Уточнение методики расчета геометрической расходимости при полиномиальной аппроксимации среды распространения 55
2. Исследование влияния среднемасштабных возмущений на характеристики распространения коротких радиоволн на фиксированной частоте 67
2.1. Перемещающиеся ионосферные возмущения и их классификация 67
2.2. Возможные проявления среднемасштабных ПИВ волнового типа в основных характеристиках ДКВ в зависимости от времени и направления их перемещения 75
2.2.1. Зависимости от времени углов прихода, доплеровского смещения частоты и геометрической расходимости, обусловленных среднемасштабными ПИВ 77
2.2.2. Возможные вариации углов прихода и доплеровского смещения частоты в зависимости от направления перемещения возмущения 80
2.3. Суточные вариации доплеровского смещения частоты для различных пространственно-временных представлений ионосферных параметров 90
2.3.1. Влияние на доплеровское смещение частоты изменяющихся с течением времени параметров ионосферного слоя 92
2.3.2. Сравнение суточных вариаций доплеровского смещения частоты, полученных для различного представления про странственно-временной зависимости электронной концентрации 103
2.4. Влияние среднемасштабных ПИВ искусственного происхождения на доплеровское смещение частоты 110
3. Моделирование отклика коротковолнового сигнала, обусловленного пив и полученного в режиме многочастотного зондирования 125
3.1. Моделирование эффекта влияния на ДЧХ ПИВ облачного типа 125
3.2. Моделирование эффекта влияния на ДЧХ волнообразных ПИВ 130
3.2.1. Влияние на ДЧХ поперечных среднемасштабных ПИВ 131
3.2.2. Моделирование распространения коротких радиоволн на трассе Магадан-Иркутск при наличии ПИВ 139
3.3 Влияние среднемасштабных ПИВ искусственного происхо ждения на ДЧХ и геометрическую расходимость 148
Заключение 155
- Система лучевых уравнений
- Комбинированный метод решение двухточечной задачи в двухмерно-неоднородной ионосфере
- Уточнение методики расчета геометрической расходимости при полиномиальной аппроксимации среды распространения
- Возможные проявления среднемасштабных ПИВ волнового типа в основных характеристиках ДКВ в зависимости от времени и направления их перемещения
Введение к работе
Внимание к проблемам распространения декаметровых радиоволн (ДКМВ) определяется необходимостью решения практических задач связи, вещания, радиопеленгации, а также в связи с возможностью получения сведений о характеристиках среды распространения - ионосферы.
В практике ионосферных исследований ключевое место занимает проблема неоднородной структуры ионосферы. Регулярные неоднородности достаточно хорошо описывают известные в настоящее время теоретические, эмпирические и гибридные модели ионосферы. Они учитывают зависимость от магнитной возмущенности, солнечной активности, а также средние широтные, долготные, суточные и сезонные вариации. В интересах пользователей модели представляются аналитически или в табличном виде. Эти модели имеют большую практическую ценность. Они позволяют, например, выбрать оптимальные условия радиосвязи, рассчитать конкретные радиотрассы и т.д. Однако в некоторых текущих ситуациях они недостаточно удовлетворяют потребности пользователей. Значения электронной концентрации, даваемые этими моделями, отличаются от реальных величин на десятки процентов. Для уточнения на текущую ситуацию основных параметров регулярного профиля электронной концентрации разработаны соответствующие методы [1]. Следующим шагом в данном случае представляется учет локализованных на регулярном фоне неоднородностей типа перемещающихся ионосферных возмущений (ПИВ) волнового и одиночного вида.
Разнообразие форм проявления ПИВ при наклонном распространении радиоволн метрового и декаметрового диапазонов является уже установленным фактом. В качестве основного признака, позволяющего связать наблюдаемые эффекты с ПИВ, как правило, использовалось численное совпадение периода временных вариаций углов прихода, доплеровского смещения частоты или какой-либо другой характеристики сигнала с известным диапазоном периодов, характерных для ПИВ. Тем не менее, ограниченность и несистематичность экспериментальных сведений, а также их усложнение вследствие многолучевого распространения не дает еще достаточных оснований для получения полной картины влияния ПИВ на наклонное распространение ДКМВ.
Актуалы-юсть темы. Наряду с экспериментальными методами исследования процессов, происходящих в ионосфере, в последние десятилетия используется численное моделирование. Разрабатываются методы статистического учета случайных неоднородностей мелких масштабов, а также детерминированных неодно-родностей более крупных масштабов - перемещающихся ионосферных возмущений. По одной из классификаций возмущения разделяют на два основных класса: среднемасштабные, которые присутствуют от 30 до 80% всего времени наблюдения, и крупномасштабные, наблюдаемые значительно реже. Экспериментальное изучение характеристик среднемасштабных ПИВ как естественного, так и искусственного происхождения является сложной задачей вследствие многолучевого распространения, а также в силу их большого многообразия.
В рамках численного моделирования наиболее подробно исследованы эффекты, обусловленные наличием ПИВ в двухмерно-неоднородной ионосфере, а для трехмерно-неоднородной ионосферы такие исследования отрывочны. Одной из причин такого положения является наличие ряда вычислительных проблем при учете трехмерной неоднородности. К ним относятся поиск наиболее оптимальных алгоритмов нахождения решений, когда традиционные численные методы дают значительные погрешности (например, для верхних лучей); корректное вычисление геометрической расходимости при использовании полиномиальной аппроксимации параметров среды распространения; оптимизация алгоритмов нахождения всех решений в условиях многолучевого распространения. Все это не позволяет более полно учитывать в численном эксперименте факторы, характеризующие тонкую структуру среды распространения. Поэтому для проведения более полного численного моделирования влияния среднемасштабных ПИВ на распространение ДКМВ и выявления новых особенностей их влияния актуальной является разработка оперативной методики такого моделирования.
Целью работы является создание оперативной методики и моделирование влияния среднемасштабных возмущений на характеристики распространения коротких радиоволн для фоновой ионосферы, максимально приближенной к реальной, включающей возмущения произвольной формы. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать оперативные алгоритмы решения двухточечной траекторной задачи для декаметровых радиоволн в приближении геометрической оптики в трехмерно неоднородной ионосфере при наличии среднемасштабных возмущений произвольной формы.
2. Разработать методики численного моделирования наиболее трудоемких в расчетах характеристик сигнала: дистанционно-частотных характеристик (ДЧХ) и доплеровских вариаций частоты.
3. Исследовать особенности влияния трехмерно-неоднородных среднемасштабных ПИВ на ДЧХ, вариации доплеровского смещения частоты и углы прихода.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Ортогональные к плоскости трассы ПИВ могут приводить к появлению дополнительных ветвей значимой энергетики в области МПЧ на ДЧХ и существенно увеличивать диапазон изменения азимутальных углов прихода.
Разработан способ учета пространственно-временных суточных изменений регулярной ионосферы при расчете доплеровского смещения частоты. Показано, что они могут вызывать квазипериодический характер вариаций этого смещения.
Предложен новый способ реализации разностной схемы для описания особенностей формы ДЧХ верхних лучей в широком частотном диапазоне.
Предложена модель среднемасштабного ПИВ, позволяющая объяснить форму и динамику дополнительных треков, наблюдаемых на экспериментальных ДЧХ вблизи основных
Научная и практическая значимость выполненных исследований состоит в том, что выявлены новые особенности влияния среднемасштабных ПИВ на траек-торные и энергетические характеристики сигнала при наклонном распространении в ионосфере, получены дополнительные количественные оценки изменения этих характеристик.
Созданы основы для реализации программного комплекса, который может использоваться в реальном времени при интерпретации особенностей форм ДЧХ и доплеровского смещения частоты, связанных с влиянием среднемасштабных ПИВ.
Методика численного моделирования ионосферного распространения ДКМВ в регулярной ионосфере может быть использована для повышения оперативности расчетов характеристик такого распространения.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработанные методики траєкторного синтеза формы дистанционно-частотных характеристик, расчета вариаций доплеровского смещения частоты и углов прихода позволяют на трассах средней протяженности оперативно моделировать данные характеристики для фоновой трехмерно-неоднородной изотропной ионосферы, максимально приближенной к реальной, с различными формами среднемасштабных возмущений.
2. Ортогональные к плоскости трассы перемещающиеся ионосферные возмущения могут приводить к более существенным (в 3-4 раза выше, чем отмечалось ранее), вариациям азимутальных углов прихода на среднеширотных односкачковых трассах, а также вызывать появление на дистанционно-частотных характеристиках дополнительных ветвей вблизи максимально-применимой частоты с энергетикой того же порядка, что и для основных мод.
3. Предложенная в работе модель ортогонального к плоскости трассы волнообразного перемещающегося ионосферного возмущения, модифицирующего нижнюю часть области F2 ионосферы, позволяет объяснить форму и частотный диапазон дополнительных треков, регистрируемых на дистанционно-частотных характеристиках ниже максимально-применимой частоты.
Диссертация состоит из введения, трех разделов и заключения. Первый раздел посвящен разработке методики численного моделирования характеристик декаметрового сигнала, которая реализована в виде комплекса методов, используемых в зависимости от конкретных условий моделирования и включающего в себя различные методики решения двухточечной задачи и представления среды распространения.
После предварительного обзора существующих подходов расчета характеристик распространения в приближении геометрической оптики в подразделе 1.1 приведены основные уравнения геометрической оптики.
В подразделе 1.2 в обобщенных координатах выписана система лучевых уравнений. Обоснован выбор ортогональной криволинейной системы координат. Представлена система обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих траекторию в этой системе координат.
Для расчета геометрической расходимости в подразделе 1.3 приведена расширенная система дифференциальных уравнений, позволяющая строго вычислять якобиан перехода к лучевым координатам, а также приближенные формулы расчета удельного поперечного сечения лучевой трубки. Выписаны условия отражения от сферической поверхности для производных по начальным значениям вертикального и азимутального углов выхода, позволяющие рассчитывать геометрическую расходимость на многоскачковых трассах.
В подразделе 1.4 проведено тестирование предлагаемых методик расчета характеристик. Путем сравнения численных расчетов с точными решениями показана высокая точность применяемых численных схем решения лучевых уравнений для сферически-слоистых сред. В случае отсутствия точных решений тестирование проводилось для зависимостей показателя преломления специального вида. Строгое вычисление расходимости одно- и многоскачковых лучей сравнивалось с тройным просчетом.
Подраздел 1.5 посвящен решению двухточечной задачи в двухмерно-неоднородной ионосфере методом аппроксимирующих функций. Показана перспективность метода конечных разностей, который был применен к решению дифференциального уравнения второго порядка, описывающего траекторию луча. Применение метода продолжения по параметру с помощью итерационного процесса позволяет найти искомое решение. Показано преимущество предложенного подхода по сравнению с традиционной пристрелкой или полиномиальной аппроксимацией дальности от начальных данных при численном решении задачи Коши.
В подразделе 1.6 приводится алгоритм решения двухточечной задачи для трехмерно-неоднородной ионосферы. Перебор начальных параметров, которыми являются углы выхода а и /? в вертикальной и горизонтальной плоскости соответственно, при обеспечении высокой точности пристрелки (единицы километров вдоль и поперек трассы) требуют значительных затрат времени. При этом возможна потеря некоторых решений. Предложен новый подход для решения двухточечной задачи, основанный на анализе зависимости боковых отклонений от азимутального угла выхода.
Результаты применения разработанного алгоритма решения двухточечной задачи в трехмерно-неоднородной ионосфере для тестирования расчетов доплеров-ского смещения частоты представлены в подразделе 1.7 .
В подразделе 1.8 предложен способ учета поперечных градиентов при дискретном задании вертикальных профилей электронной концентрации. Получены соответствующие формулы. Двухмерная неоднородность учитывается с помощью бикубического сплайна. Учет регулярных поперечных градиентов приближенно можно учесть, аппроксимируя зависимость от у квадратичной зависимостью. Для более полного учета нестационарности ионосферы за счет суточных изменений в расчетах фоновых вариаций доплеровского смещения частоты при дискретном задании вертикальных профилей предложена методика, основанная на аппроксимации производных по времени в каждом узле бикубическим сплайном. Подобная аппроксимация позволяет рассчитать, помимо траекторных характеристик, вариации доплеровского смещения частоты для трасс различной протяженности и ориентации.
В подразделе 1.9 приведены результаты исследования по уточнению методики расчета расходимости при полиномиальной аппроксимации ионосферы. Сопряжение алгоритма расчетов характеристик сигнала с глобальными моделями ионосферы, имеющими дискретное представление электронной концентрации, выполняется, как правило, с помощью кубической сплайн-интерполяции. Ошибки, появляющиеся при описании производных второго порядка при такой интерполяции, велики, что приводит к существенным неточностям расчета геометрической расходимости сигнала, а следовательно, и амплитуды напряженности поля в точке приема. Такой результат был получен путем сравнения значений второй произвол -10-ной показателя преломления для одного и того же профиля, заданных в виде одной аналитической зависимости (например, суммы двух гауссоид) и с помощью кубических сплайнов, аппроксимирующих эту зависимость. На основании теоретических оценок даны рекомендации по выбору шага для сплайн-интерполяции.
Во втором разделе сосредоточены результаты моделирования по исследованию влияния ПИВ для радиотрасс, работающих на фиксированной частоте. В подразделе 2.1 представлен обзор перемещающихся ионосферных возмущений и их классификация.
В подразделе 2.2 представлены результаты численного моделирования влияния среднемасштабных волнообразных ПИВ на основные характеристики ДКМВ. В подразделе 2.2.1 рассматриваются зависимости углов прихода, доплеровского смещения частоты и геометрической расходимости от времени для различной ориентации волнового вектора ПИВ относительно плоскости трассы. В подразделе 2.2.2 представлены возможные вариации углов прихода и доплеровского смещения частоты в зависимости от направления перемещения ПИВ относительно трассы, определяемое двумя углами в вертикальной и горизонтальной плоскости {в и у). Показано, что наибольшие эффекты ПИВ имеют место для направлений его волнового вектора, близких к нормали плоскости радиотрассы. Проведено сравнение экспериментальных результатов с модельными расчетами углов прихода и доплеровского смещения частоты.
В подразделе 2.3 после краткого обзора для различных пространственно-временных представлений исследованы некоторые особенности суточных вариаций доплеровского смещения частоты. В подразделе 2.3.1 приведены численные результаты исследования зависимости доплеровского смещения частоты от времени, обусловленного перемещением неоднородности (в различных направлениях относительно трассы) вследствие изменения каждого ионосферного параметра в отдельности. Получены суточные вариации смещения частоты для пространственно-временных изменений всех параметров одновременно.
В подразделе 2.3.2 представлены результаты расчетов суточных вариаций доплеровского смещения частоты, полученных для пространственно-временной зависимости электронной концентрации, которые рассмотрены в предыдущих раз - и делах. Проведено сравнение с экспериментальными записями на конкретных трассах.
В подразделе 2.4 приведены результаты численного моделирования эффектов ПИВ, имеющих искусственное происхождение. Рассмотрено влияние на доп-леровское смещение частоты возмущения в виде цилиндра. Ось цилиндра перпендикулярна плоскости трассы. Радиус цилиндра с течением времени увеличивается. Рассмотрены различные ситуации: электронная концентрация в стенке цилиндра ниже фоновой на единицы процентов (разрежение); - выше фоновой (сжатие); чередование области сжатия и разрежения. Также рассмотрены различные положения оси цилиндра относительно трассы. Показано, что на величину и знак доплеровского смещения частоты существенное влияние оказывает взаимное расположение зондирующего луча и области возмущения. Область сжатия и область разрежения в отдельности могут приводить как к положительным, так и отрицательным значениям смещения частоты. Приведено сравнение модельных расчетов на фиксированных трассах с экспериментальными доплеровскими записями при наличии в ионосфере ПИВ искусственного происхождения, локализованных относительно трассы различным образом.
Третий раздел посвящен результатам исследования влияния среднемасштаб-ных возмущений различного типа на ДЧХ, полученным для режима многочастотного зондирования.
В подразделе 3.1 проведено исследование влияния ПИВ облачного типа, которое оказывает влияние на характеристики квазикритических лучей на трассе Магадан-Иркутск и вызывает на ДЧХ особенности в виде «клюва». Численным моделированием установлена высота локализации возмущения. Прослежена динамика изменения «клюва». Получена оценка проекции скорости перемещения возмущения на плоскость радиотрассы.
В подразделе 3.2 исследовано влияние на ДЧХ поперечных волнообразных ПИВ. В подразделе 3.2.1 рассмотрено воздействие ПИВ, модифицирующих весь слой целиком, и ПИВ, локализованных в перпендикулярном к трассе направлении. При модификации возмущением максимума слоя F2 на ДЧХ вблизи МГТЧ появляются дополнительные треки на верхней и нижней ветви. Учет затухания сигнала за счет столкновений, геометрической расходимости, а также диаграмм направленно - 12-сти антенн позволил выделить наиболее «интенсивные» ветви. Для некоторых ситуаций на высокочастотном участке ДЧХ «интенсивность» верхних ветвей больше нижних. Показана непропорциональная зависимость «интенсивности» участков ионограмм от амплитуды возмущения. В подразделе 3.2.2 представлены результаты моделирования на трассе Магадан-Иркутск при наличии волнообразных ПИВ. Проведена интерпретация дополнительных треков в низкочастотной области ДЧХ на основе дополнительных отражений от спорадических образований. Показано, что Es может приводить к некоторым дополнительным трекам только при жестких ограничениях, накладываемых на его пространственные характеристики. Предложена модель волнообразного возмущения нижней части слоя F2, перемещающегося перпендикулярно плоскости радиотрассы и позволяющая интерпретировать особенности на ДЧХ в виде дополнительных треков вблизи к основным, наблюдаемым на трассе Магадан-Иркутск в течение нескольких часов 8.06.89 г.
В подразделе 3.3 приведены результаты численного моделирования влияния ПИВ искусственного происхождения на ДЧХ и геометрическую расходимость на фиксированной трассе. Рассмотрены различные положения возмущения, представляющего собой ортогональное сечение цилиндра, относительно трассы. Выявлены частоты, на которых возмущение проявляется на ДЧХ в виде «выступа» и «клюва». Получены зависимости геометрической расходимости лучей от частоты зондирования. Оценены промежутки времени, в течение которых возмущение, присутствующее на трассе, проявляется в вариациях группового пути и доплеровского смещения частоты.
В заключении приведены основные результаты и выводы работы.
Система лучевых уравнений
1. Методика численного моделирования распространения коротких радиоволн в трехмерно-неоднородной ионосфере 13 1.1. Основные уравнения геометрической оптики 14 1.2. Система лучевых уравнений 17 1.3. Вычисление расходимости 21 1.4. Тестирование расчетов траекторий и расходимости 30 1.5. Комбинированный метод решение двухточечной задачи в двухмерно-неоднородной ионосфере 37 1.6. Методика решения двухточечной задачи в трехмерно-неоднородной ионосфере 47 1.7. Тестирование расчетов доплеровского смещения частоты 50 1.8. Методика учета поперечных градиентов и нестационарности ионосферы при дискретном задании вертикальных профилей электронной концентрации 52 1.9. Уточнение методики расчета геометрической расходимости при полиномиальной аппроксимации среды распространения 55 2. Исследование влияния среднемасштабных возмущений на характеристики распространения коротких радиоволн на фиксированной частоте 67 2.1. Перемещающиеся ионосферные возмущения и их классификация 67 2.2. Возможные проявления среднемасштабных ПИВ волнового типа в основных характеристиках ДКВ в зависимости от времени и направления их перемещения 75 2.2.1. Зависимости от времени углов прихода, доплеровского смещения частоты и геометрической расходимости, обусловленных среднемасштабными ПИВ 77 2.2.2. Возможные вариации углов прихода и доплеровского смещения частоты в зависимости от направления перемещения возмущения 80 2.3. Суточные вариации доплеровского смещения частоты для различных пространственно-временных представлений ионосферных параметров 90 2.3.1. Влияние на доплеровское смещение частоты изменяющихся с течением времени параметров ионосферного слоя 92 2.3.2. Сравнение суточных вариаций доплеровского смещения частоты, полученных для различного представления про странственно-временной зависимости электронной концентрации 103 2.4. Влияние среднемасштабных ПИВ искусственного происхождения на доплеровское смещение частоты 110 3. Моделирование отклика коротковолнового сигнала, обусловленного пив и полученного в режиме многочастотного зондирования 125 3.1. Моделирование эффекта влияния на ДЧХ ПИВ облачного типа 125 3.2. Моделирование эффекта влияния на ДЧХ волнообразных ПИВ 130 3.2.1. Влияние на ДЧХ поперечных среднемасштабных ПИВ 131 3.2.2. Моделирование распространения коротких радиоволн на трассе Магадан-Иркутск при наличии ПИВ 139 3.3 Влияние среднемасштабных ПИВ искусственного происхо ждения на ДЧХ и геометрическую расходимость 148 Уравнение эйконала (1.1.5) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и принадлежит к классу уравнений Гамильтона-Якоби.
Решение уравнения (1.1.5) сводится к интегрированию характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений [33] где Н- гамильтониан, q,- произвольные координаты (/ = 1,2,...,«) и pt = dy/Jdqj- сопряженные координатам «импульсы». Приравнивая отношения (1.2.1) дифференциалу независимой переменной d%, характеристическую систему можно записать в форме Если q, (і = 1,2,3) считать декартовыми координатами и положить /У=/-/(р,г), то уравнения (1.2.2) в векторной форме представляются в виде В геометрической оптике уравнения (1.2.3) называют уравнениями лучей. Определение эйконала в (1.2.4) сводится к квадратурам где у/" =у/(т") — начальное значение эйконала. Интеграл вычисляется вдоль луча г = г(г), р = р(г). Параметр г связан с длиной дуги луча а соотношением которое следует из первого уравнения (1.2.3) dr = [дН /dp) dz2 = da2. Удобная форма записи лучевых уравнений отвечает уравнению эйконала, записанному в форме 1/2 (V ) = 1/2 и2 (г). При этом гамильтониан имеет вид где р = V у/ , а уравнения (1.2.3) принимают следующее выражение: или, используя соотношение между параметром г и длиной дуги луча а dz = da/р = da/n , в привычном виде В изотропной среде лучи ортогональны поверхностям равного эйконала ц/ - const, то есть волновым фронтам. В ортогональной криволинейной системе координат :/, с обобщенными компонентами импульса /5,-(/ = 1,2,3) уравнения лучей (1.2.8) принимают вид где hf- коэффициенты Ламе. Выберем криволинейную систему координат, связанную с поверхностью Земли (рис. 1.2.1). Ось х направим от источника к приемнику вдоль дуги большого круга.
Ось у направим также вдоль дуги большого круга перпендикулярно оси х, а ось z - вдоль радиуса от поверхности Земли. Для выбранной системы координат коэффициенты Ламе определяются следующими соотношениями (R0- радиус Земли): Таким образом, в выбранной системе координат для определения расходимости (1.3.7) необходимо рассчитать величину якобианаD(r) (1.3.5). Для этого нужно численно решить совместно системы (1.2.13) и (1.3.4). Также можно воспользоваться приближенной формулой (1.3.8) или (1.3.9), для чего необходимо трижды решить систему (1.2.13). Условия отражения (1.3.10) для производных по начальным значениям вертикального и азимутального углов выхода позволяют найти расходимость на многоскачковои трассе. 1.4. Тестирование расчетов траекторий и расходимости В случаях, когда предлагаются новые методики или новые численные программы, реализующие их, проводятся различные проверки их точности. Для тестирования программ обычно результаты численных расчетов сравниваются с точными решениями. Система уравнений (1.2.13) позволяет определить траектории лучей для показателя преломления, зависящего от трех координат. Однако точные решения известны лишь для некоторых моделей ионосферного слоя, например, квазипараболической, в которой показатель преломления зависит только от одной координаты (высоты над поверхностью Земли) [35]. Для этого слоя будем рассчитывать следующие параметры траектории: D - дальность вдоль поверхности Земли; Р - фазовый путь; Р - групповой путь; zomp , хотр - координаты точки отражения луча; а11рнх- угол прихода луча, применяя численную схему Батчера [36] к системе (1.2.13), дополненной уравнением для определения фазового пути: dPjdr = п2.
Комбинированный метод решение двухточечной задачи в двухмерно-неоднородной ионосфере
Для определения характеристик сигнала в приближении геометрической оптики необходимо оперативно отыскивать траектории лучей, соединяющих излучатель и приемник. В двухмерном случае эта задача сводится к решению заданного неявно уравнения [37, 38] где а- угол выхода в вертикальной плоскости (угол между направляющим вектором луча и осью OX), n{x,z)- показатель преломления ионосферы, /,, - дальность фиксированной трассы. Существуют различные методы решения уравнения (1.5.1). Вначале необходимо решить задачу локализации корня, а затем уточнить его с заданной точностью [36]. Часто при уточнении корня используется метод деления отрезка пополам (в данном случае угла), который имеет низкую скорость сходимости и при массовых расчетах требует значительных затрат времени. В этой ситуации неплохо работает метод аппроксимации левой части уравнения (1.5.1) в интервале локализации полиномом второй степени (параболой) по трем точкам с последующим аналитическим определением корня. В случае, когда интервал локализации мал (не более 0,1 градуса), найденное значение корня а в (1.5.1) позволяет определить дальность для нижних лучей с погрешностью, не превышающей нескольких сотен метров. Однако для верхних лучей на частотах вдали от максимально применимой частоты (МПЧ) возникают трудности в определении решения уравнения (1.5.1). Поэтому исследованы возможности применения некоторых способов решения двухточечной задачи, не предусматривающих непосредственно «пристрелку». Рассмотрим двухмерную ортогональную криволинейную систему координат XOZ, аналогичную системе, представленной на рис. 1.2.1. Координата х определяется из соотношения х = RQ6 , где Ro - радиус Земли, а 0 - центральный угол между радиусами, проведенными из центра Земли в начало координат и точку с координатой х . Источник излучения находится в начале координат, а точка наблюдения - на оси л на некотором удалении /„ от источника. Среда распространения определяется показателем преломления n=n(x,z) (двухмерно-неоднородная). Функция z(x), определяющая траекторию луча, отвечает экстремальному значению функционала (1.2.15) [32, где в выбранной системе координат элемент длины луча - da - yj(zRdx)2 + (dz)2 ; zR=\ + z/R0 ; r , r - точки излучения и приема. Определение z (х) сводится к решению краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка или системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В случае, когда для решения известно хорошее начальное приближение, используются различные итерационные методы, а также метод возмущений [28].
В задачах оптимизации, к которым относится вариационная задача (1.5.3), находит применение метод аппроксимирующих функций и разностный метод [35,41]. Зависимость п= n(x,z) предполагает наличие нескольких решений. Будем считать, что имеется некоторое начальное приближение для одного из искомых решений. Рассмотрим два подхода применения метода аппроксимирующих функций, а также разностный метод решения задачи (1.5.3). В-первом подходе искомое решение - (Л) уравнения Эйлера (1.2.16) для интеграла (1.5.3) в выбранной системе координат, имеющего вид: которая удовлетворяет краевым условиям и зависит от п неизвестных параметров. В качестве р выбирается линейная комбинация известных функций где все (рк{х) удовлетворяют краевым условиям. Нахождение решения сводится к определению неизвестных параметров ак. Рассмотрим случай, когда Подобное представление хорошо аппроксимирует известное численное решение задачи Коши z(xt) (например, методом Батчера [36]). Коэффициенты ак в разложении (1.5.6) с функциями вида (1.5.7) можно определить по п точкам из условия Лагранжа: Исследовалась точность аппроксимации для различного количества точек п [39, 39]. Относительная ошибка приближения траектории, полученной при отражении от F2 области двухслойной горизонтально неоднородной ионосферы для дальности /0=2500 км и «=50, функциями (1.5.7) не превысила 0,1%. При увеличении горизонтальных градиентов диэлектрической проницаемости и уменьшении характерного масштаба неоднородности требуется увеличение количества членов в разложении (1.5.8). В случае поиска решения в виде ряда синусов необходимо разложение для z и вычисленные производные z ,z" подставить в уравнение (1.5.4). В результате для точек с координатами _v, получается система п трансцендентных уравнений относительно коэффициентов ак. Для ее решения используем итерационный процесс где v + ] -решение на [к+\]-ом шаге системы линейных алгебраических уравнений [36] Процесс сходится не более, чем за десять итераций в зависимости от близости к решению начального приближения, а также величины горизонтальных градиентов показателя преломления. Во втором подходе применения метода аппроксимирующих функций проведены исследования возможности определения коэффициентов сск непосредственно из необходимого условия существования экстремума функционала (1.5.2) (метод Ритца [36]). Систему из п уравнений относительно сск - можно представить в общем виде: Система нелинейных уравнений (1.5.11) решалась методом Ньютона [36]. После линеаризации она принимает вид Элементы матрицы А1 1 и координаты вектора Ь1 1 определяются по формулам: Верхние индексы [к] и [к + \] отвечают значениям, вычисленным на соответствующем шаге итерационного процесса. Частные производные под знаком интеграла можно аппроксимировать центральными конечными разностями, что значительно упрощает вычисление исходных данных для системы линейных уравнений без существенной потери точности. Интегралы в (1.5.12) определим методом Гаусса [36]. Итерационный процесс сходится достаточно быстро (от 3 до 10 итераций) в зависимости от близости начального приближения к решению, а также величины горизонтальных градиентов показателя преломления.
Более перспективным по сравнению с методом аппроксимирующих функций является разностный метод [41] решения уравнения Эйлера (1.5.4). Искомое решение представим в виде табличной функции. Интервал [0,1] разобьем на п частей. Для каждой точки с координатой .v, первую и вторую производные z и z" аппроксимируем конечными разностями где t = 1,2,...,(/7-1), a h - Ljn -шаг нарезки. Обозначим через z, значения z(.v(), а через zQ = z(0) и zn = z(L)- граничные условия. После подстановки (1.5.13) в (1.5.4) получим систему //-1 алгебраических уравнений относительно zi дополненную граничными условиями zу = 0 и гп = 0. Для решения (1.5.14) используем итерационный метод Ньютона. Обозначим через Верхний индекс [к] отвечает значениям, полученным на А;-той итерации. После линеаризации получается следующая система уравнений с трех-диаго-нальной матрицей: сходится достаточно быстро (при тахд1(ь" 10"ь от 3 до 7 итераций) в зави- симости от близости к решению начального приближения, а также масштаба горизонтальных градиентов. Методы решения двухточечной задачи, рассмотренные выше, чувствительны к выбору начального приближения. Это обусловлено тем, что для фиксированной дальности траектории /0 существует несколько решений. Так, например, при отражении от трехслойной ионосферы для некоторых условий (рабочая и критическая частоты, высоты максимума и полутолщины слоев) возможно на односкачковой трассе существование шести лучей, по два (нижний и верхний) отраженных от каждого слоя, и еще одного тривиального луча, соединяющего источник и приемник по кратчайшему пути - по прямой. В схеме поиска решения двухточечной задачи используем подход метода продолжения по параметру [36, 42], который заключается в следующем. Пусть для системы нелинейных уравнений х[01- лучшее из возможных начальных приближений, аппроксимирующих решение. Вводится новая система уравнений, которая зависит от некоторого параметра Я , Тогда при А = 0 имеем систему уравнений F(x;0) = F(x)-F(x[01) = 0 с известным решением x0J, а при Я = 1 получаем исходную систему F(x;l) = F(x) = 0. Изменяя параметр Я так, чтобы определим решение исходной системы уравнений.
Уточнение методики расчета геометрической расходимости при полиномиальной аппроксимации среды распространения
Методика использования кубической сплайн-интерполяции при сопряжении алгоритма расчета характеристик сигнала с глобальными моделями ионосферы, имеющими дискретное представление электронной концентрации, описана в [48]. Там же определены минимальные величины дискретов интерполяции, при которых дополнительные ошибки, вносимые в рассчитываемые траекторные характеристики сигнала, практически незначительны. Вместе с тем, ошибки, появляющиеся при описании производных второго порядка, могут быть при такой интерполяции велики [45, 49], что может приводить к существенным неточностям расчета геометрической расходимости сигнала, а следовательно, и амплитуды напряженности поля в точке приема. Пусть на отрезке [а,Ь] в узлах сетки А:а = z0 zt ... zx b заданы значения некоторой функции fi=f(zj, i=0,l,...,N . Определим кубический сплайн удовлетворяющий условиям S,(/;z/) = /; / = 0,...,/V; S(f;z) єС2[а,Ь). Последнее условие эквивалентно требованию непрерывности сплайна и его производных S{q)(f;z), q = 0,1,2, во всех внутренних узлах zh /=1,2,...,TV сетки Д. На концах отрезка задаются краевые условия (например, S\f;a) = f {a), S {f;b) = f (b)). Коэффициенты кубического сплайна определяются из условия непрерывности и граничных условий. Качество интерполящш функции характеризуется остаточным членом R(z) = S{f\z) - f{z). Норма остаточного члена определяет погрешность аппроксимации и зависит от того, какими дифференциальными свойствами обладает интерполируемая функция f(z). Приведем оценки погрешности [50] для функции и ее производных: ния на частичном отрезке [z„z, /]). В качестве исследуемой функции выберем зависимость показателя преломления от высоты в виде суперпозиции двух гауссоид [6] Эта функция в нулевом приближении отражает реальную зависимость показателя преломления от высоты, она много раз дифференцируемая, между локальными экстремумами присутствует ярко выраженная «впадина» (по электронной концентрации), которая ухудшает качество интерполяции. Будем аппроксимировать зависимость (1.9.3) кубическим сплайном (1.9.1) на равномерной сетке отрезка [а,Ь] = [0;500] с шагом h. Для вычисления оценок погрешности интерполяции (1.9.2) найдем co(f"). Вначале во внутренних точках z e[zi,zj +h] для каждого /=0,...,TV-1 путем перебора с малым шагом определим & Д/"), затем из них выберем максимальное значение.
Зависимость co(f") от h немонотонная (рис. 1.9.1). До h = 12 значения возрастают, затем следуют «выбросы», и для h 16 наступает «насыщение», т.е. колебания второй производной не меняются. «Выбросы» обусловлены тем, какая часть первой гауссоиды, на которой имеют место наибольшие изменения второй производной (z є[110; 130]), попадает в частичный интервал [Zj.Zj+h]. «Насыщение» объясняется размером шага, который становится соизмеримым с интервалом максимального изменения /". Для некоторых шагов нарезки погрешности P(j (q=0, 1, 2) сведены в таблицу 1.9.1. Из таблицы видно, что выбранные способы задания граничных условий существенного влияния на погрешности не оказывают; рассчитанные погрешности для шагов нарезки 2, 5 и 10 укладываются в теоретические оценки, причем, чем меньше шаг, тем дальше значение погрешности Р(/ от предельного значения Rq; неравенство (1.9.2) нарушается для больших значений шага, что обусловлено соизмеримостью шага и длины интервала (- 20 единиц), на котором изменения функции не могут быть в достаточной мере аппроксимированы полиномом третьей степени. Погрешности (1.9.2) определяются в основном колебаниями второй производной. На всем отрезке [а, Ь] значения / ,/""на несколько порядков меньше значений /, следовательно, соответствующие относительные погрешности в несколько раз выше, чем для / . На рис. 1.9.2 приведены результаты расчетов относительной погрешности в зависимости от высоты для дискрета интерполяции h - 10. Для широкого диапазона значений аргумента относительные погрешности первой производной (рис. 1.9.2а) достигают де- сятков процентов, второй производной (рис. 1.9.26) - сотен процентов. При некоторых z отклонения значений аппроксимированных производных в несколько раз превышают истинные значения. Это объясняется тем, что вторая производная кубического сплайна (1.9.1) линейна относительно аргумента, то есть вторая производная аппроксимируется кусочно-линейной функцией, что и приводит к значительным относительным погрешностям. "Выбросы" на графике локализованы в окрестностях значений аргумента, при которых либо первая, либо вторая производные обращаются в нуль. Уменьшение шага приводит к уменьшению погрешностей в несколько раз (для h = 5 - примерно в пять раз). Рассмотрим влияние погрешности аппроксимации на точность вычисления расходимости. В декартовой системе координат расходимость по отношению к свободному пространству в децибелах определяется по формуле [32] где L - расстояние от точки выхода луча до проекции точки приема на плоскость XOY: по , п - показатели преломления в точках выхода и приема; (сг) = якобиан перехода от декартовых координат (x,y,z) к лучевым координатам (aQ,{30,cr). Лучевые координаты: at)- угол между направлением выходящего луча и плоскостью XOY ; /?0 - азимутальный угол между осью ОХ и проекцией луча на плоскость XOY ; а - длина дуги луча. Углы а0, /30 - вертикальный и азимутальный углы выхода. Для J 0 имеет место фокусировка, для J 0 - дефокусировка. При вычислении элементов якобиана используются вторые производные показателя преломления. Влияние погрешности аппроксимации будем исследовать по следующей методике.
Источник поместим в начало координат (0, 0, 0). Приемник будем помещать на различных расстояниях от начала координат на оси ОХ (хпр, 0, 0), а также на некоторой высоте zc zml,2 (хи/„ zc, 0) (при углах а0 больше угла «просачивания» имитируется связь с искусственным спутником Земли, летящим на высоте zc в плоскости XOZ). Для каждого положения приемника ((хпр, 0, 0) и (хпр, zc, 0)) определим расходимость (1.9.4) путем численного интегрирования расширенной системы лучевых уравнений [32] методом Батче-ра для двух случаев задания показателя преломления среды: по формуле (1.9.3) и по формуле (1.9.1), аппроксимирующей зависимость (1.9.3). Сравним полученные значения расходимости и найдем относительную погрешность 8 J для различных дискретов интерполяции в (1.9.1). С целью уменьшения ошибок шаг интегрирования в методе Батчера зададим равным / км. Как показали расчеты, в зависимости от дискрета интерполяции и положения приемника относительная погрешность У изменяется от долей процента до сотен процентов. На рис. 1.9.3 представлены результаты расчетов, полученные для дискрета h = 10 км (рис. 1.9.3а) и h=20 км (рис. 1.9.36). По оси абсцисс-отложен вертикальный угол выхода а0 для дискретного представления n (z). В целом при h=20 км относительная погрешность примерно в десять раз выше, чем при /7 = 7(9 км. Для различных лучей, отраженных от слоев Е и F2, имеет место увеличение 8 J при смене модовой структуры, вблизи МПЧ слоев Е и F2t а также при смене фокусировки на дефокусировку, когда расходимость близка к нулю (на верхних лучах, отраженных от слоя F2). При И-20 км вблизи МПЧ слоя Е значения 5 J достигают 600% (на рис. 1.9.36 не показано). Величина 8 J также зависит от угла, под которым луч проходит область с наибольшей погрешностью аппроксимации: чем меньше угол между лучом и изолинией n2(z) = const, который в выбранной системе координат пропорционален а0, тем больше относительная погрешность. В меньшей степени относительная погрешность зависит от величины дискрета интерполяции для лучей, принятых на высоте zc.
Возможные проявления среднемасштабных ПИВ волнового типа в основных характеристиках ДКВ в зависимости от времени и направления их перемещения
В исследованиях, проведенных в [3]; для выявления эффектов ПИВ в «чистом» виде горизонтальные градиенты электронной концентрации другой природы, а также влияние магнитного поля Земли не учитывались. Квадрат показателя преломления определялся соотношением (1.7.3), аналогичным (2.1.1): где критическая частота F2 слоя /0 = 10 МГц; высота максимума z0 = 300 км ; полутолщина zm-SO км; f- рабочая частота; 6- амплитуда возмущения; к- — ; к = \k.fKv.kz) - волновой вектор возмущения; Л- пространственный масштаб возмущения; П = —-; Т - период возмущения; /- время; r = {x,y.z). Для выяснения характера влияния параметров ПИВ на условия их наблюдения на наклонных трассах расчеты, представленные в [3, 84], проводились для различных частот. Дальности при этом лежали в интервале 0-2500 км. Выбирались следующие параметры возмущения: 5 = 0,1, Г = 12 мин. Горизонтальный и вертикальный масштабы возмущений задавались в 5 вариантах: Различные пары значений вертикального Л, и горизонтального ЛЛ масштабов в вариантах 1-4 соответствуют разному наклону фазового фронта волнового возмущения к горизонту, в то время как модуль волнового вектора не изменяется. Угол «9 - угол между волновым вектором возмущения и вертикалью. Вариант 5 описывает ПИВ, для которого 9 такое же, как и в варианте 2, но масштаб возмущения больше. Проведенные исследования в [3, 84] показали, что ПИВ приводят к вариациям доплеровского смещения частоты /"/, в среднем отличным от нуля. Величина /д на трассах одной протяженности увеличивается с увеличением частоты и для одной и той же частоты уменьшается с увеличением дальности. Для фиксированной рабочей частоты величина вариаций fa изменяется немонотонно с увеличением расстояния между передатчиком и приемником. Существует интервал дальностей, в котором влияние ПИВ волнового типа сказывается особенно сильно. Азимутальные углы прихода Р в случае продольного перемещения ПИВ отсутствуют, а при поперечном - среднее за период Т значение Р не превышает 0,5. Для одной и той же рабочей частоты Р уменьшается с увеличением дальности и возрастает с увеличением частоты на фиксированной трассе. Характер изменения А/3 такой же, как у Д/7. Амплитуда вариаций Ар для f = \0 МГц на 1 = 400 км порядка 6,5, а при увеличении / до 700 км уменьшается до 3, а для / = 12,5 МГц при / = 700 км АР 2 , на / = 1000/см АР 2,5 . Вариации всех рассматриваемых характеристик сигнала уменьшаются при уменьшении амплитуды ПИВ.
Исследования, проведенные с помощью разработанной в подразделе 1.6 методики, подтвердили перечисленные выводы, но только те, которые касаются, в основном, продольного по отношению к плоскости трассы перемещения возмущения. В отношении же поперечного перемещения выводы не подтвердились [37, 43]. Расчеты показали, что на трассе, ориентированной по отношению к возмущению от - 90 до 90, вариации рассчитанных параметров существенно зависят от направления перемещения ПИВ. Вариации /д при любой ориентации трассы довольно значительны. Также применение разработанной методики позволило выявить наличие многолучевости на относительно коротких трассах и низких рабочих частотах при ортогональном к плоскости трассы перемещении ПИВ (в приведенных в [3, 84] зависимостях угловых характеристик и доплеровского смещения частоты от времени для всех рассмотренных вариантов она отсутствует). Вначале рассмотрим поведение зависимостей основных характеристик ДКВ от времени, обусловленных среднемасштабными ПИВ. 2.2.1. Зависимости от времени углов прихода, доплеровского смещения частоты и геометрической расходимости, обусловленных среднемасштабными ПИВ Нахождение зависимостей от времени углов прихода, доплеровского смещения частоты, группового пути, геометрической расходимости и направления перемещения ПИВ сопряжено со значительными вычислительными затратами. Для повышения оперативности расчетов, как уже отмечалось в подразделах 1.5, 1.6, можно воспользоваться методом продолжения по параметру [42]. Рассмотрим пример. Пусть необходимо найти зависимость азимутального угла прихода от времени /?(/). Для начального момента времени t найдем решение системы (1.6.1). Найденное решение используем в качестве начального приближения для следующего момента t + At. Тем самым исключим наиболее затратный этап локализации решения для каждого момента времени. Выбор оптимального приращения Д/ позволяет оперативно найти требуе- мую зависимость. Следует отметить, что перебор по времени необходимо осуществлять как с положительным, так и с отрицательным приращением до тех пор, пока предыдущее решение находится в окрестности последующего. Вычисление доплеровского смещения частоты будем определять по (1.7.1)-(1.7.2), а геометрическую расходимость (фактор фокусировки) по методике, представленной в подразделе 1.3. Для большей наглядности обозначим через у угол между проекцией волнового вектора возмущения на поверхность XOY и осью OF, а через О угол между волновым вектором и горизонтальной плоскостью. Произведение кг в (2.2.1) представим в следующем виде: В этом выражении волновой вектор возмущения расположен горизонтально под углом у к оси ОХ, когда в = 0, а при в = 90" - вертикально. Как уже отмечалось, в приведенных в [3, 84] зависимостях отсутствует односкачковая многолучевость для всех вариантов. Однако проведенные исследования показали, что это не так. В качестве примера на рис. 2.2.1 отображены зависимости углов прихода, доплеровского смещения частоты, группового пути и геометрической расходимости от времени. Параметры возмущения соответствуют варианту 2 (длина трассы 400 км и рабочая частота 10 МГц). Как видно из рисунка, имеет место односкачковая многолучевость. Диапазон изменения азимутальных углов прихода более 20 градусов, что в 4 раза превышает значения, приведенные в [2]. Амплитуда изменения доплеровского смещения частоты превышает 2 Гц, а вертикальных углов прихода -порядка 5 градусов.
Не совпадает также качественный ход зависимостей всех характеристик. Это объясняется, по-видимому, тем, что траектории отыскивались в узком диапазоне азимутальных углов простым перебором по вертикальным углам выхода, и часть решений при этом было потеряно. Разница групповых путей лучей для одного момента времени достигает 150 км. При длительности сигнала в 100 мкс (30 км по групповому пути) моды разделяют- Для моментов времени, когда лучи соединяются, имеет место фокусировка, а в моменты, когда задержка между лучами увеличивается, имеет место дефокусировка. Следовательно, сигнал будет более сильным в моменты соединения лучей. Поглощение во все моменты времени существенно изменяться не должно, поскольку вариации вертикальных углов выхода незначительные и путь в слое D, который вносит основной вклад в поглощение, изменяется мало. Поглощение в области F2 для лучей в различные моменты времени существенно не изменяется (высота отражения лучей примерно одинакова). Иными словами, на напряженность поля основное влияние будет оказывать геометрическая расходимость. Многолучевость, качественное и количественное несовпадение имеет место и для других вариантов, рассмотренных в [3, 84], например при продольном распространении возмущения, когда его волновой вектор направлен под углом 45 градусов к горизонту (рис. 2.2.2). С увеличением дальности или рабочей частоты промежутки времени, в которые возникает многолучевость, сокращаются. При этом амплитуды изменения характеристик уменьшаются. Однако при поперечном по отношению к трассе перемещении амплитуда изменения доплеровского смещения частоты превышает 1А/. Наиболее показательны вариации рассматриваемых характеристик от направления перемещения возмущения. Перейдем к рассмотрению этих зависимостей. 2.2.2. Возможные вариации углов прихода и доплеровского смещения частоты в зависимости от направления перемещения возмущения Результаты моделирования показали, что на относительно коротких трассах (400-500 км) вариации азимутальных углов могут достигать значений до 30, что согласуется с экспериментальными результатами [например, 53, 88-91].
