Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Учет влияния нелинейных взаимодействий на пространственное развитие возмущений в пограничном слое на плоской пластине 21
1.1. Формулировка основных предположений при постановке задачи о пространственном развитии возмущений 21
1.2. Постановка задачи первого приближения. 31
1.3. Постановка задачи второго приближения. 36
1.4. Задача третьего приближения и влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие вносимых возмущений . 51
1.5. Нелинейная пространственная эволюция амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга 60
Глава 2. Численнье методы, используемые при решении задачи о пространственном развитии возмущений в пограничном слое 65
2.1. Краткий обзор методов решения задачи первого приближения 65
2.2. Использование метода дифференциальной прогонки при решении задачи первого приближения и сопряженной с ней задачи 67
2.3. Методы численного решения задачи второго приближения 77
2.4. Численное вычисление несобственных интегралов при решении задачи третьего приближения 83
Глава 3. Численное исследование нелинейного пространственного развития волн толлмина - шлихтинга 87
3.1. Выбор значений параметров, характеризующих численное решение задачи 87
3.2. Численный анализ вторичных течений в пограничном слое 94'
3.3. Численное изучение влияния нелинейных взаимодействий на пространственное развитие амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга 105
3.4. Определение критических амплитуд возмущений 111
3.5. О роли двумерных и трехмерных возмущений при развитии турбулентности 119
3.6. Пространственное развитие возмущений в пограничном слое на плоской пластине. 128
Заключение 139
Литература 141
- Задача третьего приближения и влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие вносимых возмущений
- Использование метода дифференциальной прогонки при решении задачи первого приближения и сопряженной с ней задачи
- Численное вычисление несобственных интегралов при решении задачи третьего приближения
- О роли двумерных и трехмерных возмущений при развитии турбулентности
Введение к работе
Проблема возникновения турбулентности в пограничном слое является одной из центральных нерешенных проблем механики жидкости. Большой интерес к ее решению обусловливается, во-первых, необходимостью решения практических задач. Это могут быть задачи управления пограничным слоем с целью снижения сопротивления летательных и плавательных аппаратов, задачи теплотехники и химической технологии, связанные с методикой расчета и конструирования промышленных устройств и аппаратов. Важность определения положения области перехода, ее протяженности и зависимости от внешних факторов связана с изменением при переходе различных средних характеристик течения, таких как коэффициенты трения, теплообмена и других. Во-вторых, изучение процесса возникновения турбулентности необходимо для понимания процессов, имеющих место в развитых турбулентных течениях, что является составной частью более общей фундаментальной проблемы построения модели турбулентности. Рассматривая возникновение турбулентности как последовательность различных этапов эволюции и трансформации возмущений, можно констатировать, что в настоящее время хорошо изученным является этап их линейного развития. Однако, несмотря на большое количество как теоретических, так и экспериментальных работ, картина перехода на нелинейных этапах развития возмущений остается еще недостаточно исследованной. Особую важность при изучении нелинейных этапов приобретает трехмерность течения в пограничном слое, что нашло подтверждение в многочисленных экспериментальных работах. В свете вышеизложенного представляется актуальным построение теоретической модели, позволяющей исследовать развитие возмущений на нелинейном этапе, выяснить роль трехмерных возмущений в процессе пере-
хода и получить оценки по интенсивности возмущений для начала этапа нелинейного развития.
Задача третьего приближения и влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие вносимых возмущений
Исследование различных моделей резонансных взаимодействий давало преимущественный рост трехмерных составляющих возмущений и указывало на важность учета резонансного механизма в моделях нелинейного развития возмущений.
Выше уже отмечалась важность априорных данных экспериментальных исследований при построении теоретических моделей механизмов перехода. Среди большого количества экспериментальных работ, выполненных после классического исследования Шубауэра и Скрэмстеда [98,99] , следует отметить статью Клебанова и др. [82] , где весьма детально исследована структура перехода, образование трехмерности течения. Данные этой работы часто используются различными авторами при анализе результатов теоретических исследований. Все это послужило причиной выбора результатов исследований Клебанова и др. в качестве базовых при построении модели процесса нелинейного развития возмущений. Наблюдаемый волновой характер возмущений и хорошая аппроксимация структуры течения поперек пограничного слоя собственными функциями линейной задачи [б,7,69) на этапе нелинейного развития, вплоть до начала турбулентного режима, позволяет рассматривать происходящий процесс в рамках слабонелинейной теории и обратить основное внимание на нелинейное развитие волн Толлмина-Шлихтинга. Амплитуды указанных волн могут характеризовать интенсивность возмущений. Наблюдаемое усиление трехмерности возмущений позволяет сделать заключение о возможности реализации резонансного механизма. Искусственное возбуждение возмущений только одной основной частоты оставляет открытым вопрос о механизме образования возмущений второй гармоники по времени, необходимой для резонанса. Одну из возможностей дает рассмотрение нелинейного взаимодействия искусственно вносимых возмущений. Косвенным оправданием такого механизма служит хорошее совпадение рассчитанных вторичных стационарных течений с наблюдаемыми в экспериментах. Следует учесть, что указанные стационарные искажения основного течения также несомненно окажут влияние на характер развития возмущений. Описанные механизмы представляется возможным исследовать в модели, учитывающей взаимодействия двумерной и трехмерной волн с порождаемыми ими вторичными течениями. При этом необходимо рассмотреть взаимодействия третьего порядка, в отличие от квадратичных взаимодействий Крейка и Найфе.
В виду малой продолжительности этапа нелинейного развития, в задаче о переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный важным вопросом является определение критической амплитуды возмущений L58J. Если амплитуда достигает своего критического значения, то скорость нарастания энергии возмущений вниз по течению существенно отличается от предсказываемой линейной теорией гидравлической устойчивости. Таким образом критическая амплитуда становится важной характеристикой при определении начала этапа нелинейного развития возмущений и местоположения области перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения.
В излагаемой работе исследуется слабонелинейная модель пространственного развития возмущений в пограничном слое на плоской пластине, которые предполагаются периодическими во времени и по направлению, параллельному передней кромке пластины. Основное невозмущенное течение рассматривается в локальнопараллельном приближении. В аппроксимации возмущений компонент скорости выделяются члены, построенные с помощью собственных функций линейной теории и представляющие возмущения типа двумерной и трехмерной волны Толлмина-Шлихтинга. Характер изменения амплитуд указанных волн с ростом продольной координаты считается зависящим от величин самих амплитуд. Предлагается алгоритм расчета этой зависимости, учитывающий нелинейные взаимодействия до третьего порядка малости по волновым амплитудам. Численно исследуется влияние нелинейных взаимодействий на пространственное развитие волн Толлмина-Шлихтинга в широком диапазоне волновых амплитуд и чисел Рейнольдса. Отмечается заметно более сильное влияние нелинейных взаимодействий на характер развития амплитуды трехмерной волны по сравнению с двумерной. С использованием результатов численных расчетов были получены уравнения типа уравнения Ландау, описывающие пространственную эволюцию амплитуд двумерной и трехмерной волн Толлмина-Шлихтинга, учитывающие эффекты самовоздействия и взаимодействия. Отмечается влияние фазового согласования волн на их нелинейное пространственное развитие. Результаты численного решения амплитудных уравнений позволили сделать оценки критической амплитуды возмущений в зависимости от местного числа Рейнольдса, определить в рамках рассмотренной модели роль двумерных и трехмерных возмущений на начальных участках нелинейного развития. Параллельно в работе представлены результаты численного исследования вторичных течений, образуемых при нелинейном взаимодействии двумерной и трехмерной волн Толлмина-Шлихтинга j_57J . В результате их анализа отмечались сильно развитые трехмерные стационарные формы течения, что указывало на необходимость их учета в модели нелинейного развития возмущений. Сравнение численных результатов с экспериментальными данными Клебанова и др. \_82J продемонстрировало хорошее качественное соответствие, подтвердило применимость данной модели для описания нелинейного развития возмущений.
Использование метода дифференциальной прогонки при решении задачи первого приближения и сопряженной с ней задачи
Наличие бесконечного числа неизвестных в указанной системе уравнений делает невозможным ее полное численное исследование и приводит к необходимости введения дополнительных предположений об асимптотическом характере убывания коэффициентов разложений (I.I7) - (1.20). Для того, чтобы определить асимптотическое разложение, равномерно пригодное для малых, но конечных возмущений, позволяющее перейти к системе с конечным числом уравнений, необходимо ввести малый параметр , характеризующий интенсивность возмущений. Как уже отмечалось во введении, целью данной работы является построение теоретической модели экспериментально наблюдаемых процессов, когда в невозмущенное течение искусственно вносятся возмущения только заданной частоты (J нулевой и первой гармоник по z При малых интенсивностях вносимых возмущений характер их развития определялся линейной теорией гидродинамической устойчивости. Нелинейный характер начинал проявляться при увеличении интенсивности. При этом основная энергия возмущающего движения приходилась на возмущения первой гармоники по времени. Как отмечалось в именно такие возмущения, имеющие нулевую и первую гармоники по определяли поле пульсаций и формы вторичных течений, наблюдаемых в эксперименте. Это позволяет связать малый параметр с интенсивностью вносимых возмущений. Показатель степени параметра будет характеризовать порядок малости члена, содержащего данную степень параметра множителем. С помощью параметра выделяются составляющие возмущений, типа волн Толлмина-Шлихтинга, соответствующие вносимым возмущениям. Результаты Выонга [6,7j позволяют заключить, что амплитуды двумерных и трехмерных волн на этапе их нелинейного развития оказываются одного порядка. Это позволяет характеризовать их одним малым параметром. В тех же работах отмечалось, что характер пространственного развития указанных волн на нелинейном этапе отличается от предсказываемого линейной теорией. Поэтому в предлагаемой постановке их волновые числа и инкременты нарастания амплитуд в продольном направлении рассматриваются зависящими от интенсивности вносимых возмущений и при решении представляются в виде асимптотических разложений по степеням . Аналогичный прием разложения комплексного волнового числа по степеням малого параметра использовался в [l09j для учета влияния непараллельности течения в пограничном слое на пространственное развитие возмущений. В силу квадратичной нелинейности уравнений движения, вторичные течения, образованные нелинейным взаимодействием выделенных волн Толлмина-Шпихтинга и включающие возмущения, пропорциональные квадрату малого параметра, будут содержать возмущения только нулевой и второй гармоник по времени, нулевой, первой и второй по координате Z . Вклад же нелинейных взаимодействий в развитие выделенных волн будет иметь порядок куба малого параметра и будет проявляться, с одной стороны, в изменении волновых чисел, а с другой - в изменении форм амплитудных функций. Приве-денные рассуждения позволяют с точностью до с искать решение для коэффициентов Фурье нулевой и первой гармоник по координате і и первой гармоники по времени, соответствующих основным вносимым возмущениям, в виде
Рассмотрение образования возмущений других гармоник по времени и по координате , как результат нелинейного взаимодействия основных возмущений, позволяет решение для коэффициентов Фурье вторичных течений искать.
Численное вычисление несобственных интегралов при решении задачи третьего приближения
В предыдущем параграфе отмечалось, что интенсивность рассматриваемых в работе волн Толлмина-Шлихтинга полностью определяется первым слагаемым асимптотического разложения амплитудных функций. В силу того, что VK fj/J - это решение задачи первого приближения, нормированное на единицу и имеющее заданную фазу ifH , то роль комплексной амплитуды выполняет множитель /%Є , модуль которого определяет интенсивность соответствующей волны, а аргумент - ее фазу. Однако такая форма записи амплитуды должна рассматриваться как локальная, в силу того, что она является следствием анализа поведения возмущений при малых значениях х. для выбранной системы координат. Поэтому показатели экспонент д являются величинами, определяющими местные волновые числа и местные коэффициенты усиления возмущений, соответствующие размерному расстоянию L от передней кромки пластины. При изучении пространственной эволюции амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга необходимо проследить их изменения на достаточно большом расстоянии вниз по течению. Для этого надо отказаться от локальной формы записи комплексной амплитуды, обобщив ее на весь рассматриваемый интервал эволюции амплитуд. Такое обобщение можно осуществить по аналогии с линейной теорией гидродинамической устойчивости.
При рассмотрении пространственного развития возмущений с заданными размерной частотой и размерной длиной волны в направлении, параллельном передней кромке пластины, безразмерные величины CJ и р будут изменяться при увеличении расстояния от пе редней кромки, что связано с изменением масштаба длины . Одна ко отношения cj/Re и //% будут сохранять постоянные зна чения. Указанная зависимость, а также наличие коэффициента Re в рассматриваемых гидродинамических уравнениях приводят к тому, что собственные значения о(к линейной задачи являются функция ми числа Рейнольдса. В окрестности положения, характеризуемого некоторым фиксированньм значением числа Рейнольдса, изменение ам плитуд волн Толлмина-Шлихтинга вниз по потоку в линейной теории определяется экспонентами вида evcp(idKoc) , что позволяет за писать уравнения для комплексных амплитуд 1К в виде При изучении изменения амплитуд на конечном расстоянии вдоль пластины каждое пространственное положение будет характеризовать ся своим значением числа Рейнольдса, что приведет к изменению ве личин Сс . Одновременно, при рассмотрении различных пространст венных положений необходимо вводить различные системы координат, отличающиеся положением начала и линейным масштабом и , с помо щью которого осуществляется переход к безразмерным переменным. Для того, чтобы уравнения (I.190) записать в виде, применимом на всем участке изучения эволюции амплитуд, необходимо вместо коор динаты X ввести другой параметр, в зависимости от которого бу дет изучаться развитие возмущений вниз по потоку. Использование величины как масштаба длины позволяет в каче стве такого параметра использовать число Рейнольдса, которое численно равно безразмерному расстоянию от передней кромки пластины. Действительно Отделяя в (І.192) действительную часть, можно получить хорошо известное в линейной теории гидродинамической устойчивости соотно шение для общего усиления возмущений в пограничном слое между по ложениями , характеризуемыми значениями чисел Рейнольдса Ив0 и [31,65]. В приведенных соотношениях значения 1К [f\e0J определяют комплексные амплитуды возмущений в некотором положении на пластине, характеризуемом значением числа Рейнольдса Re0 . Выше отмечалось, что учет нелинейных взаимодействий приводит к тому, что пространственное изменение комплексных амплитуд волн Толлмина-Шлихтинга локально определяется экспонентами вида aocplfaXj , что позволяет по аналогии с (I.I90) записать уравнение для комплексных амплитуд JK по нелинейной теории в виде
Осуществляя переход от переменной X к переменной Re и учитывая (I.3I), по аналогии с (I.I9I), можно получить уравнения
В этой форме уравнения можно уже рассматривать на всем интервале изучения эволюции амплитуд. Принципиальное отличие (I.I93) от (I.191) заключается в том, что о/К зависят только от числа Рейнольдса, в то время как Ок зависят еще и от интенсивностей рассматриваемых возмущений, определяемых амплитудами 1 к . Ниже будет показано, как из анализа соотношений (I.I84) можно установить вид функциональной зависимости 0К от определяющих параметров. Здесь же следует заметить, что указанная зависимость VK{Re,io,Ii) приводит к тому, что уравнения (1.193) являются нелинейными, должны рассматриваться при к = 0 и ( = І в виде системы и не допускают решения в квадратурах. В качестве начальных условий для данной системы уравнений необходимо задать комплексные амплитуды двумерной и трехмерной волн для некоторого значения числа Рейнольдса.
О роли двумерных и трехмерных возмущений при развитии турбулентности
Во вторую группу параметров были включены: значение величины J , характеризующей верхнюю границу внутреннего интервала интегрирования уравнений; количество точек разбиения интервала /0, о J ; относительная погрешность, с которой проводилось численное интегрирование полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений; погрешность определения собственных значений задачи первого приближения, как значений точек минимума соответствующих действительных функций двух переменных. При выборе значений этих параметров приходилось учитывать, что повышение точности получаемых численных решений приводит к увеличению затрат машинного времени и повышает размерность массивов числовой информации, хранящейся в памяти ЭВМ.
При выборе количества точек разбиения интервала был проведен анализ результатов численных расчетов других авторов. В работе Корнера и др. [66J при определении собственных значений уравнения Орра-Зоммерфельда проводилось разбиение интервала интегрирования на Л/ = 80; 120; 160 равных отрезков. Использование различного числа точек разбиения в этой работе было продиктовано необходимостью отделения посторонних корней, к появлению которых приводит используемый метод. Посторонние корни заметно реагировали на изменение числа А/ , в то время, как получаемые собственные значения уравнения Орра-Зоммерфельда почти не изменяли своих величин. Это позволило сделать вывод, что использование N = 80 приводит к удовлетворительной точности результатов. Джординсоном [79 J при численном решении уравнения Орра-Зоммерфельда также использовалось разбиение интервала интегрирования на 80 равных отрезков. Рассмотренные работы позволили автору при проведении численных расчетов использовать разбиение интервала интегрирования на Л/ = 100 равных отрезков.
Следующий рассматриваемый параметр связан с определением погрешностей интегрирования систем дифференциальных уравнений, полученных при использовании метода дифференциальной прогонки. В [I3J отмечалось, что в задачах гидродинамической устойчивости решение систем дифференциальных уравнений обычно осуществляется с точностью до 10 . Проведенные автором исследования показали, что такая точность позволяет у собственных значений верно определять первые три - четыре значащие цифры. Для определения шести верных значащих цифр необходимо было осуществлять численное решение систем дифференциальных уравнений с относительной погрешностью которая использовалась при проведении численных расчетов в задачах первого и второго приближения.
Как отмечалось в главе 2, при численном решении задачи первого приближения использовалась стандартная подпрограмма MINSQ, которая позволяла независимо задавать точность определения действительной и мнимой части собственного значения. При проведении численных расчетов точность определения действительной части собственного значения задавалась , = 10 , а мнимой СеЛ. = Ю .
Для определения допустимого значения величины О проводилось решение задачи первого приближения при значениях и = 7; 8; 12,5. В таблице I сопоставлены результаты расчетов собственных значений для двумерных возмущений при Re. = 990, ьд = 0,0553.
Анализ приведен данннх показал допустимость использования в расчетах значения О =8,0. Можно отметить, что увеличение от 8,0 до 12,5 приводит к повышению затрат машинного времени более чем в два раза, оставляя результаты в пределах заданной точности. К тому же увеличение значения и при использовании фиксированного числа точек разбиения интервала /0, о] приводит к снижению точности аппроксимации профиля скорости невозмущенного течения, что уже отрицательно сказывается на точности конечных результатов.
Определение значений параметров, влияющих на точность численного решения задачи базировалось на анализе решений задачи первого приближения. Выбранные значения параметров сохранялись на дальнейших этапах решения. Изучение влияния значений этих параметров на решение нелинейной задачи не проводилось.
На рисунках I и 2 нанесены величины действительной и мнимой частей собственных значений задачи первого приближения для двумерных возмущений, рассчитанные автором при постоянном значении безразмерного отношения (J/IvG = 55,9 10 . На тех же рисунках приводятся данные, определенные по результатам Джординсона [79J и соответствующие тому же значению безразмерного отношения cj//? . Анализ приведенных данных позволяет сделать вывод, что выбранные значения параметров точности обеспечивают удовлетворительное согласование результатов расчета с результатами [79] и могут быть использованы при решении задачи. При проведении численных расчетов на ЭВМ БЭСМ-6 для определения собственных значений и амплитудных функций задачи первого приближения, а также решения сопряженной задачи было необходимо около трех минут машинного времени.
В главе I соотношения (1.45) - (1.47) были введены малые па-раметры : J = I, 2, 3, характеризующие близость волновых чисел и малость инкремента пространственного нарастания основных возмущений по линейной теории. Численные значения этих величин, определенные по результатам расчетов, для различных значений чисел Рейнольдса приводятся в таблице 2.
