Численное моделирование взаимодействия ударных волн с плотными слоями гомогенных и гетерогенных сред Федорченко Ирина Александровна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Математические модели для описания течений гомогенных и гетерогенных сред 29

1.1 Основные уравнения 29

Ы.1 Математическая модель для описания течения гомогенных сред 29

1.1.2 Математическая модель неравновесной механики гетерогенных сред 33

1.1.3 Равновесная модель механики гетерогенных сред 35

1.1.4. Модель турбулентности для описания течений смеси газа и твердых частиц 36

1.2 Численные методы решения задач волновой динамики гомогенных и гетерогенных сред 38

1.2.1. Метод Годунова 38

1.2.2. TVD-схемы 39

1.2.3. ENO-схемы 42

1.2.4. СГР-схемы 44

Выводы по главе 1 49

ГЛАВА 2 Верификация и тестирование математических моделей и численных методов 50

2.1 Тестирование численных методов на основе точных решений уравнений газовой динамики 50

2.1.1 ENO-схемы 50

2.1.2 Метод Годунова . 52

2.1.3 TVD-схемы 54

2.1.4 CIP-схемы 55

2.1.5 Тестовые варианты для сравнения нескольких схем 58

2.2 Верификация методов расчета осредненных уравнений Навье-Стокса, дополненных k -со моделью турбулентности 61

2.2.1 Постановка задачи и экспериментальные данные 61

2.2.2 Расчет в рамках теории пограничного слоя 63

2.2.3 Расчет в рамках полных осредненных уравнений Навье-Стокса 65

- 2.2.4 Учет нестационарности положения скачка 71

2,3 Обобщение метода сір для расчетов модели неравновесной механики гетерогенных сред 74

2.3.1 Решение задачи о структуре ударной волны в газовзвеси 74

2.3.2 Две задачи о распаде разрыва в смеси газа и частиц 81

Выводы по главе 2 86

ГЛАВА 3 Описание взаимодействия ударной волны с пылевым слоем 87

3.1 Нормальное взаимодействие ударной волны со слоем газовзвеси, расположенным вблизи стенки 87

3.1.1 Постановка задачи ...: 87

3.1.2 Результаты расчетов 89

3.2 Расчет задачи в рамках двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной турбулентной смеси 93

3.3 Параметрические расчеты и верификация модели о подъеме ультрадисперсной смеси под действием ударной волны 102

3.3.1 Сравнение расчетных и экспериментальных данных 102 .

3.3.2 Подъем пыли из слоя со сглаженной кромкой и при воздействии реальной ударной волны 107

3.3.3 Влияние турбулентности ПО

Выводы по главе 3 113

Заключение 114

Литература

• Математическая модель неравновесной механики гетерогенных сред
• ENO-схемы
• Две задачи о распаде разрыва в смеси газа и частиц
• Расчет задачи в рамках двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной турбулентной смеси

Введение к работе

Работа посвящена численному моделированию проблем механики гетерогенных и гомогенных сред, связанных с ударно-волновым воздействием на неоднородности плотности.

Изучение взаимодействия ударных волн (УВ) с неоднородностями представляется актуальным, поскольку такие задачи находят широкое приложение в различных областях науки и техники. Контактные поверхности в гетерогенных средах разделяют вещества, имеющие различные истинные плотности. Примерами гомогенных неоднородных течений могут служить пограничные слои и слои смешения. Различие плотностей в такой среде может быть обусловлено и неравенством температур.

Моделированию поведения ударных волн в многофазных средах уделяется большое внимание, так как оно связано со многими практическими приложениями, начиная от проблем взрыво- и пожаробезопасности на запыленных предприятиях и в угольных шахтах, горения в топках, твердотопливных двигателях, до предсказания поведения планетных туманностей на стадии, предшествующей образованию планет.

Актуальной задачей, связанной с ударно-волновыми взаимодействиями в гетерогенных средах, является исследование подъема пыли с поверхности при прохождении над ней ударной волны. Данная проблема представляет интерес как раз с точки зрения взрыво- и пожаробезопасности в угольных шахтах и на запыленных производствах. Это явление исследовалось как экспериментально, так и теоретически разными авторами. Существует много работ, посвященных этой теме, но, несмотря на обширную библиографию, до сих пор нет исчерпывающего объяснения происходящих при этом процессов. Не разработана математическая модель, которая с достаточной полнотой описывала бы поведение параметров течения на разных стадиях его развития.

Обзор литературы по этому вопросу дан в [1]. Ниже анализируются некоторые работы, которые представляют интерес для исследования описанной выше проблемы.

Проведение экспериментальных исследований по ударно-волновому воздействию на гетерогенные среды было начато довольно давно. Они позволили получить некоторые интегральные и локальные характеристики явления, а также верифицировать математические модели и методы расчета. Однако опыты затруднены краткостью характерных масштабов времен и высокой стоимостью лабораторных экспериментов.

Одной из первых работ, посвященных экспериментальному исследованию процесса подъема мелких частиц с твердой поверхности под воздействием ударной волны, является [2]. В ней установлено, что существует период запаздывания между моментами прохождения УВ и подъема пыли в фиксированной точке. Получено эмпирическое соотношение зависимости длины запаздывания (расстояние между точкой на плоскости, в которой находится УВ и точкой, в которой начинается подъем частицы) от относительного числа Маха за УВ для тонкого слоя (менее 13 мм). Высказана гипотеза, что частицы поднимаются за счет сил, возникающих при отражении волн давления от твердой поверхности. Поскольку лидирующая ударная волна искривляется вблизи подложки, возникает внутреннее течение газа, которое, отражаясь от стенки, приводит частицы в движение.

Авторы [3—5] также наблюдали задержку между моментом прохождения УВ и началом заметного роста возмущений в слое песка. Было высказано предположение, что граница слоя поднимается за счет действия волн сжатия и разрежения, возникающих в результате многократного отражения лидирующей ударной волны от стенки и границы пылевого облака.

В [6] экспериментально и теоретически исследовался подъем частиц известняка, и было выяснено, что пыль поднимается в результате быстрого течения газа за фронтом УВ. Математическое моделирование в данной работе проводилось в рамках подхода режима одиночных частиц, когда течение газа считается заданным, а для компонент скорости частиц выписываются обыкновенные дифференциальные уравнения. Автор предположил, что причиной вертикального движения включений является поверхностная неустойчивость, развивающаяся при прохождении УВ через рыхлый слой. Эта неустойчивость может быть вызвана движением воздуха за ударной волной, волнами разрежения и давления, или комбинацией этих факторов.

В [7] описаны эксперименты, когда порошок насыпали в кювету таким образом, что верхняя поверхность слоя не выступала над стенкой канала. Фиксировались высота подъема отдельных частиц и высота верхней границы сплошного слоя за проходящей ударной волной. Авторы показали, что решающим фактором являются столкновения между частицами, которые приводят к росту шероховатости на поверхности подложки, разрыхлению засыпки и росту ее толщины, а затем к подъему порошка и образованию двухфазного слоя. Эти столкновения имеют место только в области, прилежащей к поверхности засыпки. После столкновения частицы начинают вращаться, и могут приобрести вертикальную скорость как в результате упругого отражения, так и под действием силы Магнуса. В рамках математической модели одиночных частиц приведены теоретические оценки вклада каждой из этих сил в динамику подъема. Подобрано значение входящей в математическую модель эмпирической константы, при котором полученное приближенное решение удовлетворительно описывает экспериментальные данные по зависимости высоты подъема частиц от времени.

В [8] экспериментально и численно исследовалось взаимодействие плоской ударной волны (число Маха УВ 1,38) с плотным слоем фреона, расположенным на дне рабочей секции ударной трубы. Численное моделирование проводилось в рамках уравнений Эйлера. На основе полученных результатов сделан вывод, что при взаимодействии скачка с плотным слоем около стенки за счет невязкого механизма создается сдвиговый слой. Он неустойчив и быстро сворачивается в трехмерный турбулентный слой смешения с различными масштабами перемешивания.

Подробное исследование влияния разности плотностей в турбулентном слое смешения двух газов на основе экспериментальных данных приводится в [9]. Здесь показано, что, независимо от соотношения плотностей газов, в слое смешения преобладают крупные структуры, которые переносятся с примерно постоянной скоростью и увеличиваются в размерах за счет объединения с соседними структурами. Проведены оценки скорости вовлечения на основе некоторых статистических параметров этих крупных структур.

Численное исследование когерентных динамических нелинейных структур в сверхзвуковых газовых струях проводилось в [10]. Анализ результатов позволил получить данные о структуре и поведении поверхностей раздела и ударных фронтов.

В [11], где проводится экспериментальное и теоретическое исследование эрозии пыли под действием ударной волны в воздухе, подъем пыли объясняется взаимодействием частиц со сдвиговым течением в пограничном слое. Поскольку примыкающий к движущейся ударной волне ламинарный пограничный слой очень тонкий, возникают большие градиенты скорости. Вследствие разницы скоростей в сдвиговом слое на частицы оказывает воздействие сила, получившая название «сила Саффмана». На основании исследований сделан вывод, что движущим механизмом подъема частиц с поверхности являются сила Саффмана и сила аэродинамического сопротивления.

Эти же авторы в [12] исследовали формирование облака частиц в турбулентном пограничном слое. Для математического описания турбулентного смешения слоя пыли с газом использовалась теоретическая модель [13], которая описывает процесс подъема пыли в рамках уравнения турбулентной диффузии. Численные расчеты, выполненные в рамках этой модели, согласуются с данными экспериментов по распределению концентрации частиц в потоке. Было установлено, что процесс формирования аэровзвеси в турбулентном течении ускоряется.

Влияние частиц на пристенную турбулентность экспериментально изучалось в [14]. Показано, что присутствие частиц на стенке аналогично действию неподвижной шероховатости. При этом на поверхности увеличиваются сдвиговые напряжения, средняя скорость снижается, и генерация турбулентности усиливается. Однако эксперимент показал, что этот эффект не значителен. Далее, взаимодействие частиц с пристенными структурами вызывает снижение частоты возникновения структур, а относительная величина напряжений Рейнольдса и турбулентной кинетической энергии структур существенно не изменяется. Это приводит к расслоению частиц, изменению характеристик структур и увеличению скалярной скорости переноса на стенке. Взаимодействие частиц взвеси вдали от стенки в работе не рассматривалось.

Для. обоснования результатов исследований сами экспериментаторы делали попытки теоретического описания процесса подъема пыли за проходящими ударными волнами.

Например, в [11], наряду с экспериментом, проводится теоретическое исследование эрозии пыли под действием ударной волны в рамках подхода одиночных частиц. Показано согласование с экспериментальными данными по высоте подъема пыли и характеристикам подъема на начальной стадии. Указано, что даже если сила Саффмана является не единственной силой, действующей на частицу в облаке непосредственно после прохождения УВ, то она будет определяющей на начальной стадии развития. Поскольку величина силы Саффмана быстро убывает с увеличением толщины пограничного слоя, а течение переходит от ламинарного режима к турбулентному, применимость используемой модели ограничена коротким промежутком времени, пока течение ламинарное и пограничный слой тонкий. Последующее развитие процесса обусловлено взаимодействием между турбулентным пограничным слоем и облаком пыли.

Аналитическое изучение устойчивости поверхности раздела «газ-жидкость» за скользящей вдоль нее ударной волной проведено в [15]. Исследование основано на применении к волнам на поверхности жидкости «энергетического принципа», согласно которому изменение энергии механической системы равно работе внешних сил за вычетом работы сил внутреннего сопротивления и диссипации энергии. За распространяющейся ударной волной внутри жидкого слоя возникает система волн сжатия и разрежения, приводящая к образованию поверхностной волны, которая, согласно принятой в работе гипотезе, представляет собой плоскую периодическую волну. В соответствии с полученными теоретическими результатами изменение формы поверхностной волны развивается следующим образом. В области ламинарного течения амплитуда поверхностных волн сначала нарастает, и затем, достигнув максимума, убывает. Переход от ламинарного к турбулентному течению в пограничном слое, образующемся около поверхности раздела газа и жидкости, меняет картину течения. По мере удаления от скачка могут реализовываться два вида колебательного движения: затухание колебаний, или же появление второго максимума амплитуды на поверхности контакта. Если величина максимальной амплитуды соизмерима с толщиной пленки, можно ожидать разрушения контактной границы. 

В [16] описаны эксперименты по нормальному и касательному взаимодействию ударных волн со слоем сыпучих веществ (полистирол, песок, плексиглас), лежащим на стенке ударной трубы. Сделан вывод, что этот процесс аналогичен взаимодействию У В с пористым сжимаемым материалом умеренной плотности. Для теоретического описания явления предложена модель, основанная на анализе движения насыпной среды как целого под воздействием приложенной нагрузки. Столбик мелких частиц представлялся эквивалентной механической системой с одной степенью свободы, состоящей из груза массой т и комбинации пластического и упругого элементов. Коэффициенты упругости и демпфирования, а также начальная скорость системы задавались на основе экспериментальных данных. Сравнение распределений давления на поверхности ударной трубы, полученных из опыта, и результатов расчета по предложенной модели показало хорошее согласование данных.

Таким образом, из обобщения экспериментальных и теоретических данных по подъему пыли за скользящей вдоль слоя ударной волной можно сделать следующие основные выводы:

1. В рамках ламинарного течения можно описать лишь начальную стадию процесса подъема частиц, при этом определяющими силами являются сила Саффмана и сила аэродинамического сопротивления.

2. Существенную роль в процессе подъема смеси играет система волн сжатия и разрежения внутри слоя частиц, которая формируется в результате искривления ударной волны вблизи контактной поверхности между чистым и запыленным газом и последующего отражения УВ от твердой поверхности и контактной границы.

3. При больших временах развития процесса основным механизмом перемешивания частиц становится формирование крупномасштабных вихрей в двухфазной смеси и турбулентная диффузия потока газа.

В настоящее время существуют два основных подхода для математического описания движения многофазных сред, которые можно условно назвать Эйлеров-Эйлеров и Эйлеров-Лагранжев. Модели, построенные на основе Эйлеров-Эйлерова подхода, называются многожидкостными, поскольку все фазы рассматриваются как взаимопроникающие континуумы, сосуществующие в каждой точке пространства. Каждая фаза описывается уравнениями континуальной механики.

В Эйлеров-Лагранжевом подходе несущая фаза описывается на основе уравнений континуальной механики, а каждая частица дисперсной фазы отслеживается отдельно. Применение этого метода, очевидно, ограничивается числом частиц, которые можно включить в рассмотрение. Частным случаем подхода является метод одиночных частиц, используемый при малых объемных концентрациях включений.

Многожидкостные модели для описания течений смеси газа и твердых частиц, использующие Эйлеров-Эйлеров подход, приведены, в частности, в [17]. Для описания движения газа применяются уравнения Навье-Стокса. Система уравнений для дисперсной фазы получается путем обобщения на систему частиц законов сохранения массы, импульса и энергии одной частицы. Проводится анализ устойчивости смеси к небольшим возмущениям в несущей фазе.

Другой пример использования Эйлеров-Эйлерова подхода представлен в [18], где для описания движения сжимаемой многофазной смеси с поверхностями раздела фаз используется неравновесная двухжидкостная модель, включающая шесть уравнений законов сохранения фаз. Для замыкания системы используется седьмое уравнение для объемной концентрации в неконсервативном виде. В предположении малости концентрации дисперсной фазы сделаны некоторые упрощения, позволившие получить систему гиперболического типа. Для дискретизации конвективных членов уравнений используется схема AUSM [19]. Турбулентность смеси газа и частиц моделируется на основе к - є модели турбулентности.

Развитием этого подхода явилась предложенная в [20] сжимаемая двухфазная модель из семи уравнений. В рамках этой модели многофазное течение рассматривается как многожидкостное с очень большим числом поверхностей раздела, описываемых при помощи неконсервативного уравнения для объемной концентрации. Для численной аппроксимации была разработана простая и точная схема, основанная на решении задачи о распаде разрыва, и предложена дискретизация конвективных членов уравнений для объемной концентрации, массы, момента и энергии.

Вышеописанные модели включают уравнения сохранения энергии и уравнения движения для каждой фазы. Такие модели называются неравновесными, поскольку они учитывают релаксационные процессы между фазами. При небольших радиусах дисперсной фазы используется равновесное приближение, в котором взаимодействием между фазами можно пренебречь. Такие модели называются также одножидкостными, поскольку в данном случае смесь представляет собой псевдогаз.

Использование континуальных уравнений для описания динамики многофазных сред связано с определенными проблемами, одна из которых описана в [21]. В равновесном приближении движение сжимаемой невязкой многофазной среды описывается уравнениями Эйлера, дополненными уравнениями для объемных концентраций каждой фазы. Система имеет гиперболический тип. Для наилучшего описания течений с разрывами необходимо использовать консервативную форму гиперболических уравнений.

Однако если в течении имеются сильные контактные разрывы, использование консервативной формы записи уравнений приводит к появлению осцилляции около контактных поверхностей.

Известно [22], что большинство классических методов генерирует искусственную диффузию на контактных разрывах, которая приводит к нефизичному перемешиванию жидкостей на поверхности раздела. В этой области расчет давления и температуры становится затрудненным. Когда изменения плотности не велики, схемы дают небольшую погрешность расчетов. Но в случае сильно отличающихся плотностей методы, основанные на консервативном представлении уравнений Эйлера, могут привести к разрушению численного решения в течение нескольких временных шагов.

Так как на поверхности раздела двух фаз погрешность от применения неконсервативного подхода незначительна, в [21] был предложен метод, основанный на использовании такой неконсервативной формы уравнений. Вблизи поверхностей раздела система сведена к уравнениям линейной адвекции градиентов плотности и температуры. Построенная схема не дает значительных ошибок.

Схемы, базирующиеся на точном решении задачи Римана для многокомпонентной среды, и обеспечивающие монотонность и положительный знак массовой концентрации фаз, были предложены в [22, 23]. Они не дают осцилляции в распределении давления на контактной границе и способны рассчитывать сильные разрывные фронты.

Таким образом, анализ работ по численному моделированию ударно-волновых процессов в смесях газа и частиц показал, что наиболее популярными являются следующие математические модели:

1. Модель одиночных частиц под действием различных сил (аэродинамического сопротивления, Саффмана, тяжести, аэродинамической интерференции и т.д.);

2. Модели механики гетерогенных сред с учетом турбулентной диффузии частиц в поле течения газа;

3. Неравновесные модели механики гетерогенных сред с учетом разности в скоростях и температурах фаз, а также взаимного влияния компонентов.

Асимптотическое и численное исследование пограничного слоя за проходящей по смеси газа с частицами ударной волной с учетом силы Саффмана проводилось в [24]. Показано, что. перемещение частиц в пограничном слое приводит к пересечению их траекторий.

В работе [25] представлены результаты теоретических исследований траекторий твердых частиц, поднимающихся с горизонтальной плоскости после прохождения над ней слабой УВ. Получено хорошее количественное согласование с некоторыми экспериментальными данными. Для описания основного течения используется математическая модель пограничного слоя. Частица приобретает подъемную силу за счет силы Саффмана. После прохождения УВ подъемная сила уменьшается, и частица, входя в утолщающийся пограничный слой, движется вниз. Сделан вывод, что описание подъема частицы на основе учета силы Саффмана для сферы в сдвиговом потоке дает хорошее согласование с экспериментальными данными по траекториям движения частиц в пограничном слое за фронтом проходящей УВ.

Предложенный в экспериментальных работах [3—5] механизм подъема пыли за ударной волной исследован в [26] методами численного моделирования. Основываясь на результатах предыдущих работ, автор предполагает, что при движении ударной волны по слою частиц формируются вихревые структуры, похожие на те, что возникают при взаимодействии скользящих ударных волн с термальным или жидким слоями. Полученная картина течения представляет интерес с точка зрения особенностей поведения ударной волны внутри слоя и над его поверхностью. Здесь также наблюдается развитие неустойчивости поверхности слоя и возникновение вихревых структур, приводящих к подъему вещества из слоя и перемешиванию газов.

В работе [27] задача о распространении УВ по каналу, на дне которого находится слой частиц мела или бронзы, численно решена в рамках подхода Эйлера-Лагранжа. Выписаны уравнения движения для каждой фазы, для замыкания используется уравнение состояния идеального газа и соотношения для сил межфазного взаимодействия и теплообмена. Для расчета газовой фазы используется схема Годунова. Рассчитывается положение ячейки, параметры частиц в «лагранжевых» ячейках, затем пересчитаваются параметры частиц в «эйлеровых» ячейках. На некотором расстоянии за ударной волной толщина слоя не увеличивается, что трактуется как задержка подъема пыли.

В [28] было численно исследовано поле течения в пограничном слое, возникающем за ударной волной, идущей над слоем пыли. В работе выводятся уравнения для турбулентного пограничного слоя смеси пыли и газа с градиентом давления за ударной волной на основе модели дискретных частиц. На профиле концентрации частиц в поперечном направлении наблюдалось два пика в распределении: один около стенки, другой — в верхней части погранслоя. Такое распределение в сопутствующем потоке связывалось с действием подъемных сдвиговых сил и эффектом турбулентной диффузии. Для моделирования турбулентности газовой фазы использовалась модель Себеси-Смита пути смешения. На основании полученных профилей погранслоев газовой и твердой фазы было установлено, что размер пылевого погранслоя больше, чем газового. 

В [29] на основе численных методов второго порядка точности исследуется влияние частиц на турбулентность. Хотя концентрация частиц в жидкости есть величина скалярная, ее поведение сильно отличается от поведения остальных скалярных величин из-за инерционности и эффекта пересечения траекторий. Влияние последнего сводится к уменьшению дисперсии частиц, в то время как влияние инерционности частиц не столь очевидно. В работе проводится исследование этих факторов на основе модельных уравнений второго порядка в условиях малой концентрации частиц и в предположении малости временного масштаба по отношению к масштабу длины. Расчеты показали, что эффект пересечения траекторий оказывает более значительное влияние, чем инерционность частиц. Было обнаружено, что увеличение инертности частиц увеличивает пульсации концентрации частиц.

Таким образом, на основе проведенного обзора можно сделать вывод, что» хотя на данный момент имеется множество работ по моделированию подъема пыли за проходящими ударными волнами, механизм этого явления до конца не известен и нет модели, которая бы описывала все стадии процесса. Представляется целесообразным использование Эйлеров-Эйлерова подхода для описания поведения смеси, поскольку при этом расчет обеих фаз проводится на основе уравнений одного типа. Для численного моделирования проблемы необходимо выбрать метод, достаточно точно описывающий поведение контактных границ, и провести его тестирование и верификацию.

Одним из ключевых вопросов, возникающих при описании поведения смеси, является проблема моделирования турбулентности. Учет турбулентности при исследовании газовзвесей может существенно изменить картину течения. При изучении динамических процессов в смесях необходимо знать, какое влияние частицы оказывают на турбулентность газа, а также определять эффекты воздействия турбулентности газа на поведение частиц.

В [30,31] приводится классификация существующих к настоящему времени методов расчета турбулентных двухфазных дисперсных потоков на основе Эйлеров-Лагранжева и Эйлеров-Эйлерова подходов.

В рамках Эйлеров-Лагранжева подхода учет случайного характера частиц, обусловленного взаимодействием с турбулентными пульсациями несущего потока, сводится к интегрированию динамических стохастических уравнений вдоль индивидуальных траекторий с последующим осреднением по ансамблю начальных данных. Для получения статистически достоверной информации необходимо использовать достаточно представительный ансамбль реализаций, что приводит к существенному увеличению объема вычислений. С уменьшением размера частиц число реализаций, необходимое для получения статистически верных осредненных характеристик, возрастает, так как увеличивается вклад взаимодействия частиц с вихрями все меньших размеров. Поэтому применение стохастического моделирования динамики отдельных частиц целесообразно для относительно инерционных частиц. Для «плотных» частиц оправдано лагранжево описание движения и теплообмена дисперсной фазы в турбулентном потоке на основе решения уравнений только для средних величин, т.е. без учета взаимодействия со случайными полями пульсаций скорости и температуры сплошной фазы. Для высококонцентрированных дисперсных потоков динамическое лагранжево описание затруднено из-за «запутанности» траекторий при учете столкновения частиц, а также из-за изменения их числа в результате коагуляции, дробления и т.д.

В рамках этого подхода выполнены работы [32—38].

В [32] развита теоретическая модель, объясняющая поперечный перенос частиц в турбулентных течениях разбавленных суспензий. Модель основана на способности (или неспособности) частиц отвечать на локальные движения окружающей среды, которая зависит от размера частиц, их плотности, изменений концентрации частиц в поперечном направлении и параметров турбулентных структур жидкости. Предлагаемая модель выведена путем разделения поперечной скорости жидкости на две компоненты, испытывающие взаимное влияние, и представляющие соответственно флуктуации скорости и локальную скорость сдвига. В [33] отмечено, что многие предшествующие исследования основаны на классификации, принятой для однофазных течений. В этом случае поле течения разделяется на две фиксированные области: область ядра, управляемую - турбулентной диффузией, и квазиламинарную область, контролируемую осредненным движением. Предполагается, что в области турбулентного ядра движение частиц полностью описывается турбулентными пульсациями жидкости, и частицы переносятся тем же способом, что и скалярная примесь переносится турбулентной диффузией. В области квазйламинарного течения частицы переносятся за счет средней скорости движения жидкости вследствие действия силы сопротивления частиц. Но результаты вычислений осаждения частиц по этой схеме на четыре порядка отличаются от измерений, что явилось серьезным основанием для пересмотра принятых в этой схеме физических допущений.

Поэтому в [33] был проведен анализ на основе концепции частотного ответа частиц на осциллирующее поле течения, впервые развитой в [34]. Было показано, что в турбулентном ядре правомочность допущения о переносе частиц за счет турбулентной диффузии может зависеть от величины отношения амплитуд осцилляции частиц и вихревого движения жидкости. Также было отмечено, что в квази лами парном режиме переноса частиц необходимо учитывать не только вязкое сопротивление, но и подъемную силу Саффмана.

В более ранних работах авторов [32, 33] по аналогии с однофазными течениями положение границы раздела было получено как функция размера частиц, свойств течения и физических параметров среды. Некоторые следствия этой теории показали только качественное улучшение результатов по сравнению с предыдущими теориями для экспериментальных измерений скорости двухфазных течений. Поэтому была сформулирована новая теория, учитывающая турбулентную структуру жидкой фазы. При выводе предполагалось, что поперечная скорость частиц осциллирует с частотой, связанной со средней энергией турбулентного спектра. Предложенная теория дала хорошее совпадение с экспериментальными данными в широком диапазоне физических параметров течения.

В [35] на основе лагранжева подхода моделируется осаждения частиц в турбулентном канале. Неоднородная турбулентность в пограничном слое вводится с помощью дискретного вихревого поля, выведенного в предположении вероятностного распределения нормальных скоростей и временных масштабов. Средние скорости в направлении основного течения наложены на турбулентное поле с использованием соотношения закона стенки. Профили турбулентной скорости и временные масштабы получены из экспериментальных данных. В уравнении движения частиц учитывается сила Стокса и сила Саффмана. Уравнения были решены численно для различных времен релаксации частиц и отношений плотностей частиц и жидкости. Полученная скорость отложения хорошо согласуется с экспериментальными данными. Было предсказано уменьшение скорости отложения для больших частиц из-за снижения их пульсационной скорости. Предсказанные скорости частиц хорошо совпадают с экспериментальными данными, показывающими убывание амплитуды с увеличением инерции.

Авторы [36] проводили сравнение подходов Эйлера и Лагранжа к моделированию турбулентных течений смеси газа и частиц. Наряду с этим рассматривались два важных аспекта взаимодействия частиц и жидкости: турбулентная дисперсия частиц (влияние турбулентности газовой фазы на частицы) и влияние «модуляции» (влияние частиц на турбулентность газовой фазы). Для непрерывной фазы в обоих подходах используются одинаковые уравнения непрерывности и моментов. Отличаются лишь выражения для силы межфазного взаимодействия. Для дисперсной фазы в подходе Эйлера выписываются уравнения как для континуума, Лагранжев подход заключается в отслеживании достаточно большого числа траекторий частиц. Для адекватной оценки взаимодействия турбулентности и частиц предприняты попытки обобщения однофазных моделей турбулентности, в частности к - є модель. Обратное влияние небольшого числа частиц на турбулентность учитывается с помощью дополнительных диссипативных членов в уравнениях для к и є. В подходе Лагранжа отслеживается путь частицы по непрерывной последовательности турбулентных вихрей, наложенных на среднее течение непрерывной фазы. Для этого необходимо знание всей предыстории турбулентного течения, полученной прямым моделированием из решения неосредненных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Так как это в большинстве случаев невозможно, то турбулентность моделируется стохастическим методом, средние же значения определяются из уравнений непрерывности и моментов. На основе полученных результатов был сделан вывод, что Эйлеров-Эйлеров подход является более экономичным и дает лучший результат для твердых частиц диаметром d , 200 мкм в случае малых концентраций. Для смесей же газа и частиц, размер которых изменяется вдоль траектории, т.е. предположение о монодисперсности не выполняется,

-единственно возможным является применение подхода Эйлера-Лагранжа.

В [37] описана дисперсия твердых частиц в турбулентном потоке. Движение частиц в заданном поле турбулентного течения несущей фазы моделируется в приближении Лагранжа. Траектории движения жидкой и дискретной частиц строятся совместно. При расчете флуктуации скорости жидкой частицы вводится матрица корреляций, получаемая из статистических характеристик течения смеси. Траектория частиц определяется на основе уравнения движения. Эффект пересечения траекторий учитывается путем корректировки поведения жидкой частицы на каждом шаге по времени. Влияние частиц на турбулентность несущей фазы описывается дополнительными источниковыми членами в уравнениях к-є модели. В работе изучено взаимовлияние частиц и турбулентности и получено хорошее согласование результатов расчета по предложенной методике с экспериментальными и теоретическими данными разных авторов.

Работа [38] посвящена численному исследованию двухфазного нестационарного течения в слое смешения с учетом влияния крупномасштабных структур. Использовался комбинированный Эйлеров-Лагранжев подход. Моделирование поля течения газа, который предполагался несжимаемым, состояло из двух этапов: вначале рассчитывалось распределение средних скоростей, на которое затем накладывались возмущения. Массовыми силами, взаимодействием частиц и их обратным влиянием на газ пренебрегалось. Расчеты дисперсии частиц проводились в двух- и трехмерной постановке. В результате были получены данные о распределении частиц в слое, их взаимодействии с вихрями, пульсациях концентрации и диффузионных характеристиках. В частности, показано, что дисперсия частиц определяется, прежде всего, двумерными крупномасштабными структурами. 

В [39] указано, что недостатком подхода Эйлера является необходимость задания некоторых эффективных коэффициентов для псевдогаза (запыленного газа), что приводит к необходимости «настройки» модели на конкретный вид течений. Слабым местом является также моделирование взаимодействия частиц со стенкой. В работе использовалась простая модель для описания стационарного течения газа с твердыми сферическими частицами без учета тепло- и массообмена между фазами. Для моделирования турбулентной диффузии частиц мгновенная скорость несущего газа представлялась в виде суммы местной средней скорости и некоторой флуктуации, которая выбирается случайным образом из нормального вероятностного распределения с дисперсией, отвечающей значению турбулентной энергии. Предполагается, что выбранная флуктуация неизменна внутри вихря в течение времени его жизни. Как только время жизни истекает или частица покидает вихрь, выбирается новая случайная флуктуация. Выписаны стационарные уравнения Эйлера для среднего движения с обменными членами. Показана работоспособность модели пробных частиц при сравнительно высокой массовой загрузке потока.

Эйлеров-Эйлеров подход к моделированию турбулентности основан на континуальном представлении уравнений движения и энергии обеих фаз. Преимуществом этого метода является использование уравнений одного типа для моделирования движения обеих фаз.

В рамках двухжидкостного подхода для моделирования турбулентности используют алгебраические модели пути смешения Прандтля, Кармана и Ван-Дриста. Простейшими среди алгебраических моделей являются локально-равновесные модели, в которых турбулентные напряжения дисперсной фазы непосредственно связываются с напряжениями Рейнольдса несущей фазы, а турбулентный тепловой поток дисперсной фазы— с турбулентным потоком непрерывной фазы.

Более сложные модели используют алгебраические выражения градиентного типа в форме соотношений Буссинеска и Фурье-Фика. Такие модели основаны на аналогии с соответствующими характеристиками в однофазном потоке и содержат ряд дополнительных эмпирических постоянных. Модели с алгебраическими выражениями для вторых моментов справедливы только для мелких частиц и могут приводить к существенным ошибкам при расчете характеристик достаточно инерционных частиц, особенно в пристенной области течения.

Наряду с алгебраическими, все большее применение находят дифференциальные модели, основанные на уравнениях баланса турбулентной энергии или вторых моментов пульсаций скорости и температуры частиц, либо на уравнениях переноса характеристик турбулентности. Применение дифференциальных моделей целесообразно для расчета существенно неравновесных потоков, характеризующихся большими градиентами параметров. Если при использовании алгебраических моделей для описания таких процессов надо вводить дополнительные релаксационные члены, то дифференциальные модели, включающие конвективные и диффузионные слагаемые, автоматически учитывают эффекты неравновесности. В рамках этих моделей процессы вовлечения частиц в турбулентное движение и обратное влияние частиц на турбулентность несущей фазы описываются без привлечения дополнительных эвристических предположений, которые требуются в рамках алгебраических моделей.

Присутствие дисперсной примеси может оказывать существенное влияние на процессы переноса импульса и теплоты. Изучение этой проблемы особенно осложняется из-за порождения и диссипации турбулентности, непрерывно происходящей в окрестности каждой частицы. Большое число определяющих факторов, наличие разнообразных режимов течения затрудняют даже простейшую классификацию гетерогенных потоков, а, следовательно, и построение физических и математических моделей взаимодействия в системе «газовый (несущий) поток — частица в жидком или твердом состоянии». Без знания этих физических механизмов и области их влияния не представляется возможным создание методов расчета теплообмена между телом и обтекающим его гетерогенным потоком.

В [40] разработана модель, позволяющая наряду с конвективным переносом и диффузией учесть инерционные эффекты. Уравнения переноса частиц в предположении малых отклонений скоростей дисперсной фазы от скорости газа редуцируются к одному уравнению для концентрации. Используются уравнения движения газодисперсной системы в рамках теории взаимопроникающих сред с учетом горения. После проведения осреднения Фавра по реализациям турбулентного процесса и из анализа движения частицы в гауссовом случайном поле определяется полный поток твердой фазы, который включает, помимо переноса со средней скоростью несущей фазы и турбулентной диффузии, дополнительный член конвективного типа, учитывающий ряд инерционных эффектов.

В [41] проводится апробация этой модели и сопоставление результатов численного моделирования топочных процессов. Так как частицы, представляющие дисперсную фазу топки, достаточно мелкие, то авторы считают целесообразным применение эйлерова подхода, в рамках которого простейшей является диффузионная модель. Она основана на применении обычного уравнения диффузии для описания распространения частиц и справедлива, строго говоря, в предельном случае безынерционных частиц. В пристенной области применение этой модели может привести к существенным погрешностям, так как здесь скорость потока и временной масштаб турбулентности уменьшаются и частицы становятся относительно более инерционными. Поэтому была использована также диффузионно-инерционная модель, учитывающая эффекты инерционности. В работе сравниваются результаты применения двух моделей. Главный вывод [40, 41] заключается в том, что результаты, полученные с использованием диффузионно-инерционной модели, несколько лучше согласуются с экспериментальными данными, чем полученные с помощью чисто диффузионной модели.

Двухпараметрическая модель турбулентности для двухфазных течений разработана в [42]. Целью работы являлось создание модели турбулентности, которая учитывала бы взаимодействие между фазами. Предполатается, что частицы сферические и одного размера, столкновение частиц не учитывается вследствие их малой концентрации, обе фазы ведут себя как континуумы на макроскопическом уровне, и только несущая жидкая фаза континуальна на микроскопическом уровне. Это значит, что осреднение уравнений проводится на основе контрольного объема, который больше, чем размер частицы, но значительно меньше характерного объема течения. Также учитывается взаимное проникновение фаз. Уравнения для среднего импульса несущей и дисперсной фазы, а также уравнение неразрывности для средних величин дисперсной фазы и уравнение неразрывности для параметров смеси в целом получены из уравнения законов сохранения массы и импульса каждой фазы осреднением по Рейнольдсу. Замыкание уравнений импульса каждой фазы проводится на основе стандартных методов. Выписаны уравнения для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации для каждой фазы, в которых пренебрегают корреляциями четвертого порядка. С целью валидации модели результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными для двухфазной струи круглого сечения. Сопоставление проводится по средней осевой скорости, турбулентным сдвиговым напряжениям и распределениям интенсивности турбулентности. Большая часть данных хорошо согласуется с экспериментом. Показано, что присутствие частиц приводит к снижению интенсивности турбулентности и турбулентных напряжений из-за повышенной диссипации турбулентной кинетической энергии, обусловленной корреляцией пульсаций скорости жидкости и относительной скорости несущей и дисперсной фазы.

При мелких размерах частиц использование двухжидкостного приближения является нецелесообразным. Кроме того, решение уравнений движения и теплопереноса связано с определенными трудностями, так как они содержат малые параметры тми г, перед дифференциальными членами. В этом случае уравнения переноса дисперсной фазы сводятся к одному уравнению диффузионного типа относительно концентрации частиц, решение которого представляет более простую задачу. В предельном случае очень мелких частиц это уравнение переходит в уравнение диффузии пассивной примеси. Гидродинамический расчет двухфазного потока, содержащего мелкодисперсную примесь, может быть выполнен в рамках односкоростного приближения на основе диффузной и диффузно-инерционной моделей.

В [43] проводится исследование влияния мелкодисперсной примеси на интенсивность турбулентности несущего потока в трубе. В зависимости от инерционности и концентрации частицы могут оказывать как ламинаризующее, так и турбулизующее воздействие на турбулентное течение. Мелкие частицы в результате тормозящего воздействия, связанного с неполнотой их вовлечения в пульсационное движение газа, вызывают дополнительную диссипацию и уменьшение интенсивности турбулентных пульсаций. С увеличением инерционности частиц этот механизм перестает играть существенную роль. В качестве механизма генерации турбулентности выступает образование следа вследствие отрыва потока за обтекаемой крупной частицей. На турбулентные характеристики может влиять диффузионный турбулентный перенос частиц, обусловленный неравномерностью распределения дисперсной фазы в пространстве.

Целью [44] является изучение влияния размеров частиц на структуру течения примеси и ее воздействие на обтекаемую поверхность на примере течения около цилиндра, расположенного поперек потока. Кинетическая модель для разреженной примеси и метод прямого статистического моделирования, разработанный для описания движения монодисперсной примеси твердых частиц, обобщен на случай полидисперсньтх частиц. Распределение частиц по размерам описано функцией распределения концентрации примеси по радиусам частиц. При расчете движения частиц учитываются аэродинамическая сила, сила Магнуса и демпфирующий момент. Обратным влиянием частиц на несущий поток пренебрегается. Для расчета неупругого отскока частицы от поверхности используется модель [45]. Гидродинамическое взаимодействие между частицами не учитывается. Скорости частиц после их парного столкновения определяются из классической теории удара недеформируемых вращающихся сфер с использованием коэффициентов восстановления для нормальной и касательной составляющей скорости относительной точки контакта частиц до и после столкновения, которые характеризуют потери кинетической энергии частиц. Рассматривается движение примеси частиц электрокорунда в потенциальном поле течения несжимаемого несущего газа (воздух, скорость 100 м/с) около стального цилиндра радиусом 1 м. Варьировались начальная концентрация, радиус частиц и параметр, характеризующий дисперсию частиц. Показано, что аэродинамическое и эрозионное воздействие примеси на лобовую поверхность цилиндра слабо зависит от параметра дисперсии. 

При моделировании процессов в многофазных средах, как уже было сказано выше, важен выбор численного метода расчета. Поэтому для проверки работоспособности алгоритма расчета необходимо его тестирование. Но если в задачах газодинамики сравнение с точным решением в некоторых случаях является возможным, то в задачах механики гетерогенных сред это представляет определенные трудности. Поэтому доказательство адекватности расчетов описываемому явлению проводится на основе сравнения с экспериментальными данными.

В настоящей работе верификация проводилась как на основе экспериментов в гетерогенных смесях, так и на результатах газодинамических опытов, в частности, на задаче о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем.

В сжимаемом пограничном слое плотность среды переменна, и, следовательно, эта задача позволяет верифицировать численную схему и модель турбулентности, используемую в дальнейшем для предсказания ударно-волновых процессов в неоднородных средах.

Кроме того, задача о взаимодействии косого скачка с турбулентным слоем на пластине представляет собственный интерес. Адекватное описание взаимодействия пограничного слоя с внешним градиентом давления, и особенно, где в результате такого взаимодействия происходит отрыв пограничного слоя, является важным для инженерных приложений, поскольку такие проблемы часто встречаются на практике. При этом необходимо количественно точно моделировать как вязкие, так и невязкие процессы, так как возникновение отрыва есть результат вязко-невязкого взаимодействия. При этом необходимо учитывать, что оба механизма оказывают друг на друга нелинейное воздействие.

Процесс взаимодействия ударной волны с пограничным слоем изучен достаточно хорошо [46—52]. Известно, что динамические и тепловые нагрузки, возникающие вследствие такого взаимодействия, как правило, являются критическими для летательного аппарата. Важным аспектом при рассмотрении взаимодействия скачка с пограничным слоем является проблема теплообмена [52]. При падении на поверхность ударной волны и возникновении отрыва распределение теплового потока на поверхности может стать существенно неравномерным. Максимумы тепловых потоков представляют серьезную опасность для конструкции летательного аппарата, поэтому их определение важно для практических приложений. До сих пор предсказание поведения теплообмена при помощи существующих численных методов и моделей турбулентности представляет определенные трудности.

На основании вышеизложенного можно констатировать, что численное предсказание картины течения, реализующейся при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем, по-прежнему является актуальной задачей. Таким образом, целями работы являются

? Разработка физико-математической модели для описания взаимодействия ударных волн с неоднородностями среды;

? Разработка и реализация высокоточных методов расчета задач волновой динамики в неоднородных средах;

? Верификация математических моделей и методов расчета на основе сравнения численных результатов с точными решениями и экспериментальными данными;

? Выявление механизмов перемешивания на контактной границе между плотным слоем и чистым газом;

Исследование влияния различных факторов (степени загрузки потока, турбулентности газовой фазы, геометрических параметров) на параметры смеси в зоне взаимодействия.

Новизна работы состоит в следующем:

? Определена волновая картина течения в облаке пыли вблизи поверхности и на ее основе— критерии регулярного и нерегулярного отражения лидирующего скачка от поверхности;

? Верифицирована предложенная математическая модель на основе экспериментальных данных по зависимостям времени задержки подъема пыли от числа Маха ударной волны, распределениям давления в зависимости от времени на дне ударной трубы;

? Выявлены три механизма перемешивания пылевых слоем под действием высокоскоростных высокотемпературных потоков газа, возникающих при прохождении ударных волн над слоем мелкодисперсной пыли: (1) за счет нестационарного вихревого образования на передней кромке слоя, (2) вследствие искривления ударной волны вблизи подложки и возникновения области с положительной поперечной скоростью, (3) последующее развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца сдвигового слоя;

? Модифицированы и реализованы современные высокоточные численные методы расчета гомогенных и гетерогенных течений, такие как TVD- и CIP-схемы, в приложении к исследуемым задачам о взаимодействии ударных волн с неоднородными средами.

Достоверность полученных результатов подтверждается

? использованием апробированных методов механики сплошных и гетерогенных сред, численных методов расчета задач газовой динамики и механики гетерогенных сред;

? верификацией результатов расчета на основе сравнения с имеющимися экспериментальными данными;

? тестированием численных алгоритмов на точных решениях; проверкой сходимости численных методов на последовательностях сгущающихся сеток.

Практическое приложение

В задаче о прохождении ударной волны над смесью газа и твердых частиц проанализирована возникающая волновая картина течения, выявлены критерии возникновения регулярного и маховского отражения лидирующей ударной волны внутри слоя и описаны возможные сценарии реализации течения, возникающего при взаимодействии плоской ударной волны со слоем пыли.

Результаты расчета задачи о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем позволили получить параметры течения, возникающего при отрыве турбулентного пограничного слоя в результате взаимодействия его с косым скачком и провести верификацию математической модели на основе экспериментальных данных. Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе выписаны математические модели, используемые в работе для решения задач волновой динамики гомогенных и гетерогенных сред, с учетом вязкости, теплопроводности и турбулентности среды. Также приведено описание нескольких численных схем повышенного порядка аппроксимации, применяющихся для расчета задач о взаимодействии ударных волн с плотными и пограничными слоями.

Изучение течения за ударной волной в слое пыли, лежащем на твердой стенке, проводится на основе математической модели механики гетерогенных сред, которая включает систему законов сохранения для каждой фазы. В равновесном приближении эта система представляет собой уравнения газовой динамики, записанные относительно параметров смеси, дополненные уравнением переноса для объемной концентрации частиц и уравнением состояния специального вида. Для моделирования турбулентности в работе применяются осредненные уравнения Навье-Стокса, дополненные к — со моделью турбулентности.

Поскольку, как упоминалось выше, для расчета необходимо выбрать метод, который бы удовлетворительно предсказывал поведение ударных волн и контактных границ, в первой главе приводятся несколько современных высокоточных численных методов решения задач волновой динамики гомогенных и гетерогенных сред.

Вторая глава посвящена верификации и тестированию математических моделей и численных методов, используемых в работе для расчета задачи о подъеме пыли с поверхности. Тестирование нескольких TVD-схем, основанных на расщеплении векторов потока по физическим процессам, методе Ван Лира, противопотоковом методе расщепления, и метода CIP, проводится на основе классических тестов, имеющихся в литературе. Также представлен сравнительный анализ перечисленных методов. На основании этого анализа сделан вывод о преимуществах метода CIP при расчете задач, включающих разрывные и контактные фронты.

Для проверки алгоритма расчета уравнений вязких теплопроводных турбулентных течений, используемых в дальнейшем для расчета задачи механики гетерогенных сред, проводится его верификация на основе исследования взаимодействия косой ударной волны с турбулентным пограничным слоем на пластине при числе Маха набегающего потока 5.

В работе исследуются как случаи безотрывного взаимодействия, так и взаимодействие с небольшой и крупномасштабной отрывной зоной. Конфигурация течения зависит от угла падения ударной волны на пластину. Сравнительный анализ данных расчета и эксперимента по распределениям интегральных параметров, давления, коэффициента поверхностного трения на пластине, а также профилям средней скорости, плотности и температуры показал хорошее совпадение по всему комплексу данных.

Было замечено, что поведение числа Стантона, характеризующего величину теплообмена, при интенсивном взаимодействии предсказывается плохо. Была выдвинута гипотеза, что расхождение данных связано с нестационарностью отрывного скачка, имеющей место в эксперименте. Поэтому были проведены параметрические расчеты, учитывающие влияние нестационарности отрывного скачка и показано, что учет этого фактора позволяет улучшить предсказание поведения теплообмена за точкой присоединения и коэффициента трения в районе точки отрыва.

Для проверки разрешающих свойств метода CIP при решении задач механики гетерогенных проведен расчет распространения стационарной ударной волны по смеси газа с частицами в рамках неравновесного подхода. Эти результаты, а также тестовые расчеты задачи о распаде разрыва, показали хорошее предсказание поведения контактных разрывов методом CIP.

Третья глава посвящена расчету задачи о взаимодействии ударной волны со слоем смеси, лежащим на твердой поверхности, в равновесном приближении. Численное моделирование проводилось как в рамках невязкого подхода, так и на основе нестационарных осредненных уравнений Навье-Стокса, дополненных уравнением для объемной концентрации частиц. Расчет проводился при помощи разных численных схем, описание которых приведено в главе 1.

Представлено исследование лобового столкновения ударной волны о слой, расположенный около стенки, что является одномерным аналогом исследуемой задачи. Анализ картины течения позволил выявить образование системы отраженных волн сжатия и разрежения, возникающей между стенкой и контактной границей вследствие искривления лидирующей волны внутри слоя.

Для учета реальных физических факторов был проведен расчет проблемы в рамках двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной турбулентной смеси. На основе этого расчета была получена волновая картина течения и выявлены два возможных механизма отражения ударной волны от подложки: регулярный и нерегулярный. 

Также для учета физических эффектов было проведено сравнение результатов расчета турбулентного и ламинарного течения смеси. Найдено, что основная разница между этими двумя случаями заключается в форме головного вихря, а также небольшой количественной разнице всех параметров вблизи стенки, что можно объяснить наличием дополнительной турбулентной вязкости, максимум которой приходится на пристенную область.

Математическая модель и метод расчета были верифицированы на основе экспериментальных данных авторов [2, 16, 53], по взаимодействия ударной волны со слоем пыли в одно- и двумерной постановках. Получено хорошее качественное соответствие результатов по распределению давления на поверхности пластины. В расчетах улавливается первый пик давления, связанный с приходом ударной волны на стенку, и уровень давления, устанавливающийся после взаимодействия.

В заключении сформулированы основные результаты и сделаны выводы по работе.

Диссертация изложена на 125 страницах, включает библиографический список из 105 наименований работ. Апробация

Основные результаты работы опубликованы в печати [54—72] и докладывались на семинарах под руководством чл.-корр. РАН Фомина В.М. (ИТПМ СО РАН), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (г. Красноярск, 1999), международном семинаре «Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах» (Санкт-Петербург, 21—23 июня 2000 г.), молодежной научной конференции, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 25—26 декабря 2000 г.), Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 29—31 октября 2001 г.), XII Всероссийском семинаре «Динамика Многофазных Сред» (Новосибирск, 19—21 декабря 2001 г.), Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 24—29 июня 2001 г.), Международной конференции по методам аэрофизического эксперимента ICMAR (Новосибирск, 9—16 июля 2000, 3—7 июля 2002, 28 июня—4 июля 2004), XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко», Third International Conference on Computational Fluid Dynamics (Toronto, Canada, 12—16 July, 2004).  

Математическая модель неравновесной механики гетерогенных сред

Авторы [36] проводили сравнение подходов Эйлера и Лагранжа к моделированию турбулентных течений смеси газа и частиц. Наряду с этим рассматривались два важных аспекта взаимодействия частиц и жидкости: турбулентная дисперсия частиц (влияние турбулентности газовой фазы на частицы) и влияние «модуляции» (влияние частиц на турбулентность газовой фазы). Для непрерывной фазы в обоих подходах используются одинаковые уравнения непрерывности и моментов. Отличаются лишь выражения для силы межфазного взаимодействия. Для дисперсной фазы в подходе Эйлера выписываются уравнения как для континуума, Лагранжев подход заключается в отслеживании достаточно большого числа траекторий частиц. Для адекватной оценки взаимодействия турбулентности и частиц предприняты попытки обобщения однофазных моделей турбулентности, в частности к - є модель. Обратное влияние небольшого числа частиц на турбулентность учитывается с помощью дополнительных диссипативных членов в уравнениях для к и є. В подходе Лагранжа отслеживается путь частицы по непрерывной последовательности турбулентных вихрей, наложенных на среднее течение непрерывной фазы. Для этого необходимо знание всей предыстории турбулентного течения, полученной прямым моделированием из решения неосредненных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Так как это в большинстве случаев невозможно, то турбулентность моделируется стохастическим методом, средние же значения определяются из уравнений непрерывности и моментов. На основе полученных результатов был сделан вывод, что Эйлеров-Эйлеров подход является более экономичным и дает лучший результат для твердых частиц диаметром d , 200 мкм в случае малых концентраций. Для смесей же газа и частиц, размер которых изменяется вдоль траектории, т.е. предположение о монодисперсности не выполняется, -единственно возможным является применение подхода Эйлера-Лагранжа.

В [37] описана дисперсия твердых частиц в турбулентном потоке. Движение частиц в заданном поле турбулентного течения несущей фазы моделируется в приближении Лагранжа. Траектории движения жидкой и дискретной частиц строятся совместно. При расчете флуктуации скорости жидкой частицы вводится матрица корреляций, получаемая из статистических характеристик течения смеси. Траектория частиц определяется на основе уравнения движения. Эффект пересечения траекторий учитывается путем корректировки поведения жидкой частицы на каждом шаге по времени. Влияние частиц на турбулентность несущей фазы описывается дополнительными источниковыми членами в уравнениях к-є модели. В работе изучено взаимовлияние частиц и турбулентности и получено хорошее согласование результатов расчета по предложенной методике с экспериментальными и теоретическими данными разных авторов.

Работа [38] посвящена численному исследованию двухфазного нестационарного течения в слое смешения с учетом влияния крупномасштабных структур. Использовался комбинированный Эйлеров-Лагранжев подход. Моделирование поля течения газа, который предполагался несжимаемым, состояло из двух этапов: вначале рассчитывалось распределение средних скоростей, на которое затем накладывались возмущения. Массовыми силами, взаимодействием частиц и их обратным влиянием на газ пренебрегалось. Расчеты дисперсии частиц проводились в двух- и трехмерной постановке. В результате были получены данные о распределении частиц в слое, их взаимодействии с вихрями, пульсациях концентрации и диффузионных характеристиках. В частности, показано, что дисперсия частиц определяется, прежде всего, двумерными крупномасштабными структурами.

В [39] указано, что недостатком подхода Эйлера является необходимость задания некоторых эффективных коэффициентов для псевдогаза (запыленного газа), что приводит к необходимости «настройки» модели на конкретный вид течений. Слабым местом является также моделирование взаимодействия частиц со стенкой. В работе использовалась простая модель для описания стационарного течения газа с твердыми сферическими частицами без учета тепло- и массообмена между фазами. Для моделирования турбулентной диффузии частиц мгновенная скорость несущего газа представлялась в виде суммы местной средней скорости и некоторой флуктуации, которая выбирается случайным образом из нормального вероятностного распределения с дисперсией, отвечающей значению турбулентной энергии. Предполагается, что выбранная флуктуация неизменна внутри вихря в течение времени его жизни. Как только время жизни истекает или частица покидает вихрь, выбирается новая случайная флуктуация. Выписаны стационарные уравнения Эйлера для среднего движения с обменными членами. Показана работоспособность модели пробных частиц при сравнительно высокой массовой загрузке потока.

Эйлеров-Эйлеров подход к моделированию турбулентности основан на континуальном представлении уравнений движения и энергии обеих фаз. Преимуществом этого метода является использование уравнений одного типа для моделирования движения обеих фаз.

В рамках двухжидкостного подхода для моделирования турбулентности используют алгебраические модели пути смешения Прандтля, Кармана и Ван-Дриста. Простейшими среди алгебраических моделей являются локально-равновесные модели, в которых турбулентные напряжения дисперсной фазы непосредственно связываются с напряжениями Рейнольдса несущей фазы, а турбулентный тепловой поток дисперсной фазы— с турбулентным потоком непрерывной фазы.

Более сложные модели используют алгебраические выражения градиентного типа в форме соотношений Буссинеска и Фурье-Фика. Такие модели основаны на аналогии с соответствующими характеристиками в однофазном потоке и содержат ряд дополнительных эмпирических постоянных. Модели с алгебраическими выражениями для вторых моментов справедливы только для мелких частиц и могут приводить к существенным ошибкам при расчете характеристик достаточно инерционных частиц, особенно в пристенной области течения.

ENO-схемы

В предыдущей главе были описаны математические модели и приближенные методы, применяемые в работе для решения проблем механики гомогенных и гетерогенных сред. В данной главе проводится тестирование и верификация этих моделей и методов.

Для верификации методов расчета газодинамических задач используются точные решения (задача о распаде разрыва, отражение ударной волны от жесткой стенки). Класс точных решений задач механики гетерогенных сред беден, поэтому в большинстве случаев тестирование и верификация проводятся на основе экспериментальных данных.

В качестве теста численного алгоритма и модели турбулентности используется классическая задача о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем на пластине. В сжимаемом пограничном слое плотность среды переменна, и, следовательно, данная проблема позволяет верифицировать численную схему и модель турбулентности, используемые в дальнейшем для предсказания ударно-волновых процессов в неоднородных средах.

Описанная в главе 1 ENO-схема использовалась для расчета квазилинейного уравнения (1.10) при различных /(и). Было проведено исследование влияния порядка аппроксимации по времени и пространству, и числа Куранта на поведение решения.

На рис. 2.1, а представлено численное решение уравнения (1.10), полученное на основе ENO-схемы третьего порядка аппроксимации по времени и пространству и числом Куранта равным 0,4, при f(u)-u с начальными данными вида u0(x) = \ l,0x0»5, 0, x 0, x 0,5, где л: изменяется в пределах — I х 1. На рис. 2.1,6 представлены приближенные решения этого же уравнения с аналогичными начальными данными на момент времени t = 8 для различных порядков аппроксимации по времени. Видно, что с увеличением порядка аппроксимации точность решения повышается, оно меньше размазывается, и третий порядок дает достаточно точный результат. На рис. 2.1, в приведено решение уравнения (1.10) с нелинейной 2 функцией f{u) = —, начальными данными вида ҐЧ 1 UW 4 2 и периодическими краевыми условиями и(-1,/) = и(і,/). Использовалась ENO схема

Нелинейность функции /(и) приводит к тому, что в процессе решения в области х = -0,8 происходит градиентная катастрофа и формируется фронт ударной волны, что и демонстрирует рис. 2.1, в. Как показали численные эксперименты, схема ENO высокого порядка по времени позволяет достаточно точно описывать разрывные фронты решений. Однако метод имеет довольно сложную логику, и поэтому для решения задач газовой динамики не использовался.

Для тестирования метода Годунова использовалась задача о распаде произвольного разрыва, схема которой представлена на рис. 2.2. После разрыва диафрагмы, в начальный момент времени находящейся при X = XQ, вправо начинает распространяться УВ, влево — волна разрежения. Вслед за УВ идет контактный разрыв.

Параметры с индексом 1 соответствуют течению за УВ, с индексом 4 — перед УВ. Результаты расчета приведены на рис. 2.3, используемый в расчете шаг по пространству h = 0,05, шаг по времени г = 0,005. Как можно видеть, схема правильно передает структуру течения, но при этом «размазывает» разрывные фронты, поскольку имеет первый порядок аппроксимации по пространству и, следовательно, достаточно высокую аппроксимационную вязкость.

Также был проведен расчет задачи об отражении ударной волны от твердой стенки в чистом газе, результаты представлены на рис. 2.4. В начальный момент времени УВ амплитуды pi/pQ 3r03 находится при х = 0, стенка — на границе расчетной области х = 1. Кривые 1,2 соответствуют моментам до отражения. После взаимодействия со стенкой формируется отраженная УВ с перепадом давления Р2ІР\=2,57, которой соответствуют кривые 3, 4, 5. Уровень давления за отраженной УВ, согласно аналитическим расчетам, составляет pj 0,778 и численным методом предсказывается правильно.

TVD-схема третьего порядка аппроксимации по пространственной переменной, основанная на расщеплении вектора невязких потоков по физическим процессам (1.8), была протестирована на одномерной задаче о распаде произвольного разрыва [1]. Результаты, представленные на рис. 2.5, соответствуют шагу по пространству h = 0,04 и шагу по времени г = 0,002. Видно, что схема позволяет хорошо описывать разрывы (ударные волны, контактные разрывы).

Две задачи о распаде разрыва в смеси газа и частиц

Таким образом, в зависимости от выбора формулы для определения коэффициента сопротивления, первый член в правой части уравнения (2.4), связанный с выделением тепла за счет сил трения, может принимать разные значения. При использовании формулы (2.1) градиент температуры может стать отрицательным в области сразу за ударной волной, когда разница скоростей фаз небольшая и преобладает вклад третьего члена, связанного с передачей тепла на нагрев частицы. Затем, при з всличешш величины iq—z(- вклад первого члена правой части уравнения (2.4) становится более существенным, и происходит рост температуры газа.

При использовании формулы (2.2) для определения коэффициента сопротивления, соотношение величин в правой части уравнения (2.4) таково, что сначала происходит рост температуры газа за счет скоростной релаксации, а затем доминирует процесс передачи тепла на нагрев частицы, как можно видеть из рис. 2.26, г.

Соотношение величин выделения тепла за счет сил трения и передачи тТ тепла на нагрев частицы определяется параметром а=- -, где rj И ТН — ти времена температурной и скоростной релаксации соответственно, которые зависят, в частности, и от радиуса частиц. При увеличении радиуса а увеличивается. На рис, 2.27, а приводится распределение температуры газа для различных радиусов частиц при расчете с коэффициентом (2.1). Можно видеть, что в зависимости от радиуса качественное поведение этого параметра в области релаксации не меняется, температура резко убывает сразу за замороженной ударной волной и постепенно возрастает до равновесного значения. Однако длина зоны релаксации с увеличением радиуса значительно растет.

На рис. 2.27, б показано распределение температуры для нескольких моментов времени при различных радиусах частиц с использованием в расчетах коэффициента (2.2). При больших размерах частиц происходит более значительный рост температуры газа за фронтом ударной волны, а затем понижение ее до равновесного значения. Если радиус частиц мал (менее 2 мкм), то наблюдается рост температуры газовой фазы до значения, меньше равновесного, затем ее падение и последующий рост до равновесного значения. Т.е. локальный максимум в распределении этой величины присутствует всегда, независимо от размера включений и соотношения а.

Как можно видеть из рисунков 2.27,а, б, параметры на замороженной ударной волне при изменении радиуса остаются постоянными, поскольку они не зависят от времени релаксации. В то же время в зоне релаксации изменение радиуса приводит к качественным различиям, например, в распределении температур. Рассмотрим теперь проблему распада разрыва в смеси газа и твердых частиц. Начальные данные, взятые из [12], и x диаграмма для задачи приведены в таблице 2Л.

Физическая постановка проблемы следующая. В начальный момент времени в одномерном канале слева от точки X = XQ в области 2 находится чистый газ при повышенном давлении, а справа в зоне 1 — смесь газа и частиц при атмосферном давлении. При t 0, после того как перегородка между газом и смесью внезапно убирается, вправо начинает распространяться ударная волна (УВ), влево — волна разрежения, за ударной волной движется контактный разрыв в газе (КР), а затем комбинированный разрыв (КбР), который является границей между чистым газом и смесью. В [12] для расчета уравнений, описывающих поведение дисперсной фазы, были предложены два подхода, основанные на методе конечных объемов, которые различались способом интерполяции данных на границе раздела фаз. Результаты расчета одним из этих методов, который показал себя менее диффузионным, приведены на рис. 2.28.

Результаты расчета задачи о распаде разрыва методом CIP показаны на рис. 2.29. Сплошными линиями приведены начальные данные, линиями с маркерами — расчет на момент времени t = 2. Плотность частиц равнялась 2500 кг/м3, отношение удельных теплоємкостей газа и частиц полагалось равным 1. Шаг по пространству составлял 0,1, отношение шага по времени к шагу по пространству 0,2.

Из рис. 2.29 можно видеть волновую структуру, образующуюся после разрыва диафрагмы. Вправо распространяется ударная волна, имеющая замороженный фронт, как видно на рис. 2.29, в. Рис. 2.29, а, демонстрирующий распределение плотности фаз, позволяет определить положение контактного разрыва в газе. На данный момент времени он находится в точке х = 6,8. По распределению плотности дисперсной фазы можно также определить положение комбинированного разрыва, равное х = 5,8.

В точке начального положения разрыва параметров наблюдается некоторое нефизическое колебание в распределении скорости твердой фазы (рис. 2.29, б), причиной возникновения которого является, вероятно, численная схема. Отметим, что на распределение других параметров это возмущение влияния не оказывает. Кроме того, из рис. 2.29, б видно, что в работе [12] также наблюдается подобное возмущение в отмеченной точке.

Для данной задачи был проведен расчет с учетом вязкости газовой фазы. Как и ожидалось, присутствие вязкости приводит к размазыванию контактных разрывов, волн разрежения. На рис. 2.29 можно видеть, что фронт ударной волны претерпевает незначительные изменения формы.

Расчет задачи в рамках двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной турбулентной смеси

Распределения давления по поверхности пластины в зависимости от времени для случаев т2 =0,001 и 0,002 приведены на рис. 3.15.

Здесь жирной сплошной линией представлено расчетное распределение давления для случая неподвижной системы координат в точке х = 45 мм и ті = 0,002. Сплошной тонкой линией показан результат для объемной концентрации частиц 0,001. Данные эксперимента представлены пунктирной линией с маркерами.

Наблюдается удовлетворительное соответствие между экспериментальными и расчетными данными в первом пике распределения давления, обусловленном падением проходящей УВ на подложку, и возникающей волной разрежения при взаимодействии ее с контактной границей между смесью и чистым газом. Кроме того, в численном решении предложенной математической модели слоя имеет место точная передача равновесного давления в слое далеко вниз по потоку от ударной волны. В случае меньшей объемной концентрации твердой фазы период волн уменьшается, и, в то же время, с увеличением концентрации частиц амплитуда волн падает.-- эксперимент— расчет; т2=0,001— расчет; тг О,002 I

Распределение давления на стенке УТ для случая числа Маха 1,6 Было также проведено сопоставление данных расчетов с экспериментами [8]. Рассмотрим задачу о нормальном падении УВ на слой мелких частиц, прилегающий к жесткой стенке. В качестве материала кг использовался полистирол, плотность которого р22 —1060——, удельная м 105 Дж теплоемкость C2=34Q , толщина слоя равнялась 20 мм, объемная кгК концентрация частиц в опыте составляла 0,29. Выходными данными эксперимента являлись распределения давления на торце вертикальной ударной трубы в зависимости от времени. Камера низкого давления была наполнена воздухом под давлением /JQ = ОД МПа, отношение давлений на диафрагме равнялось двум,

Расчет проводился при объемной концентрации частиц 0,015. Сравнение расчетного и экспериментального распределений давления на торце приведено на рис. 3.16. Из сравнения результатов видно, что качественное поведение давления на стенке трубы в рамках исследуемой математической модели описывается удовлетворительно. Первый пик давления и амплитуда второго колебания улавливаются расчетным методом. Конечно, здесь можно говорить лишь о качественном совпадении результатов расчетов, так как в опытах концентрация частиц в слое была больше. Возможно, поэтому уровень давления после установления картины течения в смеси в расчете несколько выше, чем в опыте.

Зависимость давления на торце ударной трубы от времени Также в работе [8] были описаны опыты по взаимодействию проходящей ударной волны и слоя пыли, лежащего на дне ударной трубы в двумерной постановке. Авторами приведены осциллограммы давления в газе и распределение нагрузки на стенку под слоем в том же месте трубы. В отличие от одномерной задачи, первый импульс на поверхности слоя возникает раньше, чем на подложке — имеется время задержки прихода ударной волны, которое зависит от толщины слоя. В качестве частиц использовался песок, с плотностью

Расчет проводился в двумерной невязкой постановке. На рис. 3.17 приведено расчетное и экспериментальное распределение давления по поверхности. Объемная концентрация частиц в расчете принималась равной 0,001. ( -Эк перимент счет —Ра 5 4 3 2 0-І 1 1 1 1 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 с Распределение давления на дне УТ в зависимости от времени Также как и в одномерном расчете, в двумерном течении имеет место качественное соответствие между поведением давления в опыте и в численном эксперименте.

Интересно привести сравнение наших расчетных данных с результатами, полученными по используемой в [8] точечной математической модели [9], которая справедлива, по утверждению авторов, для не слишком больших толщин слоев. Расчет на основе этой модели удовлетворительно описывает экспериментальные зависимости для нескольких значений толщины слоя. В качестве дисперсной фазы использовался песок, объемная концентрация которого в эксперименте равнялась 0,73. Численный расчет с меньшими значениями концентраций частиц по равновесной модели механики гетерогенных сред позволил получить качественное соответствие результатов (рис. 3.18). Конечно, количественное совпадение данных в данном случае не является показательным, так как значения загрузки потока частицами в эксперименте и в расчете различаются между собой.

Сравнение распределений давления по математической модели, предложенной в статье [8], и расчетного Подъем пыли из слоя со сглаженной кромкой и при воздействии реальной ударной волны

Были проведены расчеты по взаимодействию УВ со слоем пыли, имеющим в начальный момент времени переднюю кромку, которая имеет с жесткой поверхностью угол, отличный от 90, и сопоставлены поля параметров в случае треугольной и прямоугольной кромки слоя. На рис, 3.19 приведены поля плотности среды, полученные из расчетов по невязкой и вязкой модели для различной формы переднего края слоя.

Видно, что в случае невязкого течения смеси (рис. 3.19 а, б) основное различие заключается в форме передней кромки облака. Высота лидирующего вихря в случае скошенной кромки несколько меньше, чем в случае прямоугольной формы переднего края слоя. С развитием течения эти отличия исчезают, разница же между количественными распределениями параметров несущественна, и, спустя некоторое время, картины течения становятся практически идентичными.