Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Возникновение внутренних волн в двухслойной системе изотермических жидкостей . 21
1.1. Постановка задачи 21
1.2. Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений 22
1.3. Решения Флоке. Дисперсионные соотношения. Метод цепных дробей 23
1.4. Высокочастотное приближение. Метод осреднения 25
1.5. Осреднение линейной задачи для возмущений 31
1.6. Численные результаты 33
Глава II. Влияние высокочастотных поступательных вибраций на возникновение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе . 50
2.1. Постановка задачи 50
2.2. Асимптотика больших частот. Метод осреднения 51
2.3. Равновесное решение. Спектральная задача 53
2.4. Асимптотика малых а. Монотонная неустойчивость 58
2.5. Асимптотика малых а. Колебательная неустойчивость 65
2.6. Результаты вычислений 68
Глава III. Влияние вертикальных вибраций конечной частоты на возникновение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе . 81
3.1. Постановка задачи 81
3.2. Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений 82
3.3. Решения Флоке. Дисперсионные соотношения 83
3.4. Численные результаты 85
Заключение 95
Приложение 1. Вывод формул, глава I. 97
Приложение 2. Вывод выражений для Мп, глава II. 100
Список литературы 118
- Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений
- Осреднение линейной задачи для возмущений
- Асимптотика больших частот. Метод осреднения
- Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений
Введение к работе
Влияние параметрических воздействий на поведение жидкости представляет интерес не только для фундаментальной гидродинамики, но и в связи с проблемами управления устойчивостью, задачами космической технологии. Такие воздействия могут приводить к возникновению волн на деформируемых свободных границах и поверхностях раздела. Если жидкость неизотермическая, то на поведение системы оказывают влияние термо- и концентрационно-капиллярные эффекты, то есть может идти речь о возникновении конвекции при наличии параметрических воздействий.
Наиболее распространенными случаями периодической модуляции параметра являются модуляции градиента температуры или ускорения силы тяжести. Хотя эти два случая не исчерпывают всех возможностей параметрических воздействий, основное внимание в обзоре литературы уделим именно этим работам.
Впервые влияние вибрации на возбуждение капиллярно-гравитационных волн описана в экспериментах Фарадея [1, 2]. В них изучалось влияние вибрации на упругую границу слоя жидкости. Теоретические исследования этой задачи были начаты в работах Рэлея [3]-[5]. Классическими примерами действия вибрации являются задачи о маятнике с колеблющейся точкой подвеса [6]. Вертикальные колебания точки подвеса могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, а верхнее — устойчивым. Горизонтальные колебания точки подвеса приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [7]. Указанные работы П.Л. Капицы до сих пор являются ориентиром и при исследовании влияния вибрации на гидродинамические системы.
В работах [8, 9] описаны эксперименты по динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, показано, что высокочастотные вертикальные вибрации приводят в устойчивое состояние систему, в которой тяжелая жидкость налита поверх легкой. Кроме того, приведен эксперимент, в котором при высокочастотных горизонтальных колебаниях сосуда поверхность раздела становится неустойчивой, и на ней возникает практически неподвижный периодический рельеф.
Впервые влияние модуляции параметра в задачах конвекции рассмотрено в работах [10, 11], где исследовано равновесие горизонтального слоя со свободными границами при периодическом изменении градиента температуры. При этом предполагалось, что частота модуляции мала, а амплитуда конечна. Тогда поведение возмущений по времени определяется уравнением Хилла, которое решается в случае прямоугольной модуляции. Несмотря на наличие ряда упрощающих предположений, качественные выводы этих работ показывают, что модуляция градиента температуры может приводить к возникновению областей неустойчивости резонансного типа.
Влияние вибрации на возникновение конвекции впервые рассмотрено в работе [12]. Был исследован случай вертикальных высокочастотных гармонических колебаний частоты и —> оо, амплитуды а порядка 0(1/со), так что амплитуда скорости b = аси конечна. При сделанных предположениях к уравнениям конвекции Обербека-Буссинеска (ОБ) был применен метод осреднения Ван дер Поля-Крылова-Боголюбова, который до этого времени'в задачах гидродинамики не применялся. Авторы придали методу осреднения для задач конвекции ту же форму, что и в задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [6, 7]. Следует отметить, что ранее в работе [13] метод осреднения был применен при исследовании устойчивости упругих систем при параметрических воздействиях. В [12] были впервые выведены осредненные уравнения конвекции жидкости в произвольном сосуде с твердой (или же недеформируемой) границей. Оказалось, что действие вибрации порождает виброгенную (так она была впоследствии названа в работах В.И. Юдовича) силу, которая пропорциональна квадрату скорости вибрации и не зависит от силы тяжести. В этой же работе проанализирован случай слоя со свободными границами. Показано, что при достаточно интенсивной вибрации можно предотвратить конвекцию при любом градиенте температуры. Этот же самый результат для слоя с твердыми стенками получен в [14]. После работы [12] появилось много статей, где рассматривалась конвекция либо при действии вертикальных вибраций, либо при осциллирующем градиенте температуры. Библиография этих работ, опубликованных до 1972 г., приведена в монографии [15].
Качественно новые результаты были получены в работе [16] (см. также [17]), где рассматривалось действие гармонических высокочастотных вибраций произвольного направления. В этих работах были также выведены осредненные уравнения для областей с твердой границей. Проанализирован случай модельной задачи и показано, что направление вибрации оказывает существенное влияние на возникновение конвекции. Так, например, если направление вибрации содержит горизонтальную составляющую, то конвекция может возникнуть и при нагреве сверху.
Вибрационная конвекция в условиях невесомости впервые была рассмотрена в работе [18]. При невесомости определяющим физическим параметром является вибрационное число Рэлея, введенное в [12].
Подход, развитый в [12, 16] с использованием метода осреднения впоследствие применялся в работах, обзор которых частично дан в [19] и монографии [20].
Следует обратить внимание на работу [21]. В этой работе с применением методов осреднения и Галеркина исследуется устойчивость конвективного движения, возникающего в слое жидкости, равномерно вращающемся с большой скоростью вокруг горизонтальной оси. К линеаризованной около плоскопараллельного периодического режима задаче применяется метод осреднения по аналогии с [12]. Осредненная задача для возмущений решается методом Галеркина. Численно показано, что вращение вокруг горизонтальной оси оказывает стабилизирующее воздействие. Кроме того, для определения области применимости метода осреднения, проведено сравнение результатов, полученных при решении методом Галеркина неосредненных уравнений для возмущений. Показано, что уже при сравнительно небольших скоростях вращения происходит выход на асимптотику осредненных уравнений. Кроме того, решались нелинейные неосредненные уравнения и анализировался выход на периодический режим при различных значениях надкритичности числа Рэлея.
Наряду с теоретическими работами по вибрационной конвекции, появились экспериментальные работы Г.Ф. Путина и его сотрудников [22]. В этой работе авторам удалось выделить в чистом виде действие вибрационно-
статического механизма неустойчивости и получить экспериментально критическое значение вибрационногоч числа Рэлея, которое близко к теоретическому значению, полученному в [18].
Достоинством применения метода осреднения является то, что он позволяет на основе анализа устойчивости стационарных решений (в задаче конвекции это — квазиравновесие) осреденной задачи судить об устойчивости соответствующего периодического решения исходной задачи. Обоснование этого вывода для задач конвекции с твердой границей дано в работах И.Б. Симоненко [23]-[25] и В.Б. Левенштама [26]-[27]. Заметим, что при выводе осредненных уравнений для быстрых составляющих нарушаются краевые условия прилипания и условия для температуры. Это приводит к необходимости учета вибрационных пограничных слоев. В некоторых случаях они были построены [28]-[30]. Примечательной особенностью результатов по обоснованию метода осреднения в задачах конвекции в случае твердых границ является тот факт, что погранслои не влияют на ведущие члены асимптотики критических значений. Дальнейшее развитие метода осреднения вообще, и для систем со связями, в частности, дано в работах В.И. Юдовича [31]-[35].
Эффективность применения метода осреднения привела к расширению круга задач по вибрационной конвекции, в частности, показано, что присутствие примеси может оказывать разнообразное влияние: при вертикальной вибрации сделать невозможной абсолютную стабилизацию, вызвать конвекцию в невесомости при любом направлении вибрации [36]. Вибрационная конвекция многокомпонентной жидкости исследована в [37]. Следует обратить внимание на еще один интересный результат в задаче о вибрационной конвекции бинарной смеси. В [38] было показано, что нейтральные кривые Rd\ (а) монотонной и колебательной неустойчивости при Ra,2 т^ 0) могут состоять из двух компонент, одна из которых замкнута, где Лаі, Ra,2 — тепловое и концентрационное числа Рэлея. Это установлено строго в [36] для слоя со свободными границами, а для твердых стенок подтверждено численно [38].
Влияние высокочастотной вибрации на фильтрационную конвекцию
изучалось в [39, 40]. Здесь применялся тот же подход, что и в предшествующих работах, при этом ньютоновская вязкость заменялась на вязкость Дарси. Была исследована гравитационная конвекция и конвекция в невесомости. В случае пониженной гравитации определены значения безразмерной скорости вибрации, при которых критические значения параметров соответствуют случаю невесомости. Найдены условия, при которых выполняется принцип монотонности. Согласно проведенным исследованиям, высокочастотные вибрации могут оказывать стабилизирующее влияние на конвективную устойчивость жидкости, насыщающей пористую среду. Более того, заставляя контейнер совершать вертикальные вибрации, можно задержать возникновение конвекции или даже полностью предотвратить. В то же время интенсивная горизонтальная вибрация оказывает дестабилизирующее влияние, вызывая конвекцию в условиях невесомости и микрогравитации. В земных условиях горизонтальная вибрация вызывает конвекцию не только при подогреве снизу, но и при нагреве сверху. Во всех цитированных работах осредненные уравнения были выведены для произвольной области с твердой границей, а в качестве примера рассматривался горизонтальный слой-с твердыми или "мягкими"(свободными недеформи-руемыми) стенками.
Теперь остановимся на основных работах, посвященных модуляции конечных частот.
Отметим цикл работ В.И. Юдовича и Г.С. Маркмана, посвященных исследованию конвекции в горизонтальном слое жидкости при модулированном поле внешних сил — температуры или гравитации [41]-[44]. В этих работах с помощью аналитических, асимптотических и численных методов были рассмотрены задачи конвективной устойчивости, построены нейтральные кривые, а также, с применением метода Ляпунова-Шмидта, исследованы вторичные режимы. Именно в этих работах был впервые применен метод цепных дробей в задачах конвекции для построения нейтральных кривых. Здесь же следует упомянуть статью [45], где был рассмотрен случай бинарной смеси при действии вертикальной вибрации конечной частоты. Полученные в этой работе численные результаты хорошо согласу-
ются с асимптотикой больших частот статьи [36].
Влияние гармонической вибрации конечной частоты на конвекцию Рэлея-Бенара рассмотрено в [46]. Линейный анализ устойчивости проведен при помощи метода Галеркина. Получено, что в зависимости от частоты колебаний первым может возбуждаться как субгармонический, так и синхронный режим. Нелинейная задача решается при помощи метода Галеркина и амплитудных уравнений.
В [47], изучаются условия возникновения конвекции Рэлея-Бенара в слое, ограниченном изотермическими стенками. Подогрев нижней стенки меняется в зависимости от времени-синусоидально с малой безразмерной частотой. При помощи методов ВКБ и сращиваемых асимптотических разложений выведено условие начала конвекции.
Имеется цикл работ по конвекции несжимаемых жидкостей и бинарных смесей в осциллирующих полях различной природы. Подробный список приведен в автореферате [48]. Перечислим работы, близкие к тематике данной диссертации. В [49] исследовано влияние горизонтальных, колебаний конечной частоты на возникновение конвекции в горизонтальном слое. Основной режим — плоскопараллельное осциллирующее течение. Для исследования устойчивости применен метод Канторовича. В [50, 51] изучалось влияние эффекта Соре на двухдиффузионную конвекцию Рэлея-Бенара либо при вибрациях, либо при осцилляции градиента температуры.
Несмотря на то, что параметрическими воздействиями конечных частот интересоваться стали давно, экспериментальные работы появились сравнительно недавно. Большой вклад в экспериментальное изучение вибрационной конвекции было сделано Г.Ф. Путиным и его сотрудниками [52]-[55].
В [53] экспериментально исследована устойчивость подъемно-опускного термоконвективного течения в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку и совершающем гармонические колебания вдоль вертикальной оси. В [54] сообщается о первом экспериментальном наблюдении параметрического резонанса в термоконвективной системе при модуляции силы тяжести. Опыты проведены с нагреваемым сверху плоским горизон-
тальным слоем жидкости, совершающим как целое колебания вдоль вертикального направления. Описаны два типа конвективных колебаний - с периодами, равными периоду (синхронный) и половине периода (квазипериодический) модуляции силового поля. Исследованы структуры надкритических конвективных движений и тепловые потоки. Указано, что параметрический механизм конвекции способствует значительной интенсификации тепломассопереноса, по сравнению с гравитационно-конвективной теплопередачей.
В работе [55] описываются структуры течений в трансформаторном масле, заполняющем полость в форме прямого кругового цилиндра, совершающую крутильные колебания вокруг горизонтальной оси. Рассмотрены случаи низкочастотных, промежуточных и высокочастотных угловых ускорений при однородной температуре жидкости, а также при подогреве снизу либо нагреве сверху. Изучено взаимодействие объемного конвективного механизма генерации течений с неконвективным механизмом, основанным на увлечении жидкости неравномерно вращающимися стенками за счет вязкого трения. Течения изучались для изотермического и неизотермического случаев, а также низких (до 3 Гц), средних (от 3 до 8 Гц) и высоких (более 8 Гц) частот качаний.
Среди экспериментальных работ следует отметить работы В.Г. Козлова, А. А. Ивановой и их сотрудников [56]. В экспериментах, проведенных этими авторами, рассматривались различного вида вибрационные воздействия в различных областях.
Проблемы космических технологий вызывают необходимость изучения конвекции в условиях микрогравитации. Об исследованиях микрогравитационной обстановки и конвекции жидкости на космических аппаратах сообщается в работах В.И. Полежаева и его сотрудников' [57]-[66]. В данных работах описывается структура и приводятся графики микроускорений, взаимодействие вибрационной и тепловой конвекции, фотографии экспериментов. Из этих графиков видно, что структура микроускорений не одно- а многочастотная. Экспериментальные материалы, опубликованные в этом цикле статей, дают полезную информацию для теоретических
исследований.
Теперь остановимся на работах, в которых рассматриваются задачи со свободными границами и поверхностями раздела. Обзор основных работ указанного направления содержится в монографии [67]. Однако в ней отсутствуют статьи, в которых рассматриваются задачи с параметрическими воздействиями. В работе [68] изучается воздействие горизонтальных высокочастотных вибраций на устойчивость поверхности раздела двухслойной системы со слоями одинаковой глубины. В ней получено условие возникновения стационарного волнового рельефа. Монография [69] посвящена изучению влияния вибрации на поведение свободной поверхности жидкости или поверхностей раздела жидкостей в изотермических условиях. Рассмотрены случаи высокочастотного вибрационного воздействия и конечных частот. В случае высоких частот применен метод многомасштабных разложений. В случае конечных частот рассмотрение ведется либо в рамках идеальной жидкости, либо в маловязком приближении, когда применим метод возмущений.
Частично обзор работ по теоретическому исследованию волн Фарадея в рамках приближения идеальной жидкости дан в монографии [70]. Как известно, в этом случае линейная задача устойчивости сводится к анализу уравнения Матье [71, 72]. В [70] рассматриваются волны на поверхности слоя жидкого диэлектрика при наличии переменного электрического поля. Приведены результаты эксперментов по возбуждению поверхностных волн электрическим полем. В работе [73] при исследовании влияния переменных внешних полей на неустойчивость Рэлея-Тейлора для возмущений свободной поверхности получено интегро-дифференциальное уравнение для слоя бесконечной глубины, которое проанализировано в асимптотическом случае малой вязкости. Следует также отметить, что интегро-дифференциальное уравнение было также получено в работе [74]. В работе [75] исследовано влияние двухчастотных вертикальных вибраций на параметрическое возбуждение волн в слое конечной глубины без ограничений на вязкость. Задача устойчивости сводится к решению задачи на собственные значения. Приведено сравнение с экспериментом. В [76] рассмотрено
параметрическое возбуждение волн на свободной границе горизонтального слоя вязкой жидкости при вертикальных вибрациях. Линейная задача устойчивости сведена к интегро-дифференциальному уравнению, которое в случае слоя бесконечной глубины сводится к уравнению Черепанова [73]. В случае гармонических колебаний дисперсионное соотношение построено в явной форме с применением цепных дробей. При этом не накладываются ограничения на вязкость и другие параметры системы. Достаточно подробный обзор зарубежных работ во волнам Фарадея приведен в [77].
Впервые влияние вибрации на термокапиллярную конвективную неустойчивость в слое со свободной недеформируемой- границей было рассмотрено в работе В.А. Брискмана [78].
Принципиально новый подход при исследовании вибрационной конвекции в областях со свободной границей и поверхностями раздела был предложен и обоснован Д.В. Любимовым [79]-[82]. В предложенной модели, которая названа обобщенным приближением ОБ, для слабо неизотермической жидкости в уравнениях движения переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых. Эта модель стала применяться во многих последующих работах, и, в частности, в [83]-[85]. В этих работах показано, что использование обобщенного приближения ОБ приводит к качественно новым результатам по сравнению с традиционной моделью, и лишь в случае вертикальных колебаний обе модели дают совпадающие результаты. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн рассмотрено в [86] где в предположении слабой вязкости жидкости применен метод возмущений.
Исследования по конвекции в многослойных системах были начаты сравнительно недавно, и в основном рассматривались двухслойные системы. Проанализируем результаты работ по двухслойным системам в отсутствии вибрации.
В 1959 г. вышла работа [88], в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от
концентрации,примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача [88] близка к известной задаче Пирсона (см. [67]).
В [89] аналитически и численно изучается конвективная неустойчивость в двухслойной системе конечной толщины и бесконечной в горизонтальном направлении. Твердые границы изотермические, жидкости вязкие, несмешивающиеся. Изучается взаимодействие бенаровского и Маран-гони механизмов возбуждения конвекции. Рассматривается, только монотонная неустойчивость. Построена асимптотика малых волновых чисел.
Имеется цикл работ [90]-[95], в которых изучалась термокапиллярная конвекция в двухслойных системах с недеформируемой поверхностью раздела. В [96] рассмотрена многослойная система..
В [97] рассматривается задача об устойчивости равновесия в нагреваемой сверху системе, состоящей из двух слоев конечной толщины разных жидкостей. Нижние и верхние границы — твердые изотермические стенки. Граница раздела слоев плоская недеформируемая. Релей-тейлоровский механизм неустойчивости, капиллярные и термокапиллярные эффекты на границе раздела не учитываются. Рассмотрены предельные случаи, когда возможно найти точное аналитическое решение задачи. Показано, что монотонная неустойчивость возникает при нагреве сверху.
Большой вклад в изучение конвекции был сделан также в работах [98]—[101]. В [102] рассмотрена двухслойная* система слабосжимаемых жидкостей. Достаточно много экспериментальных (как в наземных, так и космических условиях) и теоретических работ по конвекции Рэлея-Бенара-Марангони было сделано за рубежом [103]—[111], ссылки на некоторые их них даны в тексте диссертации.
Книга [112] посвящена конвекции в системах со свободными поверхностями и поверхностями раздела. Рассматриваются однослойные, двухслойные и трехслойные системы, типы конвективной неустойчивости, случаи деформируемых и недеформируемых поверхностей, а также течения в очень тонких пленках. Влияние вибрации на возникновение внутренних волн, а также стабилизация неустойчивости Рэлея-Тейлора, рассматривались в экспериментальных и теоретических работах [73], [113]—[116].
Влиянию высокочастотных вибрации посвящены работы [117]—[126]. В работе [119] рассмотрен случай, когда применимо приближение одно-жидкостной модели, исследована устойчивость квазиравновесия при горизонтальных вибрациях. В работе [123] изучалась вибрационная конвекция Марангони в двухслойной системе при вертикальных вибрациях. В [126] для задачи вибрационной конвекции, полученной с помощью метода осреднения, проведено исследование воздействия высокочастотный колебаний поля внешних массовых сил на конвекцию в смешивающихся жидкостях. Рассмотрены структуры течений, возникающие при начальных условиях, соответствующих физическим экспериментам при пониженной гравитации.
В [127] рассмотрена устойчивость поверхности раздела двух несме-шивающихся жидкостей разной плотности под воздействием горизонтальных гармонических колебаний. Резонансная неустойчивость исследуется сведением к уравнению Матье в рамках модели идеальной жидкости. Модель, учитывающая вязкую диссипацию, строится введением в полученное уравнение члена, описывающего затухание. Обсуждается роль вязкой диссипации в подавлении резонансной неустойчивости. В частности, сделан вывод, что при достаточно высоких частотах вибраций параметрическая* неустойчивость имеет место в узком интервале волновых чисел, и, как следствие, сильно чувствительна к вязкому демпфированию. В [128] исследовано влияние вибрации на неустойчивость Рэлея-Тейлора в двухслойной системе. В случае, когда плотность и вязкость нижней жидкости малы по сравнению с верхней, рассматривается слабо нелинейная задача в длинноволновом приближении. Показано, что в этом случае вибрация увеличивает поверхностное натяжение. Также рассматривается случай, когда вязкости и плотности жидкостей близки друг к другу. Экспериментальная работа [129] посвящена изучению влияния вертикальной вибрации на однослойные системы. При определенных частотах и амплитудах вибрации обнаружено существование устойчивой системы кругообразных отверстий при отсутствии волн Фарадея, а также совместное существование системы отверстий и волн Фарадея. Изучены границы существования этих режимов, а также размеры отверстий в зависимости от частоты и амплитуды
вибрации.
В данной диссертации изучается влияние вибрационных воздействий на поведение двухслойной системы с поверхностью раздела. При этом жидкости рассматриваются как изотермические, так и неизотермические, когда коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры.
Актуальность темы.
Интерес к исследованию параметрических воздействий на поведение жидкости обусловлен как технологическими применениями, так и запросами теории. Наиболее распространенным способом таких воздействий являются вибрации, хотя представляют интерес влияния переменных электрических, магнитных, тепловых полей. В результате присутствия в системе осциллирующих параметров могут проявиться либо резонансные явления, либо осредненные эффекты. В связи с развитием космических технологий наибольший интерес вызывают задачи о возникновении поверхностных и внутренних волн, а также проблемы возникновения конвекции при наличии поверхностного натяжения. В качестве моделей выбирают однослойную либо двухслойную систему несмешивающихся жидкостей. Такие кон-фигурациии позволяют провести достаточно точные измерения основных параметров, а с теоретической точки зрения дают возможность провести более полное математическое исследование задачи и дать рекомендации по использованию вибрации для управления течениями и их устойчивостью. И хотя влияние вибрационных воздействий на движение жидкости достаточно интенсивно изучается, работ, в которых рассматриваются многослойные системы, немного, особенно в случае конечных частот. Кроме того, в большинстве работ вязкость не учитывалась, считалась малой, либо вводилась модельным образом, в то время как известно, что в случае поверхности раздела влияние вязкости на резонансные частоты значительно сильнее, чем для свободной поверхности.
Цель работы.
Целью данной работы является изучение влияния вибрации на возникновение внутренних и поверхностных волн, а также конвективных течений в двухслойных системах неизотермических вязких несмешивающихся
жидкостей. Основное внимание уделено влиянию частоты, амплитуды, скорости и направления вибрации; на физические параметры никаких ограничений не налагается. Рассмотрены задачи двух типов: исследование влияние высокочастотной вибрации и изучение областей параметрических ре-зонансов при действии вибрации конечной частоты.
Методы исследования.
Для решения поставленных задач применялись аналитические, асимптотические и численные методы решений дифференциальных уравнений. Для исследования высокочастотной асимптотики применялся метод осреднения, развитый применительно к задачам гидродинамики в работах И. Б. Симоненко, СМ. Зеньковской, В. И. Юдовича, Д. В. Любимова и др. Для расчета нейтральных кривых применялись методы сведения решения спектральной задачи к решению трансцендентного уравнения. Для исследования влияния вибрации произвольной частоты применялись теория Флоке, метод цепных дробей, методы решения задачи на собственные значения, методы минимизации; а также методы численного решения систем нелинейных уравнений.
Научная новизна.
Впервые исследована задача о влиянии двухчастотных вертикальных колебаний на поведение двухслойной системы однородных вязких жидкостей с деформируемой поверхностью раздела. Рассмотрены случаи конечных частот и произвольных амплитуд, а также высоких частот при конечных амплитудах скорости модуляции. Обнаружены новые картины поведения резонансных областей, характерные для двухслойной системы. С использованием обобщенных уравнений конвекции Обербека-Буссинеска (ОБ), выведены осредненные уравнения вибрационной конвекции в двухслойной системе вязких несмешивающихся неизотермических жидкостей при произвольном направлении вибрации. Найдено квазиравновесное решение осредненной задачи с пульсационной компонентой скорости, удовлетворяющей условию замкнутости. Выписана спектральная задача для главных членов по параметрам Буссинеска. В случае однородных жидкостей исследовано влияние направления вибрации на критические числа
Марангони монотонной и колебательной неустойчивости. Построена длинноволновая асимптотика критических параметров и собственных функций. Впервые исследована задача о влиянии термокапиллярного эффекта на возникновение волн на поверхности раздела двухслойной системы вязких однородных несжимаемых несмешивающихся жидкостей при действии вертикальных вибраций конечной частоты. Исследованы области параметрических резонансов при одно- и двухчастотных колебаниях.
Достоверность.
Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой задач, применением математически обоснованных методов, совпадением с результатами других исследователей, а также с имеющимися экспериментальными данными. Исследования, представленные в диссертационной работе, неоднократно поддерживались грантами «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидродинамические и вибрационные эффекты)» (РФФИ 02-01-00337-а, рук. Юдович В.И.), грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ, «Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№ НШ-1768.2003.1, рук. Юдович В.И.), «Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косимметрии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ 05-01-00587, рук. Куракин Л.Г., Цибулин В.Г.), «Влияние параметрических воздействий на возникновение поверхностных волн, конвекции, движение тел в жидкости» (РФФИ 07-0100099-а, рук. Зеньковская СМ.).
Публикации и личный вклад автора.
По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ. Из них 6 составляют статьи в журналах и депонированные статьи [130]—[135], 9 статей опубликовано в трудах конференций [136]-[144]. Получено 2 свидетельства на программные комплексы [145, 146]. В статье [130] автору принадлежит численная реализация метода цепных дробей и проведение вычислений. В [131, 132] автору принадлежит вывод формул, составление комплекса про-
грамм, расчеты нейтральных кривых и построение графиков. В [133] автору принадлежит вывод трансцендентного уравнения, реализация метода цепных дробей, проведение расчетов для различных видов условий теп-. лообмена и сравнение численных и асимптотических значений при малых волновых числах. В [134] автору принадлежит вывод осредненных уравнений, исследование линейной задачи устойчивости, проведение вычислений. В [145, 146] автору принадлежит построение алгоритма вычислений, написание основной части программы расчетов и составление тестовых вариантов.
Апробация работы.
Результаты диссертации регулярно докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного Федерального Университета, объединенном семинаре «Численное моделирование процессов тепло- и массообмена» (рук. В.И. Полежаев, Г.С. Глушко) и «Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы» (рук. В.И. Полежаев, В.В. Сазонов), Институт проблем механики РАН, г. Москва (2006, 2007 гг.), а также на XI Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике, г. Варшава, Польша (2004 г.), Международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», г. Ростов-на-Дону (2004 г.), ІХ-ХІ Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону (2005-2007 гг.), V Международном аэрокосмическом конгрессе, г. Москва (2006 г.), 18 Congress Prancais de Mechanique CFM-07, г. Гренобль, Франция (2007 г.), Международной конференции «Nonlinear Partial Differential Equations», г. Ялта, Украина (2007 г.).
Практическая значимость работы.
Результаты работы углубляют понимание гидродинамических явлений, происходящих при вибрационных воздействиях. Полученные качественные и количественные результаты могут быть использованы при планировании и проведении наземных и космических физических экспериментов, а также в управлении конвекцией. Применяемые в диссертации подхо-
ды и методы могут быть использованы при решении в других постановках задач о параметрическом воздействии на гидродинамические системы.
Содержание и структура работы.
Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертации 134 страницы, включая 52 рисунка. Список литературы содержит 150 наименований.
Во Введении приведен обзор литературы, изложены актуальность темы, цель работы, методы исследования, научная новизна, достоверность, публикации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, практическая значимость, структура и содержание работы.
Первая глава посвящена исследованию влияния поступательных вибраций на возникновение волн на поверхности раздела в двухслойной системе изотермических жидкостей. Рассматриваются случаи больших частот и малых амплитуд модуляции, а также конечных частот и амплитуд. В случае больших частот направление вибрации произвольно, а закон вибрации может произвольным периодическим по времени с постоянной амплитудой скорости, что позволяет применить метод осреднения. В результате анализа равновесного решения осредненной задачи, удовлетворяющего условию замкнутости скорости, получено выражение для критической амплитуды скорости при произвольном направлении вибрации. Получено, что вертикальная составляющая вибрации стабилизирует, а горизонтальная — дестабилизирует равновесие. В случае конечных частот направление вибраций вертикальное, а функция колебаний может быть полигармонической. При исследовании спектральной задачи применялся метод Фурье, метод цепных дробей и метод Хилла. Для всех выбранных законов колебаний обнаружено чередование ведущего (минимального по амплитуде) резонансного режима в зависимости от частоты, что характерно для двухслойной системы. Использованные методы позволили производить вычисления в большом диапазоне физических параметров.
Во второй главе рассматривается влияние высокочастотных вибраций на возникновение конвекции в двухслойной системе слабо неизотер-
мических жидкостей с деформируемой поверхностью раздела при тех же условиях на закон вибраций, что и в предыдущей главе. В качестве исходной математической модели выбраны уравнения конвекции, предложенные Д.В. Любимовым — обобщенное приближение ОБ. Выведены осредненные уравнения, а затем произведен переход к стандартным уравнениям ОБ. Приведены формулы, соответствующие осредненной задаче для классических уравнений ОБ. Получено, что в результате осреднения появились виброгенные силы и напряжения. Исследована устойчивость равновесия осредненной системы, удовлетворящего условию замкнутости скорости и показано, что вертикальные колебания стабилизируют равновесие, увеличивая поверхностное натяжение, а горизонтальные — дестабилизируют. Произведен расчет нейтральных кривых монотонных и колебательных возмущений в случае однородных жидкостей. Обнаружено существование замкнутых областей колебательной неустойчивости. Для слабо неоднородных жидкостей исследовано влияние эффектов первого и второго порядков-по параметру Буссинеска, и произведено сравнение результатов- вычислений' для обобщенных и классических уравнений ОБ.
Третья глава посвящена исследованию влияния вибраций- конечной частоты на возникновение конвекции Марангони в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела. Спектральная задача для нормальных возмущений, как и в первой главе, решалась двумя или тремя методами с применением цепных дробей, решением задачи на собственные значения матрицы и вычислением корней определителя^ Хилла. Наличие термокапиллярного эффекта приводит к появлению областей квазипериодической неустойчивости. Показано, что форма этих областей сильно зависит от вида функции колебаний.
В Заключении изложены основные результаты и выводы.
В трех Приложениях изложен подробный вывод формул. Изложен алгоритм вывода этих формул, который можно использовать для решения подобных задач.
Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений
Влияние параметрических воздействий на поведение жидкости представляет интерес не только для фундаментальной гидродинамики, но и в связи с проблемами управления устойчивостью, задачами космической технологии. Такие воздействия могут приводить к возникновению волн на деформируемых свободных границах и поверхностях раздела. Если жидкость неизотермическая, то на поведение системы оказывают влияние термо- и концентрационно-капиллярные эффекты, то есть может идти речь о возникновении конвекции при наличии параметрических воздействий.
Наиболее распространенными случаями периодической модуляции параметра являются модуляции градиента температуры или ускорения силы тяжести. Хотя эти два случая не исчерпывают всех возможностей параметрических воздействий, основное внимание в обзоре литературы уделим именно этим работам.
Впервые влияние вибрации на возбуждение капиллярно-гравитационных волн описана в экспериментах Фарадея [1, 2]. В них изучалось влияние вибрации на упругую границу слоя жидкости. Теоретические исследования этой задачи были начаты в работах Рэлея [3]-[5]. Классическими примерами действия вибрации являются задачи о маятнике с колеблющейся точкой подвеса [6]. Вертикальные колебания точки подвеса могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, а верхнее — устойчивым. Горизонтальные колебания точки подвеса приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [7]. Указанные работы П.Л. Капицы до сих пор являются ориентиром и при исследовании влияния вибрации на гидродинамические системы.
В работах [8, 9] описаны эксперименты по динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, показано, что высокочастотные вертикальные вибрации приводят в устойчивое состояние систему, в которой тяжелая жидкость налита поверх легкой. Кроме того, приведен эксперимент, в котором при высокочастотных горизонтальных колебаниях сосуда поверхность раздела становится неустойчивой, и на ней возникает практически неподвижный периодический рельеф. Впервые влияние модуляции параметра в задачах конвекции рассмотрено в работах [10, 11], где исследовано равновесие горизонтального слоя со свободными границами при периодическом изменении градиента температуры. При этом предполагалось, что частота модуляции мала, а амплитуда конечна. Тогда поведение возмущений по времени определяется уравнением Хилла, которое решается в случае прямоугольной модуляции. Несмотря на наличие ряда упрощающих предположений, качественные выводы этих работ показывают, что модуляция градиента температуры может приводить к возникновению областей неустойчивости резонансного типа.
Влияние вибрации на возникновение конвекции впервые рассмотрено в работе [12]. Был исследован случай вертикальных высокочастотных гармонических колебаний частоты и — оо, амплитуды а порядка 0(1/со), так что амплитуда скорости b = аси конечна. При сделанных предположениях к уравнениям конвекции Обербека-Буссинеска (ОБ) был применен метод осреднения Ван дер Поля-Крылова-Боголюбова, который до этого времени в задачах гидродинамики не применялся. Авторы придали методу осреднения для задач конвекции ту же форму, что и в задаче о маятнике с вибрирующей точкой подвеса [6, 7]. Следует отметить, что ранее в работе [13] метод осреднения был применен при исследовании устойчивости упругих систем при параметрических воздействиях. В [12] были впервые выведены осредненные уравнения конвекции жидкости в произвольном сосуде с твердой (или же недеформируемой) границей. Оказалось, что действие вибрации порождает виброгенную (так она была впоследствии названа в работах В.И. Юдовича) силу, которая пропорциональна квадрату скорости вибрации и не зависит от силы тяжести. В этой же работе проанализирован случай слоя со свободными границами. Показано, что при достаточно интенсивной вибрации можно предотвратить конвекцию при любом градиенте температуры. Этот же самый результат для слоя с твердыми стенками получен в [14]. После работы [12] появилось много статей, где рассматривалась конвекция либо при действии вертикальных вибраций, либо при осциллирующем градиенте температуры. Библиография этих работ, опубликованных до 1972 г., приведена в монографии [15]. Качественно новые результаты были получены в работе [16] (см. также [17]), где рассматривалось действие гармонических высокочастотных вибраций произвольного направления. В этих работах были также выведены осредненные уравнения для областей с твердой границей. Проанализирован случай модельной задачи и показано, что направление вибрации оказывает существенное влияние на возникновение конвекции. Так, например, если направление вибрации содержит горизонтальную составляющую, то конвекция может возникнуть и при нагреве сверху.
Вибрационная конвекция в условиях невесомости впервые была рассмотрена в работе [18]. При невесомости определяющим физическим параметром является вибрационное число Рэлея, введенное в [12].
Осреднение линейной задачи для возмущений
Подход, развитый в [12, 16] с использованием метода осреднения впоследствие применялся в работах, обзор которых частично дан в [19] и монографии [20]. Следует обратить внимание на работу [21]. В этой работе с применением методов осреднения и Галеркина исследуется устойчивость конвективного движения, возникающего в слое жидкости, равномерно вращающемся с большой скоростью вокруг горизонтальной оси. К линеаризованной около плоскопараллельного периодического режима задаче применяется метод осреднения по аналогии с [12]. Осредненная задача для возмущений решается методом Галеркина. Численно показано, что вращение вокруг горизонтальной оси оказывает стабилизирующее воздействие. Кроме того, для определения области применимости метода осреднения, проведено сравнение результатов, полученных при решении методом Галеркина неосредненных уравнений для возмущений. Показано, что уже при сравнительно небольших скоростях вращения происходит выход на асимптотику осредненных уравнений. Кроме того, решались нелинейные неосредненные уравнения и анализировался выход на периодический режим при различных значениях надкритичности числа Рэлея.
Наряду с теоретическими работами по вибрационной конвекции, появились экспериментальные работы Г.Ф. Путина и его сотрудников [22]. В этой работе авторам удалось выделить в чистом виде действие вибрационно-статического механизма неустойчивости и получить экспериментально критическое значение вибрационногоч числа Рэлея, которое близко к теоретическому значению, полученному в [18].
Достоинством применения метода осреднения является то, что он позволяет на основе анализа устойчивости стационарных решений (в задаче конвекции это — квазиравновесие) осреденной задачи судить об устойчивости соответствующего периодического решения исходной задачи. Обоснование этого вывода для задач конвекции с твердой границей дано в работах И.Б. Симоненко [23]-[25] и В.Б. Левенштама [26]-[27]. Заметим, что при выводе осредненных уравнений для быстрых составляющих нарушаются краевые условия прилипания и условия для температуры. Это приводит к необходимости учета вибрационных пограничных слоев. В некоторых случаях они были построены [28]-[30]. Примечательной особенностью результатов по обоснованию метода осреднения в задачах конвекции в случае твердых границ является тот факт, что погранслои не влияют на ведущие члены асимптотики критических значений. Дальнейшее развитие метода осреднения вообще, и для систем со связями, в частности, дано в работах В.И. Юдовича [31]-[35].
Эффективность применения метода осреднения привела к расширению круга задач по вибрационной конвекции, в частности, показано, что присутствие примеси может оказывать разнообразное влияние: при вертикальной вибрации сделать невозможной абсолютную стабилизацию, вызвать конвекцию в невесомости при любом направлении вибрации [36]. Вибрационная конвекция многокомпонентной жидкости исследована в [37]. Следует обратить внимание на еще один интересный результат в задаче о вибрационной конвекции бинарной смеси. В [38] было показано, что нейтральные кривые Rd\ (а) монотонной и колебательной неустойчивости при Ra,2 т 0) могут состоять из двух компонент, одна из которых замкнута, где Лаі, Ra,2 — тепловое и концентрационное числа Рэлея. Это установлено строго в [36] для слоя со свободными границами, а для твердых стенок подтверждено численно [38].
Влияние высокочастотной вибрации на фильтрационную конвекцию изучалось в [39, 40]. Здесь применялся тот же подход, что и в предшествующих работах, при этом ньютоновская вязкость заменялась на вязкость Дарси. Была исследована гравитационная конвекция и конвекция в невесомости. В случае пониженной гравитации определены значения безразмерной скорости вибрации, при которых критические значения параметров соответствуют случаю невесомости. Найдены условия, при которых выполняется принцип монотонности. Согласно проведенным исследованиям, высокочастотные вибрации могут оказывать стабилизирующее влияние на конвективную устойчивость жидкости, насыщающей пористую среду. Более того, заставляя контейнер совершать вертикальные вибрации, можно задержать возникновение конвекции или даже полностью предотвратить. В то же время интенсивная горизонтальная вибрация оказывает дестабилизирующее влияние, вызывая конвекцию в условиях невесомости и микрогравитации. В земных условиях горизонтальная вибрация вызывает конвекцию не только при подогреве снизу, но и при нагреве сверху. Во всех цитированных работах осредненные уравнения были выведены для произвольной области с твердой границей, а в качестве примера рассматривался горизонтальный слой-с твердыми или "мягкими"(свободными недеформи-руемыми) стенками.
Асимптотика больших частот. Метод осреднения
Отметим цикл работ В.И. Юдовича и Г.С. Маркмана, посвященных исследованию конвекции в горизонтальном слое жидкости при модулированном поле внешних сил — температуры или гравитации [41]-[44]. В этих работах с помощью аналитических, асимптотических и численных методов были рассмотрены задачи конвективной устойчивости, построены нейтральные кривые, а также, с применением метода Ляпунова-Шмидта, исследованы вторичные режимы. Именно в этих работах был впервые применен метод цепных дробей в задачах конвекции для построения нейтральных кривых. Здесь же следует упомянуть статью [45], где был рассмотрен случай бинарной смеси при действии вертикальной вибрации конечной частоты. Полученные в этой работе численные результаты хорошо согласуются с асимптотикой больших частот статьи [36].
Влияние гармонической вибрации конечной частоты на конвекцию Рэлея-Бенара рассмотрено в [46]. Линейный анализ устойчивости проведен при помощи метода Галеркина. Получено, что в зависимости от частоты колебаний первым может возбуждаться как субгармонический, так и синхронный режим. Нелинейная задача решается при помощи метода Галеркина и амплитудных уравнений.
В [47], изучаются условия возникновения конвекции Рэлея-Бенара в слое, ограниченном изотермическими стенками. Подогрев нижней стенки меняется в зависимости от времени-синусоидально с малой безразмерной частотой. При помощи методов ВКБ и сращиваемых асимптотических разложений выведено условие начала конвекции.
Имеется цикл работ по конвекции несжимаемых жидкостей и бинарных смесей в осциллирующих полях различной природы. Подробный список приведен в автореферате [48]. Перечислим работы, близкие к тематике данной диссертации. В [49] исследовано влияние горизонтальных, колебаний конечной частоты на возникновение конвекции в горизонтальном слое. Основной режим — плоскопараллельное осциллирующее течение. Для исследования устойчивости применен метод Канторовича. В [50, 51] изучалось влияние эффекта Соре на двухдиффузионную конвекцию Рэлея-Бенара либо при вибрациях, либо при осцилляции градиента температуры.
Несмотря на то, что параметрическими воздействиями конечных частот интересоваться стали давно, экспериментальные работы появились сравнительно недавно. Большой вклад в экспериментальное изучение вибрационной конвекции было сделано Г.Ф. Путиным и его сотрудниками [52]-[55].
В [53] экспериментально исследована устойчивость подъемно-опускного термоконвективного течения в вертикальном слое жидкости, подогреваемом сбоку и совершающем гармонические колебания вдоль вертикальной оси. В [54] сообщается о первом экспериментальном наблюдении параметрического резонанса в термоконвективной системе при модуляции силы тяжести. Опыты проведены с нагреваемым сверху плоским горизонтальным слоем жидкости, совершающим как целое колебания вдоль вертикального направления. Описаны два типа конвективных колебаний - с периодами, равными периоду (синхронный) и половине периода (квазипериодический) модуляции силового поля. Исследованы структуры надкритических конвективных движений и тепловые потоки. Указано, что параметрический механизм конвекции способствует значительной интенсификации тепломассопереноса, по сравнению с гравитационно-конвективной теплопередачей.
В работе [55] описываются структуры течений в трансформаторном масле, заполняющем полость в форме прямого кругового цилиндра, совершающую крутильные колебания вокруг горизонтальной оси. Рассмотрены случаи низкочастотных, промежуточных и высокочастотных угловых ускорений при однородной температуре жидкости, а также при подогреве снизу либо нагреве сверху. Изучено взаимодействие объемного конвективного механизма генерации течений с неконвективным механизмом, основанным на увлечении жидкости неравномерно вращающимися стенками за счет вязкого трения. Течения изучались для изотермического и неизотермического случаев, а также низких (до 3 Гц), средних (от 3 до 8 Гц) и высоких (более 8 Гц) частот качаний.
Квазиравновесное решение. Спектральная задача для возмущений
Среди экспериментальных работ следует отметить работы В.Г. Козлова, А. А. Ивановой и их сотрудников [56]. В экспериментах, проведенных этими авторами, рассматривались различного вида вибрационные воздействия в различных областях.
Проблемы космических технологий вызывают необходимость изучения конвекции в условиях микрогравитации. Об исследованиях микрогравитационной обстановки и конвекции жидкости на космических аппаратах сообщается в работах В.И. Полежаева и его сотрудников [57]-[66]. В данных работах описывается структура и приводятся графики микроускорений, взаимодействие вибрационной и тепловой конвекции, фотографии экспериментов. Из этих графиков видно, что структура микроускорений не одно- а многочастотная. Экспериментальные материалы, опубликованные в этом цикле статей, дают полезную информацию для теоретических исследований.
Теперь остановимся на работах, в которых рассматриваются задачи со свободными границами и поверхностями раздела. Обзор основных работ указанного направления содержится в монографии [67]. Однако в ней отсутствуют статьи, в которых рассматриваются задачи с параметрическими воздействиями. В работе [68] изучается воздействие горизонтальных высокочастотных вибраций на устойчивость поверхности раздела двухслойной системы со слоями одинаковой глубины. В ней получено условие возникновения стационарного волнового рельефа. Монография [69] посвящена изучению влияния вибрации на поведение свободной поверхности жидкости или поверхностей раздела жидкостей в изотермических условиях. Рассмотрены случаи высокочастотного вибрационного воздействия и конечных частот. В случае высоких частот применен метод многомасштабных разложений. В случае конечных частот рассмотрение ведется либо в рамках идеальной жидкости, либо в маловязком приближении, когда применим метод возмущений.
Частично обзор работ по теоретическому исследованию волн Фарадея в рамках приближения идеальной жидкости дан в монографии [70]. Как известно, в этом случае линейная задача устойчивости сводится к анализу уравнения Матье [71, 72]. В [70] рассматриваются волны на поверхности слоя жидкого диэлектрика при наличии переменного электрического поля. Приведены результаты эксперментов по возбуждению поверхностных волн электрическим полем. В работе [73] при исследовании влияния переменных внешних полей на неустойчивость Рэлея-Тейлора для возмущений свободной поверхности получено интегро-дифференциальное уравнение для слоя бесконечной глубины, которое проанализировано в асимптотическом случае малой вязкости. Следует также отметить, что интегро-дифференциальное уравнение было также получено в работе [74]. В работе [75] исследовано влияние двухчастотных вертикальных вибраций на параметрическое возбуждение волн в слое конечной глубины без ограничений на вязкость. Задача устойчивости сводится к решению задачи на собственные значения. Приведено сравнение с экспериментом. В [76] рассмотрено параметрическое возбуждение волн на свободной границе горизонтального слоя вязкой жидкости при вертикальных вибрациях. Линейная задача устойчивости сведена к интегро-дифференциальному уравнению, которое в случае слоя бесконечной глубины сводится к уравнению Черепанова [73]. В случае гармонических колебаний дисперсионное соотношение построено в явной форме с применением цепных дробей. При этом не накладываются ограничения на вязкость и другие параметры системы. Достаточно подробный обзор зарубежных работ во волнам Фарадея приведен в [77].
Впервые влияние вибрации на термокапиллярную конвективную неустойчивость в слое со свободной недеформируемой- границей было рассмотрено в работе В.А. Брискмана [78]. Принципиально новый подход при исследовании вибрационной конвекции в областях со свободной границей и поверхностями раздела был предложен и обоснован Д.В. Любимовым [79]-[82]. В предложенной модели, которая названа обобщенным приближением ОБ, для слабо неизотермической жидкости в уравнениях движения переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых. Эта модель стала применяться во многих последующих работах, и, в частности, в [83]-[85]. В этих работах показано, что использование обобщенного приближения ОБ приводит к качественно новым результатам по сравнению с традиционной моделью, и лишь в случае вертикальных колебаний обе модели дают совпадающие результаты. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн рассмотрено в [86] где в предположении слабой вязкости жидкости применен метод возмущений.
Исследования по конвекции в многослойных системах были начаты сравнительно недавно, и в основном рассматривались двухслойные системы. Проанализируем результаты работ по двухслойным системам в отсутствии вибрации. В 1959 г. вышла работа [88], в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации,примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача [88] близка к известной задаче Пирсона (см. [67]). В [89] аналитически и численно изучается конвективная неустойчивость в двухслойной системе конечной толщины и бесконечной в горизонтальном направлении. Твердые границы изотермические, жидкости вязкие, несмешивающиеся. Изучается взаимодействие бенаровского и Маран-гони механизмов возбуждения конвекции. Рассматривается, только монотонная неустойчивость. Построена асимптотика малых волновых чисел. Имеется цикл работ [90]-[95], в которых изучалась термокапиллярная конвекция в двухслойных системах с недеформируемой поверхностью раздела. В [96] рассмотрена многослойная система.. В [97] рассматривается задача об устойчивости равновесия в нагреваемой сверху системе, состоящей из двух слоев конечной толщины разных жидкостей. Нижние и верхние границы — твердые изотермические стенки. Граница раздела слоев плоская недеформируемая. Релей-тейлоровский механизм неустойчивости, капиллярные и термокапиллярные эффекты на границе раздела не учитываются. Рассмотрены предельные случаи, когда возможно найти точное аналитическое решение задачи. Показано, что монотонная неустойчивость возникает при нагреве сверху.
