Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Термокапиллярная конвекция в слое однокомпонент-ной жидкости при действии высокочастотной вибрации 21
1.1. Постановка задачи. Основные уравнения. Безразмерные па раметры 21
1.2 Асимптотика больших частот. Осреднение 24
1.2.1. Небуссинесковские уравнения 25
1.2.2. Уравнения в приближении Обербека-Буссинеска 31
1.3. Равновесное решение и его устойчивость 32
1.4. Термокапиллярная конвекция однородной жидкости 37
1.4.1. Длинноволновая асимптотика 38
1.4.2. Аналитическое исследование задачи 39
1.4.3. Численные результаты 43
1.5. Вибрационная конвекция Пирсона 45
Глава II. Влияние примеси на вибрационную конвекцию 65
2.1. Постановка задачи 65
2.2. Осреднение. Равновесное решение 66
2.3. Термоконцентрационная конвекция Марангони 70
2.4. Влияние эффекта Соре 71
2.5. Влияние примеси на термогравитационную конвекцию Рэлея- Бенара 73
2.5.1. Вертикальные колебания {ар — 7г/2) 73
2.5.2. Горизонтальные колебания (<р = 0) 76
Глава III. Влияние вертикальных вибраций конечной частоты на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое 93
3.1. Постановка задачи 93
3.2. Квазиравновесное решение 95
3.3. Решение Флоке. Метод цепных дробей 98
3.3.1. Случай мягкой нижней стенки 101
3.3.2. Случай твердой нижней стенки 105
3.4. Дисперсионное уравнение 106
3.5. Численные результаты 108
3.5.1. Асимптотика больших частот ' 108
3.5.2. Резонансы
Заключение 121
Список литературы 124
- Асимптотика больших частот. Осреднение
- Длинноволновая асимптотика
- Осреднение. Равновесное решение
- Квазиравновесное решение
Введение к работе
Естественная конвекция является одним из наиболее сложных явлений, происходящих в жидкости. Даже в обычных условиях гравитации она зависит от многих факторов. В условиях микрогравитации и невесомости положение дел в этой области осложняется из-за существования негравитационных сил, вызывающих конвективное движение. Это — силы поверхностного натяжения, вибрации, магнитные и электрические поля и т.д. Изучение различных механизмов и характеристик конвективной неустойчивости является предметом многих исследований. Это представляет интерес не только для фундаментальной науки гидродинамики, но и в связи с проблемами управления устойчивостью, задачами космической технологии.
В данной работе основное внимание уделено роли вибрационных воздействий на возникновение конвекции в слое со свободной границей, когда коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры, концентрации. В связи с этим приведем обзор работ, в которых содержатся постановки основных задач, рассмотрены методы исследований, описаны результаты экспериментов.
Задача о возникновении конвективной неустойчивости в горизонтальном слое, нагреваемом снизу, имеет свое начало в экспериментах Бенара [1]. В [2] Блок, анализируя результаты собственных экспериментов об условиях возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов Бенара, пришел к заключению, что в подобных случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Возможиость потери устойчивости равновесия под действием термокапиллярного эффекта впервые была показана в [3] на примере плоского слоя (задача Пирсона). В этой работе исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил, при этом предполагалось, что свободная поверхность недеформируема. Пирсоном был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Кроме того, им было показано, что состояние покоя наиболее неустойчиво при коэффициенте теплоотдачи Bi = 0, что означает отсутствие потока тепла через свободную поверхность. Исследованию термокапиллярной конвекции посвящен целый ряд работ, обзоров и книг [4Ц7].
В работе Пирсона была исследована монотонная неустойчивость. Однако численные исследования, проведенные в [8], а также в ряде других работ, где разыскивались колебательные возмущения для задачи Пирсона, показывают, что в случае недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения, колебательная неустойчивость не была обнаружена, но и ее отсутствие до сих пор строго не доказано.
Как отмечалось выше, исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости относительно монотонных возмущений было впервые проведено Пирсоном для плоского слоя. Та же задача, но с учетом деформируемости свободной поверхности рассматривалась в [9]. Получено, что учет деформаций свободной границы приводит к понижению устойчивости в области малых волновых чисел, при этом длинные волны всегда неустойчивы. Для коротковолновых возмущений картина устойчивости не изменяется, а критические числа Марангони качественно и количественно согласуются с результатами Пирсона. В работе [10] впервые обнаружена колебательная неустойчивость Марангони, которая носит длинноволновый характер и существует при отрицательных числах Марангони. В [10, 11] рассмотрен также случай "перевернутого" слоя - ситуации, когда горизонтальный слой в поле силы тяжести ограничен сверху твердой стенкой, а снизу — свободной поверхностью. В [12] численно обнаружена коротковолновая колебательная неустойчивость.
В [13] рассматривался случай слоя с двумя свободными недефор-мируемыми границами. Было показано, что наличие второй свободной поверхности сильно понижает устойчивость. Так, при Bi = 0 получено Мс = 21.92 при волновом числе k = 1.2 (для сравнения, у Пирсона Мс = 79.6 при к = 2.1). Коротковолновая колебательная неустойчивость Бенара-Марангони в слое со свободной деформируемой границей и твердой стенкой рассмотрена в работе [14]. В [15]-[17] изучена монотонная и колебательная неустойчивость Марангони в слое с двумя свободными деформируемыми границами. Для решения этой задачи был применен метод малого параметра. Показано, что в области малых частот и волновых чисел нет нарастающих колебательных возмущений. Монотонная и колебательная неустойчивость в слое с двумя свободными деформируемыми границами исследована также в [18]-[20], однако в этих работах рассмотрены существенно другие условия нагрева слоя - источники и стоки тепла располагались в середине слоя.
В 1959 г. вышла работа [21], в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача [21] близка к задаче Пирсона. Влияние поверхностного натяжения на конвекцию в слое бинарной смеси рассматривалось в [22]—[26]. В [27]-[29] исследовалось влияние термодиффузии (эффекта Соре) на возникновение термокапиллярной неустойчивости.
Большой цикл исследований конвекции Марангони в сосудах произвольной формы в условиях невесомости и микрогравитации проведен в работах В. И. Полежаева и его сотрудников [30]-[32].
В связи с тем, что конвективные течения играют ключевую роль во многих технологических процессах, происходящих на Земле и в космосе, важно иметь эффективные механизмы управления термокапиллярной неустойчивостью. Одним из таких механизмов являются параметрические воздействия, в том числе вибрации. Вибрации являются одним из факторов существенного влияния на диффузионные процессы в жидкостях и газах.
Задача о влиянии высокочастотных вертикальных вибраций на возникновение конвекции в области с твердой границей впервые рассмотрена в работе СМ. Зеньковской и И.Б. Симоненко [33]. В этой работе с помощью метода осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова (метод разделения движения) была выведена замкнутая автономная система для осредненного гидродинамического поля и указаны формулы для быстрых составляющих. В [33, 34] показано, что вертикальные колебания препятствуют возникновению термогравитационной конвекции в горизонтальном слое жидкости и даже могут сделать состояние относительного равнове сия абсолютно устойчивым. Начиная с работы [33], возникло направление, которое теперь называется вибрационной конвекцией. В [35, 36] выведены осредненные уравнения в случае вибрации произвольного направления. Анализ осредненной задачи показал, что высокочастотная вибрация может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Установлено, например, что при всех направлениях вибрации, отличных от вертикального, гравитационная конвекция в слое жидкости может возникнуть не только при подогреве снизу, но и при нагреве сверху. В работах Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого [37, 38] в результате анализа осредненных уравнений [36] было впервые указано на возможность вибрационной конвекции в условиях невесомости. Экспериментальное подтверждение вибрационных эффектов, полученных в [33]—[38], дано в работах Г. Ф. Путина и его сотрудников [39]-[41]. В работе [42] исследована вибрационная конвекция в условиях невесомости и пониженной гравитации. Найдены значения скорости вибрации, при которой происходит выход на невесомость, что позволяет указать параметры для наземного моделирования условий невесомости. Кроме того, в этой работе численно изучены вторичные стационарные режимы вибрационной конвекции, возникающие в малой окрестности критического числа Рэлея.
Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в области с твердой границей проведено в работах И. Б. Симоиенко и В. Б. Левенштама [43, 44]. Метод осреднения для динамических систем со связями и для неоднородной жидкости развит в цикле работ В. И. Юдовича [45]-[48]. В этих работах введены понятия виброгенной силы и виброгенных напряжений.
Задача о возникновении термокапиллярной конвекции Марангони в слое со свободной недеформируемой границей при высокочастотных вертикальных вибрациях впервые рассмотрена в работе В. А. Брискмана [49]. В [50] описан эксперимент по сглаживанию деформации свободной границы с помощью вертикальных колебаний. Дальнейшему исследованию этой задачи посвящена работа [51].
В работах Д. В. Любимова [52]-[54] при исследовании вибрационной конвекции неоднородной жидкости в областях со свободной границей был применен следующий подход: исходные уравнения записывались в общем виде, проводилось осреднение, а в осредненных уравнениях выполнялся переход к приближению Обербека-Буссинеска. В [55]-[58] этот подход применен к исследованию конвекции в горизонтальном слое со свободной деформируемой границей. Показано, что в случае слабо неизотермической жидкости достаточно в качестве исходных уравнений брать обобщенные уравнения Обербека-Буссинеска — переменную плотность учитывать не только в массовых силах, но и в инерционных членах.
Задача о влиянии высокочастотных гармонических поступательных колебаний на возникновение двухдиффузионной конвекции была поставлена в [59]. В этой работе по аналогии с [33, 36] применен метод осреднения и выведены осредненные уравнения вибрационной конвекции бинарной смеси для произвольной области с твердой или свободной недеформируемой границей. В случае горизонтального слоя эти уравнения проанализированы в [59] на модельных задачах — краевые условия заменены условиями периодичности. Показано, что имеют место эффекты примеси. В [60] рассмотрена вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси, ограниченном твердыми стенками. Исследована монотонная неустойчивость.
В [61] рассмотрено влияние высокочастотной вибрации на двойную диффузионную конвекцию в квадратной и прямоугольной области. Влияние эффекта Соре на двухдиффузионную вибрационную конвекцию Рэлея-Бенара изучалось в [62]-[64]. Термодиффузионная конвекция Марангони при действии вибрации с учетом эффекта Соре рассмотрена в [65]-[67]. При этом полученные выводы сравнивались с результатами, приведенными в [68, 69], где изучалась двухдиффузионная конвекция в отсутствии вибрации. Возникновение конвекции многокомпонентной жидкости при действии высокочастотной вибрации рассмотрено в [70]. Влияние высокочастотной вибрации на устойчивость адвективного течения исследовано в [71]. В данном введении невозможно перечислить все работы по вибрационной конвекции, опубликованные в России и за рубежом. Частично ссылки на них можно найти в книгах и обзорах [72]-[74].
Под термином вибрационная конвекция здесь понимается конвекция при действии вибрации большой частоты и конечной амплитуды скорости, и это уже общепринято. В этих случаях эффективно применение метода осреднения, либо метода многомасштабных разложений, так что в результате осредненные уравнения получаются одни и те же.
Случаи различных параметрических воздействий конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение конвекции рассмотрены в работах [75]-[8б]. В большинстве работ применялись численные методы - метод Галеркина, метод сеток. В работах В. И. Юдовича и его учеников [87]-[90] в случае гармонических колебаний применен метод цепных дробей, который позволяет в явной форме построить дисперсионное соотношение и дает эффективный алгоритм для расчета критических значений параметров. Метод цепных дробей ранее применялся в работах [91, 92], где периодичность была по пространственной переменной. Дальнейшее развитие этого метода в задаче о параметрическом возбуждении волн на свободной поверхности дано в работах [93]-[95]. В работе [96] этот метод применен при исследовании влияния вертикальных гармонических колебаний конечной частоты произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости, ограниченном твердыми или "мягкими" стенками. Под "мягкой" стенкой понимается граница, непроницаемая для жидкости и свободная от касательных напряжений.
В данной диссертации исследуется влияние поступательных периодических вибраций на возникновение термокапиллярной и термоконцен-трациошюй конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости. В основном рассматривается случай, когда одна из границ слоя — свободная деформируемая, а другая — либо твердая, либо мягкая стенка. В названии диссертации это не оговаривается, так как в главе II, где жидкость предполагается двухкомпонентной (исследуется влияние примеси), рассмотрен также слой с двумя твердыми или мягкими границами.
Первая глава посвящена исследованию влияния высокочастотных вибраций на возникновение термокапиллярной конвекции в слое одноком-понентной жидкости. В п. 1.1 приведена постановка задачи и система уравнений конвекции в обобщенном приближении Обербека-Буссинеска (переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых). Введены безразмерные параметры. В п. 1.2 рассмотрена асимптотика больших частот, выведены осредненные уравнения для плавных составляющих гидродинамического поля и приведены формулы для быстрых неизвестных. Получены выражения для виброгенной массовой силы и виброгенных напряжений. В осредненных уравнениях произведен переход к приближению Обербека-Буссинеска. При этом показано, что операции осреднения и перехода к приближению Обербека-Буссинеска неперестановочны — сначала нужно осреднить небуссинесковские уравнения, а потом перейти в осредненных уравнениях к приближению Обербека-Буссинеска (неучет виброгенной силы, происходящей от инерционного члена уравнения движения, может исказить результаты). В п. 1.3 найдено равновесное решение осредненных уравнений и выписана спектральная задача для нормальных возмущений. В п. 1.4 рассмотрен случай однородной жидкости. Соответствующая спектральная задача содержит один единственный вибрационный параметр ц3, который включает и амплитуду, и направление вибрации. Получены явные формулы для числа Марангони в случае монотонной неустойчивости для мягкой и твердой стенок. Для колебательной неустойчивости выписано трансцендентное уравнение для частоты нейтральных колебаний и формула для числа Марангони. Построена длинноволновая асимптотика критических чисел Марангони. В п. 1.5 приведены численные результаты, таблицы и графики для параметра Марангони в случае больших и малых волновых чисел и показано совпадение численных и асимптотических результатов. В п. 1.6 рассмотрена вибрационная конвекция Пирсона — свободная граница недеформируема в среднем. В этом случае продемонстрированы различия численных результатов в зависимости от выбора исходной модели конвекции: обобщенных уравнений или обыкновенных уравнений Обербека-Буссинеска. Показано, что в случае вертикальных колебаний результаты совпадают, и объяснена причина этого совпадения.
Во второй главе исследуется влияние примеси на возникновение вибрационной конвекции. Жидкость предполагается двухкомпонентной, коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. При этом рассматривается как однородная жидкость, так и неоднородная, когда плотность р линейно зависит от температуры и концентрации. В п. 2.1 приведена постановка задачи и система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска. Исходные уравнения взяты в таком приближении Обербека-Буссинеска потому, что рассматриваются два случая: 1) жидкость однородна (р = ро); 2) жидкость неоднородна, но границы слоя либо твердые стенки, либо свободные недеформируемые. В п. 2.2 применен метод осреднения, показано, что наличие примеси не изменило вид виброгенной силы и виброгенных напряжений, полученных в главе I. Найдено равновесное решение осредненной задачи. В п. 2.3 исследуется термокапиллярная конвекция Мараигони: приведена спектральная задача, показано влияние концентрационного числа Мараигони на возникновение конвекции. В п. 2.4 рассмотрен случай, когда градиент концентрации создается не внешними условиями, а является следствием термодинамической диффузии Соре. Исследовано влияние параметра Соре на нейтральные кривые Ма(а). В п. 2.5 рассмотрено влияние примеси на гравитационную термоконцеитрационную конвекцию Рэлея-Бенара. Слой ограничен сверху и снизу свободными от касательных напряжений или твердыми стенками. Рассмотрены случаи вертикальных и горизонтальных колебаний. В результате показано, что при наличии примеси могут по явиться замкнутые области монотонной и колебательной неустойчивости, которые исчезают, когда параметр вибрации стремится к нулю.
В третьей главе исследовано влияние вертикальных гармонических вибраций конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое однородной жидкости. В п. 3.1 сформулирована постановка задачи и приведены уравнения конвекции. В п. 3.2 найдено квазиравновесное решение, и методом линеаризации получена линейная задача для нормальных возмущений. Введены безразмерные параметры. Применена теория Флоке. В п. 3.3,3.4 построено в явной форме, с применением метода цепных дробей, характеристическое уравнение для показателей Флоке. Из него выведены уравнения для критических параметров всех трех основных типов потери устойчивости и соответствующих переходов: 1) к вторичным течениям того же периода, что и основной режим; 2) к вторичным течениям двойного периода; 3) к вторичным двухчастотным квазипериодическим режимам. В п. 3.5 приведены численные результаты. В п. 3.5.1 найдены значения безразмерной частоты u)as, при которых происходит выход чисел Марангони и частоты нейтральных колебаний на асимптотические значения при ш — со с заданной точностью. В п. 3.5.2 найдены области параметрических резонансов и исследовано их поведение в зависимости от частоты и амплитуды вибраций.
Актуальность темы. В последние десятилетия активно изучается конвекция в осциллирующих полях, которые могут иметь различную природу: акустические колебания, вибрации, вращение, модуляция температуры или концентрации. Кроме научного содержания, интерес к влиянию параметрических воздействий связан с приложениями — в проблемах гео-гидрофизики, космической технологии, материаловедения и т.д. Среди множества осциллирующих полей наибольший интерес вызывают высокочастотные вибрационные поля, появился даже новый термин — "вибрационная конвекция". После того, как было теоретически установлено, что вибрация, с одной стороны, может подавлять конвекцию, а с другой
— может быть одной из причин возникновения негравитационной конвекции, результаты по вибрационной конвекции стали учитывать при планировании космических экспериментов, а также использовать для управления конвекцией в наземных условиях. И хотя вибрационная конвекция интенсивно изучается и теоретиками, и экспериментаторами, многие задачи остаются нерешенными. Это, в первую очередь, задачи, связанные с взаимодействием вибрации и других факторов, вызывающих конвекцию
— градиенты поверхностного натяжения, наличие примесей, влияние формы границы и т.д. Очевидно, что, наряду с высокочастотными нолями, интересны и поля, осциллирующие с умеренной частотой. Здесь наиболее характерны явления, связанные с параметрическим резонансом. Области конечных частот, параметрических резонансов изучены недостаточно. При решении таких задач применяются в основном прямые численные методы, которые весьма трудоемки, особенно в условиях довольно слабо развитой теории. К этой актуальной области относятся исследования, проведенные в данной диссертации.
Цель работы. Целью данной работы являлось исследование влияния поступательных вибраций на возникновение конвекции в горизонтальном слое однокомпонентной жидкости или бинарной смеси, ограниченном свободной деформируемой поверхностью и твердой или свободной неде-формируемой ("мягкой") стенкой. При этом рассматривались два случая: 1) высокочастотные вибрации произвольного направления, малой амплитуды и конечной скорости; 2) вертикальные (поперечные) вибрации произвольной частоты. Жидкость предполагалась либо однородной, либо слабо неизотермической.
Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись аналитические, асимптотические и численные методы решений дифференциальных уравнений. Для анализа высокочастотной асимптотики применялся метод осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова в форме Капицы, развитый применительно к задачам гидродинамики в работах И. Б. Симоненко, С. М. Зеньковской, В. И. Юдовича, Д. В. Любимова и др. Для расчета нейтральных кривых применялись методы сведения к трансцендентному уравнению и метод стрельбы для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования влияния вибрации произвольной частоты применялись теория Флокс, метод цепных дробей, а также методы численного решения трансцендентных уравнений.
Научная новизна. Впервые исследовано влияние высокочастотных поступательных вибраций произвольного направления на возникновение термокапиллярной конвекции в тонком слое с деформируемой свободной границей. Показано, что в случае однородной жидкости действие вибрации приводит к сглаживанию свободной границы. Впервые исследовано влияние примеси на начало вибрационной конвекции Мараигони. Исследовано влияние вертикальных гармонических вибраций конечной частоты на возникновение конвекции; найдены области параметрических резонансов. Обнаружены новые вибрационные эффекты, связанные с действием поверхностного натяжения, а также с наличием примеси. Рассмотрены две модели: исходные уравнения взяты в обобщенном приближении Обербека-Буссинеска, введенном Д. В. Любимовым, (переменная плотность учитывается не только в массовых силах, но и в инерционных слагаемых) и в обычном приближении Обербека-Буссинеска. Проанализированы условия применимости и неприменимости уравнений Обербека-Буссинеска в задачах вибрационной конвекции в слое. Продемонстрирована эффективность метода цепных дробей в задаче термокапиллярной конвекции в осциллирующем поле.
Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задач, применением аналитических, асимптотических и численных методов, совпадением асимптотических и численных результатов, использованием надежных алгоритмов вычислений, позволяющих контролировать точность расчетов, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей, а также с результатами экспериментов.
Практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы как физиками-экспериментаторами, так и прикладными математиками при решении задач космической технологии, планирования эксперимента, геофизики. Кроме того, полученные качественные выводы могут служить основанием для проведения физических экспериментов в наземных условиях, а также при подготовке экспериментов в космосе. Практическая значимость полученных результатов определяется ролью конвекции в технологических процессах в условиях микрогравитации и невесомости. Полученные выводы и применяемые методы могут быть использованы при решении подобных задач о параметрическом воздействии на жидкость другими способами, отличными от вибрации.
Структура и объем работы. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы (111 наименований). Общий объем диссертации 138 страниц, включая 31 рисунок и 18 таблиц.
Исследования по диссертационной работе были составной частью работ по проектам:
1. "Математическая теория конвекции жидкости (переходы, селекция, эффекты вибрации и турбулентности)" (РФФИ 99-01-01023-а, рук. В. И. Юдович);
2. Программа поддержки молодых ученых, работающих по грантам РФФИ (РФФИ 01-01-06339, рук. А. Л. Шлейкель);
3. "Методы теории бифуркаций и спектральной теории в проблеме формирования пространственно-временных структур в жидкости" (Российско-Французский грант РФФИ 01-01-22002-НЦНИ-а, рук. В. И. Юдович);
4. Грант поддержки ведущих научных школ РФФИ "Математическая теория движения жидкости" (РФФИ 15-01-96188, рук. В. И. Юдович);
5. "Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидро-динамические и вибрационные эффекты)" (РФФИ 02-01-00337-а, рук. В. И. Юдович);
6. Грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ. "Математическая теория движения жидкости - разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации" (№ НШ-1768.2003.1, рук. В. И. Юдович).
7. Грант "Interfacial Phenomena in Microgravity Conditions Considering Surface Deformation" (INTAS-ESA №99-1505).
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55]-[58], [67], [96]—[111], регулярно докладывались и обсуждались на научных семинарах проф. В. И. Юдовича при Ростовском государственном университете, а также на следующих научных конференциях:
— II—VI международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды", Ростов-на-Дону, 1996-2001.
— Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on physical sciences in microgravity, St.Petersburg, Russia, 1997.
— Joint 1-st Pan-Pacific Basin Workshop on Microgravity Sciences. Japan. 1998.
— 12-я зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, 1999.
— VII Российском симпозиуме "Механика невесомости", Москва, 2000.
— Международной школе-семинаре "Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики", SCDS 2000, Ростов-на-Дону.
— Международных школах-семинарах "Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов". SCDS-II 2001, SCDS-2002, SCDS-2003, Сочи.
— VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001.
— First conference of the International Marangoni Association on interfa
cial fluid dynamics and processes in physico chemical systems. Giessen (Germany). 2001.
— Conference "Patterns and Waves: Theory and Application", St. Peter-burg, 2002.
— Школе-семинаре "Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика" для студентов, аспирантов и молодых ученых Юга России, Ростов-на-Дону, 2002.
— 5th Euromech Fluid Mechanics Conference, France, 2003.
— International Conference "Advanced problems in thermal convection", Perm, 2003.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа.
Наряду с собственными программами для ЭВМ, при численном решении спектральных задач были применены пакеты программ, созданные доцентами мехмата РГУ В. В. Колесовым, С. Н. Овчинниковой, К. А. На-долиным. Автор глубоко им признателен за предоставление этих программ и помощь при их использовании.
Я глубоко благодарен научному руководителю С. М. Зеньковской за предложенное направление исследований и неоценимую помощь в работе, а также участникам семинара по математическим вопросам гидродинамики, руководимого проф. В. И. Юдовичем.
Асимптотика больших частот. Осреднение
Естественная конвекция является одним из наиболее сложных явлений, происходящих в жидкости. Даже в обычных условиях гравитации она зависит от многих факторов. В условиях микрогравитации и невесомости положение дел в этой области осложняется из-за существования негравитационных сил, вызывающих конвективное движение. Это — силы поверхностного натяжения, вибрации, магнитные и электрические поля и т.д. Изучение различных механизмов и характеристик конвективной неустойчивости является предметом многих исследований. Это представляет интерес не только для фундаментальной науки гидродинамики, но и в связи с проблемами управления устойчивостью, задачами космической технологии.
В данной работе основное внимание уделено роли вибрационных воздействий на возникновение конвекции в слое со свободной границей, когда коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры, концентрации. В связи с этим приведем обзор работ, в которых содержатся постановки основных задач, рассмотрены методы исследований, описаны результаты экспериментов.
Задача о возникновении конвективной неустойчивости в горизонтальном слое, нагреваемом снизу, имеет свое начало в экспериментах Бенара [1]. В [2] Блок, анализируя результаты собственных экспериментов об условиях возникновения движений в тонких слоях жидкости со свободной поверхностью, а также проведенных ранее опытов Бенара, пришел к заключению, что в подобных случаях существенную роль играет зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры. Возможность потери устойчивости равновесия под действием термокапиллярного эффекта впервые была показана в [3] на примере плоского слоя (задача Пирсона). В этой работе исследован механизм неустойчивости подогреваемого снизу слоя жидкости со свободной поверхностью при отсутствии массовых сил, при этом предполагалось, что свободная поверхность недеформируема. Пирсоном был получен принципиальный результат: наличие только термокапиллярных сил может приводить к возникновению движения в жидкости. Кроме того, им было показано, что состояние покоя наиболее неустойчиво при коэффициенте теплоотдачи Bi = 0, что означает отсутствие потока тепла через свободную поверхность. Исследованию термокапиллярной конвекции посвящен целый ряд работ, обзоров и книг.
В работе Пирсона была исследована монотонная неустойчивость. Однако численные исследования, проведенные в [8], а также в ряде других работ, где разыскивались колебательные возмущения для задачи Пирсона, показывают, что в случае недеформируемой свободной поверхности возможны только монотонные возмущения, колебательная неустойчивость не была обнаружена, но и ее отсутствие до сих пор строго не доказано.
Как отмечалось выше, исследование устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости относительно монотонных возмущений было впервые проведено Пирсоном для плоского слоя. Та же задача, но с учетом деформируемости свободной поверхности рассматривалась в [9]. Получено, что учет деформаций свободной границы приводит к понижению устойчивости в области малых волновых чисел, при этом длинные волны всегда неустойчивы. Для коротковолновых возмущений картина устойчивости не изменяется, а критические числа Марангони качественно и количественно согласуются с результатами Пирсона. В работе [10] впервые обнаружена колебательная неустойчивость Марангони, которая носит длинноволновый характер и существует при отрицательных числах Марангони. В [10, 11] рассмотрен также случай "перевернутого" слоя - ситуации, когда горизонтальный слой в поле силы тяжести ограничен сверху твердой стенкой, а снизу — свободной поверхностью. В [12] численно обнаружена коротковолновая колебательная неустойчивость.
В [13] рассматривался случай слоя с двумя свободными недефор-мируемыми границами. Было показано, что наличие второй свободной поверхности сильно понижает устойчивость. Так, при Bi = 0 получено Мс = 21.92 при волновом числе k = 1.2 (для сравнения, у Пирсона Мс = 79.6 при к = 2.1). Коротковолновая колебательная неустойчивость Бенара-Марангони в слое со свободной деформируемой границей и твердой стенкой рассмотрена в работе [14]. В [15]-[17] изучена монотонная и колебательная неустойчивость Марангони в слое с двумя свободными деформируемыми границами. Для решения этой задачи был применен метод малого параметра. Показано, что в области малых частот и волновых чисел нет нарастающих колебательных возмущений. Монотонная и колебательная неустойчивость в слое с двумя свободными деформируемыми границами исследована также в [18]-[20], однако в этих работах рассмотрены существенно другие условия нагрева слоя - источники и стоки тепла располагались в середине слоя.
Длинноволновая асимптотика
В 1959 г. вышла работа [21], в которой рассматривалась концентрационная неустойчивость на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Так как уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, а зависимость коэффициента поверхностного натяжения от концентрации примеси имеет такой же характер, как его зависимость от температуры, то задача [21] близка к задаче Пирсона. Влияние поверхностного натяжения на конвекцию в слое бинарной смеси рассматривалось в [22]—[26]. В [27]-[29] исследовалось влияние термодиффузии (эффекта Соре) на возникновение термокапиллярной неустойчивости.
Большой цикл исследований конвекции Марангони в сосудах произвольной формы в условиях невесомости и микрогравитации проведен в работах В. И. Полежаева и его сотрудников [30]-[32]. В связи с тем, что конвективные течения играют ключевую роль во многих технологических процессах, происходящих на Земле и в космосе, важно иметь эффективные механизмы управления термокапиллярной неустойчивостью. Одним из таких механизмов являются параметрические воздействия, в том числе вибрации. Вибрации являются одним из факторов существенного влияния на диффузионные процессы в жидкостях и газах.
Задача о влиянии высокочастотных вертикальных вибраций на возникновение конвекции в области с твердой границей впервые рассмотрена в работе СМ. Зеньковской и И.Б. Симоненко [33]. В этой работе с помощью метода осреднения Ван-дер-Поля-Крылова-Боголюбова (метод разделения движения) была выведена замкнутая автономная система для осредненного гидродинамического поля и указаны формулы для быстрых составляющих. В [33, 34] показано, что вертикальные колебания препятствуют возникновению термогравитационной конвекции в горизонтальном слое жидкости и даже могут сделать состояние относительного равновесия абсолютно устойчивым. Начиная с работы [33], возникло направление, которое теперь называется вибрационной конвекцией. В [35, 36] выведены осредненные уравнения в случае вибрации произвольного направления. Анализ осредненной задачи показал, что высокочастотная вибрация может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Установлено, например, что при всех направлениях вибрации, отличных от вертикального, гравитационная конвекция в слое жидкости может возникнуть не только при подогреве снизу, но и при нагреве сверху. В работах Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого [37, 38] в результате анализа осредненных уравнений [36] было впервые указано на возможность вибрационной конвекции в условиях невесомости. Экспериментальное подтверждение вибрационных эффектов, полученных в [33]—[38], дано в работах Г. Ф. Путина и его сотрудников [39]-[41]. В работе [42] исследована вибрационная конвекция в условиях невесомости и пониженной гравитации. Найдены значения скорости вибрации, при которой происходит выход на невесомость, что позволяет указать параметры для наземного моделирования условий невесомости. Кроме того, в этой работе численно изучены вторичные стационарные режимы вибрационной конвекции, возникающие в малой окрестности критического числа Рэлея.
Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в области с твердой границей проведено в работах И. Б. Симоиенко и В. Б. Левенштама [43, 44]. Метод осреднения для динамических систем со связями и для неоднородной жидкости развит в цикле работ В. И. Юдовича [45]-[48]. В этих работах введены понятия виброгенной силы и виброгенных напряжений.
Задача о возникновении термокапиллярной конвекции Марангони в слое со свободной недеформируемой границей при высокочастотных вертикальных вибрациях впервые рассмотрена в работе В. А. Брискмана [49]. В [50] описан эксперимент по сглаживанию деформации свободной границы с помощью вертикальных колебаний. Дальнейшему исследованию этой задачи посвящена работа [51].
Осреднение. Равновесное решение
В работах Д. В. Любимова [52]-[54] при исследовании вибрационной конвекции неоднородной жидкости в областях со свободной границей был применен следующий подход: исходные уравнения записывались в общем виде, проводилось осреднение, а в осредненных уравнениях выполнялся переход к приближению Обербека-Буссинеска. В [55]-[58] этот подход применен к исследованию конвекции в горизонтальном слое со свободной деформируемой границей. Показано, что в случае слабо неизотермической жидкости достаточно в качестве исходных уравнений брать обобщенные уравнения Обербека-Буссинеска — переменную плотность учитывать не только в массовых силах, но и в инерционных членах.
Задача о влиянии высокочастотных гармонических поступательных колебаний на возникновение двухдиффузионной конвекции была поставлена в [59]. В этой работе по аналогии с [33, 36] применен метод осреднения и выведены осредненные уравнения вибрационной конвекции бинарной смеси для произвольной области с твердой или свободной недеформируемой границей. В случае горизонтального слоя эти уравнения проанализированы в [59] на модельных задачах — краевые условия заменены условиями периодичности. Показано, что имеют место эффекты примеси. В [60] рассмотрена вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси, ограниченном твердыми стенками. Исследована монотонная неустойчивость.
В [61] рассмотрено влияние высокочастотной вибрации на двойную диффузионную конвекцию в квадратной и прямоугольной области. Влияние эффекта Соре на двухдиффузионную вибрационную конвекцию Рэлея-Бенара изучалось в [62]-[64]. Термодиффузионная конвекция Марангони при действии вибрации с учетом эффекта Соре рассмотрена в [65]-[67]. При этом полученные выводы сравнивались с результатами, приведенными в [68, 69], где изучалась двухдиффузионная конвекция в отсутствии вибрации. Возникновение конвекции многокомпонентной жидкости при действии высокочастотной вибрации рассмотрено в [70]. Влияние высокочастотной вибрации на устойчивость адвективного течения исследовано в [71]. В данном введении невозможно перечислить все работы по вибрационной конвекции, опубликованные в России и за рубежом. Частично ссылки на них можно найти в книгах и обзорах [72]-[74].
Под термином вибрационная конвекция здесь понимается конвекция при действии вибрации большой частоты и конечной амплитуды скорости, и это уже общепринято. В этих случаях эффективно применение метода осреднения, либо метода многомасштабных разложений, так что в результате осредненные уравнения получаются одни и те же.
Случаи различных параметрических воздействий конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение конвекции рассмотрены в работах [75]-[8б]. В большинстве работ применялись численные методы - метод Галеркина, метод сеток. В работах В. И. Юдовича и его учеников [87]-[90] в случае гармонических колебаний применен метод цепных дробей, который позволяет в явной форме построить дисперсионное соотношение и дает эффективный алгоритм для расчета критических значений параметров. Метод цепных дробей ранее применялся в работах [91, 92], где периодичность была по пространственной переменной. Дальнейшее развитие этого метода в задаче о параметрическом возбуждении волн на свободной поверхности дано в работах [93]-[95]. В работе [96] этот метод применен при исследовании влияния вертикальных гармонических колебаний конечной частоты произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости, ограниченном твердыми или "мягкими" стенками. Под "мягкой" стенкой понимается граница, непроницаемая для жидкости и свободная от касательных напряжений.
В данной диссертации исследуется влияние поступательных периодических вибраций на возникновение термокапиллярной и термоконцен-трациошюй конвекции в горизонтальном слое вязкой несжимаемой жидкости. В основном рассматривается случай, когда одна из границ слоя — свободная деформируемая, а другая — либо твердая, либо мягкая стенка. В названии диссертации это не оговаривается, так как в главе II, где жидкость предполагается двухкомпонентной (исследуется влияние примеси), рассмотрен также слой с двумя твердыми или мягкими границами.
Квазиравновесное решение
Введены безразмерные параметры. В п. 1.2 рассмотрена асимптотика больших частот, выведены осредненные уравнения для плавных составляющих гидродинамического поля и приведены формулы для быстрых неизвестных. Получены выражения для виброгенной массовой силы и виброгенных напряжений. В осредненных уравнениях произведен переход к приближению Обербека-Буссинеска. При этом показано, что операции осреднения и перехода к приближению Обербека-Буссинеска неперестановочны — сначала нужно осреднить небуссинесковские уравнения, а потом перейти в осредненных уравнениях к приближению Обербека-Буссинеска (неучет виброгенной силы, происходящей от инерционного члена уравнения движения, может исказить результаты). В п. 1.3 найдено равновесное решение осредненных уравнений и выписана спектральная задача для нормальных возмущений. В п. 1.4 рассмотрен случай однородной жидкости. Соответствующая спектральная задача содержит один единственный вибрационный параметр ц3, который включает и амплитуду, и направление вибрации. Получены явные формулы для числа Марангони в случае монотонной неустойчивости для мягкой и твердой стенок. Для колебательной неустойчивости выписано трансцендентное уравнение для частоты нейтральных колебаний и формула для числа Марангони. Построена длинноволновая асимптотика критических чисел Марангони. В п. 1.5 приведены численные результаты, таблицы и графики для параметра Марангони в случае больших и малых волновых чисел и показано совпадение численных и асимптотических результатов. В п. 1.6 рассмотрена вибрационная конвекция Пирсона — свободная граница недеформируема в среднем. В этом случае продемонстрированы различия численных результатов в зависимости от выбора исходной модели конвекции: обобщенных уравнений или обыкновенных уравнений Обербека-Буссинеска. Показано, что в случае вертикальных колебаний результаты совпадают, и объяснена причина этого совпадения. Во второй главе исследуется влияние примеси на возникновение вибрационной конвекции. Жидкость предполагается двухкомпонентной, коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации. При этом рассматривается как однородная жидкость, так и неоднородная, когда плотность р линейно зависит от температуры и концентрации. В п. 2.1 приведена постановка задачи и система уравнений в приближении Обербека-Буссинеска. Исходные уравнения взяты в таком приближении Обербека-Буссинеска потому, что рассматриваются два случая: 1) жидкость однородна (р = ро); 2) жидкость неоднородна, но границы слоя либо твердые стенки, либо свободные недеформируемые. В п. 2.2 применен метод осреднения, показано, что наличие примеси не изменило вид виброгенной силы и виброгенных напряжений, полученных в главе I. Найдено равновесное решение осредненной задачи. В п. 2.3 исследуется термокапиллярная конвекция Мараигони: приведена спектральная задача, показано влияние концентрационного числа Мараигони на возникновение конвекции. В п. 2.4 рассмотрен случай, когда градиент концентрации создается не внешними условиями, а является следствием термодинамической диффузии Соре. Исследовано влияние параметра Соре на нейтральные кривые Ма(а). В п. 2.5 рассмотрено влияние примеси на гравитационную термоконцеитрационную конвекцию Рэлея-Бенара. Слой ограничен сверху и снизу свободными от касательных напряжений или твердыми стенками. Рассмотрены случаи вертикальных и горизонтальных колебаний.
В результате показано, что при наличии примеси могут появиться замкнутые области монотонной и колебательной неустойчивости, которые исчезают, когда параметр вибрации стремится к нулю. В третьей главе исследовано влияние вертикальных гармонических вибраций конечной частоты и произвольной амплитуды на возникновение термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое однородной жидкости. В п. 3.1 сформулирована постановка задачи и приведены уравнения конвекции. В п. 3.2 найдено квазиравновесное решение, и методом линеаризации получена линейная задача для нормальных возмущений. Введены безразмерные параметры. Применена теория Флоке. В п. 3.3,3.4 построено в явной форме, с применением метода цепных дробей, характеристическое уравнение для показателей Флоке. Из него выведены уравнения для критических параметров всех трех основных типов потери устойчивости и соответствующих переходов: 1) к вторичным течениям того же периода, что и основной режим; 2) к вторичным течениям двойного периода; 3) к вторичным двухчастотным квазипериодическим режимам. В п. 3.5 приведены численные результаты. В п. 3.5.1 найдены значения безразмерной частоты u)as, при которых происходит выход чисел Марангони и частоты нейтральных колебаний на асимптотические значения при ш — со с заданной точностью.
