Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 3
1.1 Общая характеристика работы 3
1.2 Обзор литературы 8
Глава 2. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое 43
2.1 Постановка задачи 44
2.2 Метод характеристических показателей 53
2.3 Обсуждение результатов 59
2.4 Выводы 78
Глава 3. Тепловая конвекция жидкости максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, в модулированном поле силы тяжести 80
3.1 Постановка задачи 80
3.2 Метод численного решения 87
3.3 Границы линейной устойчивости равновесия 100
3.4 Нелинейные характеристики конвективного движения 104
3.5 Выводы 115
Глава 4. Конвективная устойчивость равновесия и надкритические режимы конвекции вязкоупругой жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения 117
4.1 Постановка задачи 118
4.2 Линейная устойчивость механического равновесия 131
4.3 Слабо-нелинейный анализ 134
4.4 Нелинейные режимы конвекции 140
4.5 Выводы 145
Заключение 149
Список литературы 151
- Общая характеристика работы
- Метод характеристических показателей
- Нелинейные характеристики конвективного движения
- Линейная устойчивость механического равновесия
Введение к работе
Актуальность работы
Неньютоновские жидкости весьма распространены в природе и технике. Вязкоупругие среды, представляющие собой одну из разновидностей неньютоновских жидкостей, объединяют широкий класс веществ, примерами которых являются суспензии, эмульсии, растворы и расплавы полимеров. Поведение таких сред при наличии внешних воздействий имеет не только теоретический, но и практический интерес в связи с проблемами переработки, транспортировки и хранения. Учет неныотоновского поведения имеет также значение при изучении некоторых геофизических явлений, например, в связи с процессами в мантии Земли.
В литературе имеется большое число работ, посвященных исследованию течений вязкоупругих сред в изотермических внешних условиях. Имеются также работы, посвященные изучению возникновения конвекции вязкоупругих жидкостей в горизонтальных плоских слоях, в том числе при наличии различных осложняющих факторов (вращение, магнитное поле, примесь). Чаще всего при исследовании свободной конвекции предполагается, что параметры, характеризующие внешние условия, не меняются со временем. Однако влияние нестационарности параметров на устойчивость равновесия и конвективные движения может быть весьма заметным. Устойчивость равновесия и нелинейные режимы конвекции неравномерно-нагретых вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях и влияние на эти явления периодического изменения параметров изучены недостаточно. Поэтому исследование этих явлений, а также анализ возможности параметрического воздействия на устойчивость равновесия и надкритические конвективные режимы являются весьма актуальными.
Цель работы заключалась в изучении поведения вязкоупругих жидкостей при подогреве снизу. При этом ставились следующие задачи:
исследование устойчивости равновесия горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Максвелла в периодически изменяющемся поле тяжести;
изучение устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции вязкоупругой жидкости Максвелла в замкнутой полости, в отсутствие и при наличии модуляции силы тяжести;
исследование линейной устойчивости равновесия, анализ поведения решений вблизи порога устойчивости и изучение существенно нелинейных режимов тепловой конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в подогреваемое. НАЦИОНАЛЬНАЯ t
БИБЛИОТЕКА і
оУ^Д.|
мой снизу замкнутой полости. Научная новизна
получены карты устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла со свободными границами, при наличии ступенчатой модуляции силы тяжести. Определено влияние параметров задачи (параметра упругости, амплитуды и частоты модуляции) на поведение системы. Показано, что при малых параметрах упругости напряжений модуляция силы тяжести, как и в ньютоновской жидкости, оказывает стабилизирующее действие. С увеличением параметра упругости стабилизирующий эффект ослабляется, а затем сменяется дестабилизацией. Обнаружены зоны неустойчивости, ограниченные кривыми, где мультипликаторы принимают комплексные значения, что соответствует непериодическим колебаниям;
разработан численный алгоритм расчета конвекции вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях, позволяющий эффективно проводить вычисления в широком интервале значений параметра упругости;
найдены границы устойчивости равновесия максвелловской жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, при синусоидальной модуляции силы тяжести. Прослежено изменение структуры конвективного движения в процессе колебаний;
определены границы линейной устойчивости равновесия жидкости Олд-ройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения, в статическом поле тяжести. Обнаружено, что в рассматриваемой задаче возможны пересечения границ устойчивости по отношению к возмущениям разной симметрии, так что в некоторой области ответственными за возникновение неустойчивости равновесия оказываются колебательные возмущения двухвихревой структуры;
изучено поведение решений в окрестности пересечения поверхностей вилочной бифуркации для возмущений одновихревой структуры и бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры. Показано, что в окрестности пересечения в системе существуют смешанные режимы (амплитуды возмущений обоих типов отличны от нуля);
численно исследованы нелинейные режимы тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Построены бифуркационные диаграммы режимов конвекции для различных значений параметра упругости. Обнаружено, что при значениях параметров в области, где наиболее опасными являются монотонные возмущения, переход числа Грасгофа через крити-
ческое значение приводит к появлению стационарных движений, затем происходит последовательная смена следующих типов движений: периодические колебания с ненулевым средним, модулированные колебания и непериодические движения. В области значений параметров, где наиболее опасными являются колебательные возмущения, при малых надкритичностях устанавливаются стационарные периодические движения с нулевым средним; при дальнейшем росте числа Грасгофа возникают стационарные периодические колебания с ненулевым средним, затем модулированные колебания, которые, в свою очередь, сменяются непериодическими. Автор защищает:
результаты изучения устойчивости механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла в модулированном поле тяжести;
результаты численного исследования устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции жидкости Максвелла в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом и модулированном поле тяжести;
результаты исследования линейной устойчивости равновесия вязкоупругой жидкости (модель Олдройда-В) в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести;
результаты исследования нелинейных режимов тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести.
Практическая ценность
Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете гидродинамических и тепловых характеристик конвективных течений, возникающих при хранении, транспортировке и переработке вязкоупругих сред, а также при геофизических исследованиях конвекции в мантии Земли.
Достоверность результатов подтверждается сравнением с изученными ранее, другими авторами, предельными случаями конвекции ньютоновской жидкости в статическом и модулированном полях тяжести и вязкоупругой жидкости в статическом поле тяжести.
При изучении конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в замкнутой полости при подогреве снизу обнаружено хорошее согласие результатов слабо-нелинейного анализа и прямого численного моделирования.
Апробация работы
Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на 11-ой и 12-ой Международных зимних школах по механике сплошных сред (февраль
1997 г. и январь 1999 г., Пермь); Объединенном XI Европейском и VI Все
российском симпозиуме по физическим наукам в невесомости (июнь 1997 г.,
Санкт-Петербург); VI и УШ Международной конференции по устойчивости
течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (апрель 1999 г. и апрель
2001 г., Новосибирск); 16* IMACS World Congress on the Scientific Computa
tion, Applied Mathematics and Simulation, (август 2000 г., Лозанна, Швейца
рия); International Conference on Patterns and Waves. Theory and Applications
(июль 2002 г., Санкт-Петербург); а также на Пермском городском гидроди
намическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого (январь
1998 г. и март 2005 г.).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, в которых излагаются результаты исследования, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 165 страниц, в работу включено 52 рисунка. Список литературы содержит 154 названия.
Общая характеристика работы
Неньютоновские жидкости образуют широкий класс разнообразных материалов, общими свойствами которых является их текучесть и отклонение от закона трения Ньютона. В случае ньютоновской жидкости вязкость pi может зависеть от температуры или давления, но она не зависит от скорости сдвига. График зависимости между напряжением и скоростью сдвига для ньютоновской жидкости - так называемая «кривая течения» -представляет собой прямую линию с тангенсом наклона ц. Эта единственная постоянная полностью характеризует ньютоновскую жидкость.
Жидкости, у которых «кривая течения» носит нелинейный характер, принято называть неньютоновскими. Для таких жидкостей вязкость при заданных температуре и давлении не остается постоянной, а зависит от различных факторов: предыстории жидкости, времени действия напряжения, скорости деформации сдвига, конструктивных особенностей аппаратуры. Среди реальных жидкостей с нелинейной кривой течения выделяют три крупные группы:
Системы, в которых скорость сдвига в каждой точке является простой функцией напряжения в этой же точке и не зависит от времени. В зависимости от вида функции в реологическом уравнении такие системы в свою очередь разделяются на бингамовские пластичные, псевдопластичные и дилатантные жидкости.
Системы, в которых связь между напряжением и скоростью сдвига зависит от времени действия напряжения или предыстории жидкости. Эти жидкости, в соответствии с тем, убывают или возрастают со временем напряжения сдвига, если жидкость деформируется с постоянной скоростью сдвига, подразделяются на тиксотропные и реопектические. 3. И, наконец, системы, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости. Такие материалы проявляют как упругое восстановление формы, так и вязкое течение и называются вязкоупругими. Более подробно с каждой группой можно ознакомиться в книге У. Л. Уилкинсона [14].
Очевидно, что поведение неньютоновской жидкости существенно зависит от выбранной модели среды. Упомянем, что для исследования поведения систем первого типа используются модели Бингама [15], Оствальда [16] и Рейнера [17]. Одними из первых, кто изучал среды второго типа, были Прайс-Джонс [18], Френдлих и Юлиусбергер [19].
Реологические модели вязкоупругих сред являются более сложными, чем модели, упомянутые выше. Это связано с тем, что вязкоупругие среды наряду с вязкостью обладают и упругостью, которая проявляется при быстром изменении напряжений. Таким образом, напряжение зависит не только от мгновенной деформации, но и от предыстории процесса. Простейшую модель вязкоупругой жидкости предложил Дж. Максвелл [20]. Несмотря на то, что применение этой модели ограниченно областью бесконечно малых деформаций, она с успехом применялась Шофилдом и Скотт-Блэром [21] для описания поведения мучного теста. Более сложные уравнения для учета вязкоупругих эффектов были предложены Джеффрисом и Олдройдом [22]. Достаточно подробное описание реологических моделей вязкоупругих жидкостей имеется в книге Л. С. Артюшкова [23].
Рассмотрим уравнения состояния неньютоновских вязкоупругих жидкостей. Уравнения состояния таких жидкостей подразделяют на три типа [24]: дифференциальные, интегральные и релаксационные.
К первому типу принадлежат уравнения, определяющие тензор напряжений как функцию дифференциальных кинематических величин, относящихся к моменту наблюдения. Тем не менее, эти уравнения отражают концепцию памяти жидкости, поскольку деформационные тензоры высокого порядка содержат некоторую информацию о прошлых деформациях. Наиболее общее уравнение этого типа было впервые рассмотрено Ривлином и Эриксеном [25] и теперь известно как уравнение состояния Ривлина -Эриксена.
Уравнения второго типа представляют напряжения в форме интегралов от истории деформирования. Примером интегральных уравнений могут служить модели Бернстейна, Керсли и Запаса [26] и Тэннера и Симмонса [27].
Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального типа разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния третьего, релаксационного типа. Они содержат, по меньшей мере, одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого вида, дает название этому типу уравнений. Именно уравнения последнего типа использовались в данной работе.
Перейдем к более подробному рассмотрению релаксационных моделей вязкоупругих жидкостей.
Поведение таких сред не может быть охарактеризовано простым реологическим уравнением типа y-f{s), /-скорость сдвига (деформации), s - напряжение сдвига, так как оно не описывает упомянутые выше особенности течения. Основное и существенное отличие заключается в том, что реологическое уравнение вязкоупругой жидкости в общем случае содержит производные по времени как от у, так и от s.
Метод характеристических показателей
Y. Н. Taguchi [96] при помощи численного моделирования воспроизвел конвекцию и псевдоожижение сыпучей среды на вибрирующей подложке. Автором было сделано предположение того, что при столкновении каждая частица порошка взаимодействует с любой другой частицей вязкоупругим образом. Поэтому, из-за отсутствия дискретности частиц, упругость приводит к возникновению конвекции. Найденные критические условия псевдоожижения и конвекции согласуются с экспериментальными данными.
В конце обсуждения проблем конвективной устойчивости неньютоновских жидкостей назовем несколько работ, относящихся к жидкости с микровращением (модель Эрингена). G. Ahmadi [97] с помощью метода малых возмущений и энергетического метода исследовал устойчивость горизонтального слоя и показал, что микровращение приводит к стабилизации равновесия. Задачи, связанные с эффектом микрополярности, также рассматривали V. U. К. Sastry и G. Maiti [98], А. В. Datta и V. U, К. Sastry [99]. G, Ahmadi [100] изучал микрополярную проводящую среду в магнитном поле. Результаты исследования конвективной устойчивости микрополярной жидкости в приложении к некоторым проблемам геофизики представил U. Walzer [101]. S. P. Bhattachargya и М. Abbas [ 102] показали дестабилизирующее влияние вращения на горизонтальный слой микрополярной жидкости.
Как известно, начало систематического изучения вопросов конвективной устойчивости было связано с опытами Бенара, наблюдавшего возникновение ячеистой конвекции в подогреваемом снизу тонком слое ньютоновской жидкости. Затем Релеєм была решена задача об устойчивости плоского горизонтального слоя со свободными границами, что послужило началом развития теории конвективной устойчивости.
По сравнению с конвективной неустойчивостью равновесия неустойчивость конвективных течений обладает рядом специфических особенностей. Эта неустойчивость возникает в результате развития возмущений на фоне движущейся жидкости, поэтому взаимодействие возмущений с основным потоком является важным фактором.
Приведем обзор публикаций, затрагивающих вопросы устойчивости конвективных течений в неньютоновских жидкостях. Для начала упомянем обзорную статью J. R. A. Pearsona [103], в которой анализируются работы, связанные с изучением конвекции в неньютоновских жидкостях и рассматриваются вопросы о механизмах неустойчивости, связанных с неньютоновостью. Более поздний обзор R. G. Larsona [104] посвящен проблемам неустойчивости вязкоупругих течений. В нем работы объединены по следующим категориям: неустойчивость течения Тейлора - Куэтта, неустойчивость течения в системе конус-плоскость, неустойчивость параллельных сдвиговых течений, течения в экструдерах, неустойчивость сдвиговых потоков с границами раздела, неустойчивость течений с расширением, неустойчивость в многомерных потоках, темрогидро-динамические неустойчивости. Особое место в обзоре отведено сравнению теоретических результатов с экспериментальными данными.
Работа D, М. Herberta [105] посвящена изучению устойчивости плоского течения Куэтта при подогреве снизу для случая вязкоупругой жидкости. В качестве реологической модели использовалась модель Олдройда. Показано, что наличие упругих свойств приводит к дестабилизации течения. Позднее такой же результат был получен R. Sureshkumar, M.D.Smith, R. С. Armstrong, R. A. Brown [106], которые помимо двумерного вязкоупругого течения Куэтта рассматривали течение под действием перепада давления за линейным периодическим массивом цилиндров.
Теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости течения вязкоупругой жидкости Bogera между двумя неконцентрическими цилиндрами представлено в работе I. М. Dris и Е. S. G. Shaqfeh [107]. Локальный линейный анализ устойчивости показал, что течение упруго неустойчиво для всех эксцентриситетов. Проведено сравнение локальной и общей устойчивости. Сравнение экспериментальных результатов с локальной теорией устойчивости показало хорошее совпадение между измеренными и предсказанными критическими условиями возникновения неинерциальной ячеистой неустойчивости при малых значениях эксцентриситета, усредненного по толщине. При высоких эксцентриситетах экспериментальные и теоретические результаты перестают совпадать. Доказано, что это несовпадение обусловлено общим воздействием, т.е. конвекция напряжения не учитывается в локальной теории. Особенно, это подтверждается тем, что конвекция полимерных напряжений в основном течении так же, как и течение возмущения, может стабилизировать неустойчивость, найденную для этой геометрии. Обнаружена новая локальная чисто упругая неустойчивость, связанная с рециркулярным течением в совместно вращающихся неконцентрических цилиндрах.
В работах Е.Л. Тарунина [108] и Е. Л. Тарунина, В. Г. Шайдурова, А.Н. Шарифулина [109] рассматривалось свободно-конвективное движение ньютоновской жидкости в плоской прямоугольной области, ограниченной твердыми идеально теплопроводными стенками при наличии бокового подогрева. Решение аналогичной задачи для жидкости Максвелла представлено И. Г. Семакиным [ПО]. Им обнаружен колебательный режим свободной конвекции вязкоупругой жидкости при стационарных внешних условиях. Возникновение колебаний носит пороговый характер. По сравнению с ньютоновской жидкостью при тех же условиях, при сравнительно слабой интенсивности движения колебания устанавливаются при гораздо меньших значениях числа Грасгофа.
Н. Harder [П1] численным методом решал задачу о тепловой конвекции максвелловской жидкости в квадратной полости для чисел Деборы « 1. М, A. Brutyan, P. L. Krapivsky [112] изучали устойчивость периодического однонаправленного двумерного течения вязкоупругой жидкости. Ими были определены точные значения критического числа Рейнольдса для двух моделей вязкоупругого материала: жидкости Максвелла с верхней конвективной производной и жидкости Олдройда-В.
Нелинейные характеристики конвективного движения
Далее происходит чередование зон неустойчивости, соответствующих синхронным и субгармоническим нарастающим возмущениям. Таким образом, при малых значениях параметра упругости поведение вязкоупругой жидкости близко к поведению ньютоновской жидкости [69].
На рис.2.3 показаны области неустойчивости для R = L2, « = 10, Л = 0.01. При таком значении числа Релея (R \) в статическом случае равновесие неустойчиво. При малых значениях амплитуды модуляции равновесие остается неустойчивым: вблизи оси абсцисс имеется основная зона неустойчивости, в которой возмущения нарастают, осциллируя с периодом, равным периоду модуляции силы тяжести. Увеличение амплитуды модуляции приводит к стабилизации монотонной
Позволяют проследить за изменением границ устойчивости при изменении параметра упругости. Как видно из рис.2.4 (R = \.2, я = 10, Я = 0.1), с увеличением параметра упругости Я происходит сдвиг зон резонансной неустойчивости в область меньших амплитуд модуляции. Таким образом, стабилизирующий эффект модуляции силы тяжести ослабляется, зона устойчивости сужается. При некотором Я происходит слияние зон резонансной неустойчивости, отвечающих синхронным возмущениям, с основной зоной неустойчивости, также соответствующей синхронным возмущениям (рис.2.5, R = 1.2, п = 10, Я = 0.25). В области больших значений периода модуляции остаются лишь небольшие островки устойчивости. Дальнейшее увеличении Я приводит к сокращению размеров зон устойчивости во всем диапазоне значений периода модуляции (рис.2.6, Л = 1.2, и = 10, Л = 1.0).
Увеличение приведенного числа Релея (рис.2.7, /? = 10, к = 10, Я = 0.01) ведет к расширению основной зоны неустойчивости, положение резонансных зон практически не изменяется (см. для сравнения рис.2.3 и 2.7).
Карты устойчивости, представленные на рис.2.2 - 2.7, относятся к значениям параметров, при которых в отсутствие модуляции наиболее опасными являются монотонные возмущения. На рис.2.8 - 2.9, приведены результаты расчетов для п = 10, А = 20. В статическом случае при таких значениях параметров наиболее опасными являются колебательные возмущения, потеря устойчивости равновесия происходит при R = 103/400. При наличии модуляции, при числах Релея, меньших критического, имеются лишь синхронные и субгармонические зоны параметрической неустойчивости. С увеличением числа Релея эти зоны сдвигаются в область меньших г и при числе Релея, равном критическому значению в отсутствие модуляции, достигают оси, соответствующей нулевой амплитуде (рис.2.8, R = 103/400, и = 10, Л = 20). При числах Релея, превышающих пороговое значение, в области малых амплитуд модуляции имеется основная зона ; неустойчивости; происходит слияние этой зоны с зонами параметрической неустойчивости (рис.2.9, R = 110/400, л = 10, Я = 20). В основной зоне неустойчивости поведение возмущений соответствует непериодическим нарастающим колебаниям.
Расчеты показали, что зоны неустойчивости ограничены не только кривыми, где мультипликаторы принимают вещественные значения ±1, как это имеет место в ньютоновской жидкости, но и участками с комплексными мультипликаторами, что соответствует непериодическим колебаниям.
Линейная устойчивость механического равновесия
Известно, что в случае подогреваемой снизу ньютоновской жидкости, в отсутствие модуляции (7 = 0), возмущения, внесенные в систему, в среднем либо нарастают (неустойчивое равновесие), либо затухают (устойчивое равновесие) [151]. Следя за временной эволюцией интегральных характеристик, можно определить пороговое значение числа Грасгофа.
В случае, когда имеется модуляция силы тяжести (т О), появляются области параметрической неустойчивости. При некоторых значениях параметров задачи, помимо резонансных областей неустойчивости, имеется основная полоса неустойчивости. Области, соответствующие эти двум типам неустойчивости, отделены друг от друга зоной устойчивости.
Как показали расчеты, вязкоупругая жидкость при малых параметрах упругости обнаруживает аналогичное поведение. На рис.3.2 приведена карта устойчивости на плоскости параметров амплитуда модуляции - обратная частота модуляции для Gr = 500 и параметре упругости г = 0.0001 (области неустойчивости заштрихованы). В области малых значений амплитуды модуляции имеется основная зона неустойчивости (а). В этой зоне возмущения нарастают, осциллируя с ненулевым средним за период значением интенсивности, и периодом, равным периоду модуляции. Выше располагается зона устойчивости. В области еще больших значений амплитуды модуляции располагаются зоны параметрической неустойчивости. При значениях параметров, соответствующих этим зонам, возмущения нарастают, осциллируя с нулевым средним за период значением. При этом имеет место чередование резонансных зон, в которых колебания происходят с периодом 2Т{Ь, области субгармонических возмущений), с зонами, в которых возмущения осциллируют с периодом, совпадающим с периодом модуляции Т (с, области синхронных возмущений). Ближайшей из резонансных к вертикальной оси является субгармоническая область (см. рис.3.2).
При увеличении параметра упругости резонансные зоны сдвигаются в область меньших значений амплитуды модуляции и при некотором значении г происходит слияние резонансных областей, соответствующих синхронным возмущениям, с основной зоной неустойчивости (рис.3.3). Дальнейшее увеличение параметра упругости вызывает сокращение размера областей устойчивости при всех значениях частоты модуляции.
На рис.3.4 приведены границы устойчивости равновесия на плоскости параметров число Грасгофа - параметр упругости для фиксированных значений амплитуды и частоты модуляции г} = \, й) = 10 и Рг=1 (для сравнения на том же рисунке приведены границы устойчивости равновесия в отсутствие модуляции).
В отсутствие модуляции, при малых значениях т, потеря устойчивости равновесия происходит монотонным образом при том же значении числа Грасгофа, что и в случае ньютоновской жидкости (кривая Is). Для г, превышающих критическое значение т ts+, наиболее опасными, являются колебательные возмущения (кривая 3s).
Известно, что в случае ньютоновской жидкости (т = 0) модуляция силы тяжести приводит к повышению устойчивости равновесия [67, 68]. В то же время появляется дополнительный механизм неустойчивости-параметрическое возбуждение конвекции [67].
Случаю ньютоновской жидкости (г = 0) при данных параметрах модуляции соответствует критическое число Грасгофа Grk 379. С увеличением т критическое число Грасгофа уменьшается, однако при г 0.01 оно остается большим, чем при том же значении г в отсутствие модуляции. Таким образом, при т 0.01 модуляция силы тяжести оказывает стабилизирующее действие. При г 0.01 критическое число Грасгофа ниже, чем в отсутствие модуляции, т.е. модуляция оказывает дестабилизирующее действие. При значениях параметров Gr и г, превышающих критические значения, соответствующие кривой 7, возмущения нарастают, осциллируя с ненулевым средним.
При г « 0.06 наиболее опасными становятся возмущения, осциллирующие с нулевым средним - параметрическая неустойчивость (кривая 2 на рис.3.4). Эта неустойчивость носит резонансный характер -минимум соответствующего участка кривой неустойчивости наблюдается при сот -1.
При г 0.23 наиболее опасными являются колебательные возмущения (кривая 3). Как показали расчеты при т, меньших 0.45, модуляция силы тяжести оказывает слабое дестабилизирующее действие на эту моду неустойчивости — критическое число Грасгофа несколько ниже значения, соответствующего возникновению периодических колебаний в отсутствие модуляции. При г 0.45 наблюдается эффект стабилизации.
Решение полных нестационарных нелинейных уравнений позволяет получить нелинейные характеристики возникающих конвективных движений. В качестве интегральной характеристики интенсивности конвективного движения использовалось среднее значение функции тока в полости ха (3.50),
Случай отсутствия модуляции ( = 0). В отсутствие модуляции при малых значениях параметра упругости наиболее опасными являются монотонные возмущения. При числах Грасгофа, меньших критического, возмущения, внесенные в систему, затухают, предельным стационарным режимом является равновесие. Переход через критическое значение Грасгофа приводит к появлению стационарного движения, форма и амплитуда которого определяется системой нелинейных уравнений (3.6)-(3.11). Эти нелинейные уравнения позволяют проследить за развитием во времени возмущений произвольного вида при различных значениях параметров задачи. При малых надкритичностях стационарным решениям соответствуют медленные движения, почти горизонтальные изотермы и незначительное изменение компонент тензора напряжений. С ростом числа Грасгофа движение становится более интенсивным, форма изотерм искажается.
