Введение к работе
Актуальность проблемы. Конвекция, связанная с неоднородным нагревом является одним из самых распространенных видов течений газа и жидкости в природе, поэтому исследование свойств конвективных течений имеет большую важность в виду многочисленных приложений в технических устройствах, астрофизике, геофизике, атмосфере и океане.
Но режим течения жидкости во многих практически важных задачах сложный, турбулентный. Хотя в настоящее время уже не вызывает сомнения тот факт, что турбулентные режимы могут быть получены как решения уравнений гидродинамики, при практическом воплощении идеологии прямого численного моделирования турбулентности возникают огромные технические и методические трудности, связанные, в основном, с большими числами Рейнольдса и, как следствие, огромным числом степеней свободы, которые необходимо учитывать при корректном моделировании.
В классической задаче о конвекции Рэлея-Бенара ситуация существенно упрощается, так как отсутствие среднего течения обуславливает сравнительно невысокие числа Рейнольдса.
Целью настоящего исследования является изучение различных режимов двумерной и трехмерной конвекции Рэлея-Бенара, от стационарных до сложных, стохастических (переходных). При этом конвекция вязкой и несжимаемой жидкости, возникающая при подогреве снизу, рассматривается в областях простой геометрии и большом диапазоне надкритичности r = Ra/Racr, где Ra и Racr - число Рэлея и его критическое значение. Трехмерные расчеты проводятся со свободными от касательных напряжений горизонтальными границами, а двумерные - свободными или жесткими.
Основные трудности при численном моделировании конвекции при высокой надкритичности связаны с наличием растущих в линейном приближении возмущений с огромными инкрементами, например, при r = 3.4-104 (в двумерных расчетах со свободными границами) существуют возмущения, растущие как e1367t. Последнее обстоятельство накладывает серьезные ограничения на численные методы и обуславливает актуальность методической работы, направленной на разработку, тестирование, линейный и нелинейный анализ методов расчета конвективных течений.
Решение задачи о конвекции существенно упрощается, делая возможным расчет при существенно большей надкритичности, если конвекция рассматривается со свободными (от касательных напряжений) горизонтальными границами, так как в этом случае возможно применение Фурье декомпозиции во всех направлениях. Однако при этом возникает проблема интерпретации полученных численных результатов, так как подавляющее большинство экспериментальных исследований проведено с жесткими границами и экспериментальные данные по конвекции со свободными горизонтальными границами практически отсутствуют. Таким образом, необходимость проведения корректного сравнения полученных численных результатов с данными эксперимента делает актуальной задачу о сравнительном исследовании характеристик конвекции со свободными и жесткими горизонтальными границами.
Представляется важным исследование динамики вихревого масштаба с ростом надкритичности в двумерных и трехмерных течениях, так как его различное поведение (убывание в трехмерных и возрастание в двумерных) обуславливает качественное различие характеристик двумерных и трехмерных решений при достаточно высокой надкритичности.
Большое значение имеет также исследование динамики пространственных спектров температуры и скорости в двумерных и трехмерных расчетах в областях умеренной и большой горизонтальной протяженности, так как наличие определенных степенных законов в спектрах температуры и скорости указывает, во-первых, на развитый характер течения и, во-вторых, на то, какие физические механизмы доминируют. Причем, при двумерной конвекции в области большой горизонтальной протяженности должны проявиться черты, присущие только двумерным течениям - например, обратный каскад энергии, обусловленный перекачкой энергии из масштаба генерации в большие масштабы.
Цель работы - разработка и программная реализация специального спектрально-разностного метода, его линейный и нелинейный (на модельной нелинейной системе уравнений) анализ, проведение тестовых расчетов и расчетов различных (от стационарных до стохастических, переходных) режимов трехмерной и двумерной конвекции со сравнительным анализом законов изменения интегральных величин, а также исследование каскадных процессов, динамики спектров температуры и скорости.
Научная новизна работы состоит в разработке и программной реализации специального спектрально-разностного метода расчета двумерной и трехмерной конвекции, его линейного и нелинейного анализа (на модельной нелинейной системе уравнений) и проведении расчетов различных (в том числе и стохастических, переходных) режимов трехмерной и двумерной конвекции со сравнительным анализом законов изменения интегральных величин, а также исследование каскадных процессов, динамики спектров температуры и скорости.
В работе впервые:
Предложена и реализована в виде компьютерной программы новая реализация спектрально-разностного численного метода расчета течений трехмерной и двумерной конвекции, первого порядка по времени и второго по пространству.
В случае двумерной и трехмерной конвекции со свободными горизонтальными границами при Pr = 1 выписаны явные выражения для инкрементов нарастания гармоник в линейных аналогах дифференциальной задачи и предлагаемого численного метода. Показано, что коэффициенты при шагах по времени и пространству, в членах, описывающих схемный эффект, определяются только волновыми числами и не зависят от числа Рэлея.
Показано, что, несмотря на то, что численный метод для расчета двумерной конвекции строится как метод первого порядка аппроксимации по времени и второго по пространству, при его линеаризации порядок аппроксимации по времени повышается до второго.
Средствами нелинейного анализа, проведенного на модельной нелинейной задаче, показано, что понижение порядка аппроксимации численного метода по времени до первого приводит лишь к незначительному понижению точности вычислений, при этом с первым порядком вычисляется фаза гармонического решения, в то время как его амплитуда - со вторым. Показано, что для практических вычислений можно использовать схему первого порядка аппроксимации по времени с вычислением скоростей по функции тока, полученной на первом этапе расщепления.
Предложено новое представление решения в горизонтальном направлении X и связанная с ним численная реализация граничных условии на проницаемой стенке. Это делает возможным неравенство завихренности нулю на боковых границах и существенно облегчает получение стохастических решений в задаче о двумерной конвекции со свободными горизонтальными границами.
Показано, что результаты двумерных расчетов с жесткими горизонтальными границами стационарной, валиковой конвекции при невысокой надкритичности 1 < r < 4 с удовлетворительной точностью отражают зависимость доминирующей длины волны от надкритичности, хорошо согласуясь при этом с данными эксперимента по числу Нуссельта, профилю средней температуры и изотерме полной температуры.
Показано, что, несмотря на наблюдаемые количественные расхождения между результатами расчетов и экспериментом, трехмерные расчеты со свободными горизонтальными границами дают правильные показатели степенных законов изменения среднеквадратичных пульсаций температуры, вертикальной скорости, числа Рейнольдса, среднеквадратичной скорости и кинетической энергии от надкритичности при r > 150. В двумерных расчетах аналогичное соответствии наблюдается при сравнительно невысокой надкри- тичности r < 250.
Показано, что закон нарастания при числа Нуссельта, поведение пульсаций вертикальной скорости и температуры, а также близость показателей степенных законов для числа Нуссельта, кинетической энергии, среднеквадратичной скорости и энстрофии в двумерных расчетах со свободными границами и стационарном, одновихревом решении свидетельствуют о том, что при высокой надкритичности формирование крупномасштабной структуры является доминирующим фактором, определяющим характеристики течения.
Отмечено, что процесс формирования крупномасштабной структуры течения в двумерных расчетах с жесткими горизонтальными границами менее выражен и не так однозначен из-за наличия конкурирующего механизма образования завихренности на горизонтальных границах. Показано, что в областях малой пространственной протяженности процесс формирования крупномасштабной структуры блокируется малым размером области, что делает возможным рост среднеквадратичного волнового числа.
При умеренной горизонтальной протяженности области lx, ly = п:
Установлено, что в двумерных и трехмерных расчетах со свободными границами действие силы плавучести обуславливает стратификационные спектры для скорости, а доминирование конвективного переноса для температуры - спектр пассивной примеси к'5/3. Эти спектры наблюдаются в двумерных и трехмерных расчетах практически во всем рассмотренном диапазоне надкритичности.
При увеличенной до lx = 4п горизонтальной протяженности области в двумерных расчетах со свободными границами:
При 500 < r < 4-10 длинноволновый участок спектра скорости состоит из двух ветвей, где идентифицируются степенные законы, отражающие конкурирующие механизмы, связанные с силой плавучести и каскадным процессом переноса энергии, а при 4-1O3 < r < 104 в спектре скорости видны степенные законы к'3 и к'553, соответствующие прямому и обратному каскадным процессам переноса энстрофии и энергии, соответственно. При r > 104 в спектре скорости видна тенденция к установлению единого степенного закона к'26 - искаженного закона каскада энстрофии.
При умеренной надкритичности 500 < r < 2-10 в длинноволновом участке спектра температуры виден стратификационный спектр
7/5 3 3
Болджиано-Обухова к , который при 2-10 < r < 6-10 сменяется спектром
Бэтчелора к . А при r > 6-10 показатель длинноволнового участка спектра температуры совершает колебания в интервале [-1,-0.7], с наиболее вероятным значением -0.8.
Установлено, что отмеченные выше перестройки спектров температуры и скорости в двумерных расчетах со свободными границами связаны с формированием обратного каскада энергии при r ~ 2-10 (для скорости при
r ~ 4-10 ) и уменьшением его энергетической роли при r ~ 6-10 (r ~10). Автор защищает:
Предложенный и реализованный в виде компьютерной программы специальный спектрально-разностный численный метод расчета сложных, переходных течений трехмерной и двумерной конвекции, первого порядка по времени и второго по пространству.
Вывод о том, что в случае двумерной и трехмерной конвекции со свободными горизонтальными границами при Pr = 1, коэффициенты при шаге по времени и пространству в выражении для инкремента нарастания гармоник в линейном аналоге предлагаемого численного метода не зависят от числа Рэлея, а определяются только волновыми числами.
Вывод о том, что, несмотря на то, что численный метод для расчета двумерной конвекции строится как метод первого порядка аппроксимации по времени, при его линеаризации порядок аппроксимации повышается до второго.
Результаты нелинейного анализа, проведенного на модельной нелинейной системе уравнений, которые показывают, что понижение порядка аппроксимации численного метода расчета 2dfree конвекции по времени до первого приводит лишь к незначительному понижению точности вычислений, при этом с первым порядком вычисляется фаза гармонического решения, в то время как его амплитуда - со вторым. И как следствие этого, для практических 2dfree расчетов можно использовать схему первого порядка аппроксимации по времени с вычислением скоростей по функции тока, полученной на первом этапе расщепления.
Результаты двумерных расчетов с жесткими горизонтальными границами стационарной, валиковой конвекции, которые показывают при невысокой надкритичности 1 < r < 4 удовлетворительное согласование зависимости доминирующей длины волны от надкритичности и хорошее - по числу Нуссельта, профилю средней температуры и изотерме полной температуры.
Результаты тестовых расчетов с учетом различного числа гармоник, с разным числом значащих цифр, а также результат сравнения с данными расчета другим (псевдоспектральным) методом. Перечисленные тесты свидетельствуют об устойчивости вычисления исследуемых интегральных величин и о сходимости их значений при увеличении числа учитываемых гармоник.
Сравнение оцененного по результатам расчетов диссипативного и разрешаемого масштабов, где показано, что при расчете двумерной и трехмерной конвекции разрешаемый масштаб всегда меньше диссипативного.
Новое представление решения в горизонтальном направлении x и связанную с ним численную реализацию граничных условий на проницаемой стенке. Это существенно облегчает получение стохастических решений в задаче о двумерной конвекции со свободными горизонтальными границами.
Вывод о том, что, несмотря на наблюдаемые количественные расхождения между результатами расчетов и экспериментом, трехмерные расчеты со свободными горизонтальными границами дают правильные показатели степенных законов изменения среднеквадратичных пульсаций температуры, вертикальной скорости, числа Рейнольдса, среднеквадратичной скорости и кинетической энергии от надкритичности при r > 150. А в двумерных расчетах аналогичное соответствии наблюдается при сравнительно невысокой надкритичности r<250.
Вывод о том, что закон роста числа Нуссельта, поведение пульсаций вертикальной скорости и температуры, а также близость показателей степенных законов для кинетической энергии, среднеквадратичной скорости и эн- строфии в двумерных расчетах со свободными границами и стационарном, одновихревом решении свидетельствуют о том, что при высокой надкритич- ности формирование крупномасштабной структуры является доминирующим фактором, определяющим характеристики течения.
Замечание о том, что процесс формирования крупномасштабной структуры течения в двумерных расчетах с жесткими горизонтальными границами менее выражен и не так однозначен из-за наличия конкурирующего механизма образования завихренности на горизонтальных границах. В частности, в областях малой пространственной протяженности процесс формирования крупномасштабной структуры блокируется малым размером области, что делает возможным рост среднеквадратичного волнового числа.
При умеренной горизонтальной протяженности области lx, Iy = п в двумерных и трехмерных расчетах со свободными границами:
Результаты исследования пространственных спектров для скорости и температуры, где установлено, что действие силы плавучести обуславливает стратификационные спектры для скорости, а доминирование конвективного переноса для температуры - спектр пассивной примеси к'5/3. Причем указанные спектры наблюдаются в двумерных и трехмерных расчетах практически во всем исследованном диапазоне надкритичности.
При увеличенной до lx = 4п горизонтальной протяженности области в
двумерных расчетах со свободными горизонтальными границами:
Результаты исследования спектра скорости, где показано, что при 500 < r < 4-10 длинноволновый участок спектра скорости состоит из двух ветвей, со степенными законами, отражающими конкурирующие механизмы, связанные с силой плавучести и каскадным процессом переноса энергии, а при
4-103 < r < 10 в спектре скорости идентифицируются степенные законы к'3 и к'5/3, соответствующие прямому и обратному каскадным процессам переноса энстрофии и энергии, соответственно. А при r > 104 в спектре скорости видна тенденция к установлению единого степенного закона к'26 - искаженного закона каскада энстрофии.
Результаты исследования спектра температуры, показывающие, что при умеренной надкритичности 500 < r < 2-10 в спектре температуры виден
7/5
стратификационный спектр Болджиано-Обухова к , который при
2-10 < r < 6-10 сменяется спектром Бэтчелора к . А при r > 6-10 показатель длинноволнового участка температурного спектра совершает колебания в интервале [-1,-0.7], с наиболее вероятным значением - 0.8.
Вывод о том, что перестройки спектров температуры (скорости) в двумерных расчетах со свободными границами связаны с формированием об-
ратного каскада энергии при r ~ 2-10 (для скорости при r ~ 4-10 ) и уменьшением его энергетической роли при r ~ 6-103 (r ~104).
Достоверность результатов диссертационной работы подтверждается количественным соответствием полученных в работе численных данных с результатами расчетов других авторов, в том числе и при высокой надкри- тичности, с результатами расчетов другим, псевдоспектральным методом, тестовыми расчетами с различным числом учитываемых гармоник и разным числом значащих цифр, сравнением с данными эксперимента по стационарной, валиковой конвекции и другими экспериментальными данными при более высокой надкритичности, а также сравнением данных, полученных в двумерных расчетах с жесткими горизонтальными границами и предсказанными теорией Р. Крайчнана.
Научная и практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что в ней разработан и реализован в виде программы метод расчета конвекции Рэлея-Бенара, в том числе и сложных ее режимов при высокой надкритичности. Реализован также и параллельный вариант компьютерной программы для многопроцессорных компьютеров с
общей памятью.
С научной точки зрения представляется важным вывод о том, что в двумерных расчетах со свободными границами при высокой надкритичности формирование крупномасштабной структуры, сопровождающееся ростом вихревого масштаба до горизонтального размера области, является доминирующим фактором, определяющим характеристики течения, в отличие от трехмерных расчетов, где вихревой масштаб уменьшается с ростом надкритичности. Отмеченное различие в поведении вихревого масштаба в двумерных и трехмерных течениях обуславливает и существенно большую роль граничных условий при двумерном моделировании.
С точки зрения возможности сравнения с данными по конвекции с более реальными с экспериментальной точки зрения жесткими горизонтальными границами представляется важным то, что, несмотря на различие в граничных условиях в эксперименте с жесткими границами и трехмерных расчетах со свободными и обусловленные этим количественные расхождения, трехмерные расчеты дают правильные показатели степенных законов изменения среднеквадратичных пульсаций температуры, вертикальной скорости, числа Рейнольдса, среднеквадратичной скорости и кинетической энергии от надкритичности при r > 150. А в двумерных расчетах аналогичное соответствии наблюдается при сравнительно невысокой надкритичности r < 250.
Большое значение для понимания физических механизмов развития течения имеет исследование пространственных спектров скорости и температуры, в частности, формирование крупномасштабной структуры в двумерных расчетах со свободными границами в области большой горизонтальной протяженности связано со спектром обратного каскада энергии для скорости. А в области умеренной горизонтальной протяженности, в двумерных и трехмерных расчетах типичны стратификационные спектры для скорости, обусловленные действием силы плавучести и спектр пассивной примеси - для температуры.
Апробация работы. Результаты исследований были представлены на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 2000), Пятой международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск - 2000), International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection" (Perm - 2003),
Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности" (НеЗаТеГиУс - 2006, 2008), Fourth International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (ICCHMT'05, Paris, France - 2005), Seventh International Symposium on Hazards, Prevention and Mitigation of Industrial Explosions (St. Petersburg, Russia - 2008), Всероссийской конференции "Математика в приложениях" (Новосибирск - 2009), International Conference "Dynamics Days of Europe" (DDE09, Gettingen, Germany - 2009), 8th International Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurements (ETMM8, Marseille, France - 2010), Международной научной конференции "Забабахинские научные чтения" (Снежинск - 2010), 7th International Conference on Computational Heat and Mass Transfer (ICCHMT'11, Istanbul, Turkey - 2011), Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (Пермь 2008, 2010), а также неоднократно на научных семинарах в институтах Теоретической и прикладной механики, Гидродинамики, Вычислительной математики и геофизики, Вычислительных технологий и Вычислительного моделирования СО РАН, Проблем механики РАН и Механики МГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-21]. Из них статьи [1-14] (в научных журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук), монография [15] и труды международных конференций [16-21].
Личный вклад автора. В работах [5,7,18] автору принадлежит разработка и программная реализация численного метода, проведение расчетов и анализ полученных данных, а в работе [8] автором выполнены расчеты конвекции Рэлея-Бенара и анализ их результатов, при этом расчеты двухдиффу- зионной конвекции были выполнены соавторами.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы, включающего 110 наименований. Общий объем диссертации 208 страниц, включая 111 рисунков.
