Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы Бишаев Александр Михайлович

Модельное кинетическое уравнение для резонансной перезарядки

В (1.5) принято, что если а = {а1} , х - {х1}, то я— = а —г с суммированием по повторяющимся индексам. FN есть плотность вероятности распределения ансамблей из N частиц в 6№М фазовом пространстве Г, т. е. N есть вероятность того, что координаты и скорости первой молекулы будут находится в пределах [ „ , +dx{], [„, + /,],_ второй в [х2,х2 +dx2], [2 й +6] и- т- Д-» №Й в [xN,xN +dxN],[N,N +dgN] соответственно. FN есть функция от 6N+1 переменных и JFNdzldz2..dzN =1. FN называется N-частичной функцией г распределения, и, если частицы тождественны, то FN является симметричной функцией от переменных zx...zN. Ху = Ху(\xt -Xj )- есть сила взаимодействия іой и j0H молекул (Хи = 0). Определив s-частичную функцию распределения, как Fs(t,zl..zs) = N\/(N — s)\$FNdzs+l..dzN, Н. Н. Боголюбов получил бесконечную цепочку зацепляющихся уравнений. Она имеет следующий вид Эта система носит название BBGKI цепочки (Боголюбов-Борн-Грин-Кирквуд-Ивон иеархия). Основное предположение, сделанное при выводе уравнения Больцмана состоит в том, что силы межмолекулярного взаимодействия являются короткодействующими, т.е. Ху (\xi - Xj ) =0, если Xt-Xj d, где d есть размер молекулы. При таких предположениях функции распределения в BBGKI цепочке будут зависеть от "быстрого времени взаимодействия" т и "медленного времени свободного движения" t, причем т/t = nd = є «1, где n-числовая плотность среды. Разлагая одночастичную функцию распределения, зависящую от t, в ряд по є и используя гипотезу молекулярного хаоса, Боголюбов получил уравнение Больцмана. В работе [2] этот вывод был проделан, используя формализм асимптотических методов многих масштабов. В отличии от работы X Боголюбова в [2] были использованы координатные масштабы: xd =—d d х 1 масштаб и хя= —X масштаб, где Л = —г- есть длина пробега молекулы. Л nd Ясно, что этом случае s = dIЛ. Из приведенного в [2] следует: во-первых, уравнение Больцмана является уравнением для члена нулевого порядка в асимптотическом разложении по параметру разреженности одночастичной функции распределения в А, масштабе, поэтому оно никак не может содержать размер молекулы. Предпринятые в последнее время попытки "исправить" уравнение Больцмана за счет введения таких членов лежат вне формализма асимптотических методов. Во- вторых: надо помнить, что интегрирование по р в Jj в пределах от нуля до бесконечности осуществляется в d масштабе. На самом деле подынтегральная функция отлична от нуля только в узкой зоне перекрытия разложений. В [7] показано, что для сил отталкивания, затухающих как хх — х при п 2 интегрирование в бесконечный пределах не приводит к ошибкам, большим, чем порядок отброшенных членов в асимптотическом разложении. В [7] также указывается, что динамическая система с большим числом взаимодействующих частиц за время порядка нескольких столкновений становится неустойчивой. Это обстоятельство может являться причиной такого громадного масштаба времени возврата системы к своему состоянию в теореме Пуанкаре и обоснованности гипотезы молекулярного хаоса. Отметим также, что в [8] А. А. Власов получил уравнение Больцмана из построенной им статистической механики, где использовал при выводе практически те же предположения, что и были использованы Боголюбовым или в [2]. Там же в [8] он дал объяснение необратимости уравнения Больцмана, исходя из введения таких понятий, как состояние системы до столкновения и после него. Для обобщения уравнения Больцмана на случай смеси не реагирующих между собой газов, нужно ввести для каждого сорта частиц свою функцию распределения fk(t,x, k) в своем скоростном пространстве. В этом случае будем иметь следующую систему кинетических уравнений для определения /Лих Л к) где п- число компонент в смеси, Jks-интеграл столкновений молекул кго и sro сортов газов, Хк есть внешняя сила, действующая на молекулы газа кг0 сорта. В [2] показано, что стоящее под знаком суммы выражение в правой части (1.10), можно записать в виде Jks = i(/k/s /k/s)% - s\ ks{X,gks) Xdxdd k gh =л -I где сгь{ ёь)-дифференциальное сечение столкновений, х_УГ0Л рассеяния, однозначно связанный с прицельным параметром Ь. Такой вид удобен тем, что, вводя соответствующие сечения столкновений, можно к системе уравнений для смеси газов свести описание поведения газа, состоящего из молекул с внутренними степенями свободы. Вид такой системы приведен в [2]. Аналогичные уравнения можно выписать для смеси газов, где происходят химические реакции, если под соответствующими GkS понимать эффективные сечения реакций.

Уравнение Больцмана является интегродифференциальным уравнением, левая часть которого есть действие оператора переноса вдоль траектории молекул на функцию распределения. Найдем вид оператора переноса в «ковариантном виде» (см. [8] или [9]). Пусть qxpy..qmpm система параметров, определяющих состояние молекулы (для одноатомной молекулы т=3 и qxpr..q3p3 -обобщенные координаты и импульсы, определяющие поступательное движение молекулы). Тогда фазовое пространство есть {ЯіРі-ЯтРт)- В момент времени t0 в элементе фазового объема dV(t0) будет dN(t0) = f(tQ,qxpv..qmpm)dV молекул.

Общие вопросы построения численной схемы решения задачи

Интерес к уравнению Больцмана резко возрос где-то в 60ь,е годы XXго столетия, когда активно стал осваиваться ближний космос. Полеты космических аппаратов (КА) проходили на высотах, где числа Кнудсена были уже порядка и более единицы, поэтому для расчета аэродинамических характеристик КА были необходимы кинетические методы. Эти методы интенсивно развивались и продолжают развиваться по сей день.

Являясь нелинейным интегродифференциальным уравнением, само уравнение Больцмана оказывается слишком сложным, чтобы его можно было бы решить аналитически. Только в простейшем случае - для задачи об однородной релаксации в случае максвелловских молекул в [12] удалось получить аналитическое решение. Сюда же можно отнести работы [13] и [14], где в случае, когда функция распределения зависит только от модуля скорости, для молекул, взаимодействующих, как твердые сферы, удается в интеграле столкновений аналитически выполнить ряд интегрирований, после чего задача решается при помощи стандартных численных методов. Этим, пожалуй, исчерпывается "золотой фонд" задач, решенных аналитически на основе уравнения Больцмана.

Сложность уравнения Больцмана оказалось такой, что только в последнее время на современных супер ЭВМ удается более или менее надежно реализовать численные алгоритмы решения непосредственно уравнения Больцмана для двухмерных или трехмерных течений.

Большая трудоемкость задач для уравнения Больцмана заставляет искать окольные пути их решения. Одним из таких путей явилось создание для решения задач кинетической теории и динамики разреженного газа численных методов прямого статистического моделирования. Эти методы бурно развивались и в настоящее время являются наиболее широко применяемыми во всем мире. Основным, что сделало методы прямого статис 24 тического моделирования столь популярными, на мой взгляд, является то обстоятельство, что моделирование тех или иных физических процессов происходит на основе созданной вероятностной модели явления, положенной в основу микроскопического описания системы без использования каких-либо кинетических уравнений. При этом оказалось, что непрерывно возрастающая мощность ЭВМ способствовала постоянному совершенствованию упомянутой выше вероятностной модели, а численные алгоритмы, которые использовались, были достаточно легко реализуемыми на соответствующих компьютерах.

Другой путь преодоления трудностей получения решения уравнения Больцмана состоит в его замене более простым кинетическим уравнением. Все такие уравнения называются модельными кинетическими уравнениями. Поскольку в диссертации используется кинетическое модельное уравнение, является естественным рассмотреть общие методы построения модельных уравнений и наиболее известные из них.

Основная трудность уравнения (1.1) обусловлена сложной структурой интеграла столкновений J(f), поэтому для столкновительного члена были предложены более простые выражения. Идея, лежащая в основе такой замены, состоит в том, что многие детали двухчастичного взаимодействия, имеющиеся в столкновительном члене, не должны сильно влиять на значения многих экспериментально измеряемых величин, т. е. следует ожидать, что имеющий тонкую структуру оператор J{f) можно заменить на более простой оператор Q(f), который сохраняет только качественные средние свойства истинного интеграла столкновений.

Наиболее хорошо известным и часто используемым является модельное уравнение Крука или, если точнее, Бхатнагара, Гросса, Крука (БГК-модель [15]), хотя Веландер предложил ее независимо примерно в тоже самое время [16]. БГК-модель имеет следующий вид Величина v, которая входит в правую часть (4.1), называется частотой столкновений. В (4.1) v пока не определена, также как и параметры п ,Т 9й в максвелловской функции f0. Если считать, что v не зависит от скорости молекул, и принять выше названные параметры за плотность, температуру и макроскопическую скорость газа, то из модели Крука (4.1) следуют все уравнения сохранения (2.3)-(2.5). Так как имеет место равенство \v(f — f0)\nf0d = 0, то для Н-функции Больцмана из (4.1) следует Н-теорема, а именно

Выражение величины частоты столкновений v через макромараметры находят из требования совпадения коэффициентов вязкости и теплопроводности, полученных при переходе к сплошной среде в уравнении Больцмана и модели БГК. Из (4.1) получается сплошная среда с правильным коэффициентом вязкости, если для v имеет место следующее равенство v = piju; для совпадения с коэффициентом теплопроводности необходимо, чтобы V = piХ- Нетрудно видеть, что, если определить частоту столкновений в (4.1) по вязкости, что обычно делается, то сплошная среда, полученная из БГК-модели будет иметь число Прандтля равное единице, а не 2/3, как должно быть для идеального одноатомного газа. Это наиболее очевидный недостаток модели Крука.

Задача о распылении стенки вакуумной камеры

В работе [20] для модели, в которой v не зависит от скорости, показано, что возмущения макропараметров на бесконечности затухают не по гидродинамическому закону. В [21], где на основе модели Крука, решалась задача о структуре ударной волны, было показано, что возмущения макропараметров в этом случае затухают, как

А ехр {—3 /2х }. Возможности построения модельных уравнений с частотой, зависящей от скорости молекул, обсуждались в [17], а автор [20] пытался так определить эту зависимость, чтобы получить именно гидродинамический характер затухания на бесконечности. Но сложность оператора столкновений в моделях с частотой, зависящей от скорости молекул, резко возрастает, так как из-за требования инвариантности частоты столкновений относительно преобразования Галилея v есть V = У(С) . В этом случае при требовании выполнения законов сохранения параметры в мак свеллиане (4.1) и в функции і +из (4.5) не будут совпадать со значениями плотности, скорости и температуры, которые должны будут находиться из сложных трансцендентных уравнений. В [22] на решении задачи об определении структуры ударной волны были проведены подробные сравнения результатов решения этой задачи, полученных на основе различных модельных уравнений и метода статистического моделирования, разработанного Бердом (см. [23] ). За эталонное решение было принято решение, полученное на основе модели, предложенной в работе [24]. В этой работе для случая одномерных течений, когда функция распределения f есть (задача о теплопередаче и об ударной волне) для молекул, взаимодействующих, как твердые сферы, была получена система модельных уравнений, которая могла быть решена с помощью стандартных численных процедур. Данная модель (она была названа осредненной) интересна тем, что она имеет все свойства полного уравнения Больцмана. Из осредненных уравнений следуют все законы сохранения и Н-теорема, сплошная среда получается с правильным числом Пран-дтля, частота столкновений зависит от скорости молекул так, что длина пробега оставалась постоянной, когда %х — оо. Проведенное сравнение для моделей с частотой, независящей от скорости, обнаружило некоторое уширение профиля температуры в ударной волне, но в целом, результаты довольно хорошо согласовывались друг с другом и с экспериментальными данными. В [25], где на основе осредненных уравнений была решена задача о теплопередаче, сравнение показало еще лучшее совпадение результатов, полученных из разных модельных уравнений. Позднее, в работе [26] проводилось сравнение результатов, полученных из модельных уравнений, с результатом решения уравнения Больцмана. Это сравнение также не обнаружило существенных расхождений, так что для задач аэродинамики модельные кинетические уравнения дают вполне удовлетворительные результаты. Этот факт можно объяснить тем, что при Кп = оо, уравнение Больцмана и любая из рассмотренных выше моделей совпадают. В другом пределе, когда Кп — О, из изложенного выше видно, что модельное уравнение строится так, чтобы решение, полученное из него, мало отличалось от решения полного уравнения Больцмана. Это оправдывает широкое распространение, которое получили модельные кинетические уравнения.

В заключение этого параграфа отметим, что в настоящее время ресурсы ЭВМ позволяют получать решение двух и трехмерных задач на основе полного уравнения Больцмана. Основные достижения в этом направлении достигнуты в основном благодаря работам Ф. Г. Черемисина и В. В. Аристова. Ими была построена консервативная численная схема, в основе построения которой осуществлялось расщепление решения на свободномо-лекулярный перенос и однородную релаксацию в каждой точке физического пространства. Консервативность получалась в результате специаль 32 ного построения численной схемы вычисления интеграла столкновений, и осуществления процедуры коррекции функции распределения. На конференции по ВМППС 03 Ф. Г. Черемисин представил доклад о методе решения уравнения Больцмана для двухатомных молекул с внутренними степенями свободы, а В.В. Аристов об исследовании на основе уравнения Больцмана сверхзвуковых струйных течений.

Если проблему можно решить на основе полного уравнения Больцмана или, применяя методы статистического моделирования, то может показаться, что использование модельных уравнений в настоящее время является некоторым анахронизмом. Автор этой работы придерживается другой точки зрения. Во-первых, решение достаточно сложных задач аэродинамики на основе уравнения Больцмана или корректно построенного метода статистического моделирования требует громадных затрат машинного времени и возможны только на современных супер ЭВМ. Проведение расчетов с использованием модельных уравнений дает, как это уже отмечалось, вполне приемлемые результаты за существенно меньшее время и стоимость. Во- вторых, ситуация сложилась так, что по времени соответствующие задачи на основе модельных уравнений были выполнены раньше, чем на основе уравнения Больцмана (исключение здесь составляют работы Ф. Г. Черемисина и А. А. Райнес, где для смеси газов на основе уравнения Больцмана решалась задачи о структуре ударной волны). Так В. А. Рыковым еще в 1975 году в [27] было построено обобщение S-модели на случай двухатомных молекул с вращательными степенями свободы. На основе этой модели была решена задача об обтекании сферы потоком двухатомного газа ([28]), где была поставлена проблема описания взаимодействия двухатомной молекулы с твердой стенкой, и только в 2002 году на семинаре по кинетической теории и разреженному газу были представлены экспериментальные результаты по этой проблеме. В-третьих, опираясь на модельные уравнения, легче обнаружить характерные особенности, присущие той или иной задачи. Это особенно проявилось при решении проблемы получения решений задач кинетической теории при малых числах Кнудсена. Особенность возникшей проблемы заключалась в том, что при малых числах Кнудсена происходило сильное замедление итерационного процесса и к тому же от разных нулевых приближений, можно было получить разные решения. В [11] показано, почему при Кп — О обычный итерационный процесс становится неэффективным, и был построен специальный метод итераций, который использовал уравнения сохранения. Этим методом удалось получить решение задачи о теплопередаче и течении Куэтта при малых числах Кнудсена и провести соответствующие сравнения, чтобы сделать выводы о значениях чисел Кнудсена, с которых начинается сплошная среда. В работе [29] этот итерационный метод, развитый для стационарного случая, получил дальнейшее развитие. При нестационарном подходе к решению S модели (и любого кинетического уравнения) при малых Кп показано, что численная схема должна обладать малой численной диффузией. В противном случае решение будет соответствовать не истинному числу Кнудсена, а численному. Для уменьшения эффекта численной диффузии были использованы специальные приемы ([30]) и были построены схемы второго порядка точности, как по пространственной переменной, так и по временной.

Минимаксный вариационный принцип на основе четной части функции распределения

В [7] на примере задачи линейного обтекания тела с постоянной температурой при произвольном ядре рассеяния в граничных условиях, удовлетворяющих условиям (3.2)-(3.4), был построен функционал, при варьировании которого в качестве уравнений Эйлера получалось линеаризированное уравнение Больцмана со всеми граничными условиями. Там же подчеркивалось, что знак второй вариации у варьируемого функционала не определен, так что не удалось установить, чем является стационарное значение построенного функционала. Трудности построения вариационных принципов для исследования уравнения Больцмана обусловлены в первую очередь тем, что левая часть этого уравнения есть действие дифференциального оператора первого порядка на функцию распределения (в линейном случае на добавку к ней), тогда как вариационные принципы в большинстве случаев разработаны для исследования дифференциальных уравнений второго порядка. Вторая трудность связана с тем, что неизвестно, как в том или ином случае построить функционал, вторая вариация которого была бы знакоопределенной.

В диссертации, учитывая свойства ядра рассеяния и исходя из кинетического определения, был впервые проведен анализ баланса энтропии на поверхности тела и определен являющийся всегда неотрицательным функционал, который истолковывался как производство энтропии при взаимодействии молекул газа с поверхностью. Это позволило доказать Н-теорему как для задач стационарного обтекания тел, так и для течения в канале с теплопроводными стенками. Нужно отметить, что введения такого понятия, как производство энтропии при взаимодействия молекул газа с поверхностью, позволило получить выражения для полного производства энтропии в системе, в некоторых частях которой происходят существенно неравновесные процессы. Так в задаче стационарного обтекания теплопроводного тела производство энтропии в системе газ-тело есть сумма трех неотрицательных слагаемых- производства энтропии из-за столкновений молекул газа между собой, с поверхностью тела и производства энтропии внутри тела, возникающего из-за изменения его температуры. В случаях, когда для описания движения в упомянутых выше задачах используется линеаризованное уравнение Больцмана, в диссертации приведено доказательство соотношений симметрии у коэффициентов, через которые выражается производство энтропии в этих случаях. Таким образом было установлено, что эти коэффициенты являются аналогами коэффициентов Онзагера. Надо отметить, что почти одновременно со статьями, где были опубликованы обсуждаемые выше результаты, появились работы [35]-[37], где соотношения симметрии устанавливались методами отличными от представленного в диссертации метода, отличие которого от методов в приведенных выше работ состояло в том, что в нем доказательство симметрии производилось без построения решения, что существенно расширяло область его применения.

Для преодоления первой из указанных трудностей в построении вариационных принципов было сделано предложенное в [38] разбиение линейной добавки к функции распределения на четную и нечетную относительно вектора скорости молекулы части. Такое разбиение функции распределения было проведено В. С. Владимировым для уравнения переноса нейтронов, чтобы получить для четной (нечетной) части функции распределения дифференциальное уравнение второго порядка. В случае разреженного газа ситуация осложняется тем, что приходится обращать интегральный оператор, имеющий ненулевое ядро. Тем не менее в диссертации показано, как можно обратить указанный оператор и в области, занятой газом, и на границе газа с телом и получить, что в случае описания движения газа линеаризиванным уравнением Больцмана оно может быть описано только через четную часть функции распределения и компоненты макроскопической скорости газа, или же только через нечетную часть функции распределения и таких макроскопических параметров как добавки к давлению и температуре газа. В соответствии с этими двумя способами описания в диссертации были сформулированы два минимаксных вариационных принципа, т. е. были построены такие функционалы, варьирование которых в первом случае приводило к уравнениям Эйлера, совпадающими со всеми уравнениями и граничными условиями при четном описании, а варьирование второго давало полное нечетное описание задачи. В диссертации было доказано, что, если варьирование в обоих случаях производить специальным способом, то стационарные значения этих функционалов давали их минимаксные значения. Дальнейшие исследования показали, что минимаксный вариационный принцип на основе четной части функции распределения может быть трансформирован в вариационный принцип максимума функционала, который есть удвоенная мощность напряжений в газе минус производство энтропии. Максимум этого функционала ищется при условии выполнения для варьируемых функций закона сохранения импульса. Аналогично минимакс на основе нечетной части функции распределения преобразуется в принцип минимума производства энтропии, который ищется в классе функций, обеспечивающих выполнение законов сохранение в системе числа частиц и энергии, а на границе газа с поверхностью тела условия непротекания и непрерывность потока энергии.

Из сказанного выше следует, что в диссертации были построены двойственные вариационные принципы. В диссертации эти принципы были применены для определения коэффициента сопротивления теплопроводной сферы при ее обтекании медленным потоком разреженного газа. Было показано, что пробные функции, которые аппроксимируют решение задачи в какой-то области движения (например, грэдовская функция), являются непригодными в построенных вариационных принципах.

Похожие диссертации на Применение методов кинетической теории для решения задач разреженных газов и плазмы

Экспериментальное исследование потока электронно-пучковой плазмы в плотном газе Ильин Андрей Александрович

Применение метода вихревых частиц к задачам динамики вязкой жидкостиТаранов Андрей Евгеньевич

Физическое и математическое моделирование природных пожаров и применение методов инфракрасной диагностики для их исследованияЛобода, Егор Леонидович

Развитие и применение метода дискретных вихрей в задачах аэродинамики и динамики ротора СавониусаСизов, Дмитрий Александрович

Применение высокоразрешающих численных методов к расчетам сверхзвуковых отрывных теченийБедарев Игорь Александрович

Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамикеСычев Константин Александрович

Спектральные методы в теории развитой турбулентностиБогданов, Сергей Рэмович

Эффективный метод отыскания оптимальных форм в аэродинамике и теории фильтрацииМуангу Жерве Эме Ришар

Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волнЧесноков, Александр Александрович

Численное решение задач гидроаэромеханики на графических процессорахКарпенко, Антон Геннадьевич