Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Точные решения уравненрш эйлера для плоских автомодельных двухспиральных разрывов 55
1.1. Постановка задачи 55
1.2. Решение задачи для двухспирального контактного разрыва 58
1.3. Решение задачи для двухспиральной вихревой пелены 61
1.4. Решение задачи для двухспиральной свободной границы 64
Заключение 69
Глава II. Течение идеальной жидкости в ядре трехмерного спирального тангенциального разрыва 71
2.1. Течение жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла, изогнутого по степенному закону и имеющего степенную форму в плане 72
2.2. Экспериментальное исследование обтекания крыла в случае п=1/2 80
2.3. Течение идеальной жидкости в ядре трехмерной вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения 82
Заключение 86
Глава III. Течение вязкой или турбулентной жидкости в ядре трехмерной вихревой пелены 88
3.1. Асимптотическое решение задачи о течении вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с острых кромок треугольного крыла 88
3.2, Численное решение задачи о течении вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения 103
3.3. Численное решение задачи о течении турбулентной жидкости в ядре вихревой пелены в следе за крылом большого удлинения 111
Заключение 117
Глава IV. Эволюция и разрушение струйно -вихревого следа за самолетом 119
4.1. Основные факторы, влияющие на эволюцию струйно- вихревого следа 119
4.2. Диффузия струйно-вихревого следа вдали от поверхности земли 123
4.3. Диффузия вихревого следа вблизи поверхности земли 128
4.4. Развитие длинноволновой неустойчивости вихревого следа в идеальной жидкости. 131
4.5. Развитие длинноволновой неустойчивости вихревого следа в турбулентной атмосфере . 147
4.6. Развитие коротковолновой неустойчивости в вихревом следе за самолетом 154
4,7. Численное моделирование характеристик течения в струйно - вихревом следе за самолетом 160
Заключение 197
Глава V. Диффузия двух противоположно закрученных вихрей 199
5.1. Постановка задачи 200
5.2. Асимптотическое решение задачи о диффузии двух вихрей на
малых временах 201
5.3. Движение центров завихренных областей 210
5.4. Эволюция нулевой жидкой линии 216
5.5. Решение в области слабых возмущений на временах і« Re. 218
5.6. Решение задачи при т ~ Re 221
5.7. Численное решение задачи о диффузии двух вихрей 227
Заключение 235
Выводы
- Решение задачи для двухспирального контактного разрыва
- Экспериментальное исследование обтекания крыла в случае п=1/2
- Численное решение задачи о течении вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения
- Диффузия вихревого следа вблизи поверхности земли
Введение к работе
При больших числах Рейнольдса (Re) к поверхности обтекаемого тела примыкает пограничный слой, в котором скорость жидкости (газа) изменяется как по направлению, так и по величине от нуля на поверхности тела до некоторого значения на верхней границе этого слоя. Под действием неблагоприятного градиента давления или при неаналитическом поведении геометрии поверхности возможен отрыв пограничного слоя от тела. Такие течения называются отрывными. Возможен также безотрывный (без образования носовой вихревой пелены) сход пограничного слоя с поверхности тела. Как в случае отрывного, так и в случае безотрывного обтекания в потоке образуются вихревые структуры, определяющие аэродинамические силы, действующие на обтекаемое тело.
Математические методы исследования отрывных течений существенным образом зависят от вида отрыва. По характерному геометрическому масштабу отрывные течения подразделяются на локальные, целиком лежащие внутри пограничного слоя, и глобальные, поперечный масштаб которых намного больше толщины пограничного слоя. По структуре поверхности в окрестности области отрыва - на отрыв от острой кромки и от гладкой поверхности. По сценарию эволюции - на стационарные и нестационарные. И, наконец, отрывные образования могут разделять либо одинаковые, либо разные жидкости.
Несколько примеров отрывных течений. Короткий пузырь, наблюдающийся в некотором диапазоне углов атаки на верхней поверхности профиля, следует рассматривать как локальный отрыв от гладкой поверхности. Обтекание цилиндра с образованием дорожки Кармана - это глобальный нестационарный отрыв. Внезапно приведенная в движение пластина, расположенная на границе раздела двух жидкостей, порождает нестационарное глобальное отрывное образование с различными плотностями на разных берегах поверхности разрыва. В
частном случае плотность одной из жидкостей может быть равной нулю (или близкой к нулю), как, например, при кавитационном обтекании тела.
Изучение гидро- и аэро- динамических задач, связанных с отрывом потока от твердых поверхностей, актуально из-за чрезвычайной распространенности отрывных течений практически во всех отраслях техники, имеющих дело с течением жидкости или газа. В зависимости от практических приложений отрыв потока от тела может быть как желательным, так и вредным явлением. Отрыв потока от боковых кромок крыла малого удлинения приводит к увеличению, по сравнению с безотрывным течением, подъемной силы. Появление кормового отрыва на крыле большого удлинения, наоборот, уменьшает подъемную силу и увеличивает сопротивление крыла.
Начало теоретического исследования отрывных течений связано с именами Г. Гельмгольца, Г. Кирхгофа, Н.Е. Жуковского, С.А. Чаплыгина, Л. Прандтля, Т. Кармана и многих других великих ученых. Продвижения в научных исследованиях касались общей схемы глобального отрывного течения (Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф), образования вихревой дорожки при отрывном обтекании тел (Т. Карман), особой роли вязкости в образовании отрывных течений (Л. Прандтль), силового влияния отрывного образования на обтекаемое тело (Н.Е. Жуковский, Т. Карман), течения около острых кромок крыла (Н.Е. Жуковский, С.А. Чаплыгин).
При Re -> со оторвавшийся или безотрывно сошедший пограничный слой вырождается в бесконечно тонкую поверхность тангенциального разрыва скорости. Численные методы расчета таких течений в рамках модели идеальной жидкости хорошо развиты как в России, так и во многих других странах. В России особенно большую роль в развитии этих методов сыграли (и играют до сих пор) две научные школы: руководителем одной из них был А.А. Никольский [1]-[6], руководителем другой - СМ. Белоцерковский [7]-[12]. Панельные методы и метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовали себя при расчете сил и моментов, действующих
на обтекаемое тело, если заданы линии отрыва или схода пограничного слоя. Однако, каким бы ни было большим число Re и каким бы ни был мелким шаг дискретизации течения, существуют особые области, характеристики которых невозможно определить с помощью описанных выше численных методов. К таким областям следует в первую очередь отнести окрестность ядра спирального тангенциального разрыва скорости, окрестности точек отрыва и присоединения потока, вихревые течения, развивающиеся на больших пространственных и временных масштабах, вихревые образования, эволюционирующие в турбулентном поле (атмосфере). Дополнение методов расчета таких течений в рамках модели идеальной жидкости исследованием характеристик течения в особых областях позволяет существенно расширить класс решаемых задач.
В большинстве случаев поверхности тангенциального разрыва скорости, образующиеся при отрыве потока от тела (или при безотрывном сходе), сворачиваются в спираль с бесконечным числом витков. Линия, вокруг которой наматывается спиральный тангенциальный разрыв скорости, называется центральной линией, а ее окрестность - ядром тангенциального разрыва. Течение в ядре спирального тангенциального разрыва скорости является особым, так как прямой численный расчет уравнений Эйлера для данного течения в рамках моделей [1]-[12] невозможен из-за бесконечного числа витков спирали. Кроме того, витки спирали подходят довольно близко друг к другу, что при расчете по методу дискретных особенностей приводит к численной неустойчивости и стохастизации течения [13], [4], [14].
В численных расчетах ядро вихревой пелены обычно заменяется моделью, предложенной Манглером и Смитом [15]. Ядро заменяется системой «вихрь-прямолинейный разрез». Разрез соединяет центральную линию с концом непрерывной вихревой пелены. Местоположение «вихря -разреза» определяется из условия отсутствия силы, действующей на систему «вихрь - разрез». Такая модель вполне оправдана, так как на
интегральные характеристики в основном влияют внешние витки вихревой пелены. Данная модель активно применялась российскими учеными при расчете глобального отрывного течения и с помощью метода установления [5], [6], [16], и с помощью метода итераций [17], [18]. Возможен также расчет невязких одно- и двух- спиральных тангенциальных разрывов с учетом асимптотического поведения течения в ядре вихревой пелены и его влияния на непрерывную часть пелены [19].
Впервые течение в ядре вихревой пелены исследовал Прандтль в 1924 году [20]. Допущенная им арифметическая ошибка была исправлена лишь спустя почти полвека Алехандером [21]. В этих работах рассмотрены плоские автомодельные спиральные вихревые пелены, показатель автомодельности которых изменяется в диапазоне - со < п < 0,5 (определение автомодельного течения, при котором линейный размер Г]
представляется в виде ij =a*tnr, можно найти, например, в монографии [22]; см. также Главу I 1.1 диссертации). Вихревая пелена в этом случае сворачивается в логарифмическую спираль 0 = -alnr, где г и 9 -
полярные координаты с началом в центре спирали.
Каден в 1931 году рассмотрел задачу об эволюции вихревого следа за эллиптически нагруженным крылом [23]. У эллиптически нагруженного крыла всюду, за исключением свободных концов, угол скоса потока одинаков (см., например, [24]). Поэтому поперечное сечение основной части пелены на малых временах будет отрезком прямой. Свободные концы вихревой пелены сворачиваются в спирали с бесконечным числом витков. На малых временах поперечный размер свернувшейся части будет намного меньше поперечного размера следа. В масштабах свернувшейся части вихревой пелены размер прямолинейной ее части будет бесконечным, свернувшийся вихрь на противоположном конце пелены также уйдет в бесконечность, и его влиянием можно пренебречь. Так как в начальный момент времени отсутствует характерный линейный размер, то
следует ожидать, что эволюция вихревой пелены будет происходить по автомодельному закону. Каден показал, что для эллиптически нагруженного крыла п = 2/3. Спираль в этом случае является
—3/2 алгебраической 0~г . Скорость и давление имеют особенность в
центре спирали. Задачи об эволюции спиральной вихревой пелены еще до
изобретения ЭВМ решали Розенхед [25], Вестуотер [26] и Антон [27]. Мур
и Сафман [28], а также Пуллин и Филлипс [19], обобщили результаты
работы [23] на исследование течений за крыльями, нагруженными по более
общему закону, чем эллиптический. Плоские автомодельные спиральные
вихревые пелены, показатель автомодельности которых изменяется в
диапазоне 0,5 < п < со, исследовали Манглер и Вебер [29], а также Гир о и
Зейтониан [30]. В важном для практики случае п = 1, соответствующем
отрывному обтеканию треугольного крыла, конуса, комбинации конус -
треугольное крыло, решение в ядре вихревой пелены было независимо
получено Манглером и Смитом [15] и Устиновым [31].
Принципиальное отличие решения Прандтля - Александера от
остальных решений - форма спирали. Оказалось, что при - оо < п < 0,5
вихревая пелена сворачивается в логарифмическую спираль 0 = -alnr, а
11 п
при 0,5 < п < оо - в алгебраическую спираль 9 - г~ .В предельном случае n = 0,5 витки спирали освобождаются от завихренности, которая сосредоточивается в центре спирали [1], [3], [32]. Геометрические особенности спиралей различного вида можно найти в математическом энциклопедическом словаре [33]. При приближении к центру алгебраической спирали отношение расстояния между витками спирали к радиусу уменьшается, и поэтому существует область, в которой расстояние между витками становится намного меньше радиуса. Алгебраическая спираль - медленносворачивающаяся. В отличие от алгебраической спирали логарифмическая спираль является быстросворачивающейся. Этот факт накладывает ограничения на схемы
численного расчета отрывных течений. Если в случае алгебраической спирали хорошо работает модель ядра «вихрь-прямолинейный разрез» [15], то в случае логарифмической спирали попытки применить эту модель не увенчались успехом. Не существует и другой хорошей модели, позволяющей произвести корректную замену ядра логарифмической спирали в численном расчете.
Случай n = 0 соответствует обтеканию ускоренным потоком жидкости тела неизменной формы с неизменными по форме вихревыми пеленами. Известны автомодельные решения со струйными отрывами. Для плоской пластины такие решения были получены Карманом [34] и Гилбаргом [35]. Подробное решение этих задач можно также найти в монографии Гуревича [36]. Решения для течений с локальными застойными зонами в случае п = 0 были получены Гайфуллиным [37]. Оставалось невыясненным, существуют ли решения с отрывами в виде вихревых пелен. Ответ на этот вопрос дали испытания в гидротрубе, в которых наблюдался отрыв в виде логарифмической спирали [38].
При отрывах от кромок узкой щели или при отрывах с острой кромки, находящейся на границе раздела двух жидкостей или на свободной поверхности, наблюдаются двухспиральные поверхности тангенциального разрыва скорости. Двухспиральные разрывы могут разъединять одну и ту же или различные жидкости, могут быть разъединительной линией в системе жидкость — газ. От асимптотического поведения характеристик течения в ядре двухспирального разрыва зависят методы численного расчета таких течений. Оказалось, что если двухспиральные разрывы разъединяют одну и ту же жидкость, т.е. являются вихревыми пеленами, и 0,5 < п < со, то они сворачиваются в алгебраическую спираль [29]. При численном расчете таких разрывов была успешно применена модель ядра «вихрь-два разреза» [39]. Разрыв в виде логарифмической спирали исследовал Александер [21] . Он
рассмотрел только симметричный случай, при котором угловое расстояние между спиралями равно л. Такие решения существуют при - со< п < 0,5 .
При 0,5 < п < 1 поле скоростей и давления и в односпиральной и в двухспиральной вихревой пелене имеют особенность при г—>0. В окрестности центральной линии, где порядок возмущения скорости становится сравнимым со скоростью набегающего потока, теория плоских сечений перестает быть справедливой. В этих областях необходимо рассматривать задачу о структуре трехмерного течения в ядре. Такая задача была решена Манглером и Вебер [29] для случая конического течения. Исследования, проведенные в этой статье, показали, что давление, осевая и азимутальная скорости имеют логарифмические особенности в центре ядра. По мере движения вниз по потоку частички жидкости, вращаясь вокруг центральной линии вихревой пелены, все ближе подходят к ней. При этом их скорости в осевом и азимутальном направлениях возрастают.
Наличие особенностей в скоростях и давлении в ядре вихревой пелены указывает на то, что при больших числах Re задача об обтекании тела не может быть полностью решена в рамках модели идеальной жидкости. Влияние вязкости необходимо учитывать не только при определении линий отрыва и линий схода пограничного слоя, но и при построении картины течения в ядре тангенциального разрыва. Холл [40], а затем Стюартсон и Холл [41], определили характеристики течения вязкой жидкости в окрестности центральной линии вихревой пелены. В качестве внешнего невязкого поля использовалось решение [29]. В работах [40], [41] сделано предположение, что силы вязкости существенны только в узком слое, примыкающем к центральной линии вихревой пелены. Течение в этой области считалось осесимметричным и подчинялось параболизованным уравнениям Навье-Стокса. Вне этой области предполагалось, что скорость и давление в любой точке невязкого течения, включающего спиральный вихревой слой, являются такими же, как
скорость и давление в невязком ядре с распределенной завихренностью. При надлежащем выборе входящих в них свободных параметров решения хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными Эрншоу [42]. Учету влияния сил вязкости на тангенциальный разрыв посвящена работа [43]. Однако исследования [40], [41], [43] носили ограниченный характер. Авторы рассматривали только какую-либо обособленную часть ядра и не интересовались его полной вязкой структурой. Возможность замены разрывного потенциального течения на неразрывное завихренное, принятое в работах [40], [41], не является очевидной. На достаточно близких берегах разрывов в ядре вихревой пелены влияние вязкости также будет существенным, и этот факт может повлиять на решение в вязком ядре. Поэтому в целях исследования структуры вязкого ядра вихревого образования и связи его характеристик с геометрическими параметрами. летательного аппарата в диссертации рассмотренно течение вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с острых кромок треугольного крыла.
В работе [44] выведены уравнения движения для изолированных вязких вихрей в предположении, что азимутальная скорость мала по сравнению со скоростью набегающего потока, а осевая скорость мало отличается от скорости набегающего потока. В реальных вихревых течениях осевая скорость может сильно отличаться от скорости набегающего потока. Главный член для значения осевой скорости в ядрах вихрей в вихревом следе за самолетом был получен Бэтчелором [45]. Численному исследованию вязкого течения в ядре вихревой пелены в рамках уравнений квазицилиндрического приближения посвящены работы [46], [47]. Структура турбулентного изолированного вихря исследована Саффманом [48]. Область течения внутри вихря в этой работе разбивается на три подобласти: внешнюю, с размером больше, чем радиус, на котором окружная скорость достигает максимума, внутреннюю и вязкое ядро. В ходе исследования уравнений, описывающих турбулентное течение в ядре
вихря, получено, что изменение циркуляции по радиусу вихря не монотонно. На некотором радиусе циркуляция достигает своего невязкого значения, затем продолжает расти до достижения максимального значения, затем падает до невязкого значения. Это явление Саффман назвал "overshoot of circulation". Движение турбулентной жидкости в ядре спирального тангенциального разрыва рассмотрено в работе [49]. Среди работ, связанных с экспериментальными измерениями течения внутри спирального турбулентного ядра, выделим три [50]-[52], результаты которых можно использовать для построения эмпирических зависимостей (начальный радиус турбулентного ядра, продольная скорость на оси ядра и др.) и для сравнения с расчетными данными.
Структура ядра вихревого течения жидкости была рассмотрена во многих работах автора диссертации. Точное решение уравнений Эйлера для спиральной свободной границы и спирального контактного разрыва построено в работах [53] - [55]. Это новый класс особенностей, которые ранее не исследовались. Показано, что структура спирали подчиняется логарифмическому закону, т.е. является быстроскручивающейся. Следовательно, для численных расчетов подобных течений необходима разработка специальных методов. Доказано, что решение задачи не единственно. Для случая, когда имеется неединственное решение для свободной границы, показана топологическая различимость решений. Исследовано влияние неавтомодельных факторов, а именно капиллярно-гравитационных сил, на поведение спиральной свободной границы. Показано, что в этом случае количество витков спирали становится конечным. В работе [55] также получены новые решения для двухспиральных вихревых пелен, расширяющие класс решений на несимметричный случай. Построены решения для автомодельных осесимметричных вихревых пелен и для ядер вихревых пелен при течениях близких к автомодельным [56]. Показано, что при п = 0,5, в отличие от плоского случая, в осесимметричном течении отрывное
вихре образование не вырождается в вихревую нить. В рамках трехмерных уравнений Эйлера построено решение для ядер вихревых пелен, сходящих с острых кромок крыла, имеющего степенную форму в плане, и изогнутых по степенному закону [57]. Это решение оказалось качественно отличным от построенного ранее Манглером и Вебер [29]. Решение [29] является коническим, в нем жидкость имеет радиальную скорость, направленную к центральной линии спирали, что при движении вниз по потоку приводит к увеличению скорости жидкости на заданном расстоянии от центральной линии пелены. Решение, построенное в [57], оказалось цилиндрическим: скорость жидкости на заданном расстоянии от центра постоянна и меняется только в зависимости от этого расстояния. Для степенных крыльев автомодельным течение становится не сразу, а только после прохождения жидкостью носовой части крыла - области существенно трехмерного течения. Поэтому интересен сценарий выхода течения на автомодельный режим. Оказалось, что данный выход осуществляется после охлопывания «взрывного» образования, экспериментально обнаруженного в носовой части крыла [58], [59]. При п = 0,5 автомодельное отрывное образование вырождается в главном приближении в вихревую нить. В целях исследования влияния неблагоприятного градиента давления на «взрыв» вихря на пути следования вихря устанавливались препятствия конечного размера [58]. В работе [60] обобщена формула Бэтчелора для случая произвольной спиральной вихревой пелены, имеющей удлиненную структуру. Такие вихревые пелены наблюдаются при отрывном обтекании узких тел или в дальнем следе за некоторыми телами. Структура нестационарных вихревых пелен исследована в работе [61]. Исследованию асимптотической структуры течения вязкой жидкости в ядре конической вихревой пелены посвящены работы [62], [63]. Предложены методы численного расчета удлиненных вихревых пелен с целью получения их невязкой и вязкой структур [64], а также невязкой и турбулентной
структур для вихревых пелен, эволюционирующих в следе за самолетом с крылом большого удлинения [65], [66].
Согласно теории пограничного слоя Прандтля, а с сегодняшних позиций - методу сращиваемых асимптотических разложений, задача об определении полей скорости и давления при обтекании тела при больших числах Re разделяется на внешнюю, связанную с решением уравнений Эйлера для задачи об обтекании того же тела, и внутреннюю - решение уравнений пограничного слоя в области, прилегающей к телу, при заданных внешних граничных условиях. Такое разделение оказывается непригодным в окрестности точек отрыва пограничного слоя.
Если отрыв пограничного слоя от тела является локальным, т.е. целиком лежит внутри пограничного слоя, то в качестве внешней задачи выступает безотрывное обтекание поверхности тела. Если отрыв глобальный, то решение уравнений Эйлера для внешней задачи необходимо искать с учетом геометрии и интенсивности поверхностей тангенциального разрыва скорости, сходящих с поверхности тела. Исследование асимптотического поведения решения внешней задачи при приближении к точке глобального отрыва при струйном обтекании можно найти в работах [67]-[69], а в случае схода вихревой пелены - в работе [70]. Уравнение поверхности разрыва при отрыве от гладкой поверхности в локальных координатах т, п (ось т направлена по касательной к телу, ось
п - по нормали) выглядит следующим образом
n = f(t) = CTP+ + (Введ.1)
Второе слагаемое в последнем соотношении определяет геометрию
твердой поверхности в окрестности точки схода поверхности разрыва.
Радиус кривизны R в этой точке может иметь знак плюс или минус в
зависимости от вогнутости поверхности. Коэффициент с в первом
слагаемом зависит от местоположения точки отрыва. Показатель степени
(3 может быть равен либо 3/2, либо 5/2. При (3 = 3/2 кривизна
поверхности разрыва в точке схода бесконечна. Градиент давления при подходе к точке схода пелены со стороны набегающего потока вдоль поверхности тела положителен и стремится к бесконечности, а вдоль поверхности разрыва конечный. При [3 = 5/2 кривизна пелены в точке
схода поверхности разрыва равна кривизне тела, а градиент давления в окрестности этой точки конечен.
Решение глобальной задачи об эволюции тангенциального разрыва, сходящего с гладкой поверхности, не единственно. Оно зависит от начального местоположения точки схода и скорости ее движения по времени. Оказывается, что решение глобальной задачи об эволюции тангенциального разрыва может быть построено не при любой наперед заданной скорости движения точки схода поверхности разрыва. При некоторых местоположениях точки схода коэффициент с в выражении (ВведЛ) может стать отрицательным, что физически невозможно. Для выбора из всего многообразия движения единственного необходимо задание некоторых дополнительных условий. Требование, чтобы во время
расчета коэффициент с при х ' в выражении (ВведЛ) был равен нулю, что эквивалентно условию р = 5/2, называется условием Бриллюэна -
Билля (см. например [71]).
В рамках уравнений Эйлера возможен численный расчет характеристик течений с отрывом от гладкой поверхности при заданном местоположении линии схода поверхности разрыва [6], [72], [73]. При изменении местоположения точки отрыва изменяются как локальные (форма в окрестности точки отрыва), так и глобальные (геометрия и циркуляция) характеристики вихревой пелены.
Известно, что согласовать решения уравнений Эйлера и Прандтля с наперед заданными граничными условиями в отрывных течениях невозможно. В этом случае градиент давления перед точкой схода вихревой пелены бесконечно большой и положительный. Пограничный
слой не способен преодолеть такой градиент давления. Точка нулевого трения оказывается расположенной существенно до точки схода вихревой пелены.
Выход из сложившейся ситуации состоит в том, что пограничный слой на поверхности тела за счет вытесняющего действия меняет распределение давления на своей внешней границе, В окрестности точки отрыва это изменение настолько существенно, что оно «исправляет» бесконечный градиент давления, навязываемый внешним течением, делая его конечным. Величина давления в окрестности точки отрыва рассматривается как неизвестная величина и определяется в процессе решения. Такое взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким течение называется сильным вязко-невязким взаимодействием.
Первой работой, в которой вместо заданного распределения давления вдоль пограничного .слоя использовалось другое граничное условие, позволяющее получить регулярное решение уравнений Прандтля при наличии отрыва пограничного слоя, была работа Кэтирелла и Манглера [74]. В ней в качестве граничного условия использовалось распределение толщины вытеснения.
Асимптотическая теория сильного вязко-невязкого взаимодействия при числах Re —> со была построена для сверхзвукового потока Нейландом [75], Стюартсоном и Вильямсом [76], а в дозвуковых течениях Сычевым [77]. Для несжимаемых отрывных течений она подробно для различных случаев изложена в монографии [71]. Создание асимптотической теории отрывных течений, несомненно, можно назвать одним из крупнейших шагов в развитии теоретической гидродинамики. Асимптотическая теория позволила понять природу отрывного течения и вывести уравнения, описывающие его. Вместе с тем во многих задачах
асимптотической теории в качестве малого параметра выступает Re~ , в котором постоянная величина X оказывается малой величиной. Например, в теории стационарного отрыва от гладкой поверхности 1 = 1/16. Теория не
учитывает потерю устойчивости ламинарного пограничного слоя [78] и его переход в турбулентное состояние. Даже при больших числах Re , при
которых течение еще является ламинарным, величина Re-1^16 будет слабо отличаться от единицы. Поэтому количественные результаты асимптотической теории могут иметь существенное расхождение с данными, полученными при численных расчетах уравнений Навье-Стокса, или с экспериментальными данными.
При конечных числах Re возможно численное решение задач, в которых сильное вязко-невязкое взаимодействие играет определяющую роль. Были разработаны методы решения таких задач в случаях локального отрыва потока. Среди этих методов выделим обратные методы [79], [80], в которых решаются обратные задачи для расчета внешнего невязкого течения и для расчета характеристик пограничного слоя (решение уравнений пограничного слоя при заданном распределении толщины вытеснения или трения на стенке), и полуобратные методы [81]-[83], в которых решаются прямая задача для расчета внешнего не вязкого течения и обратная задача для расчета характеристик пограничного слоя (в результате получаются два распределения давления, сближающиеся с помощью итерационного процесса). Оригинальный метод расчета, близкий по своей идеологии к прямому методу, когда решаются прямые задачи для расчета внешнего невязкого течения и для расчета характеристик пограничного слоя, но с другими граничными условиями был предложен Вельдманом [84]. В этой работе также приводится обзор существующих методов расчета локальных ламинарных отрывов, и сформулированы основные правила, которым необходимо следовать при разработке численных методов расчета стационарных течений с локальными отрывными зонами для тел, характерный размер которых равен L:
I.Уравнения пограничного слоя содержат все члены, необходимые для описания течения во всей вязкой области.
2. Сильное взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким
течением носит локальный характер. Продольный размер области
сильного взаимодействия мал и составляет величину О (Re- ' L). Более того, влияние пограничного слоя на внешнее течение можно рассматривать как малое возмущение и, в частности, использовать для этого результаты теории тонкого профиля.
3. Вязкие и невязкие области равноправны. Действительно, выше и
ниже по потоку от области сильного взаимодействия, т.е. при
Re ' |tJ->go, t-»0, применима классическая теория пограничного слоя, согласно которой на распределение давления вязкость не влияет. При Re ' т —> 0 ситуация меняется на противоположную, и распределение давления определяется главным образом поведением пограничного слоя. Таким образом, в области сильного взаимодействия дважды происходит перестройка течения. Отсутствие определенной иерархии - основной признак сильного взаимодействия.
Исходя из этих правил, Вельдман предложил в качестве скорости ue(t) в граничном условии на верхней границе пограничного слоя использовать выражение
ие(тО = ие0(т) + ие5*(т) Здесь функция иео(т) - скорость на внешней границе пограничного слоя, рассчитанная в первом приближении без учета влияния вязкости и
считающаяся неизменной в процессе решения, 6 (т) - толщина вытеснения пограничного слоя, иед*(т) - поправка для учета вытесняющего воздействия на внешнее течение пограничного слоя. Пограничный слой тонок, поэтому для вычисления ие5*(т)можно использовать результаты теории тонкого профиля (см., например, [85], [24]). В процессе расчета обе величины ие(т) и 5 (т) считаются неизвестными, но связанными определенными соотношениями.
Методы расчета течении с локальными отрывными зонами можно применять и в случае турбулентного пограничного слоя. Большое распространение получило их использование для определения характеристик профилей и крыльев как в России [86], [87], так и в других странах [88], [89].
Сложнее обстоит дело с расчетом течений с глобальными отрывами. В этом случае к задаче учета вязко-невязкого взаимодействия прибавляется еще одна задача: выход характеристик течения на параметры внешнего невязкого отрывного течения на больших расстояниях от точки отрыва. Описанный в [10], [90], [91] метод расчета плоских нестационарных отрывных течений, пригодный с практической точки зрения, с точки зрения асимптотической строгости следует рассматривать как приближенный.
Если наблюдается отрыв со сходом в поток вихревых пелен, то за время dt в поток сходит отрезок вихревой пелены, циркуляция которого определяется через скорость движения жидкости в точке ее схода над вихревой пеленой vT+ и под вихревой пеленой Ут_[92]
лг (ут+-ут-)2^ y2At
dF = 01 = ^—01.
Существенное значение имеет изучение топологии течения в окрестности точки отрыва. Определение суммарной циркуляции и геометрии вихревой пелены зависит от структуры течения в окрестности точки отрыва, если этот отрыв одинарный, или точек отрыва, если это X-отрыв. В случае Я--отрыва суммарная циркуляция вихревой пелены равна разности циркуляции вихревых слоев, сходящих с двух точек отрыва. Экспериментально А,-отрыв наблюдался в результате взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким течением в работах [93], [94]. Предсказание формы отрывного течения и его изменения с изменением внешних условий возможно лишь в самых простых случаях.
Гайфуллиным предложен метод численного расчета характеристик течений при наличии глобальных отрывов от гладких поверхностей [95], [96]. Тем самым существенно расширен класс отрывных течений, расчет которых возможен с помощью зонального подхода, разделяющего всю область течения на внешнюю, связанную с решением уравнений идеальной жидкости и внутреннюю - с решением уравнений пограничного слоя в области прилегающей к телу. При расчете с помощью данного метода глобальных отрывных течений устраняется неоднозначность в определении точки отрыва. Возможно, что данный метод пригоден и для расчета нестационарных и турбулентных отрывных течений, однако этот факт требует дальнейшей проверки.
Автором диссертации экспериментально показана возможность существенного изменения структуры течения в окрестности области отрыва потока при слабом изменении геометрии тела [97], [59].
К задачам об исследовании течения в ядре вихревой пелены и об исследовании течения в окрестности точки отрыва (определяет интенсивность сходящей в поток вихревой пелены) тесно примыкают две другие задачи. Первая из них - «взрыв» вихря. Впервые это явление было экспериментально обнаружено Пекхемом и Аткинсоном [98]. «Взрыв» вихря наблюдается в следе как за крылом малого удлинения [99], так и за крылом большого удлинения [100]. Численному расчету «взрыва» вихря посвящены работы [101]-[104]. Аналитическому исследованию [105], [106] течения с «взрывом» вихря поддаются только в модельных задачах.
Вторая задача — определение характеристик течения в дальнем следе за крылом большого удлинения. Эта проблема стала актуальной в последнее время в связи с перегруженностью многих аэропортов. Ею активно занимаются в России (в НАГИ [107]-[112], в Военно-Воздушной Инженерной Академии [12], [113], в Санкт-Петербурге [114]- [116]) и в других странах (обзор работ содержится в [117], [118]).
Решение задачи о дальнем ламинарном следе можно найти в монографии Ландау и Лифшица [119]. Ими были найдены характеристики течения в зависимости от подъемной силы и сопротивления, действующих на обтекаемое тело. Дальнейшее развитие эта задача получила в работе Рыжова и Терентьева [120]. Результаты, полученные в этих работах, относятся к случаю устойчивого следа, тогда как в практически важных случаях, например, в следе за крылом большого удлинения, трехмерная неустойчивость вихревого следа приводит к изменению его структуры и к его разрушению.
Интенсивный вихревой след за летательным аппаратом с крылом большого удлинения живет достаточно длительное, но не бесконечное, время: около одной-двух минут, за которые самолет успевает пролететь расстояние порядка десяти километров. Благодаря эффекту конденсации водяного пара след становится видимым для земного наблюдателя. Если при этом частицы жидкости затягиваются в концевые вихри, то земному наблюдателю предоставляется возможность наблюдать эволюцию следа сразу во всех фазах его развития (см. фотографии следа в альбоме Ван-Дайка [121], или в монографии Скорера [122]). Чаще всего смена фаз развития вихревого следа происходит следующим образом. Вначале след состоит из двух прямолинейных удлиненных противоположно вращающихся вихревых образований. Затем синусоидальные возмущения нарушают прямолинейность вихревых структур. По мере удаления от самолета амплитуда возмущений растет, В следующей стадии противоположно закрученные вихри сталкиваются, образуя вихревые кольца. Разрушение вихревых колец завершает стадии развития интенсивного вихревого следа.
Постоянная тенденция к утяжелению веса самолета породила проблему предсказания времени жизни и интенсивности вихревого следа за самолетом еще на стадии его проектирования. Увеличение габаритов самолетов ведет к увеличению времени жизни следа за ним, а,
следовательно, к увеличению безопасного расстояния между самолетами. Особую сложность вызывает предсказание хараісгеристик следа на посадочном режиме, что необходимо для определения безопасного предпосадочного расстояния между самолетами. Вихревой след опасен для попадающего в него самолета только до момента разрушения вихревых колец,
К сожалению, даже в больших промышленных аэродинамических трубах невозможно смоделировать струйно-вихревой след на всем его протяжении. Кроме того, характеристики следа в эксперименте существенно отличаются от натурных, что обусловлено различными параметрами турбулентного поля набегающего потока в аэродинамической трубе и в атмосфере.
В зависимости от состояния турбулентной атмосферы вихревой след за крылом большого удлинения неустойчив к возмущениям определенных длин волн. Различного рода неустойчивость порождает и различие в сценарии разрушения вихревого следа. Выделим три сценария разрушения вихревого следа. Первый и наиболее часто наблюдаемый сценарий -неустойчивость следа к длинноволновым (синусоидальным) возмущениям. Возмущения с длиной волны Х~\0Ъ (Ь - расстояние между вихрями) растут быстрее других в нестратифицированной и малотурбулентной атмосфере. Согласно экспериментальным данным, приведенным в работе
[100], турбулентность атмосферы є =(sb) /V (s - скорость диссипации турбулентной энергии, V - скорость опускания вихрей) должна быть меньше 0,05. Максимумы и минимумы длинноволновых возмущений имеют неизменное местоположение в системе координат, связанной с земным наблюдателем. При этом амплитуда возмущений растет по мере удаления следа от самолета. В системе координат, связанной с самолетом, максимумы и минимумы смещаются со скоростью набегающего потока. Второй сценарий наблюдается в нестратифицированной и сильно
турбулентной атмосфере. Это «взрыв» вихря. Он происходит при є > 0,1 [100]. Длина волны возмущений в этом случае сравнима с радиусом вихря. «Взрываться» может как один вихрь, так и сразу два вихря. Местоположение «взрыва» стационарно в системе координат, связанной с самолетом. Причина «взрыва» вихря - обратный градиент давления вдоль вихревой линии, который увеличивается с ростом амплитуды
синусоидальных возмущений [123], [124]. В диапазоне 0,05 < є <0,1
возможен как первый, так и второй сценарий разрушения вихревого следа.
Третий сценарий наблюдается в устойчиво стратифицированной
атмосфере [125]. Характеристикой стратификации является частота Брут
то ~ -Кт2 И dD _
Ваисала N = — , где g- ускорение свободного падения, рп -
P0dY
характерная плотность, dp/dy - изменение плотности по высоте. Коротковолновые возмущения с длиной волны от одного до двух расстояний между вихрями начинают превалировать над длинноволновыми при уменьшении числа Фруда Fr = V/(Nb). С течением времени скорость опускания вихрей уменьшается из-за уменьшения циркуляции вихрей, число Фруда, соответственно, тоже уменьшается, увеличивается скорость роста коротковолновых возмущений. При достаточно сильной амплитуде коротковолновых возмущений вокруг вихрей образуется «шуба» из трехмерных завихренных областей. Представление о такого рода образованиях можно получить из цветных рисунков, приведенных в работе [126].
Кроме описанных выше, возможны и другие типы неустойчивости вихревого следа [127], [128]. Какую роль они играют в общей картине эволюции вихря, и могут ли они быть основной причиной разрушения вихря пока не ясно.
Начало теоретическому исследованию длинноволновой неустойчивости следа положила работа Кроу [129]. В ней на основе
простой модели двух бесконечных вихревых трубок прослежен механизм нарастания синусоидальных возмущений, определены частоты, при которых рост возмущений максимален. В работе Кроу и Бейта [130] в качестве причины возникновения синусоидальных возмущений указана турбулентность, дана оценка времени жизни следа в зависимости от интенсивности турбулентных пульсаций. Теория [130] неплохо предсказывает время жизни вихревого следа, если известны его параметры в дальнем поле за самолетом. Вместе с тем предсказать эти характеристики, например, на посадочном режиме проблематично.
Устойчивость двух вихрей над экраном исследована в работах [И4], [131]. Задача о нарастании синусоидальной неустойчивости в работах [129]-[131], [114] рассмотрена в упрощенной постановке. Считается, что в связи с удлиненностью вихревого следа, пространственную эволюцию можно в главном приближении заменить временной. При этом некоторые величины, например, расстояние между вихрями и их высота, полагаются не зависящими от времени, т.е. возмущения развиваются в неизменных условиях. Предполагается экспоненциальный рост амплитуды. В действительности, особенно при движении над подстилающей поверхностью, расстояния между вихрями и их высота непрерывно меняются. Это оказывает существенное влияние на рост синусоидальных возмущений, вплоть до того, что возмущения заданной частоты имеют растущие и затухающие периоды своего развития по мере удаления от летательного аппарата [112], [132].
Кроме проблем, связанных с неустойчивостью и разрушением следа, практический интерес также представляет определение структуры вихревого следа. Для определения характеристик дальнего вихревого следа за самолетом необходимо знать характеристики ближнего следа, которые зависят от режима полета. На крейсерском режиме полета за самолетом образуется вихревая пелена, которая сворачивается в два вихря. Радиус турбулентного ядра у таких вихрей мал: от нескольких десятков
сантиметров до одного-двух метров [133], [134]. На взлетно-посадочных режимах за самолетом образуется вихревая пелена, которая сворачивается сначала в несколько вихрей. Известны экспериментальные [135]-[138] и расчетные [139], [140] исследования эволюции многовихревой системы. Многовихревая система также является неустойчивой, что влияет на слияние вихрей [141]. В дальнем следе, который начинается примерно на расстоянии пяти - десяти размахов за крылом, многовихревая система превращается в двухвихревую. Радиус турбулентного ядра в такой двухвихревой системе составляет несколько метров [142], [143]. На характеристики ближнего следа также влияют параметры струй от двигателей [144], [145]. В работе [135] отмечается сильная чувствительность характеристик ближнего вихревого следа к малым изменениям в распределении нагрузки на крыло.
Двухвихревая система в. следе за самолетом опускается под действием самоиндукции вниз. По мере удаления ее от самолета происходит диффузия в центрах вихрей [137], [146] (радиус турбулентного ядра растет, а максимум окружной скорости уменьшается), уменьшается циркуляция вихрей [147]. На данный момент не существует общепринятой в научных статьях причины уменьшения циркуляции вихрей. Мнение автора диссертации на этот процесс будет изложено в Главе V.
Характеристики следа и время его жизни зависят от близости пролета самолета к поверхности земли. Если на большой высоте вихри опускаются практически параллельно друг другу, то на малых высотах вихри еще и разбегаются друг от друга. В приземном слое вихри эволюционируют в завихренной турбулентной атмосфере, которая возникает из-за наличия приземного ветра [148]-[150]. С приземным ветром также связано и изменение температуры по высоте, которое сказывается на движении вихрей. Взаимодействие вихревого следа самолета с приземным завихренным следом приводит к появлению дополнительных (вторичных) вихрей, отрывающихся от поверхности
земли [151], [152]. Причем, в зависимости от силы ветра, могут наблюдаться один или два вторичных вихря. Уравнения нарастания синусоидальных возмущений в таких сложных условиях еще не получены, и поэтому в настоящее время возможно только численное моделирование с помощью трехмерных уравнений Навье-Стокса.
Влияние стратификации на характеристики следа исследовалась в работах [153], [154]. При эволюции вихревого следа в стратифицированной атмосфере происходит генерация дополнительной завихренности, изменяется скорость опускания вихрей.
Исследования влияния различных параметров на характеристики следа, кроме чисто теоретического, представляют и практический интерес. На интенсивность и время жизни вихревого следа можно влиять с помощью изменения распределения нагрузки по крылу (при сохранении подъемной силы) [117], [155],. [156], изменения работы двигателя и установки дополнительных устройств на самолете [117], установки нестационарно работающих устройств на крыле [157].
Уберечься от попадания самолета в след от другого самолета можно либо с помощью увеличения расстояния между самолетами, либо с помощью визуализации следа [158], [159]. Если след сделать видимым для летчиков и диспетчеров аэропортов, то возможна коррекция траектории самолета в случае опасности.
С точки зрения безопасности полета является важным, как реагирует самолет на вихревой след, порожденный другим самолетом. Здесь возникает много проблем, связанных с динамикой полета самолета и с аэроупругостью самолета. Данные проблемы исследовались экспериментально [160], [161] и теоретически [162] - [164]. При численных расчетах часто используется гипотеза «замороженного» следа [162]. Проверке данной гипотезы посвящены работы [110], [165], [166], [167].
Несмотря на обилие работ по исследованию вихревого следа, проблема построения модели следа, учитывающей все основные факторы,
влияющие на него, еще далека от своего завершения. Обычно такие модели служат основой для программ численного расчета вихревого следа. Поэтому нельзя ожидать, что с помощью существующих программ возможно смоделировать любую экспериментально наблюдаемую ситуацию. Можно говорить лишь о близости расчета по той или иной модели к экспериментально полученным результатам.
При численном расчете в качестве начальных данных для геометрии и интенсивности вихрей обычно используются либо эмпирические соотношения, либо расчеты ближнего следа за самолетом с помощью панельных программ, либо данные, полученные в аэродинамической трубе. На начальной стадии изучения характеристик следа были широко распространены эмпирические методы. Для описания внешнего невязкого поля течения обычно использовалась модель Бетца [168], [123]. Использование модели Бетца начинается с расчета обтекания крыла самолета по линейной теории с целью получения закона распределения циркуляции по размаху. Затем на основании законов сохранения циркуляции и момента количества движения для каждой выделенной части вихревой пелены производится пересчет циркуляции и получение ее распределения в невязком ядре свернувшейся вихревой пелены. Применение модели Бетца возможно также при сворачивании вихревого следа более чем в одну вихревую пару [169]. При расчете по модели Бетца, также как и при расчете с помощью панельных программ [170], необходима дополнительная информация о турбулентной структуре ядер вихрей [171].
Эмпирические законы, определяющие траекторию движения вихрей, размер турбулентного ядра вихревой пелены, величину «потери» вихрями циркуляции, амплитуду длинноволновых возмущений, можно найти в работах [147], [172]. Для определения времени жизни вихревого следа существуют эмпирические зависимости [173], [174]. Современные
эмпирические и полуэмпирические методы были положены Судаковым в основу программы расчета следа ENGWAKE [175].
Следующим по сложности за эмпирическим методом следует рассматривать зональный метод расчета характеристик следа. Применительно к следу этот метод развивался в работах [139], [140], [176] (комплекс программ UNIWAKE) и в работах автора диссертации с соавторами [65], [66]у [144], [145], [171], [177], [178]. Трудность задачи об эволюции струйно-вихревого следа заключается в том, что ее решение зависит от многих разномасштабных процессов. Характерный линейный масштаб следа порядка десяти километров, атмосферная турбулентность характеризуется масштабом порядка километра, поперечный размер следа порядка размаха крыла, масштаб ядра вихря порядка одного метра, высота полета может меняться от очень большой - порядка десяти километров -до очень маленькой — порядка нескольких метров. Описать одной системой уравнений все процессы, происходящие в вихревом следе, проблематично. Для решения задачи определения характеристик следа применительно к конкретным компоновкам были созданы комплексы программ ZONWAKE [171], [177], [178], [179] и JVWAKE [144], [145], [180], [181]. Идеология этих комплексов программ построена на зональном подходе к решению задачи. Разбивая всю расчетную область на ряд подобластей, можно в каждой из них решать соответствующие уравнения или использовать эмпирические соотношения. На границах областей решения необходимо численно срастить.
Существуют также программы расчета характеристик следа с помощью трехмерных уравнений [142], [143], [182]. В этом случае приходится пространственную эволюцию вихревого следа заменять его временной эволюцией. О недостатках такой замены уже упоминалось выше.
Некоторые характеристики следа можно рассчитать с помощью метода дискретных вихрей [12], [113], [183]. Особенно хорошо этот метод зарекомендовал себя при расчете ближнего следа.
С точки зрения безопасности полета особо важным оказывается исследование характеристик следа вблизи поверхности земли. Возможны расчеты по упрощенным моделям [184]-[18б] и с помощью решения уравнений, учитывающих взаимодействие вихрей с турбулентной атмосферой и поверхностью земли [116], [142], [187], [188].
Исследованию эволюции и разрушения струйно-вихревого следа за самолетом посвящены следующие работы автора. В работах [66], [144], [181], [189] обсуждаются физические процессы, происходящие в струйно-вихревом следе. В [190], [191] исследуется возможность ослабления вихревого следа с помощью модификации геометрии крыла. В работе [144] было сделано предположение,, что масштаб турбулентности должен зависеть от интенсивности поля завихренности. Предложено алгебраическое соотношение для масштаба турбулентности. Приведены уравнения, описывающие эволюцию завихренной области с заданным масштабом турбулентности. Уравнения нарастания амплитуды длинноволновых возмущений в идеальной и турбулентной жидкостях выведены в работах [112], [132]. В них показано, что применительно к вихревому следу характеристики пространственной неустойчивости могут существенно отличаться от характеристик временной неустойчивости. Построенная в этих работах линейная теория хорошо предсказывает время жизни вихревого следа. Нарастание коротковолновых возмущений, приводящих к «взрывному» разрушению следа, исследовано в работах [192], [193]. Рассмотрены одинарные вихри и система из двух противоположно закрученных вихрей. Исследованию взаимодействия профиля с вихревым следом посвящены работы [165], [166]. Рассматривается нестационарное изменение силовых характеристик профиля и изменение структуры вихревого следа. Численному
моделированию течения в следе посвящены работы [144], [145], [171], [177] - [181]. Разработанный автором комплекс программ позволяет рассчитывать характеристики следа с учетом следующих факторов: работы силовых установок, близости земли, произвольных по высоте профилей скорости и температуры приземного ветра, характеристик (масштаб и интенсивность) атмосферной турбулентности.
Несмотря на огромное количество публикаций, посвященных струйно-вихревому следу за самолетом, существуют проблемы в понимании физики некоторых экспериментальных результатов. Одна из таких проблем - проблема «потери» вихрями циркуляции. Измерения, проведенные с помощью лидаров, показывают, что вихри с течением времени ослабевают: циркуляция их уменьшается. Причем скорость уменьшения циркуляции зависит от интенсивности турбулентных пульсаций. Чем больше среднеквадратичная скорость турбулентных пульсаций, тем быстрее падает циркуляция [126], [147], [174], [186], [194]. В работе Грина [147] приведена эмпирическая формула данной зависимости dr/dt = -0,82Fq/b. Здесь Г- циркуляция вихря, t - время,
q = J(u ) + fv' \ + fw' \ - среднеквадратичная скорость турбулентных
пульсаций, b - расстояние между вихрями, { ) - осреднение. Для вихревых течений турбулентный коэффициент вязкости пропорционален q [140].
Таким образом, чем больше коэффициент турбулентной вязкости, тем быстрее затухают вихри. Важно также, что производная циркуляции по времени пропорциональна циркуляции. Этот факт обеспечивает экспоненциальное затухание циркуляции по времени.
Для определения физической причины «потери» вихрями циркуляции была рассмотрена упрощенная задача об эволюции двух двумерных противоположно закрученных вихрей в вязкой (ламинарной) жидкости. Такая вихревая пара моделирует вихревой след за прямоугольным крылом большого удлинения [195]. Отличие состоит в
сценарии разрушения. Трехмерный вихревой след разрушится благодаря трехмерной неустойчивости, а циркуляция правой или левой половины двумерного вихревого образования будет затухать по времени. Вместе с тем, следует ожидать, что физические причины «потери» вихрями циркуляции будут одинаковыми в обоих случаях.
Эволюция двух противоположно закрученных вихрей в идеальной жидкости подчиняется точному решению уравнений Эйлера. Два вихря вместе с овальной капсулой жидкости движутся равномерно перпендикулярно линии их соединяющей [196]. В диссертационной работе исследуется вопрос об эволюции двух противоположно закрученных вихрей в вязкой жидкости.
Хорошо известна задача о диффузии одиночного вихря. Подробное описание этой задачи есть почти во всех монографиях, посвященных основам механики жидкости и газа. Ее решение - точное решение уравнений Навье-Стокса. В монографии Шлихтинга [ 197] отмечается, что задача о диффузии одиночного вихря была решена Озееном и Гамелем. Диффузия вихря конечного размера исследовалась Некрасовым [198]. Положение центра вихря не зависит от времени. Величина завихренности является функцией от двух переменных - времени и расстояния от центра вихря. С течением времени максимум завихренности уменьшается, но если взять интеграл от скорости по контуру, содержащему внутри себя центр вихря и достаточно удаленному от него, то получится, что этот интеграл равен циркуляции вихря в начальный момент времени.
Суммарная циркуляция двух вихрей равна нулю. Из условия симметрии следует, что суммарная циркуляция будет равна нулю в течение всего процесса эволюции вихревой пары. Кроме суммарной циркуляции в процессе эволюции будет также сохраняться импульс Р вихревой пары [199]
Р = — j(r х ш) da.
Здесь t<) - вектор завихренности, интеграл берется по площади.
В монографии Лаврентьева и Шабата [199] дана постановка задачи о диффузии вихревого диполя (пары вихрей бесконечно большой интенсивности и противоположных знаков, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга) в турбулентной жидкости. При этом кинематический коэффициент турбулентной вязкости считался зависящим только от времени и импульса вихревого диполя. Зависимость от времени коэффициента турбулентной вязкости выбиралась из условия, что задача должна быть автомодельной в процессе эволюции вихревой пары. Из-за сложности полученных уравнений в монографии [199] задача не решалась, а решалась только модельная задача, в которой система уравнений заменялась похожей упрощенной системой уравнений. Такое упрощение не является асимптотически точным, но позволило получить приближенное решение. В монографии [199] также указывается на похожесть, в смысле уравнений и законов сохранения, задачи об эволюции вихревого диполя (плоская задача) и задачи об эволюции вихревого кольца (пространственная осесимметричная задача).
Асимптотическому анализу задачи о диффузии двух вихрей на малых временах посвящены работы Дагана [200] и Сретенского [201]. Даган ограничился только несколькими первыми членами асимптотического разложения задачи и поэтому получил, что перемещение вихрей происходит только из-за индукции второго вихря. Этот результат качественно отличается от результатов, полученных автором диссертации и изложенных в параграфах 5.2 и 5.3 Главы V. Решение, полученное в работе [201], базируется на некоторых дополнительных постулатах, предложенных Сретенским. Сибгатуллин отмечает [202]: «Обобщение работы А.И. Некрасова о диффузии круглого вихря на случай диффузии вихревой пары, которое дал Л.Н. Сретенский, является дискуссионным. Уж очень искусственны предположения о том, что: а) система линий тока (в начале задаваемых в виде окружностей
вокруг каждого из двух вихрей) и в каждый следующий момент остается системой окружностей вокруг двух центров биполярной системы с фиксированным расстоянием между центрами б) несмотря на диффузию вихрей, массы жидкости по разные стороны от плоскости симметрии не испытывают отталкивающей силы друг от друга.»
В монографии Бэтчелора [203] описаны два случая установившегося течения невязкой жидкости, представляющих собой вихревое образование с суммарной циркуляцией, равной нулю, и симметричным расположением положительной и отрицательной части завихренности относительно некоторой прямой линии. Первый случай - движение двух точечных противоположно закрученных вихрей одинаковой интенсивности. Второй случай - движение симметричных завихренных областей, в которых величина завихренности пропорциональна функции тока. Исследованию адиабатической диссипации вихревых образований с завихренностью пропорциональной функции тока посвящена работа [204].
Численно решались близкие задачи об эволюции вихревой пары конечного размера в стратифицированной жидкости [153], [154] и о диффузии двух вихрей конечного размера [205].
Исследованию вопросов, связанных с «потерей» вихрями циркуляции в струйно-вихревом следе за самолетом, посвящены следующие работы автора [66], [171], [179]; решению задач о диффузии двух вихрей в вязкой ламинарной жидкости - работы [206]-[208]. Автором получено новое соотношение, справедливое для задачи, поставленной в монографии [199].
Автор считаетает своим долгом выразить благодарность С.К. Бетяеву, СБ. Захарову, А.В. Зубцову и Г.Г. Судакову, тесное сотрудничество с которыми в течение более чем 20 лет сыграло огромную роль в развитии его познаний. Автор также благодарен А.В. Воеводину, В.В. Вышинскому и Ю.Н. Свириденко, так как в результате
сотрудничества с ними задача. об определении характеристик струйно-вихревого следа получила практическое применение.
Содержание диссертации и личное участие автора в получении научных результатов. Диссертация состоит из введения, пяти глав, пяти приложений, заключения и списка литературы.
Решение задачи для двухспирального контактного разрыва
Поверхности тангенциального разрыва скорости, образующиеся при отрывном или безотрывном обтекании тел или при локализованном неаналитическом возмущении в течениях с числами Re — оо, как правило, сворачиваются в спираль с бесконечным числом витков. Линию, вокруг которой наматывается тангенциальный разрыв, будем называть центральной линией, а окрестность этой линии — ядром тангенциального разрыва.
Имеется три типа поверхностей тангенциального разрыва: вихревая пелена, свободная граница и контактный разрыв. Вихревая пелена разделяет одну и ту же жидкость. Свободная поверхность отделяет область течения от области, на границе которой давление считается заданным, в общем случае, как функция поверхностных координат и времени; в частном случае свободная поверхность ограничивает изобарическую область. На свободной поверхности могут действовать поверхностные силы. Контактный разрыв отделяет различные фазы жидкости или различные жидкости; на нем также могут действовать силы поверхностного натяжения.
В данной главе строятся решения в ядрах двухспиральных тангенциальных разрывов, а именно: в ядрах вихревой пелены, свободной изобарической границы и контактного разрыва, разделяющего две разноплотностные жидкости.
Рассмотрим плоское безвихревое автомодельное течение несжимаемой жидкости. Центр спирали, в окрестности которого ищется решение, поместим в начало полярных координат г,,9. Потенциал скорости и давление представим в виде: Фі(г1Ді) = а 2п-1ф(г,9), где rj=a tnr, t - время, p- плотность, a - постоянная, определяющая кинематическую размерность задачи. Ввиду инвариантности решения относительно сдвига по времени можно считать, что автомодельное течение зародилось в нулевой момент, поэтому 0 t co. Для вихревой пелены циркуляция обезразмеривается так же, как потенциал.
При п 0,5 автомодельное решение (1.1) нереально, так как в начальный момент времени циркуляция вихревой пелены или ее аналог -потенциал для свободной границы и контактного разрыва - равны бесконечности. ГТрандтль [20] в этом случае рассмотрел автомодельные течения с отрицательным временем Фі(гіД0 = а2(-02пЛ(г,Є), Рі(цЛ0 = РаІ( і)2(п 1)р(г,Є), (1.2) q=a ()nr, -oo t 0.
Приведем несколько примеров автомодельных течений. Согласно нестационарной аналогии, основы которой были заложены Мунком [215] и существенно развиты Адамсом и Сирсом [216], плоское автомодельное течение в главном приближении эквивалентно стационарному отрывному обтеканию узких тел. В этом случае автомодельное течение с показателем автомодельности п 0,5 соответствует обтеканию расширяющихся и изогнутых по степенному закону крыльев [217], [32]. Вихревая структура таких крыльев будет исследована в 2.1 Главы II. Случай 0 п 0,5 соответствует обтеканию сужающихся и изогнутых по степенному закону крыльев. Случай п 0 соответствует обтеканию тел, расширяющихся и изогнутых по обратному степенному закону. Автомодельному закону подчиняется также течение в ядре вихревой пелены в следе за эллиптически нагруженным крылом [23]. Случай п = 0 соответствует обтеканию ускоренным потоком жидкости тела неизменной формы с неизменными по форме поверхностями тангенциального разрыва [34]-[36]. Двухспиральные структуры возникают под воздействием локализованного неаналитического возмущения границы раздела двух несмешивающихся жидкостей (контактный разрыв), границы раздела одной и той же жидкости (вихревая пелена), свободной границы. Такая картина течения наблюдается, например, при истечении жидкости в другую жидкость через щель с острыми кромками, при погружении тела, находящегося на границе раздела двух жидкостей или на границе свободной поверхности.
Будем считать, что в окрестности центра спиральной границы асимптотическое решение задачи автомодельно в масштабах, меньших по сравнению с характерным размером течения, но больших по сравнению с характерным размером области проявления неавтомодельных факторов (вязкость, поверхностное натяжение, гравитационные эффекты). Влияние неавтомодельных факторов будет рассмотрено ниже.
Экспериментальное исследование обтекания крыла в случае п=1/2
Структура течения при п = 1/2 в области L3 исследовалась экспериментально. Плоское автомодельное течение при п = 1/2 является предельным. Согласно законам автомодельного течения (1.1) циркуляция одного куска вихревой пелены пропорциональна t2n l. При устремлении показателя автомодельности п к 1/2 все большее число витков спирали будет освобождаться от завихренности, пока она не окажется сконцентрированной в точке. При п — 1 / 2 циркуляция оказывается неизменной, новые Бихреобразования уже не отходят от тела. В этом случае следует считать, что завихренность сосредоточена в одной точке, то есть вместо вихревых пелен имеются точечные вихри.
Автомодельное течение идеальной жидкости с точечными вихрями (п = 1/2) впервые исследовал Никольский [1], [2]. Он получил точное решение задачи об обтекании полубесконечной пластины. Решение задачи для тел конечных размеров получено в работе [3].
Особым оказывается и трехмерное течение. Из (2,19) следует, что продольная скорость в этом случае в главном приближении равна 1, а окружная скорость индуцирована вихревой нитью. Следовательно, вся завихренность, сходящая в поток, порождается областью сильных трехмерных возмущений - областью L3. Оторвавшаяся от тела вихревая структура лишается затем подпитки и сосредоточивается в некоторой малой области L2, управляя течением таким образом, чтобы препятствовать дальнейшему отрыву.
В отличие от нестационарного плоского течения трехмерное течение легко воссоздается в гидродинамической трубе. Такие испытания, кроме того, что они интересны сами по себе, позволяют выяснить, как образуется вихревое течение в окрестности вершины крыла.
Экспериментально исследовалось обтекание крыла, имеющего степенную форму в плане (х1) = 2Л/х7 и изогнутого по степенному закону Уі(хі) = -л/ і , 0 X! L. Линейные размеры заданы в сантиметрах. Проекцию угла между вектором скорости набегающего потока и осью хг на план крыла обозначим через р, а проекцию угла на плоскость, перпендикулярную плану крыла, - через а.
Испытания проводились в вертикальной гидродинамической трубе с рабочей частью квадратного сечения размером 150 х 150 мм в диапазоне чисел ReL=2-10 - 2-10 . Число ReL рассчитано по длине крыла и скорости набегающего потока. Схема гидродинамической трубы приведена в Приложении В. Крыло имело толщину 1 мм. Для визуализации течения использовались чернила, которые подавались в поток через дренажное отверстие в носовой части крыла.
Эксперимент показал, что при малых углах аир отрывное обтекание крыла стационарно. В носовой части обнаружены "висячие" отрывы: две замкнутые вихревые рециркуляционные области, соприкасающиеся лишь с вершиной крыла. От рециркуляционных зон отходят вихревые жгуты, которые в теории идеализируется вихревыми нитями. Чернила после прекращения их подачи оставались в носовой части крыла в течении времени (порядка 10 мин), намного большего, чем время пробега жидкой частицей всей длины крыла (порядка 10 с). Замыкание циркуляционных областей и дальнейший переход к цилиндрическому течению происходил без заметных пульсаций скорости. Ламинарный характер течения объясняется, по - видимому, благоприятным градиентом давления вблизи вершины и малым значением числа Re. На рис. 2.3 приведены экспериментально полученные картины течения при обтекании крыла, установленного под углами а = 0, J3 = 5\ при скорости набегающего потока u = 2см/с. На рис. 2.3, а показан вид этих областей в плане, а на рис. 2.3, б - сбоку через 1 минуту после прекращения подачи красителя. На рис. 2.4 приведена качественная схема течения. Турбулизация наступала при больших значениях скорости набегающего потока (UQO 7 см/с). Таким образом, экспериментальные исследования в гидродинамической трубе качественно подтвердили реализуемость течения Никольского при п = 1 / 2.
Численное решение задачи о течении вязкой жидкости в ядре вихревой пелены, сходящей с кромок крыла малого удлинения
В данном параграфе предлагается метод расчета крупномасштабной (невязкой) структуры ядра вихревой пелены; . проведены расчеты крупномасштабной и мелкомасштабной (вязкой) структур ядра вихревой пелены, сходящей с острых кромок треугольного крыла. Постановка задачи. Рассмотрим обтекание крыла малого удлинения или комбинации крыло малого удлинения - фюзеляж потенциальным потоком. Введем безразмерные величины так, чтобы корневая хорда крыла и скорость набегающего потока равнялись единице. Ось х направим вдоль корневой хорды крыла, ось х вдоль центральной линии вихревой пелены, (х,г,9) - цилиндрическая система координат, (u,v,w) - скорости в системе координат (х,г,9), рр - статическое давление, р - плотность, а -угол атаки. Задача заключается в исследовании профилей скорости при малых г (ядро вихревой пелены).
Данную задачу можно разбить на несколько самостоятельных подзадач: 1) расчет глобального отрывного обтекания летательного аппарата; ядро заменяется моделью [15]; 2) расчет характеристик невязкого течения в ядре вихревой пелены; 3) расчет характеристик вязкого течения в ядре вихревой пелены.
Каждая последующая задача использует результаты предыдущей. Задача 1) рассчитывалась по программе Воеводина А. В. и Судакова Г. Г. [209]. Расчет характеристик невязкого течения в ядре вихревой пелены. Разрывное течение в ядре вихревой пелены представляется в виде u(x,r,9) = u0(x,r) + щ (x,r)(9s - 9 - я) + u2(x,r)(Gs - 9 - л)2 +..., v(x,r,9) = vo(x,r) + v1(x,r)(9s-e-7c)-v2(x,r)(es-9-7t)2+..., w(x,r,e) = w0(x,r) + w1(x,r)(9s-G-7i;) + W2(x,r)(es-e-7i;)2+...s p(x,r,9) = p0(x)r) + p2(x,r)(Gs -Є-тс)2 +.„, где 9S-2TC 9 0S, 9 = 9S - по-прежнему уравнение поверхности тангенциального разрыва. 104
Функции u0,w0 и р0 могут иметь особенность при г— 0, а Ui/u0-»0, Wj/w0- 0 (і = 1,2,...), когда г — 0. Так как течение потенциально всюду за исключением поверхности разрыва (и - дц /дх, v = Зср/Эг, rw =д р/д&), воспользуемся уравнением Бернулли, положив, не теряя общности, константу в нем равной нулю: p+-(u2+v2+w2) = 0. (3.29) Из соотношения (3.29) следует, что P0+(«0+v+wg) = 0, (3.30) хотя вектор скорости Vo(x,r) = (UQ,YQ,WQ) не имеет потенциала.
Задача о нахождении величин UQ,vo,W0,po в некоторой области L, включающей центральную линию вихря, является осе симметричной. Для ее решения необходимо задание граничных условий - трех компонент скорости на входящих в L линиях тока. В качестве L выбирается область 0 х xk, 0 г rL, где хк соответствует задней кромке крыла (х t = 1), rL - расстояние от центральной линии вихревой пелены до последнего вихря на пелене, полученной при решени задачи 1). В дальнейшем для упрощения записи индекс «0» в скоростях и давлении опускается.
Рассмотрим уравнения, которые определяют траекторию жидкой частицы, профили компонент скоростей и профиль давления в ядре вихревой пелены: dr/dt = 0, (3.31) w = r/2 r, (3.32) dp w f- = , (3.33) or r 2p + u2+v2+w2=0, (3.34) Н2 + = 0, (3.35) dx dr 105 - , (3.36) dx u где Г - циркуляция. Уравнение (3.34) является следствием уравнения (3.30). Разобьем область L на n (i = l,2,...,n) сечений вдоль оси х и ш(х) 0 = 0,1,2,...,111-1) кольцевых слоев вдоль г. Завихренность каждого j-ro слоя сосредоточим на внешней границе этого слоя г = г,\ Будем выбирать тп(х) таким образом, чтобы j-й вихревой слой в і-ом сечении соответствовал j -му вихревому слою в (і + 1)-ом сечении. Итак, вся область L разбивается на осе симметричные вихревые трубки, радиус которых меняется при движении вдоль оси х; на оси расположена вихревая нить. При переходе через поверхность вихревой трубки скорости и и w терпят разрыв.
Введем индексацию: тройную для осевой и окружной скоростей ui,i,k wi,j,k и двойную для радиальной скорости, давления и радиуса вихревой трубки VJJ, р , Гу. Индекс і указывает на номер сечения вдоль оси х, j - на номер вихревой трубки, к = 1 означает, что скорости вычисляются под поверхностью разрыва, a k = 2 - над поверхностью.
Диффузия вихревого следа вблизи поверхности земли
Рассмотрим движение двух Of Рис. 4.2. Система координат и полооюителъные направления возмущений. противоположно закрученных вихревых трубок под действием самоиндукции. Пусть известна траектория движения вихревых трубок в случае отсутствия нестационарных возмущений, действующих на них. Такую «невозмущенную» траекторию можно получить с помощью численного расчета. Введем ортогональную криволинейную систему координат (x,y,z), связанную с самолетом, так, чтобы ось х была направлена вдоль «невозмущенной» траектории движения вихрей. Расположение осей у и z яри виде сзади показано на рис. 4.2. Скорости (u,v,w) направим вдоль осей (x,y,z). Скорость набегающего потока иот. Расстояние между вихрями b(x). Пусть f(t,x) и g(t,x) - отклонения траектории вихря (правого для определенности) от невозмущенного движения в направлении осей у и z. f (t, х) « b(x), g(t, x) « b(x). Тривиальное движение f = g - о. Возмущенное перемещение вихрей можно представить как суперпозицию симметричного и асимметричного движений [129]. Так как вывод уравнений эволюции вихрей для этих двух движений аналогичен, то произведем его только для симметричного движения, а для асимметричного основные результаты будут даны без вывода.
Итак, пусть f(t,x) и g(t,x) - отклонения траектории правого вихря, а f(t,x) и -g(t,x) - отклонения траектории левого вихря от невозмущенного движения. Выпишем уравнения для траектории левого вихря 131 дї дї — + ucoT- =v, а & dg og Скорости v и w возникают из-за искривления вихревых трубок (см., например, [203]): ra2g rs2f v-Г— w-Г—- , дх2 Эх2 где Г - циркуляция вихревой трубки. Пусть возмущения имеют вид волны, бегущей со скоростью и і g = A(x)cos(v(x-uIt) + 61), f = B(x)cos(v(x - U[t) + 52), где A(x) и B(x) - медленно растущие функции. Порядок изменения функций А(х) и В(х) легко получить из геометрических размеров следа.
На масштабе длины X, на котором распространяется след за самолетом до разрушения, эти функции меняются на величину порядка расстояния между вихрями в сечении х = 0. Функции А(х) и В(х) выражаются через функции F и G, зависящие от новой переменной ц = х/Х А(х) = b(0)F(r,), В(х) = b(0)G(r). (4.15) Если U] UQQ, то левая часть уравнений (4.13) имеет порядок А(иЛ-и])у или B -uiJv, а правая часть - ATv2 или BTv2. Это означает, что при малых Г/и Ь (что характерно для следа), величина vb будет большой, т.е. возмущения будут коротковолновыми. Длинноволновые возмущения будут наблюдаться только если uj «u .
Таким образом, качественные результаты указывают на то, что синусоидальная неустойчивость связана с волной «убегающей» от самолета со скоростью и . Земной наблюдатель будет видеть квазистационарную эволюцию синусоидальной неустойчивости. Для него волна в фиксированном месте пространства будет, пока не разрушится, иметь одну и ту же фазу, но амплитуда волны будет меняться.
Рассмотрим задачу о самоиндуцированном движении двух вихрей в идеальной жидкости. Исследуготся два симметричных противоположно закрученных вихревых образования, сошедших с поверхности самолета в сечении х = 0. Пусть поперечный размер вихря намного меньше расстояния между вихрями, высоты вихрей над землей и продольного радиуса кривизны вихревого образования. В этом случае, также как и в работах [129], [114], [131], считается, что в дальнем следе течение внутри каждого вихря осесимметрично. Закон изменения завихренности по радиусу произволен. Самолет совершает гармонические колебания. Возмущения сносятся вниз по потоку со скоростью ию. Высота полета h(0). Высота вихрей над землей h(x). f(t,x)«h(x), g(t,x)«h(x). Требуется найти, как растет амплитуда колебаний вихрей в следе с увеличением расстояния от самолета. Для решения задачи необходимо ввести две асимптотические области: Oj - область ближнего следа за самолетом с характерными размерами x y z b(0) и П2 " область дальнего следа с характерными размерами х Ъ(0)/е, y z b(0). Здесь безразмерная величина є = Г/идаЬ(0) « I.
Исследуем сначала, что происходит в ближнем поле. Число Струхаля Sh Ljj/u Tjj. составим из характерных для колеблющегося крыла величин, например, средней аэродинамической хорды крыла, скорости набегающего потока и периода колебаний. Для реальных летательных аппаратов число Струхаля - малая величина. Это означает, что течение в ближнем следе за крылом можно рассматривать как квазистационарное. Возмущения в главном приближении передаются без изменения в пределах области Qj. Их значения будут начальными условиями (х = 0) для распространяющихся в дальнем следе возмущений.
