Содержание к диссертации
Введение
2. Необходимые определения и теоремы 6
3. Свойства алгебр матричных инвариантов 20
3.1. Свойство Коэна-Маколея 20
3.2. Минимальная система порождающих гСп 20
3.3. Однородная система параметров Дг,т 30
3.4. Локальные свойства 32
4. Коэн-Маколеево представление Д2,5 37
4.1. Коэн-Маколеево представление над полем нечетной характеристики . 37
4.2. Коэн-Маколеево представление над полем характеристики 2 44
Литература 52
- Минимальная система порождающих гСп
- Однородная система параметров Дг,т
- Коэн-Маколеево представление над полем нечетной характеристики
- Коэн-Маколеево представление над полем характеристики 2
Введение к работе
Теория инвариантов за 150 лет своего развития прошла множество этапов. Ее становление было связано с именами Гаусса, Вейерштрасса, Сильвестра, Клебша, Гордона, Кэли и др. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Следующий этап, связанный с развитием абстрактной алгебры, позволил обобщить многие классические результаты для достаточное широких классов алгебраических групп, действующих рационально на аффинных многообразиях. Естественным следствием этого процесса был и отказ от ограничений на основное поле, над которым определены перечисленные выше объекты. Теперь это не только R или С, но и произвольное поле любой характеристики. Решение 14-й проблемы Гильберта позволило выделить такой естественный класс алгебраических групп, как редуктивные группы. Оказалось, что редуктивные группы, и только они, обладают тем свойством, что для любого их рационального действия на любом аффинном многообразии, соответствующая алгебра инвариантов конечно порождена. В одну сторону это было известно благодаря работам Гильберта и Нагаты, обратное утверждение было доказано Поповым. Однако, несмотря на столь значительный прогресс в абстрактной теории инвариантов, до сих пор нет достаточно эффективных методов нахождения порождающих инвариантов даже в некоторых классических случаях, считавшихся важными еще 100 лет назад. Кроме того, эта проблема значительно осложняется, если мы включаем сюда и поля конечной характеристики. С развитием компьютерной алгебры, символьных вычислений, и, более конкретно, таких методов, как алгоритм Бухбергера нахождения базисов Гребнера-Ширшова, задача явного вычисления минимальной системы порождающих, а также всех определяющих соотношений между ними, снова приобрела тот смысл, который в нее вкладывал Гордон и его ученики (среди которых, кстати, была и Эмма Нетер, по праву считающаяся одним из основоположников современной абстрактной алгебры). Один из способов решения этой задачи — найти общие свойства колец инвариантов редуктивных групп, которые позволили бы упростить вычисления, еще лучше, свести их, в том или ином смысле, к линейной алгебре. Одним из таких свойств является свойство Коэна-Маколея. Большинство алгебр инвариантов обладает естественной градуировкой, такой, что компонента нулевой степени совпадает с основным полем. В этом классе алгебр свойство Коэна-Маколея эквивалентно свойству быть свободным модулем над подалгеброй параметров (Предложение 2.10). Если мы знаем систему параметров и систему свободных порождающих нашей алгебры как модуля над подалгеброй параметров, то есть то, что обычно называют разложением Хиронаки, тогда мы получаем массу полезной информации о самой алгебре инвариантов. Мы можем вычислить ряд Гильберта, определяющие соотношения, сизигии, все типы размерности и т.д.
Замечательная теорема Хохстера-Робертса говорит, что алгебры инвариантов линейно редуктивных групп всегда Коэн-Маколеевы. К сожалению, эта теорема почти бесполезна в модулярном случае, так как здесь линейно редуктивными являются только конечные расширения торов. Более того, как показал недавно Кемпер ([24]), Коэн-Маколеевость всех алгебр инвариантов данной группы эквивалентна ее линейной редук-тивности. Таким образом, даже группа SL2 может иметь рациональное представление, алгебра инвариантов которого не Коэн-Маколеева, если основное поле имеет ненулевую характеристику.
В данной работе все вышеперечисленные задачи решаются для алгебры инвариантов нескольких матриц второго порядка над бесконечным полем произвольной характеристики. Мы покажем, что алгебра инвариантов 2x2 матриц всегда Коэн-Маколеева (Теорема 3.1.1), что обобщает результат Мета и Рамадаса ([33]), доказавших это утверждение для полей нечетной характеристики. Кроме того, наше доказательство относительно элементарно, так как сводит проблему к хорошо известному случаю векторных инвариантов. Далее, мы находим минималную систему порождающих для любого числа 2x2 матриц (Следствие 3.2.2), разложение Хиронаки для не более чем пяти матриц (Теорема 4.1.1, Теорема 4.2.1) и отмечаем, что случай четной характеристики существенно отличается от случая нечетной характеристики. Это замечание обобщается на матрицы произвольного размера (Следствие 3.2.1). Именно мы показываем, что максимальная степень порождающих любой минимальной системы порождающих алгебры инвариантов тпхп матриц не может быть меньше чем т, если характеристика поля не превосходит п. Последний результат имеет особое значение, так как знание максимальной степени порождающих позволяет оценить вычислительную сложность нахождения хотя бы одной минимальной системы порождающих.
Несмотря на то, что многие из перечисленных выше результатов, даже в случае матриц второго порядка, носят отрицательный характер, многое сохраняется и при переходе к полям конечной характеристики. Одним из таких результатов является теорема Ле Брюва-Тераниши, которая описывает все случаи, когда алгебра матричных инвариантов является полным пересечением (Теорема 3.3.1). Доказательство использует описание локальной структуры соответствующего фактормногообразия, обобщенное недавно и для полей конечной характеристики в [10].
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Доказано, что алгебра инвариантов, относительно диагонального присоединенного действия общей линейной группы над бесконечным полем произвольной характеристики любого числа 2x2 матриц Иг.т, всегда Коэн-Маколеева.
2. Доказано, что если 0 char Аг р пип 2, то Rnifn не порождается элементами степени т. В частности, указана минимальная система порождающих для Дг.т Доказано, что Rn,m — полное пересечение тогда и только тогда, когда пара (п, т) одна из (1, т), (п, 1), (2,2), (2,3), (3,2).
3. Найдено разложение Хиронаки для і?2,$ над полем четной и нечетной характеристики.
Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы с научным руководителем и М.Домокосом, получены совместно при равном участии.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю.П.Мерзлякова в Новосибирске и алгебраических семинарах ОмГУ и ОмГПУ.
Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории инвариантов и теории представлений алгебраических групп и ассоциативных алгебр. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Одна из них — тезисы доклада на IV Международной алгебраической конференции в Новосибирске.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 55 страниц. В работе принята сквозная двойная (первая цифра — номер главы, вторая — порядковый номер утверждения в главе) и тройная (первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер утверждения в параграфе) нумерация.
Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность профессору Зубкову А.Н. за научное руководство и всестороннюю поддержку.
Минимальная система порождающих гСп
Предложения 2.17. В частности, эти элементы являются фрагментом максимальной регулярной последовательности кольца R2,m « #2,т является кольцом Коэна-Маколея тогда и только тогда, когда таковым является Доказательство. Нетрудно проверить, что идеалы (tr(X)) и (tr(X),det(X)) — простые. Действительно, идеал (tr(X)) простой, так как он порождается неприводимым многочленом х\і +Ж22 Покажем, что идеал / = (tr(X),det(X)) простой, или, что то же самое &[Af2]/J без делителей нуля. Очевидно, что k[M2]/I это кольцо полиномов от трех переменных к[х, у, z] с единственным соотношением х2 = yz. Отсюда следует, что его элементы имеют единственную запись в виде: х- f + g, где /, / — полиномы от переменных у, z. Предположим, что Это означает, что выполняются равенства Возможны следующие случаи: 1) /і = 0, д\ ф 0. Тогда из /2 ft = 0 следует, что /2 = 0, а из д%д2 — 0 следует, что д2 — О (так как многочлены от переменных у, z образуют подкольцо без делителей нуля). 2) Совершенно аналогично рассматривается случай gi — 0, /і ф 0. 3) Пусть /і 0 и jjfi 0. Можно считать, что НОД(/і,#і) — НОД(/2, 7г) = 1 (иначе на них мы могли бы сократить). Из равенства j\g2 — —f2gi следует, что /2 делит f\ и 7гделит gi. Но тогда должно выполняться равенство yz - /f 9г» из которого следует, что yz делит д\. Пусть д\ — yz h. Отсюда f\ = А и так как /2 и h взаимно просты, то /2 = const. Получаем д\ — С yz, что невозможно при С ф 0. Следовательно, д2 — 0,а значит и /2 = 0. В частности, эти идеалы определяющие для неприводимых многообразий соответственно. Занумеруем наши инварианты следующим образом Если k = 2t + 1,0 t m — 1, тогда Ik определяющий идеал многообразия В случае A: = 22,1 t m, Ik определяющий идеал многообразия Эти многообразия неприводим ы как произведения неприводимых и попарно различны. В частности, элементы ri,...,r2m образуют регулярную последовательность в R2rm и осталось, для завершения доказательства, воспользоваться Замечанием 2.1. Теорема 3.1.1. R2,m — алгебра Коэна-Маколея в любой характеристике. Доказательство. Определим сюръективный морфизм аффинных многообразий следующим образом: Легко проверяется, что это SL2(k)- эквивариантный морфизм.
В самом деле, мы имеем орбитное отображение SL2(k) — S , определенное следующим образом: Стабилизатор точки В, то есть StabSL2( )(#) = {д Є SL2(k) \ дВд х = В}, состоит из всех матриц Орбитное отображение индуцирует морфизм факторизации Осталось определить морфизм открытого аффинного многообразия V \ {0} в SL2(k)/StabsL2{k)[B) по правилу: Мы видим, что композиция морфизмов дает морфизм V \ {0} — S, который по непрерывности ( в топологии Зарисского) продолжается на все V и совпадает с ф. В частности, мы имеем вложение SL2(k)- модулей k[Sm] = k2 m/I2m — &[Vm], определенное на матричных координатах по правилу матричные и векторные координаты па многообразиях Sm и Vm соответственно. Заметим, что A;[Vm] это Л т-градуированная алгебра: каждый элемент VJ, 1 і m, имеет полистепень (0,..., 1 ,...,0). і Для произвольного монома обозначим через с(и) его iVm-полистепень, т.е. вектор (а(1) + /?(1),... ,сх(т) + (3(т)). Нетрудно проверить, что образ k[Sm] в А; "1] имеет базис (как векторное пространство), состоящий из всех мономов таких, что все координаты их "-полистепенеи четные числа. Обозначим этот образ через L. Определим линейное отображение р : k[Vm] - L , которое любой моном переводит в нуль тогда и только тогда, когда и L. В противном случае оставляет его без изменения. Отображение р — это оператор Рейнольдса для пары (k[Vm],L), т.е. это L-линейное отображение и р = idi,- Более того, р — б г -эквивариантное отображение. Действительно, р — линейное отображение. Поэтому необходимо проверить, что р{ии ) = ир(и ), где и, и два монома п и Є L. Но это ясно из того, что ии Є L тогда и только тогда, когда и Є L. Остается проверить, что р(д и) = д- р(и), где д Є SL,2(k) ти — произвольный моном. Заметим, что д и является суммой мономов и (с коэффициентами из к) таких, что c(u ) = с(и), поскольку 5Z/2(fc)- действие сохраняет Nm- полистепень. В частности, если и Є L тогда д -и Є L и р(д -и) — д -и — д р(и); в противном случае р(д и) — 0 = д р{и). Используя предыдущие замечания, мы видим, что р индуцирует оператор Рейнольд са для пары (k[Vm]SL k\ LSL2(fc ). Кроме того, алгебра k[Vm] целая над L потому, что квадрат любого порождающего Ar[Vm] лежит в L. В частности, fc[Vm]5L2(fc) целая над lSL2(k) Хорошо известно, что k[Vm]SL2W Коэн-Маколеева ([7], Теорема 7.3.1(a)). По те ореме Хохстера-Игана получаем, что и является таковой. Наконец, ссылаясь на Предложение 2.17 и Замечание 2.1, заканчиваем доказательство.
Однородная система параметров Дг,т
Доказательство. Пусть (Лі,..., Лт)-набор 2x2 матриц, таких что все инварианты эануляются на (Лі,...,Лт). Индукцией по т докажем, что тогда все однородные инварианты ненулевой степени эануляются на (Лі,...,Лт). Мы можем предполагать, что все Ак ф О, так как иначе наше утверждение верно по предположению индукции. Заметим, что все матрицы At,..., Ат являются нилыютентньши матрицами, так как tr( Л,) — det(Ai) = 0,1 г m. Подходящим действием группы GL2(k) можно привести матрицу Ах к виду Докажем индукцией по г, что все матрицы Лг, 1 г т имеют такой же вид. Пусть все Лі,...,Лг_і имеют вид: Тогда из равенства ег+ї = 0 мы получаем, что tr(Ai Ar) = 0. Пусть матрица Лг имеет вид: Итак мы доказали, что все матрицы Л,-, 1 і т верхнетреугольные с нулевой диагональю. Поскольку произведение таких матриц снова матрица такого же вида, мы получаем, что все tr(A,-1 А,-,) равны нулю для любого набора индексов (t i,...,» »). По теореме Гильберта [25] получаем, что R-x,m целая над подалгеброй, порожденной указанным множеством. Кроме того, они алгебраически независимы, так как размерность Крулля кольца Ri m, равна Am — 3 и не зависит от характеристики поля к ([34]). Напомним, что фактор-алгебра алгебры полиномов k[xi,.. . ,хг] по некоторому идеалу / называется полным пересечением, если / порождается регулярной последовательностью. Кольцо k[xi,...,xr]/I называется гиперповерхностью, если / — главный идеал. В предположении char к = 0 в [29] описаны пары (п,т), для которых Rn,m — полное пересечение. Это доказательство основано на некоторых результатах из [27, 28], касающихся локальной структуры многообразия, координатным кольцом которого является Rn,m- Ограничение на характеристику основного поля было недавно устранено в [10], поэтому мы можем доказать основную теорему из [29] для произвольного бесконечного поля к. Под колчаном мы понимаем конечный ориентированный граф Q, состоящий из множества вершин Qo, множества ребер Qi (начало ребра а обозначаем через а , конец — через а"). Представление V колчана Q — это набор векторных пространств V(i), і Qo и fc-линейных отображений V(a): V(a ) —» V(a"), a Є Qi. Мы называем a = (a(t) і Є Qo) вектором размерности представления V, где a(i) = dim (V(i)). Морфизм ф между двумя представлениями V и W это набор линейных отображений ф{г) : V(i) — W(i), і Є Qo таких, что коммутативна следующая диаграмма: для всех a Qi. Очевидно, что для фиксированного вектора размерности а множество представлений колчана Q образует векторное пространство, изоморфное R(Q, ос) = aeQi k a )Ха(а \ Оно называется пространством представлений колчана Q размерности а. Именно, с каждой точкой х — (х(а) \ а Є Qi) Є R(Q,a) мы ассоциируем представление Vx, где Vx(i) = каМ пространство вектор-столбцов (» Є Qo), а Уг(а) линейное отображение, являющееся левым умножением на матрицу x(a) (а 6 Qi). Ясно, что любое представление размерности а изоморфно Vx для некоторого подходящего х Є R(Q,a), а Vx = Vy тогда и только тогда когда х и у принадлежат одной и той же орбите группы GL(a) = x,eg0(?Z,o(i)(fc), действующей на R(Q,a) по правилу
Напомним, что Эйлерова билинейная форма на Z0" определена следующим образом Рассмотрим колчан: Q0 — {1}, Qi = {ai,...am}, aj = a" = 1. Вектор размерности a ss (a(l)) = n, п Є N. /2(Q,a) = Mn,TO, GL(a) = GL„(fc), действующая диагонально сопряжениями. Можно заметить, что Мп,т отождествляется с многообразием n-мерных представлений алгебры Lm. Это замечание распространяется и на представления произвольного колчана. Именно, определим алгебру путей kQ колчана Q. Эта алгебра с порождающими Алгебра путей из Примера 3.1 очевидно изоморфна Lm. Более того, нетрудно видеть, что для любого представления ф : kQ — End(V) мы имеем разложение V =з ,-Q0 V(i), где V(i) = Ф{ЄІ)У. Причем Vt Qo, а Є Qi Таким образом, набор (У(і),ф(ха)), і Є Qo, а & Qi определяет точку в 11 ,0) а (dimV(i)). Теорема 3.4.1. Следующие утверждения эквивалентны для (п,т): 1) Rn,m — ПОЛНОе Пересечение, 2) Rn,m — гиперповерхность. 3) {п,т) равно (п,1), (1,т), (2,2), (2,3), или (3,2). Доказательство. 1)=5-3). Предположим, что п 2 и т 2. Напомним некоторые факты из коммутативной алгебры. Пусть R = k[V] — координатное кольцо аффинного многообразия V, тогда V называется локально полным пересечением в точке v Є V, если локальное кольцо Ov(V) (локализация k[V] по максимальному идеалу, относящемуся к v) является полным пересечением. Очевидно, если R — полное пересечение, тогда R — локально полное пересечение во всех точках и Є V. Пусть / : V — W — этальныи морфизм аффинных многообразий. Это означает, что индуцированный гомоморфизм /» : Oj(v)(W) — Ov(V) между пополнениями локальных колец является изоморфизмом для всех v Є V. Так как нетерово локальное кольцо А является полным пересечением тогда и только тогда, когда его пополнение А — полное пересечение ([32], Теорема 21.2(і)), то W — локально полное пересечение в точке /(f) тогда и только тогда, когда V — локально полное пересечение в точке V. Пусть Vn,m — Mn Tn/GLn, т.е. категорный фактор многообразия М„(Ш по действию GLn(k) с координатным кольцом Я„,т. Известно, что точки Vn,m параметризуются полупростыми представлениями алгебры Lm. Это частный случай общего утверждения, верного для категорного фактора V(Q, а) пространства представлений размерности а любого колчана Q, по действию группы GL(a), т.е. точки соответствующего фактор-многообразия параметризуются полупростыми представлениями алгебры kQ размерности а. Следуя терминологии [27], мы говорим, что полупростой fcQ-модуль S имеет представление типа г = (/ !, «і;... ;/І , at), если S является прямой суммой t попарно не изоморфных простых подмодулей Si,...,St, кратность Si в S равна //,-, и dim Si = а,- (г = 1, ..., ). В случае многообразия Уп т тип представления т имеет вид (ц\,пі;... ;/i«,nt), где щ,...,щ Є N. По [28] мы построим локальный колчан QT, ассоциированный с представлением типа г . Множество вершин QT это {1,...,2} и для каждой пары (i,j) вершин QT имеется 8j — (ai,aj)Q ребер из г в j (здесь Sj — символ Кронекера). Обозначим через VT аффинное многообразие, параметризующее полупростые представления QT с вектором размерности /z = (/ i,..., fit) (т.е. V(QT,fi) в предыдущих обозначениях), а через б Є К- образ нуля 0 пространства представлений. Пусть точка Є Vn,m соответствует полупростому представлению типа т. Тогда существует этальныи морфизм / из аффинной открытой окрестности U точки 0 в VT на аффинную открытую окрестность W точки в Vn m с условием /(0) = ([10], Следствие 4.3). Отсюда следует, что Vn,m — локально полное пересечение в точке тогда и только тогда, когда УТ — локально полное пересечение в точке 0. Поэтому, если Vn m — полное пересечение
Коэн-Маколеево представление над полем нечетной характеристики
В разделе 3.1 мы доказали, что Яг, — алгебра Коэна-Маколея. В силу Предложения 2.7 это означает, что /?2 т является свободным модулем над подалгеброй параметров. Коэн-Маколеевым представлением (разложением Хиронапи) алгебры Коэна-Маколея называется набор из однородной системы параметров и системы свободных порождающими над соответствующим подкольцом параметров. Везде ниже под подалгеброй параметров в #2,т (обозначим ее через Р) понимается подалгебра, указанная в Предложении 3.3. В случаях m = 2,3 такое представление дано в [17, 18] Предложение 4.1, ([17J) Я2,2 — свободный модуль, порожденный множеством {tv(Xl)MX2) t(X1),det(X3)MXiX2)} Предложение 4.2. ([18]) #2,з — свободный Р-модуль с базисом {1, tx{XiX2X3)} . В случае m — 4 мы имеем Предложение 4.3. ([Теорема 5.2], [40] ) #2,4 — свободный Р-модуль, порожденный множеством 1) если char к ф 2 {1, tr(X,X4), tr(X,X2X3), tr(XiX2X4), едХзХО, tr(X2X3X4), (Х,Х4), tr X,)}; 2) если char к = 2 {1, tr(X,X4), tr(XtX2X3), tr(XiX2X ), tr(X,X3X4), ЦХ2ХзХ,), ОДХзХзХ ), tr(XlX4)tr(X1X2X3X4)}. Ниже будет дано Коэн-Маколеево представление для Й2,в. 4.1. Коэн-Маколеево представление Вч,ь над полем нечетной характеристики Для простоты дальнейшего изложения введем следующие обозначения Теорема 4.1.1. Если char к ф 2, тогда Я — свободный Р-модулъ, с множеством свободных порождающих Доказательство. Обозначим Р-подмодуль Я, порожденный S, через М. Из Следствия 3.2.2 мы знаем, что как Р-алгебра Я порождается множеством Сначала мы докажем, что М является подалгеброй Я, проверив TS С М. По построению М содержит Я(4). Покажем, что Я(5) С М. Воспользовавшись тождеством где (см (5)) получаем,что где получаем Далее для краткости отображение сг, указанное выше, будем записывать (i,«2 3? 4)-Применив отображения получим последовательно, что получаем, что Откуда следует, что Аналогично специализации Применяя отображения или как R(l) С P, то для любой подстановки ( X Y Z V W \ \ Х т(1) Ха(2) Х„(3) Хс(4) Ха(Ь) J где а Є Sym(l,2,3,4,5) L(a(X),a(Y),a(Z), T{V)a(W)) Є РЩ4). В частности, для (4,2,1,3,5) и (1,2,5,3,4) получаем, что /2015, /з#25 Є f\9l4 + PR(4), Следовательно, J?(5) СМи РЯ(5) С М. Докажем теперь включение /2(6) С Л/. Очевидно, что для этого необходимо проверить только, что gijgkl Є М, 1 і j 5, 1 к I 5. Из T(X2Y, Z, V, W) (X, XY, Z, VW) = 0 следует, что где Очевидно, что для любой специализации Докажем теперь, что Я(7) С М. Для этого, как следует из вышесказанного, необходимо убедится лишь в том, что элементы В самом деле, поскольку /і ?і5 + /з /35 Є PR(4) и fig s Є PR(4), то
Аналогично, из /і#2з + /3 34 Є PR{A) и /і«7з4 Є РЯ(4), следует а из /Ifif25 + /3 45 Є РЯ(4) и Л 745 Є РЯ(4) — Итак, Я(7) СМи РЯ(7) С М. Докажем справедливость включения Я(8) С Л/. На трехмерном пространстве з12(к) определена невырожденная симметрическая билинейная форма (А, В) н- і,г(ЛІЗ). Ясно, что для любых пяти векторов этого пространства их матрица Грама, относительно этой формы, имеет ранг не более 3. Отсюда все миноры четвертого порядка матрицы но /І 7ІБ Є РД(4), значит /f 7із Є Рй(8). Следовательно, Я(9) С М. Проверка того, что #(10) СМи #(12) С М сводится к ранее рассмотренным случаям. Итак, мы доказали, что TS С М, следовательно, М — это подалгебра в R, содержащая систему порождающих. Поэтому R — М. С другой стороны, по ([37], [Предложение 3.1]) ряд Гильберта /?2,т в случае char к = 0 вычисляется по формуле т-\ #яг,тсп - ( i)m 12(т _ 1)!(1 _ Тут \ дх) i=T {Тх-\у Однако так как Кп,т рациональный GLn(k)- модуль с хорошей фильтрацией, то ряд Гильберта #я„,тСП не зависит от характеристики поля к (см.[2],[Теорема 2]). Непосредственными вычислениями получим Сравнение рядов Гильберта М и R завершает доказательство теоремы. Сохраняя обозначения на стр.37, обозначим дополнительно hi = и(Х2ХзХ4Х5), h2 = іт(ХіХзХ4Х5), h3 = tr(XiX2X4X$), h4 = Іт(ХгХ2Х3Х5)у h5 = tr(X1X2X3X4), I = tr(XiX2X3X4X&). Теорема 4.2.1. Если char к = 2, тогда Я — свободный Р-модуль, порожденный множеством S = (1, /ь /г, /з, Г»7» /г» Ь figu, /іЯіз, fi9u, /iffis, /i ?25, U f\h\, /i/i2, /1Л3, /i/t5 hhu hhk, /1/, /2 , /з , ІЩ , г ?е 1 fc 5. Доказательство. Пусть M, как и в Теореме 4.1.1, Р-подмодуль Я, порожденный множеством S. В этом случае Я как Р-алгебра порождена множеством Т {/ь /г, /з, #;, / ь, 0 ГДе 1 А: 5. Вновь докажем, что М является подалгеброй Я, проверив включение TSCM. По построению М содержит Я(3), а значит и РЯ(3) С А/. Покажем, что Я(4) С М. Для этого, очевидно, необходимо лишь проверить, что элементы f\, /, /1/2, /2/3» /і/з принадлежат М. Рассмотрим тождество (см (5)) G{X, Y, Z, V) = H(XY, Z, V) + H(YZ, X, V) + H(ZX, Y, V) . (12) Выпишем его полностью iv{XY)ir{ZV) + iT(XZ)tT(YV) + tT(XV)U(YZ) = A(X, У, Z, V), где A{X, Y, Z, V) = tr{XY Z)tr(V) + tr(XY V)tr(Z) + tr(YZV)tr(X)+ +tr(XVZ)tr(F) + tr(XY)tv(Z)tr(V) + tr(y )tr(X)tr(K) + іт(Х Z)tr(Y)ti( V). Дальше, говоря о подстановке сг, мы подразумеваем, что каждая из общих матриц X, У, Z,... заменяется одной из { 1, 25 3,- 4, 5} и сохраним краткую запись такой подстановки,
Коэн-Маколеево представление над полем характеристики 2
Дальше, говоря о подстановке сг, мы подразумеваем, что каждая из общих матриц X, У, Z,... заменяется одной из { 1, 25 3,- 4, 5} и сохраним краткую запись такой подстановки, как оговорено в Теореме 4.1.1. Заметим, что для каждой такой подстановки правая часть последнего раенства содержится в PR(3). Выполняя подстановки (1,2,3,4), (1,2,3,5), (1,3,4,5), (2,3,4,5), (1,2,4,5), получим, что элементы fiti(X2X3), /2tr(X2X3), fitv(X3X4), f3tr(X3X4), /2и(Х2Х4) + /М зХ4) лежат в PR(3). Напомним, что tr(X2X3) = е5 — /i, tr(X2X4) = е6 - /г, tr(X3A"4) = е7 - /з Поэтому Л2, II ЛЬ, А/з, /і/з + /І є РЯ(3). (із) Отсюда следует, что Я(4) С Л/ и PR{A) С М. Убедимся теперь в справедливости включения Д(5) С М. Воспользуемся тождеством G(X, Y, Z, VW) = 0 и получим tx{XY)ir{ZVW) + U(XZ)tr(Y VW) + tr{YZ)tr(XVW)+ +tr( VW)tr(XY Z) = B{X, Y, Z, V, W), где B(X, Y, Z, V, W) = tr(XY VW)tr( Z) + tr(YZVW)tr(X) + U(X VWZ)tr(Y)+ tr(XY)tv{VW)tr(Z) + tr(KZ)tr( VW)tr(X) + tr(XZ)tr(VVT)tr(y). Снова отметим, что B(a(X),a(Y), T(Z), r(V),(T{W)) Є РЯ(4), так как й(1) С Р. Выполняя подстановки (1,2,3,1,4), (2,3,1,4,5), (3,4,5,3,1), (1,5,2,3,5), (2,5,3,4,5), (3,4,5,1,2), (2,3,1,3,5), (1,5,3,4,1), (1,2,3,1,5), (3,2,1,2,4), (1,5,3,4,5), (3,4,5,2,4), получим соответственно, что ft#45, fl#23, /з924, /з#12, /2#14, /з#34, /і#24, /гГ25, /г#45, /i#35, /г#і2, /з#із PR{\). Далее подстановки (2,3,1,2,5), (2,1,4,5,1), (2,3,1,3,4) дают включения /l#34 + /з#45, /2#35 + /і#34, /l#25 + /з#45 Є PR(4). Из этого легко выводится, что /l#34, /2 35, /з#45 Є fl925 + PR(4). Выполнив подстановки (2,5,3,4,3), (1,4,3,4,5), (1,5,2,4,5), получим Л#12 + /з5і4, fl9l2 + /з523, /2ffl3 + /з#23 Р R{A) или /зі4, /з023, /2013 Є /l3l2 + РД(4). Аналогично после подстановок (1,4,2,4,5), (2,3,4,5,2), (2,4,1,2,5), (1,4,2,3,4), (1,4,2,3,5), (4,1,3,2,5) С уЧеТОМ ТОГО, ЧТО /г#14, IlQlbi /з#34 РД(4) имеем /2023, /з015 Є /іГіЗ + РЯ(4), /2#34, /3535 Є /lfl-15 + РЯ(4), / 24, /з#25 Є /ііГі5 + РЯ(4). Итак, /2(5) С М , следовательно, и PR(b) С M. Докажем теперь, что /?(6) С Л/. Сначала заметим, что /і/f, //з, / Є PR(5). Действительно, из (13) следует, во-первых, что /і/г, /г/з лежат в PR(3), поэтому /і/, //з лежат в PR(5). Во-вторых, поскольку / + /і/з Є PR(S), то /+ /2/1/3 Є Р#(5), а значит, в виду /і/2 Є РД(3), получаем / Є РЯ(5). Далее проверим, что fih4, /3 2, /з з» /з 45 /з 5 Є М. Воспользуемся тождеством G(X, YV, Z, VW) + G(X, У, VZ, VW) + G(VX, У, Z, УЖ) = 0. Получим tT(VX)tr{YZVW) + tr(VY)tr(X VWZ)+ +ix{VZ)tx{XYVW) + tx(VW)tx(XY ZV) = C{X, У, Z, V, W), где C(X, У, Z, V, W) = tr( y V2W)tr(Z) + ti(XY VWV)tr(Z) + tr(yV2H )tr(XZ)+ +tr(ZVWV)tr(Xy) + tr(XVW V)tx(YZ) + tr(XY)tr(ZV)tT( VW)+ +tr(XZ)tr(y V)tr( VW) + tr(XV)tv(YZ)tT{VW) + tr(XVZ)tr(V W)tx(Y)+ +lx(XZV)tx(VW)tx(Y) + tr(YVW)tT(X Z)tr(V) + tr(Y VW)tr(VX)tx(Z)+ +tx(YVW)tx(ZV)tx(X) + ЦУ VW)tx(X)tx(Z)tx( V). Из вышесказанного следует, что если а — некоторая подстановка, описанная выше, то C(a(X),cr(Y),a(Z),a(V),a(W)) содержится в РЯ(5).
В частности, выполняя подстановки, (5,2,3,1,4), (1,3,2,5,4), (2,1,4,3,5), (3,4,5,2,1), (2,1,3,4,5) получим соответственно, что fih4 + М5 Є РЩЬ), hh2 + f2ht Є РЯ(5), f3h4 + fth2 Є РЯ(5), hh + hhz + f2h4 Є РЯ(5), f3h3 + /, A, + /2Л2 Є РЯ(5). Отсюда видно, что f\h4, f3h2, f3h3, /з 4» /з 5 Є М. Осталось проверить, что всевозможные произведения 7,; 7ы Є М. Воспользуемся тождеством G(X, YZ, Z, VW) = 0. Получим ti{XYZ)tr(ZVW) = tr(JVZ)tr(yZVW) + tr(VZ)tx{XVWZ) + +D(X,y,Z,V,W), (14) где D{X, У, Z, V, W) = tr{Z2XY)tx{VW) + tr(Z2 VWY )tv(X)+ +ix{Z2Y)tx{XVW) + tx(XYZVW)tx(Z) + tx(XZ)tx(Y V)tx( VW)+ +tr(JVyZ)tr(yHOtr(Z) + tr(Z2y)tr(VH )tr(X) + +tx(XZ)tx(YZ)tx(VW). Выполняя подходящую подстановку а, получаем, что все д дм Є Л/. В частности подстановки (1,4,5,2,3), (1,4,5,1,3), (1,2,5,1,2), (1,3,5,1,2), (4,1,2,3,4) показывают, что #23 7l4 + Ml, #23024 + f2h2, д23дз4 + Мз, #24 734 + М-», 035 15 + /"1 5 Є РЯ(5). (15) Итак, мы доказали, что Д(б) С Л/, а следовательно, и РЛ(6) С М Следующий шаг: проверка включения Я(7) С М. Сначала покажем, что fifigij, /1/1525, 1 і З, 2 j 5, содержатся в PR(6). Кроме того, из соотношений (13) следует, что необходимо проверить лишь включение /з/igij Є РЯ(6), 2 j 5. Однако ранее было показано, что /3512, /зРіз Є РЯ(4), поэтому /3/і#і2, /з/і ?із Є РЯ(6). Далее, так как їзди Є /, 712 + РЯ(4) и /3 /і5 Є Луїз + РЯ(4), то /і/з 7и Є ffgn + РЯ(4) и Л/3 5 Є /, 7із + РЯ(4). Поскольку /2 Є РЯ(3) (см. (13)), получаем /з/іди, hhg\b Є РЯ(6). Наконец, опять используя (13), имеем /і/з = /І + а, где а Є РЯ(3). Отсюда, заметив, что /2525 Є PR(4) и а /25 РЯ(6) легко следует, что /і/з525 = (/1 + «)#25 = /2(/2 25) + а«725 Є РЯ(6). Докажем теперь, что gijhk Є М, 1 к 5. Сделав в (14) замену W н- VFX, получим для любой подстановки т 1 ( ) ) ( )) ( )(7( ( )(7( )) = 1г( г(Х)о-(2))1г( т(Х)(т(Г)а( )о-(К)а(1У))+ + {tx{a{Y)a{Z))iT{a{X)a{V)a{W)a{X)a{Z)) + ( т(Х), a(Y), r(Z), т(V), T(WX))} . Заметим, что выражение, стоящее в фигурных скобках, содержится в РЯ(6), в силу (7) и вышесказанного. Кроме того, tr(a(X)a(Z))tr(a(X)(T(Y)a(Z)a(V)a(W)) либо совпадает с одним из {fj, /2/, fil}, либо содержится в РР(5), то 7,j/tjt Є М, 1 к 5. Например, подстановки (3,4,5,1,4), (2,4,5,5,1) показывают, что 7і2/ 2 Є РЯ(6) /13/ з є РЛ(6). (16) Значит, Д(7) С М и РЯ(7) С М. Убедимся, что Я(8) С М. Заметим, что из (13) и (14) после выполнения подходящей подстановки следует f 9ijgtm Є fihk + РЯ(7), 1 s 3, 1 к 5 . Поэтому достаточно показать, что f%hk, gijl, hthk Є РЯ(7), 1 t, к 5. Рассмотрим элементы //ifc, 1 к 5. Из (15) и &ды Є РЯ(4) . //Ц = /2(Мі) Є /2( 723 7i4 + РЯ(5)) С (/2flr14) 23 + PR(7) С PR(7) . Из (15) и f2g24 = fl9l4 + РЯ(4), ftg23 Є РЯ(4) Jlh2 = /2(/2/ 2) Є /2( 23 24 + РЯ(5)) С (/2524)№з + PR{7) С С 52з(/іРн + РЯ(4)) + РЯ(7) С 5,4(/,523) + РВД С РЯ(7). Из (15) и f2934 = /,5,5 + РЯ(4), /lff23 є РЯ(4) fthz = /2(Мз) Є /2(ДЙ№4 + ЯЯ(5)) С (/2дз4)д2з + PR{7) Я Я 92z(fm5 + PR(4)) + PR(7) Я дМ/ідтз) + PR{7) Я РД(7). Из (15) и /,0,5 = fi9u + PR(4)a, /,535 Є РЯ(4) / 5 = /2(/2А5) Є /2(ffl5 35 + РЯ(5)) С (/jflf15)№5 + PR(7) Я Я М914 + PR(4)) + РЯ(7) С 5,4(/15-35) + РЯ(7) С РЯ(7). Из (15) и /2№4 = /з5з5 + РЯ(4), /з524 РЯ(4) /22/ 4 = /2(/2/14) /2(534 4 + РЯ(5)) С (/2№4)№4 + PR{7) Я Я 924(1гдзь + РЯ(4)) + РВД С 535(/33-24) + РЯ(7) С РЯ(7). Далее рассмотрим тождество G(X, YZ, Z, VWXY) = 0. Получим tr(XYZ)tr(XYZVW) = tr(XZ)tr(YZ)tT(XYVW) + Е(Х, К, Z, V, W), где Я(Х, Y, Z, V, W) = tr(XYVW)tT(Z2XY) + tr(XYZ VWXY)tr(Z)+ +tr(XY2Z2VW)tr(X) + tv(XVWXY)tr(YZ) + tr(XyXVW)tr(YZ2)+ +tr(XF2ZVW)tr(XZ) + tr{XY VW)tr(XYZ)tr(Z) + tr(XFV )tr(y 2)tr(X). Из этого тождества, учитывая предыдущие рассуждения и выбрав подходящую подстановку, легко следует, что либо gijl Є РЯ(7), либо д 1 сравнимы с //г , 1 к 5, по модулю РЯ(7), следовательно, в любом случае 5ijf Є РЯ(7). Например, подстановка (2,3,5,1,2) показывает, что 5,4/ є рад. (17) Остается проверить, что hih„ (Е PR(7), 1 I, s 5. Для этого рассмотрим тождество G(X, YZV, Z, VWX) = 0. Получим tr(XYZV)ti(XZVW) = tx(XZ)tx(YZV)tx(XVW) + F(X, У, Z, V, W), где F(X, Y, Z, V, W) = tr(XY ZVZ)tx(VWX) + tx(X2Y ZV2W)tx(Z)+ +tx(XYZVZVW)tx(Z) + tx{X2ZVW)tx(YZV) + tx(X2VW)tx(YZVZ)+ +tr(XYZV2W)tT(XZ) + tx{XYZV)lx(XVW)\x(Z) + U(YZV)ix{XV W)ix{X). Отсюда, в силу сказанного выше, выполняя необходимую подстановку, заключаем, что М. Є PR(7), 1 /, s 5. Итак, R(8) СМ и PR(8) С М. Докажем теперь, что Я(9) С М. Очевидно, для этого достаточно проверить, что все hkl Є М, 1 к 5. Рассмотрим тождество G(X, YZV,Z, VWXY) = 0. Получим tx{XYZV)tx(XYZVW) + tx(XYVW)tx(YZV)tx(XZ)+ {tx(XYZVZ)tx(XYVW) + tx(XYZV2WXY)tx(Z) + tx(XY2ZVZVW)tx(X)+ +tx{XVWXYZ)tx(YZV) + tx(XYXVW)tx(YZVZ)+ +tx(XY2ZVW)tx{XZ) + tx(XYZV)tx{XYVW)tx(Z) + tx(YZVZ)tx(XYVW)tx(X)}. Выполняя подстановки (1,2,3,4,5), (1,2,3,5,4), (1,2,4,5,3), (1,3,4,5,2), (2,3,4,5,1) и учтя, что выражение в фигурных скобках после этих подстановок содержится в PR(8), имеем h5l, h4l Є PR(S), h3l + /ідізіїз, h2l + figi2h2, hil + f3guhi Є PR(8). Из f3g12 Є PR(4) и (16) следует, что hkl Є М, 1 к 5. Поэтому, Л(9) С М и РЯ(9) С М. Для доказательства того, что /2(10) С М, достаточно проверить включение І2 Є PR(9). Действительно, тождество ( 4X5X1, 2- 3, 3 4, 5- 1.) = 0 показывает, что I2 + figul Є PR(9), окончательно, используя (17), заключаем, что І2 Є PR{9).
