Введение к работе
Актуальность работы. В этой диссертации обобщаются некоторые классические результаты теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре специального вида, гомоморфно отображающейся на коммутативную область целостности.
Хорошо известно, что для произвольной группы G на групповой алгебре kG можно задать структуру алгебры Хопфа, причем всякое действие группы G автоморфизмами на некоторой алгебре А дает действие алгебры Хопфа kG на алгебре А1. Таким образом, понятие действия алгебры Хопфа обобщает действия групп автоморфизмами, а значит имеет смысл рассмотреть задачу переноса ряда фактов классической теории инвариантов на случай действия алгебр Хопфа. Классическим результатом теории инвариантов, принадлежащим Э. Нётер, является факт о том, что алгебра А является целым расширением подалгебры инвариантов AG, в случае действия конечной группы G автоморфизмами на коммутативной алгебре А. Как обобщение этого результата Монтгомери2 был поставлен вопрос о том, будет ли коммутативная Я-модульная А целым расширением подалгебры инвариантов Аи, в случае, если Н конечномерна. Положительный ответ на данный вопрос был получен в следующих случаях:
1. Н — кокоммутативная алгебра Хопфа, этот результат был получен в работах Феррера-Сантоса3 и Шнайдера4;
1 Montgomery S. Hopf algebras and their actions on rings. - Providence, RI: American Mathematical Soc. -
1993.-238 p. глава 4.
2 там же
3 Ferrer-Santos W. Finite generation of the invariants of finite dimensional Hopf algebras//J. Algebra - 1994. -
V. 165.-P. 543-549.
4 Schneider H. J. On inner actions of Hopf algebras and stabilizers of representations 3. Algebra - 1994. - V.
165.-P. 138-163.
-
char к не делит dim Я и Я инволютивна, или char к ф 0 и корадикал Я кокоммутативен, в работе Жу5;
-
Я — точечная алгебра Хопфа и А — аффинная целостная алгебра, в работе Артамонова6;
-
char к = р > 0 или А не содержит ненулевых нильпотентных идеалов, устойчивых относительно действия Я, в работе Скрябина7.
Контрпримеры, построенные в работах Жу8 и Тотока9, обусловлены наличием в А ненулевых нильпотентных Я-инвариантных идеалов. Если А конечно порождена как алгебра, свойство А быть целой над Ан равносильно тому, что А конечно порождена как модуль над Ан, и в этом случае Ан конечно порождена как алгебра.
В случае, когда алгебра Хопфа не является кокоммутативной, коммутативных Я-модульных алгебр оказывается недостаточно много, например нельзя утверждать, что действие алгебры Хопфа Я на произвольном Я-модуле V можно продолжить до действия на симметрической алгебре S{V). Таким образом имеет смысл рассмотреть действие алгебры Хопфа Я на более широком классе Я-модульных алгебр.
Определение 1. Обозначим через Л (или, более точно, Ан) категорию, объектами которой являются пары {А, 3А), где А — некоторая Я-модульная алгебра, За — идеал в А такой, что факторалгебра Sa = А/3А коммутативна, и За не содержит ненулевых устойчивых относительно действия Я идеалов алгебры А.
5 Zhu S. Integrality of module algebras over its invariants. II}. Algebra - 1996. - V. 180. - P. 187-205.
6 Артамонов В. А. Инварианты алгебр Хопфа. //Вести. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1995. - Л*4. - С.45-49 ;
Исправление Вести. МГУ. Сер. 1, матем.мех.. - 1997. -№2. - С. 64.
7 Skryabm S.M. Invariants of finite Hop/algebras. //Advances in Math. - 2004. - V. 183. -P. 209-239.
8 см. сноску 5.
9 Тоток А. А. Об инвариантах конечномерных точечных алгебр Хопфа. //Вестн. МГУ. Сер. 1, матем.мех..
-1997. -№3. - С. 31-34.
Морфизмы в категории А — это гомоморфизмы Я-модульных алгебр ф : А -> В с условием ф(3л) 3#.
Для краткости будем говорить об алгебрах из категории А без явного упоминания идеалов 3А. Обозначим через тс а : А —> Sa каноническую проекцию.
Цель диссертационной работы. Обобщение классических результатов теории инвариантов конечных групп на случай действия конечномерной алгебры Хопфа на алгебре из категории А.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, её результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях в области инвариантов алгебр Хопфа. Материалы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов в университетах.
Основные результаты диссертации.
-
В случае действия полупростой алгебры Хопфа на конечно-порожденной алгебре А из категории А установлена конечная порожденность алгебры А как модуля над своей подалгеброй инвариантов. В случае не полупростой алгебры Хопфа построен контрпример.
-
Для каждой алгебры А из категории А такой, что Sa является облястью целостности, показано, что Я-эквивариантное кольцо частных Март-индейла Qh{A) является конечномерной фробениусовой алгеброй над подпол ем инвариантных элементов Qh(A)h, а также является классическим кольцом частных алгебры А.
-
Введена полная подкатегория А категории А, алгебры из которой целы над своими подалгебрами инвариантов. Построен функтор из категории
Л в категорию Л, сопряженный слева к включению Л в А.
4. Получено несколько эквивалентных достаточных условий того, что поле инвариантов Я-эквивариантного кольца частных Мартиндейла Qh{A) совпадает с полем частных подалгебры инвариантов алгебры А из категории Л.
Апробация работы.
По результатам диссертации были сделаны доклады:
на летней школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Самара, Россия, 8—15 июня 2009 г.);
на второй школе-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов" (Москва, Россия, 31 января — 5 февраля 2011 г.);
на международной конференции "Алгебра и математическая логика" (Казань, 25-30 сентября 2011г.);
на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Казанского (Приволжского) федерального университета 2009-2011 гг.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[6] Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором. Результаты второй главы получены совместно с С. М. Скрябиным [1] в процессе нераздельного сотрудничества.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 78 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 32 наименования.
