Содержание к диссертации
Введение
1 Г-конформные алгебры 15
1.1 Псевдоалгебры 15
1.2 Основные определения 23
1.3 Многообразия Г-конформных алгебр 25
1.4 Свободные Г-конформные алгебры 34
1.5 Простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры 36
1.6 Полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры 42
1.7 Z-конформные алгебры Ли 48
2 Вложение алгебр Лодея в алгебры Рота—Бакстера 54
2.1 Произведения операд, Кожуль-двойственность 54
2.2 Многообразия ди- и триалгебр 57
2.3 Многообразия пре- и посталгебр 66
2.4 Алгебры Рота—Бакстера 73
2.5 Вложение пре- и посталгебр в алгебры Рота—Бакстера 75
2.6 Г-конформные алгебры и g-триалгебры 80
3 Алгебры Лодея и псевдоалгебры 88
3.1 Вложения диалгебр в псевдоалгебры 88
3.2 Основная теорема 90
3.3 Лиевы ди- и триалгебры 92
3.4 Иордановы ди- и триалгебры 95
Приложение 104
Литература
- Многообразия Г-конформных алгебр
- Простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры
- Многообразия пре- и посталгебр
- Основная теорема
Многообразия Г-конформных алгебр
В данном параграфе мы рассмотрим понятия мультикатегории [61] и опера-ды [74] в приложении к псевдоалгебрам. Операды обобщают понятия многообразий алгебр, заданных полилинейными тождествами, и позволяют единообразно работать с алгебрами, псевдоалгебрами, диалгебрами и прочими видами алгебр. При этом операды являются мультикатегориями с единственным объектом. При изложении материала мы следуем терминологии из [62]. Мультикатегорию можно рассматривать как класс объектов, снабженный множествами мультиморфизмов (n-морфизмов для всех п 1), которые допускают построение композиций, удовлетворяющих естественных правилам асссоциативности и существования нейтрального элемента. Если на множестве n-морфизмов определено действие симметрической группы Sn, согласованное с композицией мультиморфизмов, то мультикатегория называется симметрической. Нам потребуется "линейная" версия определения мультикатегории: все множества n-морфизмов являются линейными пространствами над некоторым фиксированным полем к, правило композиции по 16 лилинейно и (в симметрическом случае) группа Sn действует на пространстве n-морфизмов линейными отображениями. Мы используем подход, развитый в фундаментальной работе [50]: алгебра над операдой С — это функтор из С в мультикатегорию Vec линейных пространств над полем к. Единственный объект класса С соответствует некоторому линейному пространству А Є Vecjk, а n-морфизмы операды С соответствуют полилинейным отображениям Ап — А7 представляющим термы алгебры. Тем самым мы получаем понятие обычных алгебр над полем к. Замена мультикатегорий Vecjk на H-mod, где Н — некоторая коассоциа-тивная кокоммутативная биалгебра, приводит к понятию псевдоалгебры [24]. Пусть к — произвольное поле без ограничений на характеристику. Под Г2-алгеброй мы будем понимать линейное пространство, снабжённое семейством линейных бинарных операций Q = {оі і є /}. Следующее техническое определение поможет нам аккуратно записать условие ассоциативности для мультиморфизмов (операд и мультикатегорий) с учётом длин их кортежей:
Пусть дана мультикатегория А и задано действие симметрической группы Sn на n-морфизмах: для любых / Є Р {А\). .. , Ап; А), а Є Sn определено fa Є Р (Аа-і{1),..., Aa-i{n);A)7 при этом (fa)T = faT для r Є Sn. Мультикатегория А называется симметрической, если для любых а Є Sn, IT = (mb...,mn) Є U(m,n),Ti Є Smi,v% Є РТОі({Лу-}; Бг), і = 1,..., п, и Є Рп{{В{\\С) выполнено
Compa"(Ma, (viCT-i)Ti 7_1)"=1) = Сотрем, ( Comp n,..., где х = Сотр7Г(о", Ті,... ,тп) Є 5 задаётся как k\ = {io-,JT i) Ka при А; =
Определение 1.1.5. Пусть А,В — две мультикатегории. Функтором F из А в Б называется правило, по которому каждому объекту А Є А сопоставляется F(A) Є Б, для любого (р Є Р ({Лг};Л) определён мультиморфизм F{tp) Є f ({P(Ai)}] F(A)): при этом отображение (р —(( ) линейно и сохраняются правило композиции и единичный морфизм, т.е. F(ComP , ( )Li)) = Comp Ffa), (F( ))?=1); Если .4, Б — симметрические мулькатегории и выполнена инвариантность функтора F относительно действия симметрической группы F{ipCT) = F((p)a, о Є Sn: то F называется симметрическим функтором.
Тождество (1.2) будем называть Hn-линейностью. Построенное расширение позволяет определить композицию отображений (1.1) таким же образом, как и композицию обычных полилинейных отображений. Получаем мультикатегорию Я-mod. Если Н — кокоммутативная биалгебра, то можно определить действие Sn на Prf"mod({Mi}; М) следующим образом: (fa(ah ...,ап) = ((тн idM) (aia,..., ow), где (h ... /i = (hla-i ... -і) Є Я", р Є PnF-mod({M,}; М), cij Є М{. Получаем симметрическую мультикатегорию.
Пусть Var — однородное многообразие Г2-алгебр, заданное полилинейными тождествами. Через Fy&Y(X) обозначим свободную Г2-алгебру этого многообразия, порождённую множеством X = {х\,Х2,}, через /уаг — идеал алгебры FQ(X) такой, что Fyar(X) = FQ(X)/7Var Рассматривая Alg n) как подпространство в Fn(X)1 введём Var Alg(n) = A\gs(n)/(A\gs(n) П /var)- Правило композиции и действие симметрической группы, определенные на множестве {Var Alg(n)}n i, дают (симметрическую) операду. Семейство проекций A\gs(n) — VarAlg(n), п 1, является функтором из Alg в VarAlg, образ которого — операду — также будем обозначать как Var. удовлетворяющих тождествам р \х\,..., жп) = 0, / Є S: deg f = п (см. [58]), где /( ) получается из / следующим образом. Предположим, что полилинейный Гомоном и от переменных х\,.. ., хп представим как слово хап\ . .. ха(п) для некоторой о" = а (и) Є Sn после удаления всех скобок и символов о , і Є I. Обозначим через и выражение, получаемое из монома и заменой всех о І на j. Тогда и может быть рассмотрен как отображение Сп — 8 я С, которое, вообще говоря, не обязано быть і/"81"-линейным. Однако vs = ( 7(it) 8)я id)it будет і/"-линейным. Окончательно, если / = щщ,
Данный параграф посвящен определению Г-конформных алгебр и основным сопутствующим определениям.
Определение Г-конформной алгеброй, которое было дано в [51], точнее было бы считать определением Г-конформной алгебры Ли. Мы приведём общее определение Г-конформных алгебр, а различные многообразия Г-конформных алгебр и их тождества будут изучены в 1.3.
Простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры
Пусть в разложении x по базису E{j найдётся fi ф 0 при і j, тогда выберем минимальный іо Є Z такой, что fii0j ф 0 для некоторого j, и минимальный jo Є Z, удовлетворяющий условию Hi0j0 7 0. Пусть среди индексов ненулевых коэффициентов fiij разность і — j принимает минимальное значение s. Тогда матричный коэффициент Ei0+Sj0 в (1.28) встречается только среди первых слагаемых разностей в скобках при i\ — j\ = %2 — J 2 = = Ч jt = s, Ці j 7 0 при р = 1,...,/:. Но сумма таких слагаемых не может быть равна нулю, поскольку при j ф j матричный коэффициент Ei0+Sj0 стоит соответственно при степенях XJ J0 и \J J0 при j — jo ф j — Jo- Тем самым Х\Х ф 0.
В случае, когда в разложении х по E{j найдётся fi ф 0 при і j, аналогично доказывается, что х\х ф 0. Пусть А — Z-конформная алгебра Ли и A = Cur(/) для некоторой алгебры /, тогда в множестве С (А) можно выбрать линейный базис А. Для этого достаточно по линейному базису ej, 5 Є А, алгебры / построить векторы nej, 5 Є А, п Є (Z,+). Из леммы 1.7.4 следует, что для алгебры sloo(C) выбрать её базис из множества (7(sloo(C)) нельзя. Для алгебр 000(C), spoo(C) аналогично доказывается, что они не являются алгебрами петель ни от какой алгебры Ли. Теорема 1.5.10 описывает структуру простых ассоциативных и лиевых Г-конформных алгебр конечного типа для группы Г без кручения. Показано, что все простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры в этом случае исчерпываются алгебрами петель над простыми конечномерными алгебрами.
Заметим, что конформные и Г-конформные алгебры петель над простыми алгебрами любого многообразия являются простыми. В случае многообразия алгебр Ли существует единственный пример простой конформной алгебры конечного типа, не изоморфной алгебре петель — конформная алгебра Вира-соро [54], являющаяся однопорождённым модулем над алгеброй многочленов. Покажем, что примеров подобного рода среди Z-конформных алгебр нет.
Пусть С— Z-конформная алгебра Ли, порождённая как к[, _1]-модуль одним элементом L. Поскольку С — однопорождённый модуль над кольцом главных идеалов h[t}t ], поэтому или С — свободный к[,_1]-модуль, или существует многочлен h = ho + h\t + ... + hut минимальной степени к такой, что hL = 0. Во втором случае, если С не абелева, существует максимальное р Є Z с условием Ltp\L 0. Тогда 0 = (hL)(p}L = hoL L = 0 — противоречие.
Вторая глава посвящена общим определениям многообразий алгебр Лодея: ди- и триалгебр, пре- и посталгебр. Для произвольной квадратичной бинарной операды V доказывается Кожуль-двойственность операд ди-Р-алгебр и пре-Р-алгебр, три-Р-алгебр и пост-V-алгебр соответственно.
Показывается, что произвольная пре- и посталгебра (не)нулевого веса инъективно вкладывается в свою универсальную обёртывающую алгебру Рота—Бакстера. Подобный результат получен для триалгебр и алгебр с операторами усреднения.
В этом параграфе мы определим для операд понятия тензорного произведения, белого и чёрного произведений Манина, Кожуль-двойственности.
Для единообразия здесь и ниже операду Alg, являющуюся свободной опе-радой в смысле универсальной алгебры, будем обозначать как J-7 пространства Alg(n) соответственно как J- (n).
Определение 2.1.2. Тензорное (адамарово) произведение V S Q двух операд V и Q определяется следующим образом: (V g Q)(n) = V(n) S Q(n); композиции отображений и действия симметрических групп определяются покомпонентно.
Операда V называется бинарной, если она порождена пространством операций Е = "Р(2), и квадратичной, если все соотношения между операциями из V(2) определяются в V(2) и R = "Р(З) — пространстве квадратичных соотношений. Таким образом, полученную операду обозначим как V(E,R) [73].
Пространство полилинейных термов степени 3 будем отождествлять с
E(3)=kS3kS2(EE), действие (12) на Е S Е определяется как id (8)(12). Определение 2.1.3. Пусть V\ и V2 — бинарные квадратичные операды, Vi(l) = l,Vi = V(Ei, Ri): dim Ej oo. Белым произведением Манина V\ oV2 называется подоперада в ViV2l порождённая пространством операций Е = Ei g Е2.
Определение 2.1.4. Для бинарной квадратичной операды 7- = V(E,R) Кожулъ-двойственная операда V определяется как V(EV R ), где Еу — дуальное пространство к пространству Е7 снабжённое знакопеременным действием группы 5 з, R — подпространство в Ev(3) = E(3)v, ортогональное к Л.
В данном параграфе даётся общее определение произвольного многообразия ди- и триалгебр как на языке тождеств, так и в виде специального функтора (в конце параграфа показана эквивалентность определений). Тем самым мы единообразно зададим алгебры Лейбница (как лиевы диалгебры), ассоциативные диалгебры, коммутативные диалгебры, альтернативные диалгебры и пр.
Алгебры Лейбница были введены Лодеем в [67]. Определение 2.2.1 [67]. Алгебра Лейбница А является линейным пространством с определенной на нём (не обязательно антикоммутативной) билинейной операцией [,], удовлетворяющей (левому) тождеству Лейбница: Ассоциативная диалгебра есть линейное пространство с заданными на нём двумя ассоциативными билинейными операциями Ч, Ь, удовлетворяющими тождествам Также по аналогии с классическими многообразиями алгебр возникали коммутативные [36] и альтернативные диалгебры [66]. Нам будут важны первые.
Многообразия пре- и посталгебр
Замечание 3.4.1. В [91] было введено многообразие квази-йордановых алгебр как класса алгебр, удовлетворяющих первому и третьему тождествам в (3.9). В контексте определения 2.2.5 три тождества (3.9) представляются более адекватной системой определяющих тождеств некоммутативного диалгебра-ического аналога йордановых алгебр. Отметим, что второе тождество в (3.9) было независимо получено в [29].
Пример 3.4.2. В [91] приводится, как построить квази-йорданову алгебру из (левой) алгебры Лейбница с ad-нильпотентным элементом. Пусть L — алгебра Лейбница, х Є L такой, что [ж, [ж, [ж, а]]] = 0 для всех а Є L, тогда пространство Lx = L/Span{a Є L \ [ж, [ж, a}} = 0} относительно операции является квази-йордановой алгеброй. Непосредственно проверяется, что и второе тождество из (3.9) также выполняется в LX: т.е. это йорданова ди-алгебра. Для произвольной йордановой диалгебры А обозначим через А + то же линейное пространство с заданным на нём произведением
Пример 3.4.4. Пусть X — конечномерное линейное пространство над к, X — его изоморфная копия. Для а Є X через а обозначим его образ в X. Рассмотрим симметрическую билинейную форму /: X 0 X ь- к. Пространство J = к 0 X 0 X является йордановой диалгеброй относительно операции
По следствию 3.1.4 многообразие йордановых диалгебр унитально. Таким образом, произвольная йорданова диалгебра А вкладывается в йорданову диалгебру А\ с бар-единицей. В данном многообразии это будет йорданова диалгебра с (обычной) левой единицей е, принадлежащей ассоциативному центру А\.
Определение 3.4.5. По определению 2.2.8 получаем, что многообразие йордановых триалгебр относительно операции ab = а Ь Ь и йордановой операции a _L Ь задаётся тождествами (3.9) и Предъявим разложение Пирса для йордановых диалгебр с идемпотентом. Существует соответствие между идемпотентами йордановой диалгебры J и её "алгебраического образа" J.
Класс специальных алгебр в Var относительно ш может не быть подмногообразием в Var : оно не замкнуто относительно гомоморфных образов. Многообразие, порождённое всеми специальными алгебрами, обозначается как Б Var . Соответствующая операда является образом Var . Ненулевые элементы ядра соответствующих морфизмов операд (если они существуют) есть в точности все полилинейные тождества, выполняющиеся на всех специальных алгебрах в Var , но не выполняющиеся на всём Var . Такие тождества называются специальными (относительно ш).
Достаточно доказать, что каждая алгебра Т Є tri-Var , специальная относительно id()UJ, удовлетворяет тождествам, получающимся из специальных тождеств по правилу (2.11). Действительно, если Т С A(id для А Є tri-Var, то ф: f - A([d - А - гомоморфизм три-Var -алгебр. Тогда id g) : 6 8 Т — С 8 есть гомоморфизм три-Var -алгебр, инъективный на Т С С ТСледовательно, Т удовлетворяет всем тождествам, выполняющимся на С і (g) А ш Є tri-S ) Var . Р) Если Т Є trbS Var , тогда Т Є 5 ) Var и, таким образом, Т является гомоморфным образом специальной алгебры В С А1 , Л Є Var. Непосредственно проверяется, что С2Ф1Т является гомоморфным образом подалгебры специальной алгебры (С2 Ф Apld(E)UJ . Отсюда Т принадлежит S tri-Var .
Конструкция ТКК для йордановых три- и диалгебр. Классическая конструкция Титса—Кантора—Кёхера (ТКК) алгебры Ли Т( J), строящейся по йордановой алгебре J, сохраняет простоту, нильпотентность, сильную (по Пенико) разрешимость. Более того, T{J) — Жз-градуиро-ванная алгебра Ли J+(BS(J)(BJ , где J — изоморфные копии пространства J, S(J) — структурная алгебра, конструируемая внутренними дифференцированиями и операторами левого умножения в J [53].
Докажем аналог теоремы Жевлакова для йордановых три- и диалгебр: Предложение 3.4.9. Конечно-порождённая разрешимая йорданова триал-гебра нильпотентна.
Понятие сильной разрешимости для йордановых алгебр естественным образом переносится на ди- и триалгебры (с учётом отсутствия коммутативности). Для йордановой триалгебры J множество ОУ содержит три операции Ь, Ч, _L (при этом а Ь Ъ = Ъ Ч а). Рассмотрим
Основная теорема
В параграфе конструктивно доказывается теорема о вложении произвольной пре- и посталгебры в подходящую алгебру Рота—Бакстера. При этом простота преалгебры влечёт простоту обёртывающей алгебры Рота—Бакстера.
Пусть Л является Г - -алгеброй. Рассмотрим изоморфную копию А пространства Л (положим, что а Є А находится во взаимно однозначном соответствии с а Є А ) и определим следующую структуру Г2-алгебры на пространстве А = Аф А :
Предложение 2.5.3 [11, 45, 87]. Пусть В — Q-алгебра с оператором Рота— Бакстера R веса А / 0. Предположим, что В принадлежит Var. Тогда то же самое линейное пространство В, рассматриваемое как Q -алгебра относительно операций т.е. для того чтобы получить значение Г - -монома в В} мы должны заменить каждую неотмеченную переменную ХІ (і . Н = {k\,.. . ,/}) на jR(xi). Напомним, что и (х\,. . ., Хп) обозначает выражение, полученное из и заменой каждого произведения о на \ i + 4j + _Lj. Равенство (2.23) ясно для п = 2. Будем вести индукцию по п, пусть сперва Н = 0. Докажем, что
Легко видеть, что при А т 0 эти соотношения при умножении на скаляр А дают в точности (2.22). Предложение 2.5.5 [11, 87]. Пусть В — Q-алгебра с оператором Рота— Бакстера R веса Л = 0. Предположим, что В принадлежит Var. Тогда то же линейное пространство В, рассматриваемое как Q -алгебра относительно операций х \-{ у = R(x) о{ у, х -\{ у = х о{ R{y), является npe-V&r-алгеброй. определения умножения в А следует, что и(а\7 ...,ап) = и (а\,..., ап), где и обозначает то же, что и в определении Ф (п). В частности, для п = 1, 2 утверждение ясно. Проведём индукцию по п = degu. Пусть и = v о{ w и можно считать, что v = v(x\,..., хр)} w = w(xp+i,..., хп). Тогда Hz пробегают все непустые подмножества {1,. .. ,р} и {р + 1,.. ., п} соответственно. Заметим, что общая сумма есть в точности правая часть (2.26): первая (вторая, третья) группа слагаемых в (2.27) соответствует Н = Н2 С {р + 1,...,п}, (Я = Hi U #2, Я = Щ С {1,...,р}). Лемма доказана.
Наконец, предположим, что / Є S — полилинейное тождество степени п. Тогда Ф (п)(/Я) — тождество на Г - -алгебре А, таким образом, леммы 2.5.7 и 2.5.8 влекут, что / выполнено на А. б) = а). Отображение І: А — А, і{а) = а , является вложением Г - -ал-гебры А в А с операциями (2.22). По предложению 2.5.3 А является пост-Var-алгеброй, поэтому пост-Var-алгеброй является и А. Тем самым теорема доказана.
В параграфе рассматривается обобщение триалгебр, называемое g-триалгеб-рами. По аналогии с предыдущим параграфом доказывается, что произвольная g-триалгебра (и диалгебра) вкладывается в алгебру с оператором усреднения, а триалгебра — в алгебру с гомоморфным оператором усреднения. На произвольной Г-конформной алгебре задаётся структура g-триалгебры, а в ненулевой характеристике триалгебра вкладывается в таким образом построенную g-триалгебру. Определение 2.6.1. Назовём обобщённой mpu-V&r-алгеброй (или д-три-Var-алгеброй) Г2(3)-алгебру, удовлетворяющую тождествам (2.5), (2.11).
Пример 2.6.3. Пусть Var = Com обозначает многообразие ассоциативных коммутативных алгебр, тогда для определения g-три-Сот-алгебры достаточно рассмотреть только две операции Ь и _1_. Обе эти операции будут ассоциативными, _L коммутативна, и они также удовлетворяют тождествам
Легко получить из определения, что свободная алгебра в gComTrias, порождённая счётным множеством X = {х\,Х2, }, как линейное пространство изоморфна свободной алгебре в Perm, порождённой пространством многочленов к[Х], её линейный базис состоит из слов где Ui обозначают базисные мономы из алгебры многочленов к.[Х] относительно _L и некоторого линейного порядка . Предложение 2.6.4. Операды g-mpu-Vai-алгебр и Var о gComTrias совпадают.
Рассмотрим для произвольного многообразия Var соотношения операды Var о ComTrias. По (2.1) это есть прообраз пересечения с т((3)) пространства . 0 (3) + i(3) 0 і?2, где R\ — соотношения, определяющие многообразие Var, a i?2 - соотношения, определяющие операду ComTrias. Пространство i(3) 0 2(3) представимо в виде прямой суммы пространств Vo 0 V\ 0 V2, где
Назовём х Є і(3) 0 г(3) однородным, если х Є Vj для некоторого j. Заметим, что тождества операды Var о ComTrias (2.5) и (2.11) однородны, а тождества (2.10) с =0 не однородны. Операда gComTrias отличается от операды ComTrias в точности на неоднородные 0-тождества. Поэтому тождествами обобщённой TpH-Var-алгебры будет пространство R(V&r о gComTrias) = У (Д(Уаг о gComTrias) П Vi)
Сперва рассмотрим моном v = v(x\,.. ., хп), такой, что v = v (см. 1.1). Будем доказывать индукцией поп 1. Для п = 1 утверждение легко проверяется. При п 1 предположим, что (2.34) выполнено для всех мономов меньшей длины w Є J-(m), т п, таких, что w = w. Тогда v = vi(xh ..., хр) ог v2{xp+h ..., хп), Vj = v для j = 1,2. Положим
