Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница Абанина Любовь Евгеньевна

Многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz) = 0

Рассмотрим многообразие А2 - метабелево многообразие алгебр Ли. Оно определяется тождеством ( 1 2)( 3 4) = 0. Свойства этого многообразия в случае произвольной характеристики были изучены в работе [5]. Перечислим некоторые свойства этого многообразия в случае поля нулевой характеристики. Многообразие А2 имеет почти нулевой рост, так как любое собственное подмногообразие состоит из нильпотент-ных алгебр. Полилинейная часть Рп(А2) имеет размерность (п — 1) и состоит из элементов, отвечающих таблицам Юнга с одной клеткой вне первой строки. Оказывается, ограничение числа клеток вне первой строки в разбиениях, порождающих ненулевые слагаемые сумм вида (4), является характерным лишь для многообразий полиномиального роста. Этот результат для случая алгебр Ли был доказан И.И. Бенедиктовичем и А.Е. Залесским в работе [7]. В одну сторону этот результат верен для любой линейной алгебры. Предложение 3. Пусть V - многообразие линейных алгебр. Если существует число с такое, что А — п\ с, где щ - длина первой строки и кратность т\ = 0, то многообразие V имеет полиномиальный рост. Доказательство следует из того, что если рассматривать таблицу, в которой количество клеток вне первой строки меньше, чем число с, то первую строку можно разделить на две части. В первой части количество клеток щ; во второй части - (щ — пг) клеток. Длины крюков клеток вне второй части первой строки заменяем на минимально возможное число, то есть 1. Тогда размерность неприводимого подмодуля будет равна с точностью до коэффициента Предложение 3 доказано. Результатом предложения 3 будем часто пользоваться в дальнейшем. Как было сказано в первом параграфе, вероятным аналогом метабе-лева многообразия А2 является многообразие алгебр Лейбница, определяемое тождеством x(yz) = 0. (5) Обозначим это многообразие В и рассмотрим строение полилинейной части Рп(В). Лемма 1. Для любых к 1 в многообразии В выполняется Доказательство прямо вытекает из тождества (5). Из леммы следует, что, начиная со второго места, буквы в элементах можно упорядочить. Следовательно, любой элемент может быть приведен к сумме элементов вида Теорема 1. Для любого п Рп{В) как 8п-модулъ раскладывается в прямую сумму неприводимых ненулевых подмодулей Рп{В) = V\ ф V2, где V\ - неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (п, 0), aV2 - неприводимый подмодуль, соответствующий разбиению (п — 1,1).

При этом dim Рп(В) = п. Доказательство. В силу леммы 1 размерность пространства Рп(В), как линейной оболочки элементов вида (6), меньше или равна п, то есть dim Рп{В) п. Учитывая тождества (2) и (5), в разложении на неприводимые подмодули останутся только те, которые соответствуют разбиениям (п, 0) и (п — 1,1). Рассмотрим элементы Заметим, что эти элементы в многообразии В не равны нулю. Для этого построим алгебру Лейбница, в которой а\ ф 0 и аг Ф 0. Рассмотрим алгебру Лейбница Z, введенную на странице 20. В алгебре L элементы а\ ф 0, а,2 Ф 0. Для а\ возьмем подстановку xq(\) = ... = a;s(n_2) = е. Элемент а\ порождает неприводимый ненулевой модуль V\ = KSna\, соответствующий разбиению (п, 0); аг - аналогичный модуль V i = KSna2, соответствующий разбиению (n — 1,1). По формуле крюков получаем dim Рп(В) 1 + п — 1 = п. Таким образом, dim Рп(В) = п и Рп{В) = V\ V2, что и завершает доказательство теоремы 1. Замечание 1. Элементы (6) образуют базис пространства Рп(В). Следствие 1. Решетка подмногообразий многообразия В является дистрибутивной. Доказательство. Из теоремы 1 следует, что кратности оставшихся диаграмм равны 1. В силу предложения п.4.8.5. в [6] решетка подмногообразий многообразия В дистрибутивная. Следствие 1 доказано. Рассмотрим подробнее строение решетки подмногообразий многообразия В. Обозначим через Хп подмногообразие, выделяемое в В тождеством /п = хп = О ; через Yn - подмногообразие, выделяемое тождеством gn = x ix\x\ =0. Тогда после полной линеаризации из fn получаем В это тождество подставим элементы из многообразия В : х\ = (ху), Х2 = ... = хп = z. Получаем Учитывая, что второе слагаемое в В равно нулю, получаем тождество {xy)zn l = 0. Таким образом, подмногообразие Хп С Yn+i-Если линеаризовать тождество дп = 0, то получим Подставляя в него элементы из многообразия В : х\ = х = х\ = ... = хп = У,х2 = (яя), получаем Второе слагаемое по тождеству (3) равно нулю. Таким образом, Yn С Этот параграф носит реферативный характер и посвящен многообразию алгебр Ли AN2, которое определяется следующим тождеством: Более двадцати лет назад это многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко. В работах [12], [14] было доказано, что многообразие AN2 является шпехтовым, имеет сверхэкспоненциальный рост, а также другие свойства этого многообразия.

Позже, после возникновения понятия многообразия ассоциативного типа (см. [28]), стало ясно, что из работы [14] следует также экстремальность по отношению к этому свойству. То есть само многообразие AN2 не является многообразием ассоциативного типа, а его любое собственное подмногообразие уже имеет ассоциативный тип. В работах [15], [18], [38] приведены новые свойства этого многообразия. Теорема. Кратность т\ неприводимого модуля для любого разбиения А числа п в разложении полилинейной части РП(ЛЛ ) не превосходит числа п9. Для формулировки следующего результата введем понятие асимптотически эквивалентные функции. Скажем, что две функции /(п) и д(п) натурального аргумента п асимпотически эквивалентны, если их отношение стремится к 1 при стремлении аргумента п в бесконечность. Обозначим это свойство так: /(п) д(п). Теорема. Для кодлины многообразия AN2 выполнены следующие условия: Следствие. Многообразие AN2 является минимальным многообразием со сверхполиномиальным ростом кодлины. Теорема. Для любого собственного подмногообразия V многообразия AN2 существует константа с такая, что т\ с для всех тп\ в разложении Таким образом, многообразие AN2 является примером многообразия, кодлина которого имеет сверхполиномиальный рост, в то время как кратности каждого неприводимого модуля ограничены полиномиальной функцией. То есть сверхполиномиальность кодлины достигается за счет числа различных неприводимых неизоморфных модулей, а не за счет вклада одной кратности, как было во всех более ранних примерах. Под бесконечным крюком H(k,l) мы будем понимать фигуру на плоскости, состоящую из к бесконечных строк и / бесконечных столбцов. Тогда разбиение А Ь п (или диаграмма Юнга) лежит в крюке Н(к,1), если Afc+i /. Теорема. Пусть V — AN2. Рассмотрим разбиение А числа п такое, что A . H(k,l). Тогда т\ 2{к С другой стороны, для любой константы с существуют п и Ah п, для которых гад с. Аналогом многообразия алгебр Ли AN2, как оказалось в ходе исследования, в случае алгебр Лейбница явилось многообразие левонильпо- тентных ступени не выше трех алгебр Лейбница N. Этому многообразию посвящена вторая глава.

Пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста

В случае алгебр Ли известно всего пять многообразий почти полиномиального роста. Это многообразие N2A, определяемое тождеством (#1 2)( 3 4) (#5б) = 0. Для единообразия обозначений всех примеров обозначим многообразие N2A через Vi. Доказательство этого факта содержится в работе [25]. Еще два примера многообразий с таким свойством экстремальности сравнительно давно известны. Это многообразие К), порожденное простой трехмерной алгеброй 5/2 матриц, второго порядка со следом равным нулю. Это единственное известное пока многообразие почти полиномиального роста, которое не является разрешимым. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [31], [32] и В. Дренски [17]. Еще одним примером многообразия почти полиномиального роста является многообразие, исследованное в статьях И.Б. Воличенко [10], [11]. Обозначим его 1. Оно порождается алгеброй Ли вида где G - бесконечномерная алгебра Грассмана, а 0 - нулевая алгебра Для многообразия V2 верна теорема. Теорема. Многообразие V2 является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Кроме того, оно имеет почти полиномиальный рост. Следствие. Для многообразия V2 верны следующие соотношения: ln(V2) = 2п - 5, ,(1 = 2п. В третьей главе будет исследовано многообразие алгебр Лейбница V-2, которое является аналогом многообразия V2 по некоторым свойствам. Для дальнейших примеров многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста нам будут нужны следующие алгебры. Ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной t обозначим R, его можно рассматривать как абелеву алгебру Ли. Обозначим также через Mi двумерную метабелеву алгебру Ли с базисом {/І, е} и таблицей умножения he = — eh = h, а через iV3 трехмерную нильпотентную алгебру Ли с базисом {а, Ь, с] и таблицей умножения ba = —ab = с,ас = Ьс = 0. Превратим R в Мг-модуль, полагая f(t)h = tf(i),f(t)e = tf (t), а также в ІУз-модуль, считая, что f(t)a = f (t),f(t)b = tf(t),f(t)c = f(t). Штрих над многочленом обозначает взятие производной. Необходимые нам алгебры - такие полупрямые произведения: Обозначим через V3 многообразие, порожденное алгеброй N, а через V\ многообразие, порожденное алгеброй М. В этих многообразиях выполнено стандартное тождество некоторой степени, даже система Капелли некоторого порядка, поэтому они отличаются от многообразия Уч. Многообразия V3 и V4 разрешимы ступени три, поэтому отличны от многообразия VQ. Доказательство того факта, что многообразия V3 и V4 имеют почти полиномиальный рост, приведены в работах [26], [27]. Изучение этих многообразий есть и в работе автора совместно с И.О. Седовой [30]. Оценки, которые были получены для этих многообразий, были достаточно грубые. В третьей главе будут рассмотрены аналоги многообразий Уз и V4 в случае алгебр Лейбница. Как будет показано ниже, по своим свойствам это многообразие похоже на многообразие алгебр Ли АЛГг, описанное в первой главе.

В данной главе будет предъявлен базис полилинейной части многообразия N, даны формулы коразмерностей вербального идеала и кратностей. 2.5. Базис полилинейной части многообразия $N. В начале приведем примеры алгебр Лейбница, лежащих в многообразии $N. Эти примеры понадобятся в ходе доказательств теорем. Как будет показано, они порождают многообразие з- Пусть Tk = K[t\,..., tk] - кольцо многочленов от переменных t\,..., tk. Hk - алгебра Гейзенберга с базисом ai,..., а&, Ьі,..., &&, с и умножением a{bj — SijC, ща] = bibj = ще = bjC = 0, где 5ij - символ Кронекера. Алгебра Hk является алгеброй Ли. Превратим кольцо многочленов Tk в правый модуль алгебры Hk. Базисные элементы действуют справа на полином / из Т следующим образом: Необходимая алгебра Лейбница построена согласно предложению 2 (стр. 14) и является прямой суммой векторных пространств Hk и Т , где умножение задается правилом: где х, у из #&; f,g из Тк. Обозначим эту алгебру символом Нк. Полученная алгебра Нк принадлежит многообразию N для любого к. Проверим, что тождество (7) выполняется в Нк: Это равенство верно по свойствам алгебр Нк и Т . Отметим, что тождества (2) и (7) дают возможность в элементах алгебры делать следующее. Во-первых, переменные, стоящие внутри скобок, можно упорядочить по индексу, так как х(у2У\) = —х{у\у2). Во-вторых, если в элементе возник коммутатор (XisXje), то его можно двигать в элементе, начиная со второго места, так как xy(zt) = x(zt)y. Таким образом, все пространство полилинейных элементов Рп(з- ) порождается элементами вида Действительно, если берем элемент, в котором не упорядочены две переменные, то после применения тождества (2) возникает коммутатор, который можно передвинуть на нужное место. Следующая теорема связана со свойствами полилинейной части Рп(зЙ) многообразия з-N". Теорема 2. 1) Совокупность элементов вида (8) образуют базис пространства Pn(zN). 2) Коразмерность вербального идеала многообразия 3-/V определяется равенством CnfoN) = п inv(n — 1), где inv(m) - число инволюций (элементов порядка два) симметрической группы Sm. Доказательство.

Сначала покажем линейную независимость элементов вида (8). Предположим противное. Пусть существует линейная зависимость Используя алгебры Нк подходящих размерностей, покажем равенство нулю всех коэффициентов Oi{i,iu...,im i,...,jmy Доказательство будем проводить по количеству коммутаторов т. Выберем элемент (iA,.,im,h,..,jm) с коэффициентом «(,-,., iraJlf...Jm) не равным нулю так, чтобы количество коммутаторов т в нем было бы наименьшим. Каждый элемент однозначно определяется количеством т, элементом Х{ и выборкой (гi,..., im,ji,.. .,jm). В выбранном элементе (i,ib...,imjb...jm) фиксирован элемент ХІ, количество т и выборка (г і,..., im,ji, -.. ,jm)- В этот элемент подставим базисные элементы алгебры Нк следующим образом: Х{ = /, xis = aSi Xje = bs, s = 1,..., га, в остальные переменные подставим с. После такой подстановки все другие элементы, кроме выбранного, станут равными нулю. Если вместо Х{ будет другая переменная, то элемент будет равен нулю (так как xf = О для любого х из Нт). Если в элементе будет больше, чем га коммутаторов, то он также будет равен нулю (так как элемент с из центра алгебры попадает в коммутатор). Аналогичная ситуация возникает, если в элементе будет столько же коммутаторов, но выборка будет отлична от фиксированной. Таким образом, получили, что если / ф О, то равен нулю. Первый пункт теоремы доказан. Перейдем к доказательству второго пункта. В пространстве Рп(зЮ выделим подпространства полилинейных элементов, которые начинаются с переменной Х(, і = 1,..., п : где {j\,..., j(n-i)} — -ЭДД{ } ПРИ этом Nn - начальный отрезок множества N натуральных чисел от 1 до п. Зададим на них действие группы 5n_i на индексах 1,2,..., (г — 1), (г + 1),..., п. Все подпространства Q$ устроены однотипно. Для удобства будем изучать Q \ Оно является 5n_i- модулем. Подпространство Qfi раскладывается в прямую сумму неприводимых Sn-i- модулей, которые соответствуют следующим диаграммам Юнга. Для разбиения Л Ь га, Л = (Лі, Аг,..:, Am), где А; - длины строк, обозначим \\ - высоту г—ого столбца соответствующей разбиению диаграммы Юнга. Рассмотрим следующие ассоциативные полиномы: применения оператора Х( к элементу w алгебры равен произведению wxi, а также w(XiXj) = ((WXJ)XJ). Полиоднородный элемент, построенный по диаграмме Юнга с разбиением Л, можно записать в виде При этом для каждого вида диаграмм будут соответствовать определенные элементы вида (9). Покажем, что такие элементы не равны нулю в многообразии з-W. Линеаризация элемента (9) лежит в подпространстве Q \ Для начала рассмотрим диаграмму с одним столбцом, при этом элемент запишется в виде

Строение Pn(zN) как б^-модуля и свойства

Назовем клетку диаграммы Юнга угловой, если она не имеет "сосе-да"справа и снизу. Например, для разбиения (3,2,2,1) число угловых клеток равно 3, а для разбиения (4,2,2) - равно Теорема 3. Для многообразия N кратности т\ в разложении равны числу угловых клеток диаграммы Юнга, соответствующей разбиению Ahn. Доказательство. Пусть задана диаграмма Юнга с п клетками. Напомним, ([33], стр.51), что представление V группы G индуцировано представлением W подгруппы Я, если Н - подгруппа G и W С V -векторные пространства, что Н действует на W, a G - на V. И выполняются следующие условия: 1) W является подмодулем V, рассматриваемого как левый Я-модуль; Таким образом, по определению индуцированного модуля получаем, что Рп(зЙ) как Sn -модуль является индуцированным с 5„_i модуля Из теории представлений симметрических групп ([16], теорема ветвления) получаем, что кратности т\ равны числу угловых клеток диаграммы Юнга. Теорема 3 доказана. Обозначим через г(Л) - число угловых клеток диаграммы, соответствующей разбиению Л. Понятно, что число г(Л) равно числу строк диаграммы различной длины, поэтому это число ограничено условием 1 + 2 + ... + г(Л) п, то есть Таким образом, кратности исследуемого многообразия $N ограничены в совокупности полиномиальной функцией с показателем равным 1/2. Однако за счет числа разбиений кодлина многообразия з-ZV не может быть ограничена никакой полиномиальной функцией, а имеет промежуточный рост. Напомним, что для количества р(п) различных разбиений числа п выполняется следующее асимптотическое условие (см. [35]) Следствие 2. Для кодлины многообразия з-ZV выполняются следующие неравенства где р{п) - количество разбиений числа п. Доказательство. По определению кодлины и по теореме 3 получаем, что Как было сказано в первой главе, в случае алгебр Ли над полем нулевой характеристики есть только пять многообразий почти полиномиального pocTa:Vo, V\, V2, V3, V4. В случае алгебр Лейбница автором представлены аналог многообразия AN% ( многообразие з-W, описанное во второй главе), аналоги многообразий Vi, V3, V4 (соответственно многообразия V , V3, V\, которым будет посвящена данная глава). Для многообразия V\ в настоящее время аналог исследуется СП. Мищенко и A. Valenti [9]. Для многообразия VQ вопрос пока остается открытым. Пусть К - поле характеристики ноль. Рассмотрим G - алгебру Грас-смана с порождающим множеством Е = {е\,..., еп,...}.

Относительно коммутирования получим алгебру Ли G : [ 1, 2] = Векторное пространство G с нулевым умножением ( то есть д\-д\ = О для любых д\,д\ из G ) будет рассматриваться как абелева алгебра Ли, которую обозначим G0. Зададим действие элементов следующим образом: д? gj = (да,-) 9j 9І = О, где gf, (gigjf из G, gj из G(_). Такое действие задает представление G на G и можно рассмотреть алгебру Лейбница G, построенную по предложению 2 (стр. 14). В полученной алгебре G будет выполняться тождество (7). Прове- любых элементов алгебры. Замечание 3. Многообразие, порожденное алгеброй G, является подмногообразием многообразия N, то есть var G С з-W. Лемма 2. В алгебре G не выполняется ни одно стандартное тождество. Доказательство. Рассмотрим элементы 9\,92, ,Эт- Подставим их в стандартное тождество Stm(Xi,...,Хт) = Х\...Хт. В результате подстановки получим при подстановке вместо g\ различных образующих полученный элемент не равен нулю. Лемма 2 доказана. Пусть Vz - многообразие, порожденное алгеброй G. Кроме тождества (7), в многообразии V2 выполняется тождество или Чтобы проверить это, подставим элементы алгебры G (gf + gi),i = 1,2,3. При этом тождество (10) примет вид: при этом элемент gi[g2, дз][д2, дз] по свойствам ассоциативной алгебры Грассмана равен нулю. Следовательно, тождество (10) в многообразии Vi выполняется. Таким образом, любой элемент, содержащий две одинаковых кососимметричных пары, будет равен нулю. Из этого свойства получается следующий результат относительно алгебры G. Лемма 3. Пусть А, В, С - некоторые слова от образующих, XQ - произвольный элемент свободной алгебры Лейбница от счетного множества. Тогда тождества выполняются в алгебре G. Замечание. Отметим, что третье тождество равно сумме первых двух тождеств. Частным случаем первого из выписанных тождеств является тождество вида (10). Доказательство. Чтобы проверить выполнение любого из описанных тождеств, подставим произвольные элементы алгебры G.

Тогда, как описано выше, получим некоторые элементы вида которые содержат внутри себя две одинаковых кососимметричных пары и, следовательно, равны нулю. Лемма 3 доказана. Следствие. Если в диаграмме Юнга будет больше одной клетки вне тонкого крюка, то элемент, соответствующий такому разбиению, будет равен нулю. Доказательство. Согласно работе [29), диаграмме Юнга, содержащей больше двух клеток во второй строке, будет соответствовать элемент, в котором возможен фрагмент где хо - произвольный элемент. По лемме 3 такие элементы равны нулю. Следствие доказано. Теорема 4. Базисом пространства полилинейных элементов Рп(У2) многообразия 1 являются элементы вида Размерность пространства Рп{У2) вычисляется по формуле: dim Pn(V2) = n 2n"2. Доказательство. Введем индукцию по числу коммутаторов и лексикографический порядок на начальном отрезке элемента до первого коммутатора. Берем произвольный элемент из PniVi). Так как в многообразии 1 выполняется тождество (10), то это означает следующее. После полной линеаризации тождества (10) получаем: Таким образом, в элементах можно делать следующее: сдвигать коммутаторы, ставя их на произвольное место внутри элемента по тождеству (7); внутри коммутатора можно переменные менять местами по тождеству (3); внутри коммутаторов упорядочивать все переменные по тождеству (12). Предположим, что элемент содержит максимальное количество коммутаторов. По тождествам (1) и (12) все переменные, начиная со второго места, можно упорядочить. Если в элементе есть одиночные переменные, то их можно переместить в начало. При этом, если г 2 г і, то делаем следующее: где первое слагаемое меньше лексикографически, чем исходное, и, следовательно, имеет нужный вид. Второе слагаемое по предположению индукции (количество коммутаторов увеличилось) имеет также нужный вид. Следовательно, произвольный элемент пространства .Pn(V) записывается через сумму элементов вида (11). Покажем, что эти элементы образуют базис пространства / ().

Многообразие 1

Пусть задано К - поле нулевой характеристики. К[t] - кольцо многочленов от переменной t. N3 - алгебра Гейзенберга с базисом а, Ь, с и умножением ba = с, ас — Ьс — 0. Алгебра N3 является алгеброй Ли. Превратим кольцо многочленов K[t] в правый модуль алгебры ІУз. Базисные элементы действуют справа на полином f(t) из K[t] следующим образом: где f (t) - производная полинома f(t). Необходимая алгебра Лейбница построена согласно предложению 2 (стр. 14) и является прямой суммой векторных пространств ІУз и K[t] , где умножение задается правилом: где х, у из iV3; f(t),g(t) из K[t]. Обозначим эту алгебру символом N. Полученная алгебра N принадлежит многообразию $N. Проверим, что тождество (7) выполняется в N: Кроме того, в алгебре N выполняется тождество следующего вида Оно верно, так как при подстановке в него базисных элементов, два элемента будут из кольца многочленов. И это сделает равенство нулевым. Пусть Vz - многообразие, порожденное алгеброй N. Исследуем его свойства. Лемма 5. Для многообразия V3 ненулевые слагаемые суммы где сумма берется по некоторым таблицам Юнга D, отвечают диаграммам Юнга, первый столбец которых содержит не более четырех клеток, а остальные столбцы не более трех. Доказательство. Для доказательства выполнимости в многообразии некоторого полилинейного тождества достаточно проверить это тождество при подстановке вместо переменных базисных элементов. Пусть диаграмма Юнга содержит в первом столбце более четырех клеток. В этом случае согласно работы [29] достаточно проверить, что в многообразии V3 будет равен нулю любой элемент, содержащий косо-симметрический набор из пяти переменных. Но в этом случае, подставляя различные переменные, две обязательно будут из K[t], что в итоге даст ноль. Предположим теперь, что второй столбец диаграммы Юнга состоит из четырех клеток. Тогда (см.[29]) соответствующий полилинейный элемент свободной алгебры является суммой слагаемых, каждое из которых содержит два набора по четыре кососимметричных переменных в каждом. При подстановке в оба эти набора обязательно войдут элементы из K[t]. Это опять же обнулит слагаемые. Лемма 5 доказана. Замечание 4. Пусть A, B,C,D - некоторые слова от образующих, XQ - произвольный элемент свободной алгебры Лейбница от счетного множества X. Тогда в многообразии V$ выполняется тождество: Теорема 6. Многообразие Уз имеет почти полиномиальный рост. Доказательство. Для начала отметим, что рост многообразия V3 является экспоненциальным.

Рассмотрим разбиение А Ь п, A = (4,3 ), п = Зр + 4. Один из элементов, соответствующих этому разбиению, имеет вид g = жіЖ2ХзХ4(іХ2Хз)р. Подставляя в тройной коммутатор элементы а,Ь,с, в кососимметричный набор - f,a,b,c, получим, что элемент g не равен нулю. Таким образом, линеаризация элемента g порождает ненулевой неприводимый 5„-модуль. По формуле крюков размерность этого модуля с точностью до множителя h(n), где h(n) -рациональная функция от п, имеет вид dim KSn lin(g) h(n) 3n, где lin(g) - линеаризация элемента g. Покажем, что рост любого собственного подмногообразия U является полиномиальным. В подмногообразии U выполнено тождество, которое не выполняется в многообразии V3. При подстановке в тождество некоторых элементов алгебры N получаем ненулевой элемент. Так как алгебра N3 нильпотентна ступени два, то один из подставленных элементов принадлежит кольцу K[t]. Можно считать, что вместо остальных переменных подставлены базисные элементы а, 6, с. Тогда в свободной алгебре можно сделать следующее. Те переменные, вместо которых подставлен элемент а, заменим на х\, вместо которых Ь - на #2. Переменные, вместо которых был подставлен элемент с, заменим на коммутатор (a i), так как с = Ъа. И последнее, вместо переменной, заменяемой на элемент из K[t], подставим тройной коммутатор. В силу строения алгебры N, после всех подстановок получим тождество, которое по-прежнему не выполняется в многообразии У$. Тройной коммутатор по тождеству (7) стоит на первом месте, а двойные коммутаторы можно сдвинуть влево. Полученное тождество будет иметь вид Пусть s - минимальный индекс в этой сумме с условием, что коэффициент as отличен от нуля. При этом не все коэффициенты данной суммы равны нулю, так как полученное тождество не выполняется в многообразии V3. Подставим вместо х\ сумму хз + х\, вместо Х2 подставим х± + x i и рассмотрим следствие степени (щ — s) относительно переменной Хз и степени (ri2 — s) относительно переменной х\. После этого все слагаемые, кроме одного, станут тождественно нулевыми. Получим следствие, в которое подставим хз = #4 = (#2#i): Рассмотрим в относительно свободной алгебре многообразия U элемент от свободных образующих. Данный элемент порождает модуль KS2N&, который раскладывается в сумму неприводимых подмодулей, соответствующих разбиению числа 2N, где N = Зг. При этом подмодули, отвечающие диаграммам со столбцами длины больше либо равным четырем, равны нулю по лемме 5. Значит остались диаграммы, в которых строк меньше либо равно трем. Это позволяет рассматривать вместо элемента а элемент а , в котором вместо разных г/г- стоят только 2/ь2/2 2/3- То есть все т/г- разбиты на три симметрических набора и существует только три различных типа коммутаторов: (2/12/2)? (2/22/з) (уіУз)-Остается теперь заметить, что коммутаторы можно менять местами и один из типов встречается больше, чем г раз, так как N = Зг. Следовательно, элемент а в многообразии U равен нулю. И в нем выполняется тождество Предположим теперь, что разбиение удовлетворяет условию Тогда Аг 2N + 3. А это означает, что в элементе встретится (2iV + 3) кососимметричных пары. Представители троих из них могут попасть в начало, из них сформируется тройной коммутатор.

Остальные косо-симметричные пары станем собирать в коммутаторы по тождеству (1). При этом может быть два случая: либо одна кососимметричная пара собралась в коммутатор, либо коммутатор составился из представителей двух пар. В любом случае соберется больше, чем N различных коммутаторов. И рассматриваемый элемент будет иметь начало, как у а. Таким образом получили ограничение клеток вне первой строки и по предложению 3 (стр. 22) следует, что многообразие U имеет полиномиальный рост. Следовательно, рост многообразия Vz почти полиномиальный. Теорема 6 доказана. Пусть К - поле нулевой характеристики, М2 - двумерная метабелева алгебра Ли с базисом {h, е} и таблицей умножения he = h. Пусть K[t] -ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной t над полем К. Его можно рассматривать как алгебру Лейбница с нулевым умножением. Зададим действие базисных элементов Мг на элементы K[t] следующим образом: где f (t) - производная многочлена f(t). Пусть М -прямая сумма векторных пространств Мг и K[t]. При этом в алгебре М умножение определяется правилом: где ті, гаг из Мі\ fu /2 из K[t]. В алгебре М выполняется тождество Это нетрудно проверить на базисных элементах: в качестве XQ берем fi(t) из K[t], так как hf(t) = ef(t) = 0. В кососимметричный набор из трех переменных подставляем h, е, /гВД. Получаем сумму элементов, в каждом из которых содержится две переменные из K[t]. Следовательно, вся сумма равна нулю. Кроме того, в алгебре М выполняется тождество: Пусть V4 - многообразие, порожденное алгеброй Лейбница М : V\ = var М. Исследуем свойства данного многообразия. Лемма 6. Для многообразия V\ ненулевые слагаемые суммы где сумма берется по некоторым таблицам Юнга D, отвечают диаграммам Юнга, первый столбец которых содержит не более трех клеток, а остальные столбцы не более двух. Доказательство. Для доказательства выполнимости в многообразии некоторого полилинейного тождества достаточно проверить это тождество при подстановке вместо переменных базисных элементов. Пусть диаграмма Юнга содержит в первом столбце более трех клеток. В этом случае согласно работы [29] достаточно проверить, что в многообразии V\ будет равен нулю любой элемент, содержащий косо-симметрический набор из четырех переменных. Но в этом случае, подставляя различные переменные, две переменные обязательно будут из K[t], что в итоге даст ноль.

Похожие диссертации на Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница

Некоторые экстремальные многообразия алгебр ЛейбницаСкорая, Татьяна Владимировна

Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0Ваулин Андрей Николаевич

Проблемы бернсайдовского типа для алгебр ЛейбницаФролова, Юлия Юрьевна

Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИРепин Дмитрий Владимирович

Структура и тождества некоторых алгебр лиевского типаРацеев Сергей Михайлович

Тождества и квазитождества в решетках многообразий полугрупп и связанные с ними конгруэнции Верников Борис Муневич

Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр и групп Красильников Алексей Николаевич

Операдные и категорные методы в теории многообразий универсальных алгебрТронин, Сергей Николаевич

Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемыСамойлов, Леонид Михайлович

Примитивные элементы алгебр шрайеровых многообразийЧеповский, Александр Андреевич