Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Общие понятия и обозначения. следствия тождества [ж1;ж2,...,я5] = 0 10

1. Основные понятия и обозначения 10

2. Тривиальность грассманова идеала 18

2. Строение решеток многообразий алгебр с тождеством [хг,х^хъ,хА] = 0. 22

1 О многообразии ассоциативных алгебр 23

2. О решетке многообразий альтернативных алгебр с тождеством энгелевости [ж, г/, у] = 0 индекса 2 26

3. Шпехтовость многообразия алгебр с тождеством [xvx2,...,x5] - 0 36

1. Многообразие альтернативных алгебр стождеством Тэди [(x,y,z),t] = 0 37

2. Функции /,да, д * и их основные свойства 38

3. Шпехтовость многообразия 91(5) 43

4. Базис тождеств алгебры грассмана многообразия 2иЧПЯП(5) 46

1. Вспомогательная супералгебра 47

2. Ассоциативная алгебра с тождествами [[ж,у],к*]] = 0 и [z,t/].[^]=0 50

3. Основные тождества алгебры Грассмана 52

4. Базис тождеств алгебры Грассмана 56

Литература 69

• Тривиальность грассманова идеала
• решетке многообразий альтернативных алгебр с тождеством энгелевости [ж, г/, у] = 0 индекса 2
• Шпехтовость многообразия 91(5)
• Базис тождеств алгебры Грассмана

Введение к работе

Теория многообразий алгебр в настоящее время представляет собой довольно обширный и активно развивающийся раздел теории колец. Ядром этого раздела является значительно развитая теория многообразий ассоциативных алгебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди большого круга вопросов теории многообразий важное место занимает изучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахождение и исследование систем порождающих этих идеалов (базисов тождеств). Так в 1950 г. возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 задается конечным набором тождеств?

В связи с этой проблемой появилось важное понятие шпехтовости: многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его собственное подмногообразие имеет конечный базис тождеств. Формально более слабым усло^ вием является понятие унитарной шпехтовости, которое означает, что всякое подмногообразие, порожденное алгеброй с единицей, имеет конечный базис тождеств. На языке решеток шпехтовость означает, что любая убывающая цепь подмногообразий стабилизируется на конечном шаге.

Вопросам шпехтовости и унитарной шпехтовости различных многообразий, таких как многообразия ассоциативных, лиевых, альтернативных и йорда-новьгх алгебр, посвящена обширная литература: В.А. Артамонов [2,3], А.Р.Кемер [1, 16-18], В.Н.Латышев [21-26], Ю.А.Медведев [28,29], СВ. Пчелинцев [32-35], Ю.П. Размыслов [37, 38] и др.

Серьезный интерес к проблеме конечной базируемости многообразий алгебр Ли проявлял академик А.И. Мальцев. Эта проблема представляет несомненный интерес и для других многообразий алгебр, прежде всего, альтернативных и йордановых.

Одним из первых в нашей стране начал заниматься проблемой Шпехта профессор В.Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал, что многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0, удовлетворяющих тождеству [[^^'---^ге-гЫ³^-!^]] ~ 0> является конечно-базируемым [23]. В 1987 проблему Шпехта решил А.Р. Кемер [18], доказав, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако, над полями конечной характеристики, существуют бесконечно базируемые многообразия [8, 9,41].

В 1976 г. А.М. Слинько в Днестровской тетради [10] сформулировал проблему о конечной базируемости произвольного многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр. В том же 1976 г. В.П. Белкин [7] доказал существование бесконечно базируемых многообразий правоальтернативных алгебр - это первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным.

Примерно в это же время СВ. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющее бесконечный базис тождеств. Немного позже И.В. Львов [27] построил 6-мерную неассоциативную алгебру, обладающую указанными свойствами. Кроме того, оказалось, что решетка подмногообразий многообразия, порожденного этой конечной алгеброй, бесконечна.

Для конечных ассоциативных, лиевых, альтернативных, йордановых и мальцевских колец ситуация в корне иная: любое конечное кольцо в каждом из указанных многообразий порождает кроссово многообразие (И.В. Львов; Ю.А. Бахтурин и А.Ю. Ольшанский; Ю.А. Медведев [6]).

Ряд глубоких результатов о решетках многообразий алгебр и цепных многообразиях получили Г.В. Дорофеев [11, 12] и В.А. Артамонов [2, 3].

В 1978 году Ю.А. Медведев [28] доказал конечную базируемость произвольного многообразия с двучленным тождеством, в частности, многообразий разрешимых индекса 2 альтернативных, йордановых и других алгебр, близісих к ассоциативным. В 1980 г. Ю.А. Медведев [29] доказал, что многообразие альтернативных алгебр над полем характеристики 2, определенное тождествами:

[(ад)(зд)Н ⁼ ЯбКздХзд)] = > (-((^)^х^)--^хп)^х = О» не имеет конечного базиса тождеств.

В 1981 году СВ. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабе-левых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А.В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 году была доказана шпехтовость конечно-порожденной альтернативной PI-алгебры над полем характеристики нуль [15].

В 1985 году У.У. Умирбаев [39] положительно решил отмеченную проблему A.M. Слинько для произвольного многообразия альтернативных алгебр над полем характеристики, отличной от 2 и 3.

СВ. Пчелинцев в [30-32] указал бесконечно базируемые многообразия алгебр над полем характеристики 3, удовлетворяющие тождествам [[ж,г/],з] = 0,

((xy)(zt))v = v{(xy)(zt)} = 0, а в [35] привел первый пример почти шпехтова

многообразия линейных алгебр над полем.

Отметим также, что А.В. Бадеев [5] доказал существование бесконечно базируемых многообразий коммутативных альтернативных алгебр и коммутативных луп Муфанг.

В этих работах при доказательстве основных результатов существенно использовались грассмановы оболочки вспомогательных супералгебр. Возмож-

ность применения супералгебр для построения контрпримеров была впервые указана И.П. Шестаковым [40].

В целом, изучение супералгебр и алгебр Грассмана, в последнее время, привлекает все чаще внимание специалистов [34, 36, 40, 47]. И это не случайно, ведь такой подход является достаточно мощным аппаратом при изучении тех или иных структурных свойств.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Общий объем диссертации 73 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Тривиальность грассманова идеала

Функция h называется дифференцированием относительно г—ой переменной по модулю функции ф, если для любых ж,г/,ж15...,2;и ЄХ значение D yh(zv...j%n) содержится в идеале алгебры А, порожденном значениями функции ф от элементов из множества X. Алгебра А называется Z2-градуированной алгеброй или супералгеброй, если 4 = ДфД, где AiAj С Д , г, j,e Z2. Например, алгебра Грассмана G = GQ G1, является супералгеброй., если через G0 обозначить подпространство, порожденное словами четной длины, а через G - подпространство, порожденное словами нечетной длины от порождающих алгебры G. Пусть Ш— некоторое однородное многообразие алгебр; тогда супералгебра А = Д Д называется ШЇ -супералгеброй, если ее грассманова оболочка G(A) = Д G0 Д 0 Єг принадлежит многообразию ЗД1 [40]. Например,, супералгебра А = Д Д является альтернативной супералгеброй, если в ней верны тождества (характеристика отлична от 2): Заметим, что А вложима G{A), если алгебра Грассмана содержит единицу, а Аг не вложима G(A). Например, если А альтернативная супералгебра, то для некоторого х є Ay как правило (ж, х, х) 0. Пусть ШГ [х] - свободная Ш-супералгебра с одним нечетным порождающим. В ее грассмановой оболочке возьмем элементы х{ = хв{, где е{ (г = 1,...) - стандартные порождающие ассоциативной алгебры Грассмана. Следуя [33], подалгебру в 0(Ш"[х]), порожденную множеством X := {ж. = х єі \г 1}, обозначим G fX] и назовем Ш—алгеброй Грассмана. Определяющим свойством алгебры Грассмана является кососимметричность ее одночленов относительно порождающих xvx2,... . Более точно, рассмотрим свободную алгебру А := і рЕШ] многообразия Ш от свободных порождающих xvx2,..., а в ней идеал /, порожденный неполилинейными одночленами и элементами {ylay2„ ...yw}q- sign{a) {у$2.. .уп }q, где уг, у2,..., уп Є X, q - расстановка скобок, а Sn (группа подстановок). Тогда фактор А //изоморфен ЯЯ—алгебре Грассмана G fX], Изучение супералгебр и алгебр Грассмана, в последнее время, привлекает все чаще внимание специалистов [33, 34, 36, 40, 47]. Отметим, что в многообразии ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 идеал тождеств счетно-порожденной алгебры Грассмана совпадает с Т-идеалом {[ж, у, z]] [1]. А - альтернативная алгебра с тождеством tn(5), т.е. AG П5; a,b,c,x:y,z,t,p,q Є A; w,v Є W(A). Лемма 1.1. Справедливы следующие соотношения: а) [V, A] + (W, Д A) + [W, W] С Z{A); 6)(AiW,W) = 0; в) L3 + V С N{A),[V,W] = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) На основании тождества (4), получаем: 6 [[(а, Ь, с), ж],у] = [а, 6, с, ж, у] Далее проверим включение (W, Л, Л) С Z{A). Используя тождество (6) и предыдущий факт, получаем: = 2[([г,і],3/,а;),р] = 4[([у,ж],і,я),р] = 4[([x,y],z:t),p].

Следовательно, 3[([#,?/],г,), ] = 0 и ввиду ограничения на характеристику получаем требуемое включение. И, наконец, справедливость включения [WjPF] С Z(A), следует из следующей цепочки равенств: б) Применяя тождество Муфанг, получаем: ([ж,г/],ж,ш) — [(г/,ж,и?),ж] — О, следовательно, функция ([ж, у], [z, t], а) кососимметрична по всем переменным. Тогда, меняя местами х и z, у и , получим: ([ж,г/],[2,],а) = ([#,],[ж,?/],а). Ввиду альтернативности (\z,t],[x,y]ya) = -([x,y],[z,t],a), значит, 2([ху у\, [z, t], а) — 0, откуда вытекает утверждение п. б). в) Вновь в силу тождества (6) и соотношения (w,a,b) Є Z(A) имеем: ([x,y],w,p) = — 2(x,y,[w,p]), следовательно, L3 С N(A). Поскольку в силу тождества (4) верно V С L3, то V С iV(vl). Аналогично получаем: Хорошо известно и легко проверить, что идеал тождеств ассоциативной алгебры Грассмана с единицей порождается (как Г-идеал) следующими двумя многочленами (ж,у,л)и [[ж,у],z]. Теорема 1.1. Пусть А Є 9Т5- Тогда идеал тождеств ассоциативной алгебры Грассмана является тривиальным идеалом в алгебре Л, т.е. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить, что [[ж, у], z] [[, р], д] = 0. Разобьем доказательство на ряд этапов. Заметим, что каждое слагаемое в правой части последнего равенства нулевое ввиду леммы 1.1. 2 . [го, х, v] — 0. На основании тождества (4) и п.1 : откуда ввиду условия А є 9Т5 получаем [[г/, z], [ги, ж]] = 0. 3, [w, х] [v, х] = 0. На основании тождества (3) и п. 2 имеем 4. [и,ад]г = 0. Положим -и = [ж,у]. С одной стороны, в силу тождества (2) и п. 2 имеем [ 2,с] = 2[г ,с]г , С другой стороны, на основании тождества (1) и пп. 1и2, имеем Используя аналогичные соображения, получаем = [у,ад]г , откуда т.е. v2,w\ = [v,w]v. Следовательно, 2[г?,ги]и h xv х21 ж3, ж4] = 0 - лиева нильпотентность индекса 4, un4 J [ж, г/, г/] — 0 - энгелееость индекса 2. (eng) В 1965 г. В.К Латышев [21] доказал шпехтовость многообразия.

Более того, в этой работе было дано описание унитарно замкнутых подмногообразий данного многообразия. В данной главе мы уточним это описание, показав, что не существует собственных подмногообразий, выделяемых тождествами вида Теорема 2.2 доказывает, что решетка унитарных подмногообразий многообразия альтернативных алгебр с тождеством (faj, содержащих многообразие всех ассоциативных алгебр с тождеством (En ), является цепью. Точно также устроена аналогичная решетка многообразий альтернативных алгебр с тождеством (eng). Здесь же приведено описание решеток у((щ) и Ри(Ш4) унитарных подмногообразий, в частности, неассоциативные части указанных решеток совпадают. Заметим, что в ассоциативной алгебре справедливо дифференциальное тождество [а.6, с] = а [6, с] + [а, с] 6 и тождество Якоби [ж, г/, г] + [у,#,ж] + [г, ж, у] — 0, которые в дальнейшем будут использоваться без дополнительных пояснений. Далее, коммутатор [ж, у, z] представим в виде линейной комбинации элементов вида [а,&,&], поскольку энгелева индекса 2 алгебра Ли нильпотентна индекса 3 (характеристика отлична от 3). Это замечание также в дальнейшем будем использовать без пояснений. Лемма 2.1. а) [ж,у,,г][а,Ь]= 0; б) функция [ж, у][z}t]w кососимметрична в алгебре А по ж,y,z,t. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представим в виде последовательности пунктов. 1.2. Строение коммутанта алгебры Fx 9t . Как обычно, Ra или i?(a) обозначает оператор правого умножения, а Т(а)- оператор левого или правого умножения. Кроме того, положим коммутаторного идеала F линейно порождается элементами вида: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко понять, что полилинейные многочлены из коммутанта Ff по модулю идеала St(F) линейно выражаются через элементы вида в).

решетке многообразий альтернативных алгебр с тождеством энгелевости [ж, г/, у] = 0 индекса 2

Всюду в этом параграфе, если не оговорено противное, А- альтернативная алгебра с тождеством 1п(4), т.е. A G 91 ; х, у, z, і, а, Ь, с є А, d є ДА) . Лемма 2.3. Л алгебре А Є 9Т4 справедливы соотношения: a)(x,y,z)eZ(A), [x,y]eN{A); б) функция (а, 6, с) [а?, у] кососимметрична по всем переменным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) В силу тождеств (4) и 1п(4) имеем: %[(x)y,z),t] = [x,y,z,t] {y,zbx,t\ + [z)x)y)t\ = {), значит, ввиду ограничений на характеристику получаем тождество Тэди [(ж, y,z), t] — 0. Отсюда вытекает (x,y,z) є К (A) = 2(A). Кроме того, из тождеств Муфанг и Тэди получаем кососимметричность функции (ж, у, [г, і]) по всем переменным. Тогда ввиду тождества (6) и альтернативности имеем: ([x,y],z,t] = -2 (ж, у, [z, t]) = -2 (z, % [ж, у)) = -2([а;,у],г, ) Следовательно, 3([ж,г/],г,і) = 0 и [ж,у] Є 7V"(A). П. б) вытекает из п. а) и тождеств Муфанг: Из леммы 2.3 и теоремы 1.1 немедленно вытекает Лемма 2.4. Справедливы следующие соотношения: в) функция d[x,у][z, t] кососимметрична по х,y,z,t. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно вычислить ассоциаторы, содержащие только элементы вида х, /2n+1. Отметим, что индексы элементов отвечают их степеням относительно переменной х, поэтому при вычислениях ассоциаторов их можно опускать, обращая внимание лишь на коэффициенты перед неизвестными. Таким образом, все тройки базисных элементов удовлетворяют тождествам супер-альтернативности. Лемма 2.6. Супералгебра А удовлетворяет супер-тождеству лиевой эн-гелевости индекса 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним, что супер-коммутаттор имеет вид [%,у\ = ху — (—1) уж. Как ранее отмечалось, элементы е2п, g2n+s, h2 А лежат в ассоциативном центре. Из таблицы умножений, легко получить следующие ненулевые коммутаторы Нам необходимо показать, что в супералгебре выполняется следующее тождество [[x,y]s,z]t + Рассмотрим, один из случаев, остальные рассматриваются аналогично = -2(n + fe)5 + 2(ft4-n + l)ff + 2(m + ft)ff-2(ft + m + l)ff = 0.D Замечание. Легко понять, что алгебра Грассмана многообразия #1(4) удовлетворяет тождеству лиевой энгелевости индекса Лемма 2.7. Пусть F := i XiOt 1— свободная алгебра в многообразии альтернативных алгебр 9t4 с множеством порождающих X. Тогда ассоциа-торный идеал D(F) линейно порождается элементами вида: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем однородный элемент d є D(F).

В силу тождества (5) и леммы 2.3 а) можно считать, что d = (x,y,z)v, где ж,у,z X, v— однородный многочлен над X. Проведем индукцию по степени d. Основание индукции при degd = 3 верно. Сделав индуктивное предположение, представим одночлен v по модулю St(F) в виде линейной комбинации следующих э-лементов w1...wtyv..y„ где xvyi ЄХ, wt= (. Без ограничения общности, можно считать, что v имеет вид v = wv..wkyv,,ys, Тогда в силу центральности ассоциатора и предположения индукции получаем d = (x:y,z)v = (x,y:z)wv..wkR( yl)...R(ys). Используя лемму 2.3 б), легко упорядочить порождающие х у z Теорема 2.2. Произвольный набор 2],Т2,...,ТЯ,... унитарных вербальных идеалов алгебры F = Fx 9 4 , содержащихся в D(F), является цепью. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Т- произвольный унитарный вербальный идеал алгебры F, содержащийся в ассоциаторном идеале D(F). Тогда идеал Т порождается элементом вида ( 2) 3) 4) 5 6) 7]--- +2) ]1 Значит, всевозможные вербальные идеалы имеют вид Ts = (х{,х2,х3 )wv..wS! где wi — [Ж2І Ж2І+І] і Є ,і % х є Х,хх х2 ... x2s+3 Откуда легко следуют включения Тв_! Э Т„ я е N, 5 2. П Ассоциативный случай. Пусть (/)т Т-идеал, порожденный элементом / := [х,у]- (zat), а (д)т-унитарный Т—идеал, порожденный элементом g := [ж, у] [z, t]. Покажем, что идеалы (/)ги (д)т не сравнимы по включению. Если (/)г С (д)т, то / является следствием д, и / представим в виде Поскольку степени элементов / и д равны, то верно равенство [ж, у] (z о t) — 2 ап \х" іУ" ] Е2 ] гДе " пробегает перестановки указанных символов. Однако в силу унитарности Т-идеала (д)т правая часть последнего равенства обращается в нуль при подстановке z — i — \, значит, 2[х,у] = 0, что невозможно. Если же (/)г Э (д)т, то, рассуждая аналогичным образом, получаем представление [ж, у] [z, Ц Подставляя в это равенство вместо переменных элементы х из грасс-мановой оболочки (?(Л) вспомогательной супералгебры А, построенной в пункте 2.2 (є — стандартные порождающие алгебры Грассмана), получим: Откуда (ж2) = 0, что невозможно, поскольку (ж2) = е2.

П Альтернативный случай. Пусть {ff- Т-идеал, порожденный элементом / := (x,y,z)(t о р), a (gf унитарный Т-идеал, порожденный элементом / := (ж, у, z) [t, р]. Покажем, что идеалы (f)Tи (д)т не сравнимы по включению. Если (ff С (д)т, то / является следствием д, т.е. / представим в виде Поскольку степени элементов fug равны, то верно равенство (x,y,z)(t op) = /2aq- { )УizCr)[ iV ] ГДЄ & пробегает перестановки указанных символов. Однако в силу унитарности Т—идеала (д)т правая часть последнего равенства обращается в нуль при подстановке t = р = 1, значит, 2{x.iyyz) = 0, что невозможно. Если же (f)T Э (д)т, то, рассуждая аналогичным образом, получаем представление (ж, у,z)[і,р] — (af,?/7,; ) о ра). Подставляя в это равенство вместо переменных элементы х ЄІ из грассмановой оболочки G(A) вспомогательной супералгебры А, построенной в п. 2.2, получим: — 2[ж2,ж](2ж2) @ =4 х2,х х2 g . Откуда ж2,ж]ж2 =0, что невозможно, поскольку [ж2,ж]ж2 = . 2.5. Строение решетки унитарных Т—идеалов. Каждый унитарный вербальный идеал Т алгебры F := Fx [tin] порождается собственными многочленами. Поскольку в силу теорем 2.1 и 2.2 собственные многочлены имеют вид a) r2k :— [x y\wv..wk_l (регулярные слова), 6) p2+l := (x,y,z)wv..wa_l (правильные слова), где x,y,z,x.- Є Х;ж y z x1 x2 ...\щ = [x2t-i x2t\ s, к I. Поскольку указанные слова имеют разную четность, то идеал Т порождается некоторым набором регулярных и правильных слов. Далее, справедливы соотношения: Значит, идеал Г совпадает с одним из следующих: Итак, идеал Т алгебры F имеет вид Приведем описание решеточных операций: Отметим, что полученная решетка не обладает свойством дистрибутивности [см. п. 1.2], однако ее можно наглядно изобразить.

Шпехтовость многообразия 91(5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 3.1 достаточно показать, что для Т- идеалов, содержащихся в / , выполняется условие максимальности. т Из леммы 3.7 следует, что каждый элемент из / представим в виде линейной комбинации элементов вида: и существует инъекция (p: N — N такая, что p(z{) = х и р( )= xv{i) Сопоставим каждому элементу вида а) -в) соответственно строчки: где оЯ = 0 ...0 , at2)=af af...af , a = 0 0 ...0 : кроме того V?( „) = ж,- , при у = 1, 2, 3 для элементов вида а) - в) соответственно, и ip(zK) — ж i при к, — 1, 2 для элементов вида б) и в) соответственно. Согласно [44] введем на множестве S отношение порядка : Пусть s = (i,j,k,a), з = {L\j\k\o }), где, 0: = а — (аі \аг\---- аі ) положим s s о существует инъекция: /J:N N такая, что () = г , V0) = У, По теореме Хигмана (см. также [6, с.2 03-204]) множество (5, ) является вполне-частично упорядоченным. Далее, как уже отмечалось выше, каждый элемент из / является линейной комбинацией элементов вида а) - в): и = Лхц +... + \ип. Сравним с помощью лексикографической упорядоченности строчки sr..sn, сопоставляемые этим элементам (строка большей длины считается больше), и выберем из них наибольшую s = sk (для подходящего к такого, что Хк 0). Эта строчка, как обычно, называется весом элемента и. Поскольку (, ) - вполне-частично упорядоченное множество, то достаточно показать, что множество весов элементов произвольного Г— идеала I Q f является замкнутым [6, с. 211].

Итак, пусть h - элемент из / с весом s; пусть также 5 - некоторый элемент из S такой, что s s!. Докажем, что в Т - идеале, порожденном многочленом h, содержится элемент, вес которого равен s . Пусть ф — инъекция из определения отношения s sl и (жг) = ж (Л, (уг) = Уф1г}1 гДе г Є N. Тогда вес элемента /г" = (/і), равен {ъ\з\к\а") где для всех OLT " ar . Рассмотрим элемент у — Ниу а1" -... + у1ч а \ Очевидно, что вес его равен (i\j\q",al), причем q q". Далее, подставляя вместо переменной xi произведение xi w коммутатора, умноженного на эту переменную, в многочлен вида б), можно увеличить количество коммутаторов до требуемого, при этом, как легко видеть, сам «хвост» не изменится. В качестве иллюстрации утверждения, высказанного в предыдущем абзаце, покажем как из элемента д (xe,x8\x1,x2,x3)[x4 x5]xjxl типа б), имеющего вес (6,1,1,(3,2)), получить элемент, имеющий больший вес (6,1,2,(3,2)). В силу леммы 3.6 б) имеем: g\x xs\xl:x x.A wj\xi7x5jx7xs = yxs д{хе,xg\x1,x2,wjj[x4,x5jx7xs + и, наконец, ввиду теоремы 1.1, имеем: В этой главе рассматривается многообразие Ш := ШЬ П У15 альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 5. Глава состоит из четырех параграфов и посвящена изучению тождеств алгебры Грассмана G[X] := Gm[X). В 1 строится аддитивный базис свободной супералгебры, порожденной одним нечетным элементом. В 2 рассматривается ассоциативная метабелева алгебра. В 3 находятся основные тождества алгебры Грассмана G[X]. В 4 указан базис тождеств алгебры G[X] (теорема 4.1), состоящий из следующих пяти тождеств: [ . (х,у,у) = 0 (праваяальтернативность), Т2: (ж, ж, у) = 0 (левая альтернативность):, Т3: [xvx2,xs, х4,х5] = 0 (лиева нильпотентность индекса 5), ТА: [х,у] 0 (квадрат коммутатора), Т5: [[#,/], г], 2 = 0 (ослабленная2-энгелевостъ). В качестве следствия указан базис тождеств алгебры Грассмана в многообразии Шї П 9Т(4) альтернативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентности индекса 4, состоящий из тождеств альтернативности и тождества [ж, у, у] = О энгелевости индекса 2. В этом параграфе построим вспомогательную супералгебру А, являющуюся на самом деле свободной ЯЛ-супералгеброй с одним нечетным порождающим.

Рассмотрим супералгебру А — Д + Д. Четная часть Д имеет базис из элементов е2пЛ,1+4,/2я+4 а базис нечетной части Д - это х,д2п+1,р2п+г, п+а. Произведение остальных базисных элементов равно нулю. Заметим, что элементы р2га+3, /bjw+4, /2и+4, t2n+5 лежат в ассоциативном центре. Лемма 4.1. Алгебра А суперальтернативна, т.е. в ней выполнены супер— тооїсдества правой и левой альтернативности: элементы, \а\ — индекс четности элемента а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно вычислить ассоциаторы, содержащие только элементы вида е.2п и g.2n+1. Более того, если е2п входит в ассоциатор два раза, то последний обращается в нуль. Отметим, что индексы элементов отвечают их степеням по переменной х, поэтому при вычислениях их можно опускать, обращая внимание лишь на коэффициенты перед неизвестными. Таким образом, все тройки базисных элементов удовлетворяют тождествам суперальтернативности. Лемма 4.2. Супералгебра А удовлетворяет супер-тождеству лиевой нильпотентности индекса 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим линейное пространство 1?п, порожденное итерированными супер-коммутаторами: If2 = [А,Л]я,...,Ц1+1 = [LniA] . Как упоминалось ранее [x7y]s — ху — (—1)ы ух. Прежде, чем производить вычисления отметим, что /2п+4 лежит в центре супералгебры. Из таблиц 1-3 1, легко получить следующие ненулевые коммутаторы: Таким образом, І линейно порождается элементами fe P2ft+3Afc+4 fc+4jW}- НайДем какими элементами порождается 1. Для этого, достаточно заметить, что, используя лишь элементы ЧктРък+з кк +&іІ2к+і 2к+5 на одном из мест суперкоммутатора, получаем элементы p.2k+s,fik+4 2k+a Таким образом, Ifs линейно порождается элементами { гд-н-з! J jt-HJ u+s}- Рассуждая аналогичным образом для L\, получаем, что Ь\ линейно порождается элементом {f2k+A - И, наконец, заключаем, что Ц = {0} 2. Ассоциативная алгебра с тождествами Рассмотрим дополнительные тождества лиевой метабелевости и кососимметричности произведений коммутаторов: 4.9 будет доказано, что тождество (Т6) вытекает из тождеств (Ті) — (Ту. Кроме того, отсюда легко вывести, что тождество (7V) также является следствием системы (Ті) - (Т5). Заметим, что в ассоциативной алгебре справедливо дифференциальное тождество [ab,c] — а [6, с] + [а, с]Ъ и тождество Якоби [х. у, z\ + [у, zy х] + [z, ж, у] — 0, которые в дальнейшем будут использоваться без дополнительных пояснений. Далее, коммутатор [,/,] представим в виде линейной комбинации элементов вида [а5Ь,Ь], поскольку энгелева индекса 2 алгебра Ли нильпотентна индекса 3 (характеристика отлична от 3). Это замечание также в дальнейшем будем использовать без пояснений. Всюду в этом параграфе: ж, г/,;?, t, а, Ь, с Є A; v, w Є W — [Д A]. Лемма 4.3. а) Функция \w,x]-[y,z\ кососимметрична no x.sy,z e альтернативной алгебре с тождеством (Т"6).

Базис тождеств алгебры Грассмана

Всюду в этом параграфе А означает свободную алгебру с единицей многообразия, заданного системой тождеств (2 )-(2 ), с множеством X = { ,...} свободных порождающих. При изучении аддитивной структуры алгебры А ввиду [31, лемма 2] можно ограничиться рассмотрением пространства Рп(А) собственных полилинейных многочленов над Хп = {xvx2,...,;„}, содержащихся в Р(А) + St(A). 4.1. О связи между функциями /, g. Напомним, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поменяв х и у местами в тождестве (8), и вычитая из него полученное тождество после замены, имеем 2[(x,y,z)tt] = ([ж, у], z, t) + ([у, z], ж, t) + ([2, ж], у, ). На основании определения функции д , имеем Лемма 4.11. a) g([%-,y],z\t,p,q)Wn - йорданово дифференцирование алгебры А по кососимметрическим переменным z, t,p,q; б) если g[[x,y],z\t,p,cnWn — йорданово дифференцирование по симметрическим переменным ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, а) Достаточно доказать равенство = 2(і/, і, р) [ж, у] [г, д] = -2(г/, ж, г) [г/, i] [р, g] = 2 (ж, z, t) [р, q]. Допустим, что истинна посылка п. б); тогда ду (%,z}t)Wn+l — 0. Проводя его линеаризацию подстановкой у — w, получаем ([ж, у], z, і) Wn+2 = 0. П 4.2. Вспомогательные леммы. Лемма 4.12. В алгебре А справедливы тождества: ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое равенство вытекает из определения и тождеств альтернативности. Далее, имеем — ([аз ] A 3/) [as ] в силу теоремы 1.1 — {[У: b}:b,a)[a,z] = 0 в силу леммы 1.1 е). D Лемма 4.13. В алгебре А справедливо тождество; [[ж, у], z] [, р] = 2 (ж, у, z)\%p]-g (ж, у\ z, t, р) - 2g (ж, г у, t, р). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введем функцию: Ф(ж,y,zA,p) = 2 (#, y,z)[t,p] g(x,y\z,і,р) -2g(x,z\г/,і,р) - [[ж,у],z][t,р]. Тогда, в силу определения функции g, имеем: ip(xtyizAp) = Hz y,z)[t,p]-&zA)[y,p]-(y,z)t)[x1p\--2(ж, г/,t)[z}р] - 2(z,у,t)[x,р]- [[ж,y],z][t,p]. Следовательно, на основании тождеств (4) и (Г3)- (ТУ) имеем -12(xty,t)[z,p]-12(z,y1t)lxip]-6[[xiy]1z][t)p] = = 2 ([ж, у, z] + [у, z, ж] + [z, ж, у]) Ар}- - ([ж, z, t] + [z, i, x] + [t, x, z]) [y, p] - ([y, z, t] + [z, t, y) + [t, y, z]) \x, p] - -2 ([ж, у, t) + [у, t, x] + [і, ж, y]) [z, p] -- 2 {[z, y, t] + [y, i, z] + [t, z,y])[x,p]-6 [ж, y, z] [t, p] = = [ї/ ж] [ » ї ] + [z, x, У] Iі, p] - [ , У, z] [x,p\- [t,x,y][z,p]- 2[t,z,y][x,p}- 2 [ж, y, z][t,p]. Таким образом, 6ф (ж, у, z, і, p) = [у, z, x] [ty p] + [ж, z, y] [, p] + [yy t, x] [z, p] + [ж, t, y] [z, p] + +2 \z, x, y] [t, p] + 2 [y, i,z] [x, p] + 2 [z, t, y] [x, p] + 2 [yt x, z) [t, p]. 1 Гг l3 Рассмотрим многочлен - [ж,z] ,p\ и найдем его линеаризацию: 2 pfo У, г, ttp) = - ([х, z]-[[y,i],p\ +[[x,z],p]-[y,t}2 +[y,z}-[[x,tlp]3 +[[y,z]tp]-[x,t]4 + = [h ]) P] fo 4 + [foг] і P] [& 4 + [fcf 3) P] [Ї/J 4 + Ы z\ P] (ж f ] поскольку слагаемые, помеченные одноименными нижними индексами, равны ввиду леммы 1.16).

Отсюда в силу тождества линеаризации (Т4) имеем p(x,y,z,t,p) = [y,t,x]-[z,p} + [x,z,y]-[t,p]-\-[x,t,y]-[z)p] + [y,z,x]:[t,p]. После замены переменных в этом равенстве получаем РІУ, г, ж, t, p)=[zt tt у] [ж, р] + [у, я, я] [і, р] + [у, t, z]-[xtp] + [zt х, у] [і, р]. Из двух последних равенств вытекает: P&y,z,t,p) + 2p(y1zix}t,p) = = [ , s] [z7 р] + [ж, z, у] [і, р] + [ж, І, у] [г, р] + [г/, г, х] [, р] + -h2[zj,y]-[x,p]-h2[y,x,z]-[t,p} + 2[y,t,z]-[x,p]i-2{z,x,p]-[t,p}. Сравнивая это равенство с полученным ранее, получаем 6ф (ж, y,z,t,p) = р(ж, у, z, t, р) + 2р(у, z, ж, , р) = 0, так как p(x,y,z,t,p) = 0 является следствием тождества (Т4). Следовательно, в силу ограничения на характеристику основного поля, получаем 4.3. Базисные слова. Заметим, что верно равенство 9[[а Ь],Хь\хь хн хи) Х- , X- h Jo Х- , X . xk Xj, 4 Jn-3 Jn-2 = ([а,Ь],Ж.Л) Определение. Многочлены из пространства Рп(А), п 5 вида Jn-3 J»-2 1) (ж1;ж2,хг ) ж4,ж5J...[хп_1}хп_2\, 2) д(а,Ь\х.,х,Л) Жй 4 Лі-3 Лі-2 3) ([а,6],ж. ,xh где ж; X, х1 ж2 ..., назовем регулярными словами типа 1)—3). Отметим, что слова типа 1)-2) имеют нечетную длину, а слова типа 3) четную. Лемма 4.14. Рп(А), п 5, линейно порождается регулярными словами. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Используя теорему 1.1 и леммы 1.3, 3.2, легко понять, что Рп(А) линейно порождается словами а) [а,Ь, ][ ,а;А]...[ж ,аг ], б) (ж1;а;й)х3)[ж4, ]...[жг1_1;хт 2], B)f(xvx2,x3,x4)[x5,x6]...[xn_vxn], r)g(a,b\xh, xh, x,h) \xu ,xk]... [x , д) ([а,Ь],х х Xh XU X , X В силу леммы 4.13 слово вида а) является линейной комбинацией слов вида б) и г). В силу леммы 4.10 слово вида в) выражается через слова вида д). D Поскольку регулярные слова линейно зависимы, то определим базисные слова. Определение. Многочлены из пространства Рп{А)-, п 5 (п-четное) вида 1) (ж1;х2,х3)[ж4,ж3J...[хп_2,хп_г], г 2 J.,-3 Лі-S 2) 5 (Ж1, Xi , Хіг , ) [ ) ж3. - 1-4 3) a) ([ , ],a?a,ar4)«yn_4, б) ([ж ж в) (K aJ sJw , г) ([ж ж ж ) ]... ,; ], 4, где wn = [х5,хБ]...[хп_1,хп];хі є X, х1 х2 ..., назовем базисными словами типа 1)-3). Отметим, что базисные слова типа 1) и 2) имеют нечетную длину, а слова типа 3) четную. Лемма 4.15. Рп(А), п 5 линейно порождается базисными словами типа 1)-3). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании леммы 4.12 регулярные слова типа 2) выражается через базисные слова типа 2), а регулярные слова типа 3) являются линейной комбинацией базисных слов типа 3) а) - г),0 4.4. Линейная независимость базисных слов.

В этом пункте нумерация линейных комбинаций своя. Лемма 4.16. Базисные слова линейно независимы на алгебре G[X]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что линейная комбинация базисных слов длины п равна нулю и рассмотрим три возможных случая: n = 3,n = 4,n 5. 1. Пустьп = 3. На основании тождества (4) получаем тождество x(x,yiz)-\-/3[xiy,z] + 7 {V z,x]= 0. Полагая х = у, имеем 7 = 0- Введем функцию 6{х, у, Z) = [х, z, у] + [у, z, х]. После соответствующей подстановки вместо переменных элементов х г- из грассмановой оболочки G(A) супералгебры Л, построенной в 1 {ЕІ стандартные порождающие ассоциативной алгебры Грасс-мана), получим и\Х Х Х } — ID 2 15 з 41 2 І ! ] " L J 1 л X Х Qy Из таблицы умножения супералгебры А имеем [ж2, ж — е±. Значит, 7 — 0 . Аналогично, получаем /? = 0. Тогда а (ж, j(,z) = 0Ha-0. 2 . Пусть ft = 4. Тогда линейно зависимы элементы вида {[x\y%z\f), {(xytz)X], [x%y\z\t% [x\f]-[z\t% где о пробегает перестановки указанных символов. Поскольку в силу тождества (6) ассоциатор ([х,у\,г,і) представим в виде линейной комбинации ассоциаторов [(o,6,c),d], а каждый ассоциатор (а,Ь,с) в силу тождества (4) является линейной комбинацией коммутаторов [_ ,#, г], то ассоциатор ([ж, у], z, і) является линейной комбинации коммутаторов вида [о, 6, с, d]. Следовательно, можем считать, что линейно зависимы элементы вида [x:y,z,t], [y,z,x,t], [z,x,y,t], [y,z}t,x], [z,t,y,x], [і, y}z, x], [z7t,x:y], [t,x,z,y], [x,z,t,y], [t,x}y,z\, [х,у&г], [y,ttx,z], [x,y][z,t], [x,z][y,t], [x,t}[y,z]. Используя определяющие тождества (3 (Ts) и тождество метабелевости, получаем линейную зависимость элементов: [x,y,z}t], [x,z}y,t], [y,z,x,t], [y,t,x,z], [z,t,x,y], [х}Ь,у,г], [x:y]-[z,t]. Далее, в силу тождества Сейгла (7) и тождества метабелевости [х,у,2 ] + {у,г,Ъх] + [г,%х,у]+[Ь,х,у ] = О, следовательно, ввиду тождества (Т5у. [x,t,ytz] = [х,у,г ] — [у,г}ху1] + [г, х,у] и [у,Ї,х, z] = - [ж,у,z, t] - [ж,z,y,t]- [г,, ж, г/]. Тогда линейно зависимы элементы [я,У»2,], [x,z,y,t], [y,z,x,t]y [z,t,x y\, [x,y]-[z,t], т.е. верно тождество \[x,y,z,t] + Аз [ж, я, у, і] + А3[у, я, я, ] + А4 [z,t,x,y] + А5 [ж,у]- [z,t] = 0. Полагая х — w eW — [А,А], получим А5 [го,у][2,] = 0. После соответствующей подстановке вместо переменных элементов ж e.-L из грассмановой оболочки G(A) вспомогательной супералгебры А, получим [К 2],ж3][ж4,ж5] = [[x,x}s,x]s -[х,х\ = 4( 1 Из таблицы 2: [ж2,ж] х2 — р1. Таким образом, А5 = 0. Далее, положив в ж = у в силу тождества ( Т6) получаем (\ + А3) [ж, 2, ж, ] — 0. Полагая последовательно ж = z, з = і, получим (\-\-\)[x y,x,t] = 0, (\2-\s)[z,x,z,y} = 0. Докажем, что в алгебре GAlt [X] не выполнено тождество [ж,у,у,] = 0. Предположим противное; тогда.

Похожие диссертации на Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0

Структура и тождества некоторых многообразий алгебр Лейбница Абанина Любовь Евгеньевна

Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр и групп Красильников Алексей Николаевич

Некоторые экстремальные многообразия алгебр ЛейбницаСкорая, Татьяна Владимировна

Операдные и категорные методы в теории многообразий универсальных алгебрТронин, Сергей Николаевич

Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемыСамойлов, Леонид Михайлович

Примитивные элементы алгебр шрайеровых многообразийЧеповский, Александр Андреевич

Обобщенные примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразийКлимаков Андрей Владимирович

Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебрПопов, Александр Викторович

Числовые характеристики некоторых многообразий линейных алгебрРацеев Сергей Михайлович

Автоморфизмы конечномерных алгебр и аффинных многообразийПерепечко Александр Юрьевич