Введение к работе
Актуальность темы. Одним из традиционных подходов в исследовании линейных алгебр над некоторым полем является изучение тождественных соотношений, выполняющихся в алгебрах, а также изучение многообразий, т.е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений 1 2. При этом, наиболее изученными, по праву можно назвать многообразия ассоциативных и лиевых алгебр 3 . Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию об их структуре, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными.
В случае основного поля F нулевой характеристики, хорошо известно, что вся информация о тождествах многообразия V содержится в его полилинейных частях, — подпространствах Рп (V) полилинейных элементов от образующих х\, ,хп относительно свободной алгебры F{X, V} от счетного числа образующих X = {х\, }. Всюду далее мы будем считать, что основное поле имеет нулевую характеристику.
Обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Одной из таковых является последовательность так называемых коразмерностей сп (V) многообразия V, которая определяется как последовательность размерностей полилинейных частей Рп (V). Для краткости, будем говорить просто о последовательности коразмерностей многообразия V.
В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия экспоненциального, полиномиально-
1 Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1970.
2 Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Лань. 2005.
3 Бахтурин Ю.А.Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука., 1985.
4 Giambruno, A., Zaicev, M.V. Polynomial Identities and Asymptotic Methods. Mathematical Surveys
and Monographs 122.- American Mathematical Society. Providence. RL, 2005.
го, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.
В случае ассоциативных алгебр известно, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью5 6.
В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко — многообразия алгебр Ли, определенного тождеством (жія^з) (Ш2/22/з) = О, имеющего сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр не существует многообразий промежуточного роста, а также не существует многообразий с экспонентой роста, расположенной в интервале (1; 2), и построен пример многообразия с дробной экспонентой, расположенной в интервале (3; 4) 8.
Большой интерес представляют многообразия с экстремальным поведением их числовых характеристик. Например, когда само многообразие имеет рост выше полиномиального, а всякое его собственное подмногообразие имеет уже полиномиально ограниченный рост. Такие многообразия называют многообразиями почти полиномиального роста.
В классе ассоциативных алгебр существует только два многообразия почти полиномиального роста 9. Это многообразие, порожденное алгеброй Грассмана G от бесконечного числа порождающих и многообразие, порожденное алгеброй UT^ верхнетреугольных матриц порядка 2.
В лиевском случае известны всего пять многообразий почти
5 Drensky V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals// Contemporary Mathematics. 1992.
V.131 (Part 2). P. 285-300.
e Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate //
Adv. in Math. 1999. V.142. P. 221-243.
7 Воличенко И.Б. Многообразие алгебр Ли с тождеством [[жі,Ж2,жз], [ж4,Ж5,Жб]] = 0 над полем
характеристики нуль // Сиб. матем. журнал. 1984. Т.25. №3. С. 40-54.
8 Zaitcev M.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent // Journal
Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P. 977-982.
9 Кемер A.P. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей // Сиб. матем. журнал. 1978. С.
37-48.
полиномиального роста. Первое, — это многообразие var (s/2) 10-Второе, — многообразие лиевых алгебр, определенное тождеством
{х\Х2) (Ж3Ж4) (x^Xq) =011. Третье многообразие порождается алгеброй
( G G\
Ли , где G — бесконечнопорожденная алгебра Грассмана, а 0
\о о;
— нулевая алгебра. Два других примера лиевских многообразий почти полиномиального роста построены СП. Мищенко12.
Одним из классических примеров многообразий неассоциативных алгебр, является класс йордановых алгебр, определяемых тождествами коммутативности и "йордановости"(уж2) х = (ух)х2.
Поведение числовых характеристик многообразий йордановых алгебр, в отличие от случая ассоциативных и лиевых алгебр, исследовано значительно меньше. Существуют примеры многообразий полиномиального, экспоненциального и сверхэкспоненциального роста13 14.
Первый пример многообразий йордановых алгебр почти полиномиального роста был построен В. Дренски15.
Поиск многообразий неассоциативных алгебр с экстремальным свойствами является интересной и важной задачей современной алгебры.
Объектом настоящего исследования являются многообразия неассоциативных алгебр и их числовые характеристики. В качестве предмета исследования нами выбраны многообразия йордановых алгебр и их числовые характеристики.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является поиск примеров многообразий неассоциативных линейных алгебр,
10 Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над
полем характеристики нуль // Алгебра и логика. — 1973. — Т.12, №1 — С.83-113.
11 Мищенко СП. Многообразия алгебр Ли с двуступенно нильпотентным коммутантом // Весні
АН БССР. - 1987. - №6. С. 39-43.
12 Мищенко СП. Рост многообразий алгебр Ли. Успехи Мат .Наук 45 (1990), Ж 6(276), 25-45
13 Drensky V. On the identities of the three-dimensional simple Jordan algebra, Annuaire de l'Univ.
de Sofia, Fac. de Math, et Mecan., Livre 1, Math. 78 (1984), 53-67.
1 Drensky V. Polynomial identities for the Jordan algebra of a Symmetric Billinear Form, Journal of algebra 108 (1987), 66-87.
15 Drensky V. Rashkova T. Varieties of metabelian Jordan algebras // Serdica. 1989. 15:4 . P. 293-301.
имеющих экстремальные свойства в поведении их числовых характеристик, а также поиск многообразий неассоциативных алгебр, представляющих интерес с точки зрения иных свойств, выполняющихся в них. Для достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
Построение критерия полиномиальности роста многообразий йор-дановых алгебр;
Исследование многообразий коммутативных алгебр с дополнительным тождеством степени 3. Оценка роста многообразия йордановых алгебр, определенного тождеством х = 0;
3. Исследование многообразия йордановых алгебр, определенного
тождеством разрешимости порядка 2
(xix2) (ж3ж4) = 0;
4. Доказательство свойства почти полиномиальности роста много
образия йордановых алгебр, порожденного алгеброй UT^ верхнетре
угольных матриц порядка 2, а также вычисление точных значений его
коразмерностей и поиск определяющих тождеств.
Методы исследования. В работе использованы следующие методы:
методы теории многообразий линейных алгебр, в частности, теория многообразий йордановых алгебр;
теория представлений симметрических групп с применением техники диаграмм Юнга;
теория собственных тождеств;
комбинаторные методы.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Получен критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр и доказана полиномиальное ограниченность любого многообразия коммутативных алгебр с тождеством степени 3. Построен пример алгебры, порождающей многообразие всех йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2. Получен второй пример многообразия
йордановых алгебр почти полиномиального роста.
Положения, выносимые на защиту.
Критерий полиномиальности роста многообразий йордановых алгебр;
Полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр с тождеством Xі = 0.
Пример алгебры, порождающей многообразие всех йордановых алгебр с тождеством разрешимости порядка 2;
Почти полиномиальность роста многообразия йордановых алгебр, порожденного алгеброй UT^ , в классе неунитарных алгебр.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях многообразий линейных алгебр.
Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется строгими доказательствами, опирающимися на методы теории представлений симметрической группы, комбинаторные методы, а также аппробацией работы на конференциях и научных семинарах.
Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:
Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов"(Самара, 2009г.);
Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы"(Ульяновск, 2010г.);
7th International Algebraic Conference in Ukraine (Kharkov, 2010);
8th International Algebraic Conference in Ukraine (Lugansk, 2011);
— Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию
П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел:
современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г; — Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.
Личный вклад автора. Идеи, использованные при доказательствах, частично принадлежат научному руководителю, частично автору работы. Сами доказательства получены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Содержит 80 страниц машинописного текста, список литературы состоит из 56 наименований.
