Содержание к диссертации
Введение
1 Многообразия Сй-размерности 1 22
1.1 Преобразование уравнений 22
1.1.1 Преобразование 3-струи. Стандартный вид поверхности типа (1,3) 23
1.1.2 Преобразование 4-струи. Стандартный вид поверхностей типов (1-,4), (1,5), (1,6). 25
1.1.3 Преобразование 5-струи. Стандартный вид поверхности типа (1,7) 28
1.2 Алгебры и группы автоморфизмов 34
1.2.1 Тип (1,3) 34
1.2.2 Тип (1,4) 38
1.2.3 Тип (1,5) 46
1.2.4 Тип (1,6) 54
1.2.5 Тин (1,7) 60
1.3 Основные результаты для моделей типа (I, К): «модельные» свойства и классификация 67
2 Модели степени пять 81
2.1 Построение модели 81
2.2 Оценки для алгебры ипфинитезимальных автоморфизмов 88
2.2.1 Основные соотношения
2.2.2 Первые следствия 92
2.2.3 Решение для /0 = Л(х) 94
2.2.4 Оценки на.степень инфинитезимальных автоморфизмов и размерность их алгебры 98
2.3 Модельная поверхность степени пять как хорошая модель 101
Заключение 111
Список литературы 115
- Преобразование 4-струи. Стандартный вид поверхностей типов (1-,4), (1,5), (1,6).
- Основные результаты для моделей типа (I, К): «модельные» свойства и классификация
- Оценки для алгебры ипфинитезимальных автоморфизмов
- Оценки на.степень инфинитезимальных автоморфизмов и размерность их алгебры
Введение к работе
0.1 Краткий исторический обзор
Теорию многих комплексных переменных от теории одного комплексного переменного отличает ряд замечательных фактов, впервые проявляющихся уже в случае двумерного комплексного пространства. Известно, например, что в С1 область, топологически эквивалентная единичному кругу, эквивалентна ему также и биголоморфно (теорема Римана).
Уже в С2 это не так. Почти любая малая деформация шара приводит' к области, биголоморфно не эквивалентной исходному шару. При переходе от отображений областей к отображениям их границ биголоморфной неэквивалентности областей соответствует локальная неэквивалентность их границ.
В С1 два вещественно-аналитических подмногоообразия"коразмерности 1 (то есть одномерные кривые) локально биголоморфно эквивалентны. В С2 их аналогом будут (трехмерные) гиперповерхности. Почти всегда они локально не эквивалентны. Это было известно еще А. Пуанкаре; см. также [36]. Это новое свойство ростка подмногообразия, возникающее с ростом размерности, называют его аналитической жесткостью.
Появляющееся при переходе к С2 свойство жесткости тесно связано с падением размерности группы биголоморфных автоморфизмов ростка. При переходе от С1 к С2 размерность группы автоморфизмов резко падает. Для одномерной кривой в С1 эта размерность бесконечна. В то1 же время для ростков трехмерных вещественно-аналитических подмногообразий.в С2 ситуация следующая.
Для вещественной гиперплоскости размерность группы автоморфизмов бесконечна.
Для ростков, не эквивалентных гиперплоскости, эта размерность не превосходит восьми. Восемь — максимум, достигаемый в случае стандартной трехмерной сферы.
Для ростков, не эквивалентных сфере, размерность не превосходит трех. Размерность три достигается для' гиперповерхностей, однородных в общей точке. Такие гиперповерхности были описаны Э. Картавом [37].
Гиперповерхность общего положения вообще не имеет автоморфизмов, даже локальных.
Гиперплоскость и гиперсфера, таким образом, представляют собой решения двух экстремальных задач. Гиперплоскость оказывается поверхностью с самой богатой группой, причем размерность этой группы бесконечна. Если же нас интересуют только конечномерные группы, то максимум размерности дает гиперсфера..
Естественно предположить, что эти поверхности будут играть важную роль в изучении отображений, автоморфизмов, инвариантов и вопросах классификации ростков вещественных подмногообразий. И это действительно.так. Для решения этого круга задач была разработана эффективная технология, называемая методом модельной поверхности. Ключевым моментом этой технологии является построение "хорошей" модельной поверхности ([38], [12]). Для гиперповерхностей в С2 это наша трехмерная сфера.
При изучении отображений областей, а также вопросов их биголо-морфной эквивалентности помимо возможности перехода от отображений областей к отображениям их границ (гиперповерхностей, то есть многообразий коразмерности 1) имеется также возможность перехода к отображениям так называемых границ Шилова, часто являющихся многообразиями коразмерности более высокой.
Определение 0.1 Границей Шилова ограниченной области D называется такое замкнутое подмножество границы S С dD, что
1. для любой функции f, голоморфной в области D и непрерывной в ее замыкании D,. max [/(г)! — max 1/(2)1 zeD ztS
2. любое замкнутое множество S, обладающее свойством 1), содер- oicum S.
В частности, уже для бидиска {(z,w)C2: N2<1, |ш|2<1}. границей Шилова является следующее (вещественно-двумерное) собственное подмножество границы (называемое также остовом бидиска): {(z,w)C2': И = 1, М = 1}.
В то же время для шара в С2 граница Шилова совпадает с его топологической границей. Легко видеть, что границы Шилова шара и бидиска не эквивалентны топологически. Этот факт может послужить одной из илллюстраций биголоморфной неэквивалентности шара и бидиска в С2.
Таким образом естественно возникают задачи изучения и описания отображений многообразий высокой (больше 1) коразмерности.
Если перейти от С2 к гиперповерхности в пространстве произвольной размерности, то полным аналогом сферы являются некоторые специальные гиперповерхности второго порядка (их несколько, в положительно определенном случае это гиперсфера) [49], [38]. Как было показано Бе-лошаикой в работе [7] 1991-го года, прямым обобщением сферы для многообразий коразмерности более высокой, чем единица, являются невы-роэюдеппые квадрики - специальные поверхности, определяемые уравнениями второго порядка. При условии положительной определенности эти поверхности фигурировали ранее в теории однородных областей, как остовы областей Зигеля второго рода (см. [16], [22], [45], [46]). Квадрикам и изучению вещественных многообразий с опорой на эту модель посвящено множество работ, созданных в-основном в 90-х годах.20-го века. Можно назвать, например, работы А. В. Абросимова ([1]), Е. Г. Анисовой ([2], [3]), А. Ф. Арбатского ([4]), В. К. Белошапки ([7], [8]), В. Ежова и Г. Шмальца ([39]:- [43]), Н. Ф. Палинчак ([19], [20], [21]), А. Е. Туманова ([24], [25]), А .Сухова ([47], [48]), С. Н. Шевченко ([30], [31]).
Пусть М — вещественно-аналитическая поверхность в Сп+К. В окрестности некоторой точки Є Сп+К поверхность задается системой уравнений
Я=0, j = l,.../C, где FJ — вещественнозначные вещественно-аналитические в окрестности -функции. Если вектора grad F^ (j — 1,...,/^) линейно независимы как.вектора в Сп+^, (то есть многообразие является порождающим) то в некоторых кординатах уравнения М. записываются в виде y = F(z,z,x), j = Ї,...К,
ГДЄ Z — (Zi,... ,Zn), W — (u>i,. . . ,Zk), Wj — Xj + ipj, F"— веществен- нозначное вещественно-аналитическое отображение окрестности нуля в Cn xRxb R*, причем F|0 = 0, dF\0 = 0.
Выделим у функции F компоненту степени 2 по-2 и нулевой степени по z их. Заменой w к-+ w + Ci{z,z)y где C^iz^z) — некоторая квадратичная форма от z, добьемся того, чтобы эта компонента (а также комплексно сопряженная ей компонента степени 2 по z и нулевой степени по z и х) обратилась в нуль. Выделим теперь компоненту степени 1 по 2, 1 по z и нулевой степени по х. Обозначим эту компоненту < г,z >= (< z>z >*,... < z,z >к). Введем градуировку, задавая веса переменных так: [z] — [z] — 1, [w\ = [х] — 2. Уравнения М примут теперь вид %-=
Уз =
Квадрика называется певыроэ!сденной(см. [7j), если выполняются следующие два условия: координатные компоненты < z, z >\ ...,.< z, z >к формы < z,z > линейно независимы; если < С, 2 >= 0 для всех 2, то С.= 0 (условие отсутствия ядра).
Квадрика обладает рядом полезных свойств (см., например, [7]), делающих ее удобной для изучения биголоморфных отображений поверхностей: каждому порождающему ростку вещественно-аналитического подмногообразия соответствует некоторая касательная квадрика. группа голоморфных автоморфизмов квадрики конечномерна тогда и только тогда, когда квадрика нсвырождена. квадрика однородна, то есть группа се автоморфизмов действует на ней транзитивно. алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной квадрики состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает 2. группа биголоморфпых автоморфизмов невырожденной квадрики есть подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства. Существует оценка па степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К. А именно, степень не превышает 4(п + К) где К ~ коразмерность, an- размерность комплексной части касательного пространства. квадрика обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы биголоморфпых: автоморфизмов произвольной поверхности мажорируется размерностью группы биголоморфных автоморфизмов ее касательной квадрики.
Если касательная квадрика невырождена, это свойство обеспечивает конечномерность группы биголоморфных автоморфизмов поверхности. Если же квадрика вырождена, свойство остается верным, хотя и становится бесполезным в изучении автоморфизмов исходной поверхности, так1 как группа автоморфизмов вырожденной квадрики бесконечномерна. если квадрики биголоморфно эквивалентны, то они линейно эквивалентны. квадрика обладает естественной структурой группы Ли.
Заметим также, что оболочка голоморфности Q невырожденной квадрики Q всегда полномерна. Например, для гиперквадрики (коразмерность 1) оболочка голоморфности составляет либо все пространство С п+ . либо, в случае положительно определенной (см. [7]) гиперквадрики биголоморфію эквивалентной (2n + 1)-мерной сфере в С , область
Imw > y^|zj-|2, j=i биголоморфно эквивалентную шару.
Кроме того, между биголоморфными автоморфизмами невырожденных квадрик и их оболочек голоморфности существует тесная связь.
Из вышесказанного видно, что, во-первых, многие характеристики ростка тесно связаны с характеристиками его касательной квадрики, и, во-вторых, квадрика достаточно хорошо поддается исследованию. Поэтому, если квадрика, соответствующая многообразию, невырождена, исследование его свойств сильно упрощается. Но условие невырожденности квадрики накладывает ограничение на коразмерность ростка: К < п2. Хотелось бы иметь модель, аналогичную квадрике, и в случае большей коразмерности.
В работе [10] Белошапкой были построены такие модели степеней 3 и 4, задающиеся в некоторых координатах уравнениями вида
Im w — F(z,z) где F — вектор-многочлен степени 3 при п2 < К < п2 + п2(п + 1) и степени 4 при п2 + п2(п+ 1) < К < п2 + п2(п + 1) + п2(п + l)(7n + 11)/12. Заметим, что степени 3 и 4 возникают для данных размерностей естественным образом. С поверхностью связывается следующий объект, называемой алгеброй Леви-Танаки данной поверхности (см., например, [23]). Это градуированная алгебра Ли, которая строится индуктивно: Dl = ТСМ, Dj+1 - [ЕР, D1] + ЕР.
Понятно, что всегда Z)-7 С ЕР+1, При этом также понятно, что начиная с какого-то j рост размерности прекращается: DJ = >J+1, так как всегда Dj С ТМ, а ТМ конечномерно. Длиной алгебры Леви-Танаки называется такое наибольшее j, при котором D*~l Ф DK
Как показано Белошапкой в [9] и [10], три в случае п2 < К < п2 + п2{п + 1) и четыре в случае п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2(п + 1) 4-n2(n + l)(7n+11)/12 есть в точности длина алгебры Леви-Тапаки вполне невырожденного (в терминологии [13]) ростка.
Для этих моделей были найдены оценки на степени полиномов, задающих алгебру инфшштезимальпых автоморфизмов, а также па степени бирациональных автоморфизмов, составляющих группу.
В алгебре инфинитезимальных автоморфизмов модельных поверхностей можно ввести естественную градуировку. Тогда оценки на степени полиномов, задающих поля из алгебры, получаются из оценок на вес полей, входящих в алгебру.
Рассмотрим модельные поверхности степени три, называемые в [10] невырожденными кубиками. Введем следующее обозначение: F>2i{z, z) будет обозначать некоторую, полилинейную форму от z, z, степени два по2И один по z. Пусть z С", и>2 Є Cn , ш3 Є С*. Пусть уравнения кубики в С п+п +к даны в стандартном виде
Im W2 —< z,z >
Im w% — 2Re F2i(z, z)
Введем естественную градуировку, полагая
И = і, ф - -і,
Тогда остальные веса задаются так; [w2]=2, М-3, [ * ] = -2, [ * ] - -3. lOW2 OW3
Тогда алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики aut Q (см. Определение 0.2 в п. 0.2) становится градуированной алгеброй Ли со следующим, непосредственно проверяемымсвойством: если некоторое поле содержится в aut Q, то и каждая его градуированная компонента тоже содержится в этой алгебре. Можно написать, что aut Q = 5-3+ ... + 5-1 + 50 + ^1 + - + 9d, где D — некоторое натуральное число, об оценках на которое поговорим ниже. Алгебра любой:невырожденной кубики содержит поля весов -3, -2,-1 и0;
Подалгебра aut„Q = (/-3+3-2+5-1 есть алгебра Леви-Танаки кубики. Полям из 'Aut-Q соответствуют так называемые "сдвиги" по поверхности. Если за координаты на кубике принять г, х2 = Кею2, х$ — Иег^з, то полям из дг_з соответствуют сдвиги по-жз, а полям из д-ч — сдвиги по х2. Полям из д~\ соответствуют квадратично-треугольные преобразования объемлющего пространства, осуществляющие "сдвиг" по z.
Подгруппа линейных автоморфизмов кубики, соответствующая подалгебре до, всегда содержит "вещественные растяжения11 (преобразования вида:^ н- tz, V)2 *— t2W2, W% ь-> t3Ws, гдеі Є R).
На «положительную» же компоненту алгебры aut+Q — gi~\-... + др (соответствующую нелинейным автоморфизмам, сохраняющим на месте начало координат) существуют только оценки. Первоначально была дана оценка D < 6; впоследствии ее удалось улучшить до 4. Тем не менее, до сих пор неизвестно примера кубики с нетривиальной положительной компонентой.
В дипломной работе Р. Гаммеля [15] (2004 г.) было показано, что если в алгебре отсутствует первая весовая компонента ^i, то нет и компонент больших весов. Таким образом, если бы удалось доказать отсутствие первой весовой компоненты, то все автоморфизмы кубики оказались бы ком- бинациями линейных преобразований, соответствующих полям из до, и "сдвигов". Размерность группы автоморфизмов кубики варьировалась бы тогда от 2тг + п2 + к +1 (такую размерность дают в совокупности уже упомянутые "сдвиги" и "растяжения") до 2п+3п2+к (такая размерность получается, если линейные автоморфизмы кубики содержат все преобразования z і—» Az с любой А Є GL(n,C)). Несмотря на то, что во всех известных примерах дела обстоят именно так, вопрос о существованиии первой весовой компоненты в алгебре по-прежнему остается открытым. Для моделей степени четыре также были получены оценки на веса полей, составляющих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов. Алгебра модели четвертой степени состоит из следующих градуированных компонент: aut Q = д-з + ... + 5-і + 9o + 9i
Можно заметить, что пример модели четвертой степени с ненулевой компонентой веса 1 также неизвестен.
Однако модели степеней три и четыре по-прежнему не исчерпывают всех коразмерностей. На коразмерность снова возникают ограничения, связанные с длиной алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка. Кубика является хорошей моделью при п2 < К < п2 + п2(п + 1). Модель четвертой степени применима при п2 + п2(п + 1) < К < п2 + п2{п + 1) + п2(п + l)(7n + 11)/12.
В [10] были предложены и модели более высоких степеней, правда, без выполнения свойства 1, т.е. универсальности. Как показано в работе автора [27], уже начиная с коразмерности 7 при одномерной комплексной касательной (минимальная ситуация, в которой не хватает четвертой степени, и появляется степень 5) не удается, в общем случае, построить модель, задающуюся уравнениями вида
Im w — F(zjz). 13
Однако, если разрешить правой части зависеть от Re w, задача по-прежнему разрешима. Мы снова можем построить модельную поверхность с требуемыми свойствами. Наличие Re w в уравнениях модели несколько меняет доказательство конечномерности алгебры инфинитези-мальных автоморфизмов, т.к., например, становится невозможным применение теоремы об экспоненциальном представлении [18], однако все свойства, аналогичные названным свойствам 1—8 невырожденной квадрики, продолжают выполняться.
Тема построения модельных поверхностей степени пять получила дальнейшее развитие в работах автора [28] и [29]. В [28] ситуация поверхностей коразмерности 7. с одномерной комплексной касательной была обобщена на случай произвольной размерности комплексной касательной. При этом в уравнениях модели появлялся только один полином степени пять.
В работе [29] построение модельных поверхностей, степени, (а точнее, веса) пять было закончено, то есть продолжено вплоть до возникновения нового естественного ограничения па коразмерность.
0.2 Основные понятия
Введем, вкратце, основные понятия, которыми будем оперировать в последующих пунктах.
Рассмотрим гладкое подмногообразие М в iV-мерном комплексном пространстве. В каждой точке Є М рассмотрим касательное пространство Т^М. В нем можно выделить комплексную часть Т$МС. Если оператор умножения на і в объемлющем пространстве обозначить как J, Т^М определяется так:
Комплексная размерность ТрМ называется С R-размерностью М в точке и обозначается CRdim^M. В общем случае эта функция на М лишь полунепрерывна сверху. Если она постоянна, то есть CRdim^M = п на М, то число п называется CR-размерностью М и обозначается CRttimM.
Дальше всюду будем считать СЯ-размерность поверхности. постоянной. Вложенное в CjV подмногообразие постоянной Сй-размерности будем называть С'R-многообразием. CR- многообразие, имеющее CR- размерность пи вещественную коразмерность к называется многообразием типа (п,к).
Пусть М есть гладкое Сй-многообразие типа (п, к), вложенное CN. Если dim М — п = N, то С-линейная1 оболочка касательного пространства к М в его произвольной точке имеет комплексную размерность ./V, то есть совпадает со всем С^. Такое М называется порождающим. Если подмногообразие типа (N — к, к) в С^ задано набором гладких вещественных функций Fk(zu...,zN,zi,zN) = 0, то это условие эквивалентно комплексной линейной независимости градиентов gradFi, ... gradFk.
В дальнейшем нас будут интересовать только локальные свойства многообразия, поэтому целесообразно перейти к росткам. Рассмотрим росток М{ вложенного в С^ многообразия М в точке .
Определение 0.2 Через aut М^ обозначим алгебру Ли ростков вещественных векторных полей егіда X = 2ІЇ,е(ЛОь ..., zN)—- + ... + Jn{zi, ..., zN)-— OZ\ OZtf со следующими свойствами: все функции fj(z^ ..., zjsr) определены и голоморфны в окрестности точки Є М; сужение векторного поля на М% касательно к М%.
Эта алгебра называется алгеброй инфинитезимальных автомор-физмов ростка.
Можно рассмотреть соответствуюпгую aut^M локальную группу AutM Это образ autM^ под действием экспоненциального отображения. AutMf действует на М$ отображениями, биголоморфными в точке .
Будем дальше называть aut Л^ и AutM^ алгеброй и группой ростка соответственно.
Помимо группы и алгебры ростка, Aut М^ и aut М$, нас будут интересовать также подалгебра auto Щ С aut М$ инфинитезимальных автоморфизмов поверхности, обращающихся в нуль в точке є М\ и соответствующая ей подгруппа Aut^M^ С AutM^ автоморфизмов, сохраняющих на месте точку f М..
0.3 Структура работы
Преобразование 4-струи. Стандартный вид поверхностей типов (1-,4), (1,5), (1,6).
Также проведена классификация модельных поверхностей с точностью до биголоморфного отображения (Предложение 1.18).
Раздел 2 целиком посвящен изучению модельных поверхностей степени пять. (См. работу автора [29]). Как и в п. 14, рассматривается ситуация, в которой в уравнениях модели появляется степень 5, однако на этот раз в случае произвольной размерности комплексной касательной, то есть С Я—многообразия типа (n, k2 + k$ + k4 + к). Здесь kj — размерность пространства вещественных однородных многочленов степени j от г, 2, чье разложение по бистепеням не содержит компонент (j, 0) и (0, j), к к5 + к2к3- Как подсчитано в [10], к2 = п2, / = п2(п + 1), кА = п2(п + l)(7n -f 11)/12, кь = п2{п + 1)(га + 2)(3n + 5). Таким образом, модельные поверхности степени пять оказываются применимы для многообразий типа (п, К) при
В п. 2:1 строятся модели степени 5. Невырожденность поверхности (см. Определение 2.1) определим так. Пусть в пространстве Сп+к2+кз+ki+k с координатами z Є С", Wj = Xj + iyj Є Gk: ,j = 1.. .4, w = х$ + іу$ Є Ск задан порождающий росток вещественно-аналитического CR—многообразия типа (п, К), где К — к2 + к$ + / + к. Пусть в окрестности нуля он определяется уравнениями
Сделаем некоторые полиномиальные преобразования, подробно описанные в п. 2.1. Уравнения поверхности примут вид (205): Пусть координатные компоненты формы F5 = 2Re(F4i( 42) + F32(23z2) + 212( 2 2)) линейно независимы. Тогда назовем поверхность невырожденной. (Аналогично невырожденность поверхности определялась ранее в работах [9], [10], [27]). Получающиеся таким образом условия невырожденности оказывается возможно переформулировать и в инвариантных терминах. Нужно потребовать принадлежности поверхности к минимально возможному при данной коразмерности (конечному) типу по Блуму-Грэхму [35], то есть к типу. В п. 2.2 доказывается конечномерность алгебры иифшштезимальных автоморфизмов модели и полипомиалыюсть касательных голоморфных векторных полей, выводятся оценки на степень полей и размерность алгебры. В общем случае оценки размерности получаются такие: Естественно, что эти же оценки верны не только для модельной поверхности, но и для произвольного вполне невырожденного ростка соответствующего тина. Заметим, что эти оценки все же могут оказаться достаточно грубыми. Пример поверхности, для которой бы они. достигались, неизвестен. Быстро растущее с ростом к слагаемое 2п(п2 + i)2fc в вышеприведенных оценках соответствует компоненте веса два и выше В алгебре инфинитезимальных автоморфизмов модели. При этом ситуация с алгебрами известных моделей пятой степени такова. Как показано в п. 1.2.5, размерность алгебры и группы автоморфизмов модельной поверхности типа (1,7) (это минимальный тип, при котором в уравнениях модели появляется пятая степень) равна 10. При этом положительная компонента в алгебре отсутствует, а нулевая содержит только «обязательную» часть, соответствующую «вещественным растяжениям». В алгебрах рассмотренных автором в работе [28 моделей типа (п, &2 + &з + &4 + 1) положительная часть ограничивается весом 1. При этом пример поверхности, у которой действительно есть автоморфизмы веса 1, неизвестен. Как было уже замечено выше, для моделей степеней три и четыре мы наблюдаем похожую ситуацию: есть некоторые оценки, которые не достигаются ни на одном из известных примеров. В то же время во всех известных случаях группа автоморфизмов порождается «сдвигами» и линейными преобразованиями. Можно высказать гипотезу: все автоморфизмы модели пятой степени порождаются «сдвигами» и линейными преобразованиями. Тогда мы получим следующие оценки на размерность: dim autQ 2п + 2n2 + п2(п -f 1) + К dim antoQ 2n2 + п2{п + 1) В п. 2.3 проверяются экстремальное свойство модели, линейная экви валентность биголоморфпо эквивалентных моделей. Показывается, что голоморфные автоморфизмы модельной поверхности бирациональны; также проверяется однородность модельной поверхности. Таким образом, доказывается следующая основная Теорема 2.15. Невырожденная модельная поверхность пятой степени типа (п, К) (здесь является «хорошей» модельной поверхностью, а именно: 1. всякому вполне невырожденному ростку соответствует невырожденная касательная модельная поверхность пятой степени; 2. группа автоморфизмов невырожденной модели конечномерна; 3. модельная поверхность пятой степени однородна, то есть группа ее автоморфизмов транзитивна; 4- алгебра инфинитезималъиых автоморфизмов вполне невырожденной модельной поверхности состоит из полей с полиномиальными коэффициентами, чья степень не превышает k + 5; 5. группа ее автоморфизмов есть подгруппа группы бирациональных преобразований объемлющего пространства ограниченной степени. (Существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К.) 6. модельная поверхность обладает следующим экстремальным свойством: размерность группы голоморфных автоморфизмов произвольной невырожденной поверхности мажорируется размерностью группы голоморфных автоморфизмов ее касательной модельной поверхности;
Основные результаты для моделей типа (I, К): «модельные» свойства и классификация
Применив, если нужно, аффинную замену координат, будем дальше считать, что функция F обращается в начале координат в нуль вместе со своими первыми производными.
Далее везде для записи степени будем использовать сокращенные обозначения. Так, запись zaiza2X2 х% х±х. будет означать полилинейную форму степени а\ію z\,,.. , zn; степени а.2 по zi,....., zn\ степеней Pj по переменным соответствующих групп Xj (J = 2...5).
Введем градуировку, задавая веса переменных так: [z] — [z] — 1, [WJ] = [XJ] =jj = 2,..., 5. Так как линейных членов F не содержит, компоненты.веса 1 нет. Рассмотрим, теперь вторую весовую компоненту F2. Она содержит члены, зависящие только от z,z вида z2, z2 п zz. Квадратичной заменой w і— w -\- C2(z,z) уберем членьгпри z2 и z2. Оставшуюся (эрмитову) компоненту обозначим F\\{zz). Так как у К—мерен, это К—компонентная эрмитова вектор-форма. Для невырожденности потребуем от координатных компонент этой формы, чтобы их вещественная линейная оболочка составляла все пространство эрмитовых форм от z,z. Поскольку это пространство к2—мерно, а размерность г/2 в нашем случае также равна к2, то, перенумеровывая при необходимости координаты у, добьемся того, чтобы базис в прстранстве эрмитовых форм образовывали именно те координатные компоненты, которые относятся К Ї/2 Теперь, вычитая из уравнений для уз,У4,У5 линейные комбинации уравнений для У2 (т.е. совершая линейную замену Wj — Wj + rjW2, j — 3,4,5), уберем вторую весовую компоненту из уравнений для УЗ- УА,УЬ Дальше в уравнениях для уз,У4,Уь преобразуем компоненту веса 3. Здесь у нас есть члены видов 23, z3, z2z, zz2, ZX2 и 2X2- От компонент 23, 23 избавимся заменой шиш Сз(2,2, z), где Сз — некоторая кубическая форма ОТ Z, ОТ 2ІС2 И 2 2 ЗЯМЄНОЙ W I— W + Di(z, W2)) ГДС билинейная форма от 2, W2. Теперь в весе 3 остаются только члены видов z2z и 222, которые будем обозначать F2i(z2z) и 2(222) соотнетствеппо (здесь F2i. и Fu — (К — А;2)-мерные полилинейные формы от 2, z). Для невырожденности снова потребуем, чтобы вещественная линейная оболочка их координатных компонент составляла все пространство вещественных однородных многочленов степени 3 от 2,2, чье разложение по бистепеиям нс содержит компонент 23 и 23. Снова, перенумеровывая при необходимости координаты у, добьемся того, чтобы базис образовывали именно те координатные компоненты, которые относятся К Ї/3 Вычитая из уравнений для р4, Уъ линейные комбинации уравнений для уз (т.е. совершая линейную замену Wj — Wj -f sw j = 4,5), уберем компоненту веса 3 из уравнений для у уъ Преобразуем теперь компоненту веса 4 в уравнениях для у4 и у. ЗдеСЬ ЄСТЬ 24, 24, Z3Z, ZZ3, Z2Z2, Z2X2, 22 ZZX2, X2, ZX3 И ZX%. От 24, 24 избавимся заменой шиш + C {z, 2,2,2), где С4 — некоторая форма четвертой степени от z\ от z2X2 и 22гс2 — заменой w і— ги + Оя{г, z, W2), где D2 — некоторая полилинейная форма второй степени по z и первой по W2 , от 2:гз и 2х$ — заменой w н- w + / з( , з), где )3. некоторая билинейная форма от z и w%. От членов 22 2 и х\ избавимся с помощью замены w і— w + 4(7 2, 2), где Д — некоторая квадратичная форма ОТ U)2 Остаются только члены видов z3z, zz3 и z2z2, которые будем обозначать F3i(z3z), Fu(zz3) и F22{z2z2) соответственно (здесь.7-31, F13 и 23 (К — к2 — &з)-мерные полилинейные формы от 2, z). Опять потребуем для невырожденности, чтобы вещественная линейная оболочка их координатных компонент составляла все пространство вещественных однородных многочленов степени 4 от z, z, чье разложение но бистепеням не содержит компонент z4 и г4. И опять, перенумеровывая при необходимости координаты у, добьемся того, чтобы базис образовывали именно Затем вычитаем из уравнений для.г/5 линейную комбинацию уравнений для у4, то есть делаем замену w і— w + tw±. Теперь разложение по весам уравнений для у$ начинается с пятой компоненты. Преобразуем ее тоже. В весе 5 у пас есть члены следующих видов:1 25, г5, z4z, zz4, z3z2, z2z3, z2zx2, zz2X2, zx\, zx?2, A3, z2x- zzx-s, z3x2, z3X2, X2X3, zxi и zx . От z5 и z5 избавимся заменой w5 ь-» w$ + C5(z,z,z,z,z), где ( — некоторая форма пятой степени от z\ от zzX2 и z3X2 заменой W5 ь-»- W5 + D (z,z,z, W2), где D$ — некоторая полилинейная форма третьей степени по z и первой ПО 1І)Ч\ ОТ 2 и 22хз — заменой W5 — 1 + А Сг,2,гиз)і ГДе некоторая полилинейная форма второй степени по z, первой по w$\ от zx\ и zx\ — заменой и 5 5+/ 7(2, №2i 2)) гДе - 7 некоторая полилинейная форма первой стеиени по z и второй 110 W2 , ОТ ZX4 И ZX4 —ЗамеНОЙ W5 — 5 + - 8(2,11)) где D5 — некоторая билинейная форма от г и гУ4- От членов zzx%, #2 3 избавимся заменой w$ i- w5 + )9( 2,1 3), где g — некоторая билинейная форма от W2 и гоз- Теперь для невырожденности потребуем линейной независимости компонент веса 5 для у$. Итак, в весе 5 остались члены видов z4z, zz4, zzz2, z2z3, z2zx2 и zz2X2 Обозначим их соответственно как F z z) Fi {zzA)\ F (zzz2), і 2з( 223), 212(32 ) и Fi22( 2zz2), Это /г-мерные полилинейные формы. По условию НеВЫрОЖДеННОСТИ КООрДИНаТИЫе КОМПОНеНТЫ СУММЫ F41 + F14 + F32 + 23 + 212 + 122 линейно независимы как многочлены,от z, Z, X..
Рассмотрим еще сумму F41 + F14 + F32+ 23- (Ее компоненты могут и не оказаться линейно независимыми. Например, они точно не будут линейно независимыми, если k к$.) Рассмотрим вещественную линейную оболочку кординатных компонент этой суммы. Выделим в ней базис, состоящий из некоторого набора этих координатных: компонент. (Соответствующие этим выбранным компонентам переменные х$, ys, w$ далее; будем называть "жесткими".)
Теперь из оставшихся уравнений для у$ (их будем называть "нежесткими") вычтем линейную комбинацию уравнений для."жестких" у$ (такую, чтобы в этих "нежестких" уравнениях совсем избавиться от членов видов z42, .224, zdz2 и z2zz). Заметим, что теперь в "нежестких" уравнениях линейно независимы координатные компоненты F212 + Fm
Оценки для алгебры ипфинитезимальных автоморфизмов
Таким образом, можно видеть, что в нашей ситуации выполняются обычные свойства модельной поверхности. Тем самым, доказана следующая теорема. Теорема 2.15 Невырожденная модельная поверхность пятой степени типа (n, &2 + &3 + &4 + &) (к Л 5+ 2 3 является хорошей модельной поверхностью, а именно: 1. всякому вполне невырожденному порождающему ростку (или, что то же самое, ростку типа соответствует невырожденная касательная модельная поверхность пятой степени (см. в п. 2.1 Определение 2.2 касательной модельной поверхности и Предложение 2.4); 2. группа автоморфизлюв невырооюдеиной модели конечномерна (см. Предложение 2.8); 3. модельная поверхность пятой степени однородна, то есть группа ее автоморфизмов транзитивна (см. Предложение 2.11); 4- алгебра инфинитезимальных автоморфизмов невырожденной модельной поверхности состоит из полей с полиномиалъ-нылш коэффициентами, чья степень не превышает к + 5 (см. Предложение 2.9); 5. группа ее автоморфизмов есть подгруппа группы бирациоиальпых преобразований объемлющего.пространства, причем существует оценка на степени числителей и знаменателей, зависящая только от п и К (см. Предложение 2.13); 6. невырожденная модельная поверхность обладает следующем экстремальным свойством: размерность группы произвольной поверхности мажорируется размерностью группы ее касательной модельной поверхности (см. Предложение 2.10); 7. если модельные поверхности биголоморфпо эквивалентны, то они линейно эквивалентны (см. Предложение 2.Ц) 8. модельная поверхность обладает естественной структурой группы Ли (см. Предложение 2.12). Замечание 2.16 Доказ ателг ство конечномерности алгебры, иифини-тезимальных автоморфизмов можно было бы получить, без явного ее вычисления, с помощью теоремы 2 из работы [32/ Бауоепди, Эбенфель-та, Ротшильд (1998 г.). Действительно, В: теореме, из работы: [32J требуется выполнение двух условий: принадлежности поверхности к конечному типу, по Блуму-Грэхму и условия конечной невырожденности. Требование конечного типа по Блуму-Грэхму выполнено, как уже отмечалось выше. Требование конечной невырожденности также выполняется, так как уже форма Леви невырождена, а, значит, имеется: 1-невырождешюсть. Однако непосредственное вычисление алгебры позволяет получить оценки на степень полей из алгебры иифинитезимальных автоморфизмов. Итак, в п. 1 и 2 были построены модельные поверхности, обладающие всеми «традиционными» модельными свойствами. Практически одновременно Белошапкой в работе [13] 2004 г. был предложен алгоритм построения модельных поверхностей для вполне невырожденных многообразий произвольной размерности. И оказалось, что описанные в п. 1 и 2 модели для рассматриваемых размерностей полностью соответствуют моделям, предложенным Белошапкой. В связи с этим описанный выше проносе построения модели оказывается частным случаем следующего процесса. Построение модели и определение полной невырожденности Модельная поверхность в [13 строится так. Как и выше, процесс построения модельной поверхности — пошаговый. Первые несколько шагов этого процесса - это в точности преобразования форм веса 2, 3, 4, 5, описанные в п. 2,1. В общем виде процесс выглядит так. На m-м шаге формируется следующий список объектов: пространство гармонических полиномиальных форм веса m - Нт; пространство помализованных форм веса m - JV"m, то есть алгебраическое дополнение к пространству Нт в пространстве всех форм веса т; кт размерность Л/"т; Уравнения, задающие поверхность, приводятся к виду обозначим Q(n, Я") или просто Q и будем называть модельной поверхностью. Определение 3.17 Говорим, что росток задан в стандартном виде или в стандартных координатах, если его уравнения -имеют вид (282), причелі многочлены Фj при j — 2,..., d—і — это базис в Л/}, а координаты Фа — линейно независимые элементы Md- Говорим, что модельная поверхность Q, заданная младшими членами (232) является модельной поверхностью ростка М%. Говорим, что росток М% вполне невыро-жден, если в некоторых координатах он имеет стандартный вид, при этом говорим, что модельная поверхность Q невыроэ/сдепа. Это определение вполне невырожденного многообразия включает в себя как частный случай данные в п. 1.1 и 2.1 определения 1.3, 1.7, 1.10 и 2.1 невырожденных многообразий. (При наложенных в этих пунктах. ограничениях на коразмерность определение вполне невырожденного многообразия из работы [13] превращается в вышеперечисленные определения.)
Оценки на.степень инфинитезимальных автоморфизмов и размерность их алгебры
Из вышесказанного видно, что, во-первых, многие характеристики ростка тесно связаны с характеристиками его касательной квадрики, и, во-вторых, квадрика достаточно хорошо поддается исследованию. Поэтому, если квадрика, соответствующая многообразию, невырождена, исследование его свойств сильно упрощается. Но условие невырожденности квадрики накладывает ограничение на коразмерность ростка: К п2. Хотелось бы иметь модель, аналогичную квадрике, и в случае большей коразмерности.
В работе [10] Белошапкой были построены такие модели степеней 3 и 4, задающиеся в некоторых координатах уравнениями вида где F — вектор-многочлен степени 3 при п2 К п2 + п2(п + 1) и степени 4 при п2 + п2(п+ 1) К п2 + п2(п + 1) + п2(п + l)(7n + 11)/12. Заметим, что степени 3 и 4 возникают для данных размерностей естественным образом. С поверхностью связывается следующий объект, называемой алгеброй Леви-Танаки данной поверхности (см., например, [23]). Это градуированная алгебра Ли, которая строится индуктивно:
Понятно, что всегда Z)-7 С ЕР+1, При этом также понятно, что начиная с какого-то j рост размерности прекращается: DJ = J+1, так как всегда Dj С ТМ, а ТМ конечномерно. Длиной алгебры Леви-Танаки называется такое наибольшее j, при котором D l Ф DK Как показано Белошапкой в [9] и [10], три в случае п2 К п2 + п2{п + 1) и четыре в случае п2 + п2(п + 1) К п2 + п2(п + 1) 4-n2(n + l)(7n+11)/12 есть в точности длина алгебры Леви-Тапаки вполне невырожденного (в терминологии [13]) ростка. Для этих моделей были найдены оценки на степени полиномов, задающих алгебру инфшштезимальпых автоморфизмов, а также па степени бирациональных автоморфизмов, составляющих группу. В алгебре инфинитезимальных автоморфизмов модельных поверхностей можно ввести естественную градуировку. Тогда оценки на степени полиномов, задающих поля из алгебры, получаются из оценок на вес полей, входящих в алгебру. Рассмотрим модельные поверхности степени три, называемые в [10] невырожденными кубиками. Введем следующее обозначение: F 2i{z, z) будет обозначать некоторую, полилинейную форму от z, z, степени два по2И один по z. Пусть z С", и 2 Є Cn , ш3 Є С . Пусть уравнения кубики в С п+п +к даны в стандартном виде Тогда алгебра инфинитезимальных автоморфизмов кубики aut Q (см. Определение 0.2 в п. 0.2) становится градуированной алгеброй Ли со следующим, непосредственно проверяемымсвойством: если некоторое поле содержится в aut Q, то и каждая его градуированная компонента тоже содержится в этой алгебре. Можно написать, что где D — некоторое натуральное число, об оценках на которое поговорим ниже. Алгебра любой:невырожденной кубики содержит поля весов -3, -2,-1 и0; Подалгебра aut„Q = (/-3+3-2+5-1 есть алгебра Леви-Танаки кубики. Полям из Aut-Q соответствуют так называемые "сдвиги" по поверхности. Если за координаты на кубике принять г, х2 = Кею2, х$ — Иег з, то полям из дг_з соответствуют сдвиги по-жз, а полям из д-ч — сдвиги по х2. Полям из д \ соответствуют квадратично-треугольные преобразования объемлющего пространства, осуществляющие "сдвиг" по z.
Подгруппа линейных автоморфизмов кубики, соответствующая подалгебре до, всегда содержит "вещественные растяжения11 (преобразования вида. На «положительную» же компоненту алгебры aut+Q — gi \-... + др (соответствующую нелинейным автоморфизмам, сохраняющим на месте начало координат) существуют только оценки. Первоначально была дана оценка D 6; впоследствии ее удалось улучшить до 4. Тем не менее, до сих пор неизвестно примера кубики с нетривиальной положительной компонентой.
В дипломной работе Р. Гаммеля [15] (2004 г.) было показано, что если в алгебре отсутствует первая весовая компонента i, то нет и компонент больших весов. Таким образом, если бы удалось доказать отсутствие первой весовой компоненты, то все автоморфизмы кубики оказались бы ком бинациями линейных преобразований, соответствующих полям из до, и "сдвигов". Размерность группы автоморфизмов кубики варьировалась бы тогда от 2тг + п2 + к +1 (такую размерность дают в совокупности уже упомянутые "сдвиги" И "растяжения") до 2п+3п2+к (такая размерность получается, если линейные автоморфизмы кубики содержат все преобразования z і—» Az с любой А Є GL(n,C)). Несмотря на то, что во всех известных примерах дела обстоят именно так, вопрос о существованиии первой весовой компоненты в алгебре по-прежнему остается открытым. Для моделей степени четыре также были получены оценки на веса полей, составляющих алгебру инфинитезимальных автоморфизмов. Алгебра модели четвертой степени состоит из следующих градуированных компонент:
Можно заметить, что пример модели четвертой степени с ненулевой компонентой веса 1 также неизвестен.
Однако модели степеней три и четыре по-прежнему не исчерпывают всех коразмерностей. На коразмерность снова возникают ограничения, связанные с длиной алгебры Леви-Танаки вполне невырожденного ростка. Кубика является хорошей моделью при п2 К п2 + п2(п + 1). Модель четвертой степени применима при п2 + п2(п + 1) К п2 + п2{п + 1) + п2(п + l)(7n + 11)/12.
