Введение к работе
Актуальность темы. Изучение автоморфизмов и дифференцирований алгебр и колец имеет очень давнюю историю, [2], [3], [9] и др. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр стали систематически изучаться с 90-х годов. Напомним, что локальный автоморфизм алгебры A - это любой ее модульный автоморфизм, действующий на каждый элемент а Є A как некоторый автоморфизм алгебры A, зависящий, вообще говоря, от а.
Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Локальные дифференцирования аналогично обобщают дифференцирования; последние, как известно, образуют кольцо Ли, обозначаемое через Der A Далее, Laut A - совокупность локальных автоморфизмов, a Locder A - совокупность локальных
D, Larson и A, Sourour [12] доказали, что автоморфизмы и антиавтоморфизмы комплексной матричной алгебры M(n, C) исчерпывают ее локальные автоморфизмы, Дифференцирования кольца M(n, K) над коммутативным кольцом K с единицей исчерпывают локальные дифференцирования, [15]. Близки к тривиальным также локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования параболических (в частности, треугольных) подалгебр в M(n,K), [4], [10], [15], Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил R. Crist [5] для подалгебры треугольных матриц в M(3, C) с попарно совпадающими элементами на каждой диагонали.
Проблемы описания локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований исследовались для полупростых Банаховых алгебр, операторных алгебр, супералгебр и др., [6]-[8], [11], [14], [16], [17].
К классическим нильпотентным алгебрам относится алгебра NT(n, K) нижних нильтреугольных n х n матриц над K, то есть матриц с нулями на главной диагонали и над ней; когда K - поле, ее автоморфизмы еще в 1952 году описали R. Dubish и S, Perlis, Пусть K - произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, В 1983 году в [1] описаны автоморфизмы алгебры R = NT(n,K), а также ассоциированной с ней алгебры Ли Л(R); описание Der R и Der Л(К) дано в 2010 году в [13],
Открытыми остаются следующие вопросы.
Проблема (А). Выявить нетривиальные локальные автоморфизмы, алгебр R, Л^) и описать Laut R, Laut Л(R).
Проблема (Б). Выявить нетривиальные локальные дифференцирования алгебр R, Л(К) и описа ть Locder R, Locder Л(R).
Цель диссертации - исследовать проблемы (А) и (Б),
Методы исследования. Наряду с классическими методами общей теории групп, колец и алгебр, используются методы исследования линейных групп и колец, разработанные в красноярской алгебраической школе.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер.
Апробация диссертации. Результаты диссертации апробировались на всероссийском симпозиуме "Абелевы группы" в Бийске (2010), всероссийской конференции "Алгебра, логика и методика обучения математике" в Красноярске (2010), на международных алгебраических конференциях в Киеве (Украина, 2012), Красноярске (2010), Новосибирске (2011, 2012), Екатеринбурге (2012), на VII Всесибирском конгрессе женщин-математиков в Красноярске (2012), на международной молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики" в Екатеринбурге (2012),
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] [29]. Публикации [19] и [20] входят в издания из перечня ВАК,
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 68 страницах, Она состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 40
