Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определения и предварительные результаты
1.1 Алгебра разделенных степеней 11
1.2 Специальные дифференцирования 13
1.3 Дифференциальные формы 14
1.4 Когомологии алгебры Ли 15
1.5 Транзитивные градуированные алгебры Ли 16
1.6 Автоморфизмы градуированных алгебр Ли 17
Глава 2. Исключительные простые алгебры Ли
2.1 Алгебры Меликяна 20
2.2 Алгебры Скрябина Z(m) и Y(m) 22
2.3 Алгебры серии R 24
Глава 3. Геометрические автоморфизмы 26
Глава 4. Усеченные коиндуцированные модули 29
Глава 5. Усеченные коиндуцированные модули и автоморфизмы 39
Глава 6. Дифференцирования исключительных простых алгебр Ли
6.1 Дифференцирования алгебр Меликяна и алгебр Скрябина 52
6.2 Дифференцирования алгебр серии R 56
Глава 7. Инвариантные подалгебры 59
Глава 8. Автоморфизмы алгебр Меликяна g(m) и алгебр Скрябина Y(m) 63
Глава 9. Алгебра Ли группы автоморфизмов алгебр Скрябина Y(m)... 75
Глава 10. Автоморфизмы алгебр серии R 82
Библиография 95
- Специальные дифференцирования
- Когомологии алгебры Ли
- Автоморфизмы градуированных алгебр Ли
- Алгебры Скрябина Z(m) и Y(m)
Введение к работе
Работа относится к актуальному направлению теории алгебр Ли - классификации и исследованию простых алгебр Ли над полями характеристики р > 0. Классификация простых р- алгебр Ли была получена Р. Блоком и Р. Вильсоном [29] в 1984 г. для р > 7. В 1991 г. X. Штраде и Р. Вильсон [44] анонсировали доказательство гипотезы Кострикина-Шафаревича в общем случае также при р > 7. Согласно этой гипотезе простая алгебра Ли либо является классической, либо изоморфна простой алгебре Ли картановского типа. В последние годы появились результаты А. Премета и X. Штраде по классификации простых алгебр Ли при р = 5,7. Классификация простых алгебр Ли для р = 2,3 неизвестна. Здесь существуют отдельные серии простых исключительных алгебр Ли, которые не встречаются в больших характеристиках.
Для классификации простых алгебр Ли особый интерес представляют структурные свойства известных простых алгебр. Основными классами простых алгебр Ли являются классические алгебры Ли и алгебры Ли картановского типа. Автоморфизмы и дифференцирования алгебр Ли картановского типа исследовались М.Ю. Целоусо-вым, В. Кацем, Р. Вильсоном, М.И. Кузнецовым, СМ. Скрябиным ([27], [7], [45], [12], [34], [24], [40], [41]). Автоморфизмы классических алгебр Ли изучались особенно тщательно в связи с классификацией конечных групп (теория групп Шевалле). Однако автоморфизмы классических алгебр в случае малой характеристики основного поля были исследованы сравнительно недавно Д. Фрохардтом и Р.Гриссом
([32]).
В настоящей работе исследуются автоморфизмы и дифференцирования следующих простых алгебр Ли: алгебр Меликяна g(m), алгебр Скрябина Z(m) и ^(т), алгебры серии R. Все эти алгебры градуированные и тесно связаны с алгебрами Ли картановского типа.
Описание автоморфизмов основано на инвариантности некоторых максимальных подалгебр. В работе доказывается, что подалгебра /2(о) = Ro + Ri + ... + Rs алгебры серии R инвариантна относительно автоморфизмов. Аналогичные результаты для алгебр Z(m) и Y(m) получены СМ. Скрябиным в 1992 г. ([23]), для алгебры Франк Fr(m) - О.А.Муляр в 2001 г. ([18]), для алгебры Ме-ликяна - М.И.Кузнецовым в 1991 г. ([34]). В 1990 г. С.А. Кириллов показал, что максимальная подалгебра алгебры Меликяна является нормализатором сэндвичевой подалгебры, откуда также следует ее инвариантность ([6]).
Обозначим через L одну из рассматриваемых алгебр. Инвариантность фильтрации, соответствующей градуировке, позволяет определить фильтрацию в группе автоморфизмов Aut L = Aut^L D Aut(\)L D ... D Aut(j)L D ... следующим образом:
Aut(i)L = {Aut L | cp — 1 : L^ —> L(J+i)}.
Обозначим AutoL группу автоморфизмов, сохраняющих Z-градуи-ровку. Очевидно, Aut L - полупрямое произведение AutoL и Aut^L. Таким образом, проблема описания автоморфизмов разбивается на две задачи: описать группы AutoL и Aut^L.
Рассматриваемые алгебры обладают также Z^-градуировкой
где Lq - алгебра Ли картановского типа, Lj, г ^ 0 — Ьц-модуль тензорных плотностей. В таком случае говорят, что алгебра L имеет геометрическую реализацию. Отметим, что для алгебры Меликяна б(т) q = 3, для алгебры Скрябина 2(т) q = 4, а для алгебр У(т) и R(m) q = 2.
Обозначим Aut^L подгруппу геометрических автоморфизмов (так называются автоморфизмы, сохраняющие Lq). Нетрудно видеть, что AutoL С Aut^L. В работе доказывается следующее
Предложение 1 Пусть res : Aut^L —> Aut W(n : m) - гомоморфизм ограничения (Lq = W(n : m)), цч - групповая схема корней степени q из 1. Тогда следующая последовательность точна:
1 —> uq —> АиЦЪ -^ Aut W(n : m) —у 1.
Затем описывается группа Aut^L. Отметим, что Ф Є Aut(k) L можно записать следующим образом:
Ф = 1 + Фк + Ф&+1 + ... + Ф3 + ...,
где Фj : Ls —> Ls+j, j > к. Нетрудно показать, что Ф& является дифференцированием алгебры L. Очевидно, что Ф& Є Der^ L, где Der^L - соответствующий член градуировки в алгебре дифференцирований Der L. Таким образом, описание Aut^L сводится к следующей задаче: найти все дифференцирования D Є Derk L, такие что D = Ф& для подходящего автоморфизма Ф.
Сначала находим все дифференцирования. Для серий g, Z, Y выделим следующие общие свойства:
L-i = Ьг_г, г = 1,..., q - попарно неизоморфные нетривиальные неприводимые Lo-модули;
для любого 0 т^ х Є Li, і > О, [х, L_i] ф О и [х, L-q] ф 0;
в соответствующей Zg-градуировке
L = Lq + Lj + 1- Ь^ГЇ, Ls = i=s(q)Li,
(a) Lq = W(n : m) = W, где m = (rab ..., ran) , (b) Ls - неприводимый Lq-модуль, s = 1,..., g — 1;
Подалгебра L(o) = i>oLj инвариантна относительно автоморфизмов L;
JJ*(Lo,L-.-) = 0, і -1,...,9, * = 0,1;
6) Lo-модули L_j, г = 1,..., # не являются факторами композиционного ряда первого члена W[t\ стандартной градуировки алгебры W.
Теорема 1 Пусть L - простая алгебра Ли , удовлетворяющая условиям 1)-6).
DerL = Lo+s=i-ks' г^е ^о - р-замыкание Lq в DerL, Lj = Lj, если Lj — cw(Ls-q) и Lj = Bk(Q,) cLjC Zk(Q), если LgФ cw(Ls-q).
Для І Є L{t і = —1,..., —(q — 1) существует V Є Lpi, такое что (ad l)p = ad V.
Из теоремы 1 непосредственно получаем
Следствие 1 (1) Если L = 9(7711,7712) ~ алгебра Меликяна, то
Der L ** ~Ц + LT + Lj.
(2) Если L = У(ті,т2,тз), то
DerL ^ ~Ц + LT.
(3) Если L — Я(гпі, 77i2,тз), то
DerL ^1^+ LT+ L2 + Z2(tt),
где Z2(Q) - пространство замкнутых форм степени 2.
Теперь, зная дифференцирования, мы должны выяснить, продолжается ли D Є Der L до автоморфизма алгебры L, где L - это или алгебра Меликяна g(m) или алгебра Скрябина Y(m). Этот вопрос решается с помощью когомологий, так как препятствие к продолжению является элементом Z2(L, L). Для алгебр $(т), У(т), используя
вложение в W, мы сводим вычисление препятствий к нахождению группы Hl(L, W/L). И вот здесь существенным образом используются коиндуцированные модули.
Теорема 2 Пусть L - простая алгебра Ли, удовлетворяющая условиям 1)-6). Предполоэюим, что q < р и Lj - неисключительный W-модуль для любого s Є Z9.
(1) Если г ф 0(mod q),i > 0, то
Aut(i)L/Aut(i+i)L = Li.
(2) Если D Є Lj, і > 0, і = 0(mod q), mo ad D продолжает
ся до автоморфизма алгебры L тогда и только тогда, когда ad D
продолжается до автоморфизма алгебры Lq = W{n : m).
Алгебра серии R не удовлетворяет этим б свойствам, поэтому для нее приведено отдельное доказательство.
Теорема 3 DerR = Rq + Q2, где Rq — р-замыкание Rq в DerR, Q2 -пространство форм степени 2.
Пусть G = Aut R, Lie G - алгебра Ли G, Lie G = Qq Qj - индуцированная Z2—градуировка.
Теорема 4 Qq = Lie Aut W{2 : m), QT = m(2)ft2, где m - максимальный идеал 0(2 : m).
Опишем структуру диссертации и содержание отдельных глав.
В главе 1 собраны сведения из теории алгебр Ли, которые используются в работе. Приводятся определения алгебры разделенных степеней, общей алгебры Ли картановского типа, дифференциальных форм, когомологий алгебры Ли, транзитивных градуированных
алгебр Ли, а также приведена общая схема исследования автоморфизмов градуированных алгебр Ли.
Во второй главе дано описание исключительных простых алгебр Ли: алгебр Меликяна g(m), алгебр Скрябина Я (т.), ^(т), алгебр серии R.
В третьей главе описаны геометрические автоморфизмы.
В четвертой главе собраны основные определения и теоремы из теории усеченных коиндуцированных модулей ([12]). Приведена теорема о минимальном вложении, формула для вычисления когомоло-гий транзитивной алгебры Ли с коэффициентами в усеченном коин-дуцированном модуле.
В главе 5 доказаны три теоремы об абелевых подалгебрах в\(п : т), У(т) и Л(т), которые существенно используются для нахождения алгебры Ли группы автоморфизмов алгебр ^(т) и алгебр серии R.
В шестой главе описаны дифференцирования исключительных простых алгебр Ли. Отдельно рассмотрены алгебры, удовлетворяющие условиям 1)-6) (алгебры Скрябина Z(m), У (т.), алгебры Меликяна g(m)), и алгебры серии R.
В седьмой главе приведено доказательство инвариантности стандартной максимальной подалгебры алгебры серии R.
В главе 8 исследована продолжаемость дифференцирования до автоморфизмов алгебры Меликяна g(mi, тг) характеристики 5 и алгебры Скрябина У(ті,т2,іпз) характеристики 3.
В девятой главе найдена алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры Скрябина У(т) = У. Для однородного дифференцирования D Є DeriY, і > О, продолжающегося до автоморфизма, строится однопараметрическое семейство {ips, s Є К} С Aut У, такое что ір3\у_2 = exp s ad D. Очевидно, что -^f-|s=o|y_2 = ad D |у_2. В работе доказывается, что дифференцирование D Є DeriY, і > 0 одно-
-10-значно определяется своим действием на Y-2- Отсюда получаем, что ^|s=0 = adDe Lie Aut Y.
В главе 10 получено описание автоморфизмов алгебр серии R, найдена алгебра Ли группы автоморфизмов.
Результаты диссертации докладывались на XI Международной школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики, Казань, 1999; IV нижегородской сессии молодых ученых, Н. Новгород, 2000; XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2000; IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, 2000; международном семинаре по теории групп, посвященном семидесятилетию А.И. Старостина и восьмидесятилетию Н.Ф. Сесекина, Екатеринбург, 2001; международной алгебраической конференции, посвященная памяти З.И. Боревича, С.-Петербург, 2002; V международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", Тула, 2003; на алгебраическом семинаре МГУ (Москва) и опубликованы в работах [13] - [16], [18] - [21], [36], [37].
Специальные дифференцирования
Рассмотрим дифференцирования D алгебры О(Е), обладающие свойством: для всех х Є Е. Такие дифференцирования называются специальными. Нетрудно проверить, что специальные дифференцирования образуют подалгебру Ли и 0(Е)-модуль в алгебре всех дифференцирований алгебры О(Е). Алгебру специальных дифференцирований обозначим W(E). Теорема 5 Алгебра W(E) является свободным 0(Е)-модулем ранга Рассмотрим специальные дифференцирования, сохраняющие алгебру 0(Т). Они образуют подалгебру Ли, которая является свободным О ( -модулем ранга п = оІіткЕ. Эта алгебра называется общей алгеброй Ли картановского типа, соответствующей флагу Т, и обозначается через W(T). Как свободный 0(Т)(— 0(п : т))-модуль п где ді = д/дхі. Итак, общая алгебра Ли W(n : m) состоит из всех дифференцирований алгебры 0(п : т) вида D = fidi, где /- Є 0(п : т), с обычной операцией коммутирования операторов. Нетрудно видеть, что diniKW(n : m) = прт, где т = т\ + ... + тп. Пространства W(n : т)да = YH=\ ( алгебре W{n : m) стандартную градуировку. Автоморфизм ер Є Aut 0(п : m) называется допустимым, если (р\Уср г — W, где W = W(n : m). Автоморфизмы общей алгебры Ли картановского типа индуцированы допустимыми автоморфизмами алгебры 0(п : т). Теорема 6 {[45]) Автоморфизм ф алгебры W(n : т\, т і, .., тп) где (р Є Aut О (п: mi, rri2, ..., га„), ip = 1 + D + ..., D Є W[k\, к 0 существует тогда и только тогда, когда в разлосисении по базису x dj D не содержит слагаемых вида xf ді, s rrij — тг-. Пусть П(Г) = 0{Т), Sll(T) = Hom0(j:)(W{F), 0(F)) и П3(Т) = Л3П1( 7) — 5-я внешняя степень 0( )-модуля Q}(T). Для / Є 0{Т) элемент df Є Q1 ) определяется равенством: Очевидно, что элементы dxix Л dxi2 Л ... Л dxis, 1 г і г г ... is п составляют свободный базис 0,3(Т) над 0(Т). Кольцо -15 является градуированной алгеброй над 0(Т), в которой определен дифференциал d: 0,(Т) — Sl{F), продолжающий дифференциал d с 0(Т). Любое дифференцирование D Є W(F) может единственным образом продолжено на 0,(Т) как дифференцирование этой алгебры, перестановочное с дифференциалом d. Таким образом, для любой дифференциальной формы со Є Sls(T) определена форма D си Є QS(JF), причем Если теперь коэффициенты дифференциальных форм рассматривать из О(Е), то получим градуированную алгебру Дифференциальную формул Є Q(E) называют формой объема, если Комплексом (K ,d) = {К0 — К1 - К2 — ...} называется последовательность абелевых групп и дифференциалов d : Кр — Кр+1, удовлетворяющих условию d о d = 0. Когомологиями комплекса называется градуированная группа где Н (К ) = ZP/dKP-\ ZP = ker{d : К? -Л К 1} - группа коциклов, a dKp l = Вр с Zp - подгруппа кограниц. Пусть L - алгебра Ли и А - модуль над L. Пространством к -мерных коцепей алгебры L с коэффициентами в А называется пространство Нот(/\ L,A) и обозначается через Ck(L, А). Дифференциал d — dk : Ck(L, А) — Ck+1(L, А) определяется формулой где с Є Ck(L, А), еі,..., ек+і Є L, к = 0,1, — Положим C(L, A) = А. Множество {Ck(L,A),dk} = C\L,A) является комплексом. Соответствующие когомологии называются когомологиями алгебры L с коэффициентами в А и обозначаются Hk(L,A). Справедлива следующая Лемма 1 ( [25]). L действует тривиально па Hk(L,A). называется транзитивной, если алгебра Ли и (ad /S)PL_I = О, где ls Є Ls, s О. Тогда (ad ls)p = О. Доказательство. Пусть (ad IS)P\L-I = 0. Предположим, (ad ls)p(Li) = 0. Докажем (ad ls)p(Li+i) = 0. Заметим, что L{ С Hom(R-i,Li-i). Если Z; Є Li, то /г(/_і) = [ІІ, 1-і] Є Li-i. (Так как L транзитивна, то если /г(/_і) = 0 для любого 1-і Є L_i, то ІІ = 0.) [(ad ls)p(li+1),l-i] = (ad l,y([li+1,U]) - [li+1, (ad /s)p(/_i)].
Первое слагаемое равно нулю по предположению, а второе - по условию. Итак, (ad ls)p(Li+i) = 0, то есть (ad ls)p = 0. В данном разделе под L понимаем Z-градуированную алгебру Ли такую, что подалгебра L(o) = Фг о і инвариантна относительно автоморфизмов алгебры L и соответствующая фильтрация Т : L = 0i jLt- также инвариантна относительно автоморфизмов. Автоморфизм называется однородным (линейным), если он сохраняет Z-градуировку. Подгруппу однородных автоморфизмов обозначим через Auto L. Определим фильтрацию в Aut L = Aut L D Aut L D ... D Aut(i)L D ... следующим образом: Пусть Т = J Tk - Z-градуированная алгебра Ли и ф Hom(T, Т). Тогда существует единственное разложение ф = Yljez ji такое что ф$ Є Hom(T, Т), j Є Z и Фз{Тк) С Tk+j для всех j и к. В частности, автоморфизм Ф Є Aut L единственным образом раскладывается Ф = Sjez i Если Ф Є Aut(i) L, г О, то нетрудно проверить, что Ф - = 0, для j О, Ф0 = 1. Таким образом, автоморфизм Ф Є Aut(k) L, к 0, можно записать следующим образом: где Фу : Ls - Ls+j, j к. Покажем, что Ф Є Der L. В самом деле, рассмотрим автомор физм Ф = 1 + Фк + Тогда для а Є Li, b Є Lj выполняется: Имеем Ф([а, Ь]) = (1+Ф +...)([а, Ч) = [«, Ч+Ф ([а, 6])+.... С другой стороны, Ф([а, 6]) = [Ф(а), Ф(Ь)] - [(1+Ф +...)(«), (1+Ф + .. .)№)] = [а + Ф (а) + ..., 6 + Ф (6) + ...] = [а, Ь] + [о, Ф (Ь)] + [Ф (а), 6] + [Ф (а), Ф (Ь)] + .... Учитывая, что [Ф (а), Ф (Ь)] + ... Є L{i+j+2k), получаем, что Фк Є Der L. Теперь (Ф — 1) индуцирует отображение L — L, которое в действительности является дифференцированием L. Имеем гомоморфизм групп: с ядром Кег i/ = Aut(k+i)L. Действительно, пусть в Є Aut L, Є Att(e)L, j, к 0, тогда Следовательно, 00-1-1 Aut(j+S)L и Таким образом, автоморфизм ір Є Aut(k)L\Aut(k+i)L можно записать следующим образом:
Когомологии алгебры Ли
Над полями положительной характеристики р 1 существуют серии простых алгебр Ли, которые не являются ни классическими алгебрами Ли, ни алгебрами Ли картановского типа ([5], [8], [11], [23], [34]). При р = 5 единственной такой серией является серия алгебр Меликяна 0(mi, шг) ([17], [34]). При р = 3 примерами являются серии алгебр Скрябина (ті,гп2,тз), У(ті,т2,тз) и серия R, состоящая из алгебр R(mi,m2) ( [5], [11], [23], [31]). Алгебра Q — j(m) (m = (mi,777,2)) имеет градуировку по mod 3, д = д 0 QJ ф 02, где 0Y = (9(2 : m) - алгебра разделенных степеней от двух переменных, 0Q = W(2 : m) - алгебра Ли специальных дифференцирований алгебры (9(2 : т), векторное пространство 02 также отождествляется с пространством алгебры W(2 : m). Алгебра 0 имеет градуировку с коэффициентами в Z, где 5 = 0,1,2. Определим фильтрацию, индуцированную градуировкой: 0 = 0(_з) Э 0(_2) Э 0(-i) D ..., где 0(г) = 00 -. Умножение в алгебре Меликяна задается следующим образом: 1. 0о х 0о - 0о - обычное умножение в W: для Di = f\d\ + /2. А = дід\+д2д2 где /іг- = fidi(gi) - giditfi) + }2д2{ді) - 02 МЛ) 2. Умножение 0o x 0Ї — 0Y задается так: где D Є 0o, / Є 0Т. 3. 0о X 02 — 02 определяется по правилу: ДЛЯ D\ Є 0Q, 2 Є 02 4. 0т х 0Y — 0х задается следующим образом: для /, # Є 0т [/, 0] = 2(/т55 - # /), где Dg = - + di#d2, то есть 5. Умножение 0т х 02 — 0о осуществляется по правилу: для / Є 0т, D Є 02 6. Наконец, 02 х 02 - 0т задается так: для D\ = f\d\ -f /2, D2 = g2d\ + g2d2 Нетрудно видеть, что размерность алгебры Меликяна 0(т) равна 5т+1, где т = гп\ + Ш2 Пусть О = 0(3 : т) - алгебра разделенных степеней от трех переменных, И7 VK(3 : m) - общая алгебра Ли картановского типа, где m = (ші,Ш2,Шз). По определению Z(m) - Ж градуированная алгебра Z = ZQ ZT 2 Ф %, где Z$ = W, ZT = f\30 W, Z = ft3 o 1 — Homo(W, Г23), Z% = Z2(Q) -модуль замкнутых форм степени 2. Умножение ZQ х Z-{ — Zi задается структурой ІУ-модуля на Zj, і Є Ъ\. Пусть ді, 02, дз - базис W, LJ = dxiAdx2Adx3, t = д\/\&2/\дз - образующие О-модулей О? и f\0 W соответственно. Тогда элементы из Zj представляются в виде ft, где / Є О, элементы из Z — в виде ш 0ір, где ер Є Q . Пусть D = Х)»=1 fi&i И7, тогда по определению Отображение %ш : W — ft2, которое переводит D Є W в D\UJ, является изоморфизмом (9-модулей, при этом подпространству Z (= Z2{Q)) соответствует подалгебра S(UJ) С W, состоящая из дифференцирований, аннулирующих форму объема UJ. Таким образом, элементы из Sg можно записать в виде D\u, где D Є S(UJ). Пусть /,/ Є б , D Є S(u), ср,(р Є ft1, a 0 Є %.
В следующей таблице записаны W-инвариантные умножения Zj х Zj -ї ZJ+J, гдеНевыписанные умножения определяются по кососимметричности. Размерность алгебры Z(m\, гп2, тз) равна Зт+2 — 2, где га = т\ + ГП2 + Шз (m) (m = (гаі,т2,тз)) реализуется как подалгебра алгебры Z(m) и имеет Z2-rpanyHpoBKy Y = YQ 0 Yj, где YQ = ZQ = W, YT=Z = nz0 = Homo{W, ft3). Размерность алгебры Y равна 2 3m+1, где m = гп\-\- m + тпг. Далее, пусть L - простая Z-градуированная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем полем К характеристики р О, удовлетворяющая следующим условиям: 1) L-І = L!_l7 і = 1,..., q - попарно неизоморфные нетривиальные неприводимые Lo-модули; 2) для любого О ф х Є І/г-, і О, [ж, L_i] 0 и [яг, L_J 0; 3) в соответствующей Zg-градуировке (a) LQ = W(n : m) = W, где m = (mi,..., ra„) , (b) Lj - неприводимый LQ-МОДУЛЬ, s = 1,..., g — 1; 4) Подалгебра L(o) = 0» о,- инвариантна относительно автоморфизмов L\ 5) Я«(Ьо, ) = 0, » = l,...,g, = 0,1; 6) Lo-модули L_i, г = 1,..., q не являются факторами композиционного ряда первого члена W[\\ стандартной градуировки алгебры W. Алгебра Меликяна g(m),m = (ші,Ш2),(р = 5, [34]) и алгебры Скрябина Z(m),Y(m), m = (тщ, тг, шз), (р = 3, [23]) удовлетворяют этим свойствам. Далее под L будем понимать одну из этих алгебр. Алгебры Ли серии R были построены Ю.Б.Ермолаевым с помощью структурных констант ([5]). Также алгебры Ли серии R появились в работе Кузнецова [11] при классификации градуированных алгебр Ли с неполупростой компонентой LQ. Дляр 2 это единственные простые 1-градуированные алгебры Ли с неразрешимой подалгеброй Lo, содержащей неабелев радикал. Геометрическая реализация алгебр серии R была получена Брауном ([31]) и Скрябиным ([23]). Алгебра R = R(m) имеет Z2-rpa,zryHpoBKy:
Автоморфизмы градуированных алгебр Ли
Назовем автоморфизм (р алгебры R = Я(т) геометрическим, если cp(Ro) = RQ. Геометрические автоморфизмы образуют подгруппу, которую обозначим через Aut R. Предложение 2 Пусть res : Aut R — Aut W(2 : m) - гомоморфизм ограничения (RQ = W(2 : m)), /X2 групповая схема квадратных корней из 1. Тогда следующая последовательность точна: Доказательство. Пусть (р Є Aut R. Покажем, что ip(Rj) — Rj. Действительно, так как /?(-%) = о т0 У( т) неприводимый Яд-модуль. Так как R(m) единственным образом раскладывается в прямую сумму неизоморфных неприводимых Яд-подмодулей, R = RQ Ят, то (p(Rj) = Rj. Найдем ядро ограничения res. Пусть (р Є Aut R такой, что P\R- = id. Тогда P\RT - автоморфизм Яд-модуля Яу. Из леммы Шура следу ет, что P\RT = a-id, а Є К . Так как [Яу, Rj] = i?o, то a2 = 1 и а Є /42-Покажем, что res сюръективно. Как известно ([45]), автоморфизмы алгебры W(2 : m) индуцированы автоморфизмами алгебры разделенных степеней (9(2 : т), то есть заменами переменных. Пусть (р Є Aut (9(2 : m), J — якобиан (р. Для D Є W{2 : m), ip(D) = (pD(p l. Автоморфизм cp естественно действует на Q2 и В2, то есть на Rj. Однако, это действие не является автоморфизмом алгебры R. Для того, чтобы tp продолжалось до автоморфизма алгебры R, надо рассматривать Rj как подмодуль И -модуля объемных плотностей Заметим, что при р = 3 Ж-модули fi ,2 и П2 изоморфны. Действие (р на fiij/2 можно определить двумя способами: Непосредственная проверка показывает, что при таком продолжении (р на Яу мы получаем автоморфизм Ф алгебры R. Нетрудно видеть, что Фя_ = ср. Аналогичные рассуждения можно провести и для алгебры L. Автоморфизм р алгебры L назовем геометрическим, если р сохраняет градуировку по модулю q. Через Aut L обозначим подгруппу геометрических автоморфизмов. Геометрические автоморфизмы алгебры Меликяна g(m) описаны М.И.Кузнецовым в [34]. Для описания геометрических автоморфизмов алгебры Скрябина У(т) нужно рассматривать Yj как ТУ-модуль тензорных плотностей Пусть ер Є Aut (9(3 : m), J — якобиан ip. Для D Є W{3 : m), ip(D) = tpDip 1. Действие ер на Yj = І1/2 S o 1 можно определить двумя способами: где г = 1,2,3. При таком продолжении у? на Yj получается автоморфизм Ф алгебры Y.
Отметим, что Фу_ = (р. Теперь сформулируем предложение, аналогичное предложению 2. Предложение 3 Пусть res : Aut L — Aut W(n : m) - гомоморфизм ограничения (LQ = W{n : m)), uq - групповая схема корней степени q из 1. Тогда следующая последовательность точна: Заметим, что группа геометрических автоморфизмов Aut L является -листным накрытием Aut W(n : m). Замечание. Описанные автоморфизмы называются геометрическими, потому что они индуцированы автоморфизмами алгебры разделенных степеней 0(п : т), точнее, допустимыми автоморфизмами, то есть такими ер Є Aut 0(п : m), что ipW(p l = W, где W = W(n : m). Алгебра Ли С с отмеченной подалгеброй Со, ТО есть пара (С, Со), называется транзитивной алгеброй Ли, если 1) Со не содержит нетривиальных идеалов алгебры С, 2) NC(CQ) = Со, где Nc(Co) - нормализатор Со в С. Заметим, что условие 2) выполнено, например, для максимальной подалгебры Со. Пусть (С, CQ) - транзитивная алгебра Ли, С! - подалгебра в С с отмеченной подалгеброй С 0. Пара (С, С 0) называется транзитивной подалгеброй в (С, Со), если С + Со = С, П Со = С 0. Гомоморфизм (р : (С, Со) — (Л/ , Л/"о) транзитивных алгебр Ли будем называть транзитивным, если пара ( /?(), (р(Со)) является транзитивной подалгеброй в (Л/", Л/о). Пусть U = U(C) - универсальная обертывающая алгебра, С$ -универсальная р-оболочка алгебры С, -ЗОЛІ" = Nct(Co) - нормализатор Со в С), В - подалгебра сів U(C), порожденная множеством М. Определим функцию высоты h на С: для / Є С h(l) равно минимальному к, такому что Из свойств р-степеней в ассоциативной алгебре следует, что Следовательно, множества неубывающую подпоследовательность пространств в Пусть {li,...,IR} - базис С, согласованный с последовательностью (4.1), {Іп+і,.. ,1д} - базис Со, h(li) = h 1, 1 і п. Так как Мр С М, то следующая лемма является частным случаем леммы Цассенхауза ([47], лемма 4). Лемма 3 1) Существуют /,- Є + ... + Ср 1 , 1 і п, такие, что п 2) Пусть un+i = /п+ъ ..., мл = /д. Элементы щ , 1 г Л, j
О, образуют базис М над К. 3) Элементы и 1,..., ЇІДЯ, Q; 0, образуют базис В. 4) U - свободный правый (левый) В-модуль с базисом I"1,..., Z"n, О аг- pfci. П Из (4.2) следует, что функция h индуцирует функцию на С/Со, которую также будем обозначать через h. В пространстве Е = (С/Со) возникает обобщенный флаг Т(С, Со) = {1%}І (Ь двойственный к последовательности (4.1): то есть Е{ — Ann С /Со Следующая лемма доказана в [12]. Лемма 4 В обозначениях леммы 3 пусть Со = щ,.. .,иц , тогда Пусть теперь V - В-модуль. Назовем 2 -модуль cc(V) = coind V = Нотвірі, V) усеченным коиндуцированным модулем над транзитивной алгеброй Ли (С, Со). Структура усеченного коиндуцированного модуля на coind V задается следующим образом: где / Є coind V, a,b Є Ы. Рассмотрим В-морфизм х coind V — V, x(f) — /(І)- Морфизм X является универсальным: для любого /-модуля U и Б-морфизма ф : U — V существует единственный ZY-морфизм о : U — coind V такой, что ф = х о: Очевидно, о(и)(а) = ф{аи), а ЄІА, и Є U.
Алгебры Скрябина Z(m) и Y(m)
Покажем, что [Ау, Ау] С AQ. Действительно, [Ау, Ау] = [ й) +АТ)(0), й +АТ)(0)] с [ й , АТ) (0)] + [АТ) (0), Ау, (0)] С [ ш +Що), xiuj, х2ш +Щі)] + Я(о) С ді, д2 +Що) = а + Що). Так как [Ау, Ау] — «-инвариантно, [Ау, Ау] С AQ. Обозначим А = AQ / AQ-ГІЩО), Ay = Ау / АуП Щ0у Тогда А = а, Ау = и , ш = Lj(mod Що)) и R/Що) = AQ 0 Ау, поэтому из (5.1) получаем: R = AQ 0 Ау. Заметим, что AQ, Ау имеют стандартную фильтрацию коиндуци-рованного модуля, AQ = тті(г+і)а, где m - максимальный идеал алгебры О. Аналогично, Ay = m(i+i)o), где [а, и] = 0. Так как Щ$ = {І Є R(i-i) \ [а, I] С #(І-І)}, І 0, то Ащ{) = ЩІ) П AQ И AJ = Л(І) П Aj. Следовательно, алгебра AQ - фильтрованная алгебра Ли и Aj - фильтрованный -Ад-модуль. Кроме того, [ 1,(0 AT,(j)] С І4ОІ(І+І). Действие а на коиндуцированных модулях AQ, AJ совпадает с умножением в R, поэтому [/,-, fl] = k(f) І для / Є О, І І Є а и [/І, /cD] = k(f)u). В частности, (Лд, - 0,(0)) _ транзитивная алгебра Ли и вложение является минимальным вложением AQ В W(2 : m) (теорема 7). Из равенства размерностей получаем, что AQ = W(2 : m). Согласно теореме 9 изоморфизм можно выбрать так, чтобы Здесь и в дальнейшем через у обозначается базис О — Hom(U(a), К), дуальный базису V = Ц1 2, 0 7» Pmi-Теперь, [ysk,w] Є Aj. Имеем [к, Ші,й]] = [[h,yslt],u] + [yak, [/»,#]] = k(ya)[h,u] + Ы«,0] = 0. Следовательно, [у3кій] = acD, а Є К. С другой стороны, yslt = xsdt(mod R(i)), ш = uj(mod Що)). Поэтому ай = [узк,й\ = k{ys)u. Отсюда т4о}(о)-мДУль о,(о) — W(2 : m)(0) и AJ/AJ изоморфен W(2 : т)(о)-модулю 22/т72. (Здесь W(2 : т)(о) - стандартная максимальная подалгебра в W(2 : m).) Следовательно, Aj = fl2 как W(2 : ш)-модуль. Так как из = АППАТ&, OJ = АппП2ір(а), где UJ = dx\ A dx2, то изоморфизм ip : Q2 —У Aj выберем так, чтобы (р(х ш) = у СЬ. Найдем произведение [yiu,uj]. Так как где r0,r0,r0 Є Д(о), гі Є Д(і). Значит, [?/іо), й] = 12. Аналогичные аргументы, использующие фильтрацию в Aj, показывают, что [2/io), у2ш] = yih + 2/2/2 Теперь индукцией по г + j можно показать, что для fu Є Aj { = гПг+іо) и дои Є Ajj = пг/+іо) выполняется: Таким образом имеем то есть отображение p : R — R, (р(х ді) = y h, (p(x u) = y w является автоморфизмом алгебры R. П Аналогичная теорема справедлива для алгебры Скрябина У(т). Теорема 11 Пусть а - абелева подалгебра в Y, такая что Тогда существует автоморфизм ір Є Агг У, такой что 4 (di) = h, () = Ь, (3з) = /з
Доказательство. Заметим, что У(о) не содержит ненулевых а-инва-риантных подпространств. Действительно, если Н С У(о) - ненулевое а-инвариантное подпространство, то дгН С У(о)— подпространство, инвариантное относительно di, 82, $з Однако, У(о) не содержит ненулевых подпространств, инвариантных относительно д\, #2 &з Значит, дгН = 0 и Я = 0. Пусть U - универсальная обертывающая алгебра а. Рассмотрим алгебру Хопфа il= U/ J, где J - идеал, порожденный Щ , г = 1,2,3. Существует гомоморфизм j(r)(b) = b - г, где г Є У, Ь Є it. Очевидно, j - гомоморфизм it-модулей. Так как Kerj - it-инвариантное подпространство и Kerj С У(о), то j - инъективный гомоморфизм. Сравнивая размерности, получаем, что j - изоморфизм. Пусть Vo, V\ такие, что Обозначим V- = j l(HorriK{&, К/У(о)))5 і = 0, 1. Нетрудно видеть, что V- где т = mi + Ш2 + Шз- Из равенства размерностей F и VJ Ф V/ получаем разложение Обозначим через AQ, Af - наибольшие а-инвариантные подпространства в а + У(о)? (-1) соответственно. Тогда из (5.2) получаем, что dim AQ = dim АТ = 3m+1. Покажем, что [AQ, AQ] С AQ. Действительно, [AQ, AQ] С [a, AQ] + [У(о), AQ] С AQ+ У(О) С a + У(о). Так как [AQ, AQ] — a-инвариантное подпространство, то оно содержится в AQ. Аналогично, [AQ, AJ] С [а, Ат] + [У(0), У(_і)] С Ат + У(_і) С У(_і). Поскольку [AQ, AJ] — a-инвариантное подпространство, то оно содержится в Aj. Обозначим Aftt (0) = У(о)ПАо, А (0) = Y DAj. Нетрудно показать, что І4Т(0) С У(і). Пусть А = AQ I AQJ M = АТ/ Аиоу Тогда AQ- а, а А w g dxk,k = 1,2,3 , a/ efafc = a; dxf (mod У(о)) Заметим, что У/У(о) = AQ0 Af, поэтому из (5.3) получаем разложение У = AQ 0 ЛГ. Нетрудно видеть, что AQ, Г имеют стандартную фильтрацию ко-индуцированного модуля, 6,(0 = m([i]+i)Q; гДе ш _ максимальный идеал алгебры О. Аналогично, Aj = Шпц+1\Р, где /3 = UJ g dxk, fc = l,2,3 , [a, /?] = 0. Так как У(і) = {/ Є У(г_2) [а, І] С Y 2)}, г 0, то AQ{1) = У(і) П AQ и Aj = Y{j) П Aj. Следовательно, алгебра AQ - фильтрованная алгебра Ли и Aj - фильтрованный Ад-модуль. Действие а на коиндуцированных модулях AQ, AJ совпадает с умножением в У, поэтому [li, fl] = li(f) - І для / Є О, U Є а. В частности, (AQ, 0,(0)) транзитивная алгебра Ли и вложение является минимальным вложением Л о в W(S : т) (теорема 7). Сравнивая размерности, получаем, что AQ = W(3 : m).
