Содержание к диссертации
Введение
1. Свойство малого индекса для алгебр . 11
1.1. Предварительные сведения, определения и обозначения 11
1.2. Предварительные результаты 13
1.3. Основные результаты 19
2. Системы примитивных элементов и автоморфизмы свободных метабелевых алгебр Л и. 23
2.1. Свободные метабелевы алгебры Ли 23
2.2. Главные идеалы конечно порожденных свободных метабелевых алгебр Ли, содержащие примитивные элементы 26
2.3. Проблема сопряженности 30
2.4. Г-сводимость 32
2.5. Определяемость эндоморфизмов свободной мета-белевой алгебры Ли своим действием на конечных множествах элементов 33
2.6. Алгебраические эндоморфизмы 41
2.6.1. Свободные коммутативные р—алгебры Ли. 41
2.6.2. Свободные метабелевы алгебры Ли 44
3. Определяющие соотношения в группах автоморфизмов свободных алгебр . 48
3.1. Определения и обозначения 48
3.2. Определяющие соотношения группы Г 51
Заключение
Выводы
- Предварительные сведения, определения и обозначения
- Главные идеалы конечно порожденных свободных метабелевых алгебр Ли, содержащие примитивные элементы
- Определяемость эндоморфизмов свободной мета-белевой алгебры Ли своим действием на конечных множествах элементов
- Определяющие соотношения группы Г
Предварительные сведения, определения и обозначения
Вторая глава посвящена изучению автоморфизмов, эндоморфизмов и примитивных элементов свободных метабелевых алгебр Ли. Все результаты этой главы получены совместно с М.А. Шевелиным.
В теории групп давно известна и имеет многочисленные приложения конструкция, называемая "вложение Магнуса" [16]. Она зачастую применяется вместе с критерием Ремесленникова-Со-колова [24]. Вложение Магнуса дает представление конечно порожденной свободной группы многообразия Л4А, где М. — многообразие, а Л — многообразие абелевых групп, треугольными 2 х 2-матрицами с коэффициентами в групповом кольце свободной группы многообразия Л4, а критерий Ремесленикова-Соколова есть простой способ определить, какие матрицы попадают в образ вложения Магнуса.
Аналогичную роль в наших исследованиях свободных метабелевых алгебр Ли играет конструкция В.А. Артамонова [1], позволяющая вкладывать свободную метабелеву алгебру Ли в свободный модуль над кольцом многочленов от нескольких переменных, в котором подходящим образом введено умножение. Эта конструкция излагается в первом параграфе второй главы.
Во втором параграфе изучаются главные идеалы свободных метабелевых алгебр Ли, содержащие примитивные элементы. В работе [8] Мартином Эвансом доказана Теорема. Пусть q — примитивный элемент свободной мета-белевой группы Мп с п свободными порождающими и предположим, что q содержится в нормальном замыкании в Мп некоторого элемента у Є Мп. Тогда q сопряжен с у или с у"1. Другое доказательство этой теоремы можно найти в докторской диссертации Е.И. Тимошенко [27]. Как оказалось, в случае свободных метабелевых алгебр Ли ситуация полностью аналогична. Мы используем понятие внутреннего автоморфизма для свободных метабелевых алгебр Ли. Основным результатом этого параграфа является Теорема 8. Пусть z — примитивный элемент свободной ме-табелевой алгебры Ain ранга п, у Є ЛЛп. Если z принадлежит идеалу, порожденному элементом у, то элементы z и у сопряжены при помощи внутреннего автоморфизма алгебры А4п. В следующем параграфе решается проблема сопряженности элементов свободной метабелевой алгебры Ли при помощи внутреннего автоморфизма. Как доказал В.А. Романьков в работе [25], проблема эндо-морфной сводимости неразрешима для свободных метабелевых алгебр Ли, но если ограничиться эндоморфизмами, тождественными по модулю коммутанта {IE—эндоморфизмы), то проблема IE- сводимости разрешима. Доказательство этого факта приведено в четвертом параграфе второй главы. Отвечая на вопрос В.Э. Шпильрайна [22], Е.И. Тимошенко [26], [27] нашел необходимые и достаточные условия на элементы свободной конечно порожденной метабелевой группы G ранга п, при выполнении которых каждый эндоморфизм группы G однозначно определяется своим действием на эти элементы. В пятом параграфе получены такие же результаты для свободных конечно порожденных метабелевых алгебр Ли. Методы доказательств аналогичны использованным в работе [26]. Основными результатами пятого параграфа являются Теорема 9. Пусть Л4п — свободная п-порожденная метабе-лева алгебра Ли над полем К, тогда никакие т п элементов этой алгебры не определяют однозначно ее эндоморфизмы, действующие тождественно по модулю коммутанта. Пусть т п. Элементы gi,..-,gm Є Мп однозначно определяют эндоморфизмы свободной п-порожденной метабелевой алгебры Ли М.п тогда и только тогда, когда подалгебра, порожденная этими элементами, содержит подалгебру, изоморфную М.п. В шестом параграфе второй главы доказывается, что алгебраический эндоморфизм свободной конечно порожденной коммутативной р—алгебры Ли обладает примитивным собственным элементом, и строится алгебраический автоморфизм свободной конечно порожденной метабелевой алгебры Ли над произвольным полем, не обладающий примитивным собственным элементом. В третьей главе вычисляются определяющие соотношения в группе ручных автоморфизмов свободной конечно порожденной алгебры многообразия Л4, где Л4 — одно из следующих многообразий: все алгебры, (анти)коммутативные алгебры, алгебры Ли, ассоциативные алгебры, ассоциативно-коммутативные алгебры.
В 1924 году Нильсеном [17] получено конечное представление группы автоморфизмов свободной конечно порожденной группы в терминах порождающих и определяющих соотношений. Это же представление было получено в статье 1974 года Маккулом [15], в которой использовались более современные методы. Группа автоморфизмов свободной группы конечного ранга порождается множеством Нильсеновых автоморфизмов. В алгебрах аналогом Нильсенова автоморфизма является понятие элементарного автоморфизма. Автоморфизмы подгруппы, порожденной всеми элементарными автоморфизмами, называются ручными. В работах [5], [23] доказана
Главные идеалы конечно порожденных свободных метабелевых алгебр Ли, содержащие примитивные элементы
В этом параграфе доказывается аналогичная теорема для свободных метабелевых алгебр Ли. Пусть К — произвольное поле, Л4п — свободная метабелева алгебра Ли над полем К с множеством свободных порождающих {уі,..., уп}. Пусть U = U(M.n) обозначает универсальную обертывающую для Мп, а є : U — К — гомоморфизм ассоциативных алгебр, определенный правилом: уіЄ = 0 (1 і п). Введем обозначения: : Мп -» Mn/Mn — естественный гомоморфизм, ХІ = уї, і — 1,... ,п. Напомним, что алгебра и{М.п/М п) изоморфна кольцу многочленов Рп = K[xi,...,xn]. Гомоморфизм продолжается до гомоморфизма ассоциативных алгебр : U — Р„. Свободный правый модуль ранга п над Рп с базисом ei,..., е„ будем обозначать VFn. Мы обозначаем буквой # вложение Л4п в Wn, при котором уїв — е . Идеал, порожденный в М.п множеством X, будем обозначать (X).
Как известно, элемент алгебры Л4п называется примитивным, если его можно включить в некоторую систему свободных порождающих. Пространство М п наделяется естественной структурой Рп-модуля (действие обозначаем нижней точкой), согласно которой с.Хі = с.(уі + М п) = [С,ХІ] для с є М п, УІ + М П Є Мп/М п. Кроме этого, правое регулярное действие Мп на себе продолжается, согласно универсальному свойству С/, до действия U на М.п: Так как Рп-модуль М!п является подмодулем свободного модуля Wn, то М!п — модуль без кручения, а действие Рп на Wn продолжает естественное действие Рп на Л4 п. Определение 4. Автоморфизм X алгебры Л4п будем называть внутренним, если действие X на порождающие выглядит следующим образом: Упомянутое в определении отображение на самом деле является автоморфизмом. Действительно, Л4п о с2 = 0 влечет для і = 1,...,п равенства у{ о ( + с)(-1 — 2с) = т/г-. Это доказывает инъективость. Чтобы Проверить СЮръеКТИВНОСТЬ, ОбОЗНаЧИМ Zi = УіХ, і = п. Нужно убедиться, что подалгебра, порожденная z\,..., zn, содержит у і (і = 1,..., п). Так как и с Є Л4 п, то нам достаточно установить, что М!п содержится в подалгебре, порожденной zi,...,zn. Но это действительно так, ибо Отметим также, хотя это нам и не понадобится, что внутренние автоморфизмы образуют абелеву нормальную подгруппу в группе автоморфизмов алгебры Л4п. Теперь можно сформулировать основной результат. Теорема 8. Пусть z — примитивный элемент алгебры М.п, у Є М.п. Если z Є (у), то элементы z и у сопряжены при помощи внутреннего автоморфизма алгебры Л4п. Доказательство. Пусть у Є Мп, z — примитивный элемент Л4п, z принадлежит идеалу (у), порожденному в Мп элементом у. Можно считать, что z — у\. Факторизуя по коммутанту и заменяя, если необходимо, у на пропорциональный элемент, получаем у — у\ + с (с Є М. п). Если с = 0, то доказывать нечего, поэтому далее считаем, что с ф 0. Так как т/і Є (у), то для некоторого f Є U такого, что fe = 0 будет у і = /i+c+(?/i + c)o/; следовательно, ( + с) о / = уг о сг + ш о / + с о / , где С! Є А , / — линейная комбинация непустых произведений yj (1 j n), в частности / є = 0. Применим к равенству с + {уі + с) о / = 0 вложение (9. Пусть Из первого равенства следует (1 + /7) Є х\Рп и, следовательно, oij = xia i (а[ Є РП5 г = 2,... ,п), поскольку / є = 0. Из второго равенства следует, что а\ + f + c if Є iPn поэтому (1 + скі)(1 + / ) = l{modx\Pn). Обратимыми элементами в кольце Рп/х\Рп являются только скаляры, поэтому Ц-«і = + хіа і ( Є if \{0}). Так как с Є ЛЛ , то по следствию из теоремы б О = 5Z ЧХІ — ( 1 + жіаі)жі + Y, ос\х\Х1. 1 г п 2 г п Следовательно, Т,І І П(ХІ%І = 1 — Откуда = 1, а.\ = жіа х для некоторого а[ Є Рп. Иными словами, с Є (t/i). Поэтому мы можем написать с = yiog, [д eU),yi = yi+yiog+(y1+yiog)of, что эквивалентно равенству у\ о (# + / + #/) = 0. Это означает, что правое умножение на / действует на у\ нильпотентно, скажем, yiofk = 0. Так как ух о f М п, то уг о fk = (Уі о /)./ -1. Если /1 о / = 0, то с + с о / = с.(1 + /) = 0, что невозможно, поскольку fe = 0, с Ои Wn — Рп-модуль без кручения. Снова используем отсутствие кручения и целостность, чтобы получить / = 0 и / = 0. Поэтому / Є M nU. Но так как любой элемент M nU действует на М.п так же, как некоторый элемент М п (из-за тождества метабелевости), то можем считать, что / Є М п. Поскольку у\ — у о (1 + /), то у\ = у\ для внутреннего автоморфизма Л, определенного правилом: т/гА = у І О (1 + /) (1 г п). Теорема доказана.
Определяемость эндоморфизмов свободной мета-белевой алгебры Ли своим действием на конечных множествах элементов
Как следует из результатов В.А. Артамонова, изложенных в первом параграфе этой главы, аф = b для некоторого эндоморфизма алгебры Л4П, тождественного по модулю коммутанта тогда и только тогда, когда найдется матрица {gij), элементы которой удовлетворяют системе линейных уравнений с коэффициентами из кольца многочленов Рп: "=і XiQij = 0, j = 1,..., п Целые решения данной системы находятся эффективно, если целых решений нет, то это также можно определить. Таким образом, доказано
Предложение. Для произвольных элементов а и Ь свободной метабелевой алгебры Ли Л4п существует алгоритм, определяющий разрешимо ли уравнение относительно неизвестного эндоморфизма ф, тождественного по модулю коммутанта.
В Коуровской тетради [22] вопрос 13.66: Пусть G — свободная метабелева группа конечного ранга. Обозначим через S множество всех эндоморфизмов группы G с нециклическими образами. Можно ли выбрать два таких элемента g, h Є G, что для любых ц , тр Є S из того, ЧТО /?((?) = г/ ( ?) и ( (/г) = -0(/0 следует, что ср = ф, т.е. эндоморфизмы из 5 однозначно определяются своими значениями на д и h.
Е.И.Тимошенко [26] нашел необходимые и достаточные условия на элементы свободной конечно порожденной метабелевои группы G ранга п, при выполнении которых каждый эндоморфизм группы G однозначно определяется своим действием на эти элементы. Пусть М.п — свободная метабелева алгебра Ли с п свободными порождающими. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы выяснить, при каких необходимых и достаточных условиях на элементы Ьі, &25 5 &т алгебры Ли М.п каждый эндоморфизм /? этой алгебры определяется однозначно своими значениями на них, или короче, элементы bi,b2,---,bm однозначно определяют каждый эндоморфизм алгебры М.п. Пусть К — произвольное поле, L — алгебра Ли над К. Символом UL обозначается универсальная обертывающая алгебра для L. Хорошо известно, что UL является целостным кольцом. Обозначаем F свободную алгебру Ли над полем К с множеством свободных порождающих {у i,... ,уп}. Ее универсальная обертывающая является свободной ассоциативной алгеброй с тем же множеством свободных порождающих. Идеал, порожденный алгеброй F в UF, является свободным правым CF-модулем с базисом у і,... ,уп. Поэтому для элемента / Є UF имеется единственное разложение Коэффициент при у І называется производной Фокса элемента /. Образ элемента dif при гомоморфизме колец UF — R называется значением в R производной dif. Пусть М — метабелева алгебра Ли, А — ее коммутант. Присоединенное представление М индуцирует представление М/А на А. Таким образом, А наделяется структурой правого U(M/A) модуля (действие обозначаем нижней точкой). Напомним, что если а Є А, ди д2,..., gt Є М/А, то Мы обозначаем верхней чертой образы элементов при гомоморфизме алгебр UM -» U(М/А). Напомним, что алгебра U(M/A) изоморфна алгебре многочленов. Пусть / Є UF, Ь( Є Мп, си Є М п. Как и в работе [26] нам понадобится формула: Эту формулу достаточно проверить для одночлена / от букв {жг-1 і п} степени г. Поскольку при г = 1 формула очевидна, мы предположим, что / — лиев одночлен степени г 1. Тогда можем записать / = [/і,/2], /1,/2 — одночлены, степени меньшей, чем /. Теперь формула следует из предположения индукции, определения действия и(Л4п/Л4 п) на М!п и непосредственно проверяемого (в UM.fi) равенства Теорема 9. Пусть Л4п — свободная п-порожденная метабеле-ва алгебра Ли над полем К, тогда никакие т п элементов этой алгебры не определяют однозначно ее эндоморфизмы, действующие тождественно по модулю коммутанта.
Определяющие соотношения группы Г
Пусть К — алгебраически замкнутое поле характеристики р 0, к — простое подполе в К. Отображение 7Г : К — К, сопоставляющее каждому элементу поля К его р—тую степень является автоморфизмом. Обозначим КР[Т] пространство р—многочленов от буквы Г с коэффициентами в поле К, т.е. К—линейную оболочку множества {Tp \i 0}. Предположим L — свободная конечно порожденная коммутативная р—алгебра Ли над К, {a?i, х2 ..., хп} множество свободных порождающих алгебры L. Каждый элемент L единственным образом записывается в виде
Рассмотрим кольцо косых многочленов R = K[t, п] от буквы t с автоморфизмом тт. Кольцо R порождено К и t, а умножение в R полностью определяется правилом: at = ta7 . Можно определить ассоциативное &—билинейное умножение на Кр[Т] правилом: для /і(Т),/2(Т) Є КР[Т] положим (/i/2)(T) = /і(/2(Т)). Отображение в : Кр[Т] —) Д, такое что Т1{Сх{Гр% -» гагг, как не трудно проверить, является изоморфизмом колец. L превращается в правый R—модуль С следующим способом: для а Є L,r Є Л полагаем аг = (г -1)г=а. Из предположений относительно L вытекает, что этот модуль свободен с базой {xi,X2,...,xn}, = x1Rx2R ...xnR.
Пусть S - ассоциативное кольцо с единицей, М = Sn - свободный правый 5-модуль. Напомним Определение 5. Элемент т = (si,S2,... ,sn) Є М называется унимодулярным, если правый идеал кольца S, порожденный координатами т совпадает с S. Легко видеть, что эндоморфизмами коммутативной р-алгебры Ли L являются в точности линейные преобразования векторного пространства L, перестановочные с р-отображением. Поэто му каждый эндоморфизм алгебры L является эндоморфизмом Л-модуля С и наоборот. Определение 6. Эндоморфизм (р алгебры L будем называть алгебраическим, если найдется многочлен f с коэффициентами из К, такой что f(tp) = 0. Теорема 12. Пусть L — коммутативная р-алгебра Ли над полем К, (р — ее алгебраический эндоморфизм. Тогда найдется такой примитивный элемент у алгебры L, для которого УЧ = Ау; А Є К. Лемма 8. Элемент у Є L примитивен тогда и только тогда, когда у Є С унимодулярен (ср.[12], р.36, Prop. 5.4,). Доказательство. В силу сказанного выше, нужно только доказать, что элемент свободного модуля Rn тогда и только тогда дополняется до базы Rn, когда этот элемент унимодулярен. Поскольку R целостное кольцо главных правых идеалов [21], то любой не унимодулярный элемент может быть исключен из любой системы порождающих модуля Rn. Наоборот, пусть т = (г\,Г2,... ,гп) — унимодулярный элемент. Это означает, что гі,Г2,... ,rn не имеют общего правого множителя степени 0. Без ограничения общности можно считать, что Г\ элемент наименьшей степени. Разделим справа с остатком остальные элементы на г\. Теперь умножим справа строчку т на подходящие трансвекции, так чтобы в полученной строчке вместо Г2,..., гп встали остатки от деления этих элементов на п. Наименьшая степень координат строчки стала меньше степени г\. Такую процедуру повторяем до тех пор, пока не получим строчку (1,0,..., 0). Эту строчку очевидно можно дополнить до базы, следовательно до базы дополняется и т. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть р будет алгебраический эндоморфизм , /(Т) Є К[Т] — многочлен наименьшей степени, такой что /( ) = 0. Если А — корень /, то (А — р)д( р) = 0 (д Є K[t]) и g(ip) у 0. Ненулевые элементы Сд( р) это собственные векторы ср. Пусть w — один из них. Можно написать w = w h для некоторого h Є K[t, тс] и w примитивен. Ясно, что w тоже собственный вектор для ср. Теорема доказана. Здесь мы снова используем конструкцию В.А. Артамонова [1], изложенную в первом параграфе.
Из результатов первого параграфа следует, что по любому автоморфизму / свободной метабелевой алгебры Ain, тождественному по модулю коммутанта, однозначно строится автоморфизм h Рп-модуля Wn, такой что / о h = /, для любого а Мп f(a) = h(a) и h(Mn) С Мп. Наоборот, каждый автоморфизм h модуля Wn с этими свойствами определяет некоторый автоморфизм / алгебры Л4п, тождественный по модулю коммутанта.
