Содержание к диссертации
Введение
1 Моноиды эндоморфизмов конечномерных алгебр 15
1.1 Введение 15
1.2 Некоторые специальные алгебры 17
1.2.1 Алгебра A(V, S) 18
1.2.2 Алгебра D(P}U} S} 7) 19
1.3 Аффинные моноиды как нормализаторы линейных подпространств 22
2 Разрешимость групп автоморфизмов 26
2.1 Введение 26
2.2 Признаки разрешимости 31
2.3 Экстремальные алгебры и теорема Я у 35
2.4 Глобальный случай и гипотеза Гальперина 38
2.5 Подгруппы автоморфизмов и ограничения на размерность . 40
3 Автоморфизмы аффинных конусов 45
3.1 Общие сведения 45
3.2 Гибкость аффинных конусов 48
3.3 Поверхность дель Пеццо степени 5 52
3.3.1 Цилиндры 53
3.3.2 Условие полярности 54
3.4 Поверхности дель Пеццо степени 4 55
3.4.1 Цилиндры 55
3.4.2 Условие полярности
- Некоторые специальные алгебры
- Алгебра D(P}U} S} 7)
- Экстремальные алгебры и теорема Я у
- Поверхность дель Пеццо степени 5
Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена группам автоморфизмов конечномерных алгебр и аффинных многообразий.
Зарождение понятия группы автоморфизмов произошло в конце 1860-х годов, когда Феликс Клейн и Софус Ли провели совместное исследование «геометрических и аналитических объектов, которые переходят в себя под действием групп преобразований». Клейн был сосредоточен на дискретных группах, а Ли изучал непрерывные группы преобразований. Комплексные линейные алгебраические группы являются наиболее изучаемым семейством групп Ли. В 1940-х годах Клод Шевалле дополнил и обобщил методы теории групп и алгебр Ли. Наконец, после работ Бореля и Колчина теория линейных алгебраических групп приобрела упорядоченный вид.
Другим направлением исследований, порождённых работами Ли, стало изучение бесконечномерных групп преобразований. В первую очередь, бесконечномерные группы возникают при изучении преобразований дифференцируемых, комплексно-аналитических и алгебраических многообразий.
Аффинные алгебраические многообразия изучаются с середины XIX века. Теоремы Гильберта о базисе и о нулях связали аффинные многообразия с коммутативной алгеброй. В начале XX века итальянская школа алгебраической геометрии занималась вопросами классификации алгебраических многообразий. Её наиболее яркие представители — это Кастельнуово, Эн-риквес, Бертини, Севери, дель Пеццо, Сегре, Веронезе, Фано и другие. Ван дер Варден, Вейль и Зарисский разработали основы алгебраической геометрии в терминах идеалов и дискретных нормирований. В начале второй половины XX века Серр и Гротендик переработали их в терминах пучков и схем.
В диссертации исследуются актуальные вопросы из различных областей:
Автоморфизмы конечномерных алгебр. Эту область исследовали и исследуют такие известные математики, как Джекобсон, Кошуль и другие. Во-первых, мы отметим исследование Гордеевым и Поповым соответствия между группами автоморфизмов конечномерных алгебр и аффинными алгебраическими группами. Во-вторых, в 1980-х годах С. Гальперин выдвинул гипотезу о спектральной последовательности Серра и предложил её вариацию о разрешимости группы автомор-
физмов конечномерной алгебры. Эти гипотезы изучаются в работах X. Крафта и К. Прочези, Люптона, Маркла, Аманна и ряде других.
Теория особенностей. Изолированные особенности комплексно-аналитических многообразий являются классическим объектом математики, они изучались Маниным, Милнором и многими другими. В частности, для гиперповерхностей Мазер и Яу установили соответствие изолированных особенностей и их алгебр модулей, также Яу доказал разрешимость алгебр дифференцирований алгебр модулей, названных позже алгебрами Яу. Алгебры Яу простых особенностей были изучены в работе Элашвили и Химшиашвили .
Автоморфизмы аффинных многообразий. Структурная теорема о группе автоморфизмов аффинной плоскости была получена впервые получена Юнгом и обобщена Ван дер Кульком на поля положительной характеристики. В дальнейшем различные доказательства этой теоремы появлялись в работах Абьянкара и Мо, Гурвица, Макар-Лиманова, Нагаты, Шафаревича и других. Более сильный результат об амальгамированном произведении также называется теоремой Шафаревича-Нагаты-Камбаяши. Аналогичные теоремы доказывались для других поверхностей Гизатуллиным, Аржанцевым и Зайденбергом, Коваленко. Действия однопараметрических унипотентных групп исследовались в работах Макар-Лиманова, Дерксена, Винкельманна, Фройден-бурга. Наконец, в работе Аржанцева, Зайденберга, Калимана, Кутче-бауха и Фленнера была введена подгруппа специальных автоморфизмов и изучалась бесконечная транзитивность действия этой группы на аффинном многообразии.
ХН. Kraft, С. Procesi, Graded morphisms of G-modules, Annales de l'institut Fourier 37 (1987), no. 4, 161-166.
2J. Mather, S. S.-T. Yau, Classification of isolated hypersurface singularities by their moduli algebras, Inventiones Mathematicae 69 (1982), 243-251.
3S. S.-T. Yau, Solvability of Lie algebras arising from isolated singularities and nonisolatedness of singularities defined by sl(2,C) invariant polynomials, American Journal of Mathematics 113 (1991), no. 5, 773-778.
4A. Elashvili, G. Khimshiashvili, Lie Algebras of Simple Hypersurface Singularities, Journal of Lie Theory 16 (2006), 621-649.
5I.V. Arzhantsev, H. Flenner, S. Kaliman, F. Kutzschebauch, and M. Zaidenberg, Flexible varieties and automorphism groups, Duke Mathematical Journal 162 (2013), no. 4, 767-823.
Цель работы
Изучение автоморфизмов конечомерных алгебр и аффинных многообразий. Перед автором стояли следующие задачи:
Исследовать вопрос представимости произвольного аффинного алгебраического моноида в качестве моноида эндоморфизмов конечномерной алгебры.
Изучить, при каких условиях группа автоморфизмов конечномерной алгебры разрешима.
Найти семейства аффинных многообразий, обладающих свойством гибкости.
Научная новизна
Представленные в диссертации результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие:
предъявлена явная конструкция, реализующая произвольный аффинный алгебраический моноид в качестве моноида эндоморфизмов конечномерной алгебры;
получен признак разрешимости связной компоненты единицы группы автоморфизмов конечномерной коммутативной алгебры, получена полная характеризация экстремальных алгебр с неразрешимой группой автоморфизмов;
доказана гибкость аффинных конусов над поверхностями дель Пеццо степени 4 и 5.
Основные методы исследования
В диссертации используются методы алгебраической геометрии, теории представлений, теории алгебраических групп преобразований и алгебраической теории локально нильпотентных дифференцирований.
Теоретическая и практическая ценность работы
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории алгебраических групп, теории инвариантов, алгебраической геометрии и теории особенностей.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах
1) семинар «Группы Ли и теория инвариантов» кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (2010-2013, неоднократно);
2) семинар «Бесконечномерные алгебраические группы» кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета МГУ (2013);
3) семинар «Algebra and geometry» под руководством профессора X. Крафта, университет Базеля, Швейцария (2013);
а также на всероссийских и международных конференциях
-
Летняя школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Самара, 8-15 июня 2009;
-
Конференция «Мальцевские чтения», Новосибирск, 2-6 мая 2010;
-
Вторая школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Москва, 31 января - 05 февраля 2011;
-
Школа-конференция «Swiss-French workshop on algebraic geometry», Энней, Швейцария, 20-24 февраля 2012;
-
Международная конференция «Алгебра и геометрия», приуроченная к 65-летию Аскольда Хованского, Москва, 4-9 июня 2012;
-
Третья школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Тольятти, 24 июня - 1 июля 2012.
Публикации
Результаты автора по теме диссертации опубликованы в трёх работах, список которых приводится в конце автореферата [1 - 3].
Структура и объем диссертации
Некоторые специальные алгебры
В конце главы 2 мы приводим пример артиновой алгебры с унипотентной группой автоморфизмов, см. 2.5.6.
В главе 3 мы переходим к изучению автоморфизмов аффинных алгебр. Хорошо известно, что каждая аффинная алгебра является алгеброй регулярных функций некоторого аффинного многообразия. Тем самым, мы можем перейти к геометрической интерпретации и рассматривать группы автоморфизмов аффинных многообразий. Стоит отметить, что аффинные алгебры бесконечномерны, так что группы их автоморфизмов, вообще говоря, не являются аффинными алгебраическими группами. Мы используем следующие понятия и определения, введённые в [9] и [1].
В частности, достаточно взять k = dimS. Действие группы G на множестве А называется т-транзитивным, если для любых двух наборов из т попарно различных точек ( 2і,...,ато) и (a l5... ,а т) из А существует такой элемент д Є G: что д щ = а\ для і = 1,... ,m. Действие, m-транзитивное для всех т Є N, называется бесконечно транзитивным.
Пусть X — алгебраическое многообразие размерности 2, определённое над алгебраически замкнутым полем К. Рассмотрим регулярное действие Ga хХ 4 I аддитивной группы поля Ga = (К,+). Образ группы Ga в группе автоморфизмов Aut X является однопараметрической унипотентной подгруппой. Через SAutX мы обозначаем подгруппу в AutX, порождённую всеми однопараметрическими унипотентными подгруппами. Она называется группой специальных автоморфизмов. Очевидно, SAut X является нормальной подгруппой AutX.
Теперь предположим, что К имеет характеристику нуль. Аффинное алгебраическое многообразие X называется гибким, если касальное пространство к X в любой гладкой точке порождено касательными векторами орбит од-нопараметрических унипотентных подгрупп. Следующая теорема объясняет значение понятия гибкости.
Теорема [9, теорема 0.1]. Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие размерности 2 над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. Тогда следующие условия эквивалентны: 1. многообразие X является гибким; 2. группа SAut X действует транзитивно на множестве гладких точек XYeg многобразия X; 3. группа SAutX действует бесконечно транзитивно на Xreg. Следующие три класса гибких многообразий описаны в [1]: аффинные конусы над многообразиями флагов, невырожденные торические многообразия размерности 2 и надстройки над гибкими многообразиями.
Мы строим новые классы гибких многообразий над К. А именно, мы выводим признак гибкости аффинных конусов над проективными многообразиями и применяем его к поверхностям дель Пеццо. В работах [22], [23] и [24] изложен метод получения однопараметрических унипотентных действий на аффинных конусах, нормализуемых гомотетиями. Фактически, там установлено взаимно однозначное соответствие между подобными действиями с точностью до множителя и подмножествами специального вида, называемыми цилиндрами.
Определение [24, определение 0.2]. Открытое подмножество U многообразия Y называется цилиндром, если U = Z х А , где Z — гладкое многообразие. Пусть Н — дивизор на Y. Цилиндр U С Y называется Н-полярным, если U = Y \ suppD для некоторого эффективного дивизора D Є \dH\: где d 0.
Для формулировки признака гибкости аффинных конусов мы вводим понятия множеств, инвариантных относительно цилиндров, и трансверсального покрытия многообразия цилиндрами.
Определение 3.2.2. Подмножество W С Y мы называем инвариантным относительно цилиндра U = ZxA1, если WDU = ir 1 (iri(W)): где7Гі: U — Z — проекция на первый сомножитель прямого произведения. Иначе говоря, каждый А1-слой цилиндра либо содержится в W: либо не пересекается с W.
Определение 3.2.3. Набор цилиндров \],И г = 1,..., s называется трансвер-сальным покрытием подмножества X С У, если X = (J U{ и не существует собственного подмножества X С Y, инвариантного относительно всех цилиндров иг.
Теорема 3.2.7. Пусть Y — нормальное проективное многообразие, а И — очень обильный дивизор на Y. Рассмотрим аффинный конус X = AffConeHY С &n+l над вложением Y Рп, соответствующим поляризации Y по Н. Если существует трансе ер сальное покрытие Н-полярными цилиндрами подмножества YTeg, то аффинный конус X является гибким.
Известно, что любая гладкая поверхность дель Пеццо степени d Є {1,. .., 9}, кроме Р х Р , может быть получена раздутием проективной плоскости Р в 9 — d точках общего положения. В первую очередь нас интересуют антиканонические вложения. Заметим, что аффинные конусы над поверхностями дель Пеццо степени б являются торическими, значит, они гибкие по [1]. Что же касается поверхностей дель Пеццо степени 3, на их плюриантиканониче-ских конусах не существует (Са-действий, как показано в [12, теорема 1.1] для степени 3 и в [25, следствие 1.8] для степени 2. Итак, для поверхностей дель Пеццо степени 4 и 5 мы получаем следующие результаты.
Алгебра D(P}U} S} 7)
В этой главе предполагается, что поле К является алгебраически замкнутым характеристики нуль. Через R мы обозначаем алгебру формальных степенных рядов К[жі,..., жп], а через m — максимальный идеал (жі,..., хп) R. Пусть идеал /Cm таков, что алгебра S = R/I является конечномерной (или артиновой) и локальной с максимальным идеалом m = т/1.
Рассмотрим группу автоморфизмов Aut S. Это аффинная алгебраическая группа, касательная алгебра которой является алгеброй Ли дифференцирований DerS ; см. [4, Ch.l, 2.3, ex. 2]. Таким образом, разрешимость связной компоненты единицы Aut S эквивалентна разрешимости алгебры Ли Der S. В 2009 году М. Шульце получил следующий признак, некоторые приложения которого обсуждаются ниже. Теорема 2.1.1 (Шульце, [33]). Пусть S = R/I — конечномерная локальная алгебра, где I С т1. Если выполняется неравенство dim(l/ml) п + /-1, (2.1) то алгебра дифференцирований Der S разрешима.
В дальнейшем мы приводим обобщение данного признака на нелокальный случай, см. следствие 2.4.3, а также доказываем новый признак на основе аналогичных методов, см. теорему 2.1.12. Эти два признака применимы к разным типам алгебр. Для того, чтобы привести некоторые приложения признака Шульце, рассмотрим регулярную последовательность /і,..., fn Є К[х\,..., хп}г. Это эквивалентно тому, что факторалгебра S = Ж[х\,. .. , жп]/(/ъ.. ., fn) нетривиальна и конечномерна. Она называется глобальным полным пересечением. /і,.. ., /п регулярна. В данном случае алгебра S является локальной. Таким образом, следующее обобщение теоремы 2.1.3 оказывается прямым следствием теоремы Шульце 2.1.1.
Следствие 2.1.4 (Шульце, [33, Corollary 2]). Пусть S = R/(fi,..., fn) — локальная алгебра, являющаяся полным пересечением. Тогда группа Aut S разрешима. Доказательство. Мы можем считать, что f Є m2. Тогда dim(//m/) = п и мож;но применить (2.1). В п. 2.4 мы предлагаем признак разрешимости алгебры дифференцирований Der/S нелокальной конечномерной алгебры S: см. теорему 2.4.2. Это 1т.е. для всех г образ /j в факторалгебре К[жі,..., xn]/(/i,..., /І-І) не является делителем нуля. 2Данная гипотеза была выдвинута С. Гальпериным на конференции в честь Ж.-Л. Кошуля. позволяет нам вывести из локального случая общий случай гипотезы 2.1.2 и завершить тем самым её доказательство.
Рассмотрим теперь изолированные особенности гиперповерхностей. Пусть многочлен р Є К[жі,.. ., хп] таков, что гиперповерхность {р = 0} С Кп имеет изолированную особенность Н = {{р = 0},0) в начале координат. Подпространство J{p) = ( -,..., -) мы называем якобианом много дх\ і і дхг,
члена р: а идеал (J(p)) — якобиевым идеалом р. Факторалгебра А(Н) = К[жі,... ,xnJ/(p, J(p)) называется локальной алгеброй или алгеброй модулей изолированной особенности Н. Она также известна как алгебра Тюриной в теории особенностей.
Поскольку кольцо формальных степенных рядов локально, алгебра А{Н) тоже локальна. Существует аналог теоремы Гильберта о нулях для ростков аналитических функций (называемый теоремой Рюккергпа о нулях, см. [19, Theorem 3.4.4], [7, 30.12], [36]), который справедлив также для формальных степенных рядов, поскольку обладает чисто алгебраическим доказательством. Отсюда, радикал \/(р, J{p)) совпадает с максимальным идеалом т. Таким образом, идеал (р, J{p)) содержит некоторую степень максимального идеала, или, что то же самое, алгебра А{Н) является конечномерной. Наоборот, если алгебра А{Н) конечномерна, то особенность Н является изолированной. В самом деле, конечномерность А эквивалентна вложению тг С / для некоторого г, то есть \/(р, J{p)) = тп. Из этого следует равенство V(p, J{p)) = 0, так что Н является единственной особенностью в некоторой окрестности нуля.
Дж. Мазер и С.С.-Т. Яу доказали в работе [29], что две изолированные особенности гиперповерхностей биголоморфно эквивалентны тогда и только тогда, когда их алгебры модулей изоморфны. Таким образом, конечномерная локальная алгебра А{Н) определяет особенность Н с точностью до аналитического изоморфизма.
Для того, чтобы установить, какие конечномерные локальные алгебры могут являться алгебрами модулей некоторых особенностей, Яу ввёл в [38] алгебру дифференцирований L(H) = Der А(Н): которую иногда называют алгеброй Яу. Он получил следующий результат. Теорема 2.1.5 (Яу, [39]). Алгебра L(H) изолированной особенности Н гиперповерхности является разрешимой.
Заметим, что, вообще говоря, алгебра Яу не определяет однозначно соответствующую алгебру модулей. Но для простых особенностей данное свойство выполняется лишь с одним исключением. Классификация простых особенностей хорошо известна и состоит из двух бесконечных серий Ak, Dk и трёх исключительных особенностей EQ,EJ, Е%; например, см. [2, глава 2]. А. Эла-швили и Г. Химшиашвили доказали следующий факт.
Теорема 2.1.6 (Элашвили-Химшиашвили [14, Theorem 3.1]). Пусть Hi и Hz — две простые изолированные особенности гиперповерхностей, кроме пары AQ и D5. В таком случае L(H\) = L(Hz) тогда и только тогда, когда Н\ и Н аналитически изоморфны.
Экстремальные алгебры и теорема Я у
Доказательство приводится в следующем параграфе. В последнем параграфе мы приводим нижнюю границу для размерности группы автоморфизмов и приводим пример алгебры с унипотентной группой автоморфизмов.
Отметим также сходный результат о разрешимости группы эквивариант-ных автоморфизмов. Рассмотрим связную аффинную алгебраическую группу G и неприводимое аффинное (7-многообразие X. Предположим, что количество G-орбит на X конечно, и что X содержит точку, неподвижную относительно действия G. Тогда связная компонента единицы Aut X группы G-эквивариантных автоморфизмов многообразия X разрешима; см. [10, Theorem 1]. 2.2 Признаки разрешимости
В данном разделе мы приводим упрощённое доказательство теоремы 2.1.1 и получаем новый признак разрешимости.
Если / D тг ІК[жі,..., хп] для некоторого г, то R/I = К[х\,..., хп]/1: где / — идеал в алгебре формальных степенных рядов, порождённый /. Таким образом, нет никакой разницы, была ли локальная алгебра получена факторизацией алгебры многочленов или же факторизацией алгебры формальных степенных рядов.
Предложение 2.2.1. Пусть идеал I R представлен в виде I = W ф ml, то есть подпространство W С I дополнительное к ml. Тогда идеал (W), порождённый подпространством W, совпадает с I.
Как всегда, мы подразумеваем, что S = R/I, где m D I R = К[жі,..., хп] для / 2. Предположим, что алгебра Der S неразрешима. Тогда она содержит 5 -тройку {е, /, К] с соотношениям. Заметим, что автоморфизмы S сохраняют максимальный идеал пі \ S, поскольку он единственный, а также все его степени. Таким образом, m и т2 являются $ -подмодулями. Поскольку представления 5 вполне приводимы, идеал m содержит такой s[2-подмодуль V7 что
Обозначим через ip: R — S факторизацию по идеалу I. Так как р(т2) = т2, найдётся такое подпространство V С т, что т = V ф т2 и (р: V. Значит, в соответствии с теоремой 2.2.1 подпространство V порождает идеал m как подалгебру. Поэтому он порождает и алгебру R. Таким образом, с точностью до замены координат мы можем считать, что V = (х\,.. ., хп) и
Введём структуру s -представления на V посредством данного изоморфизма и продолжим её на R. Заметим, что отображение факторизации р является гомоморфизмом 5 -модулей. Следовательно, идеал I \ R является инвариантным подпространством s -представления на R.
Для весового вектора z, то есть собственного вектора оператора h Є s , обозначим его вес через wt(z) Є Z. Обозначим через Xi,...,xn весовые векторы s -модуля V7 причём x\,...,Xk, к п, — старшие векторы с весами ПІ = wt(xi): где щ . .. rik О, ХХП + 1) = п.
Идеал ml С R является s -инвариантным как произведение 5 -инвариантных идеалов. Значит, / содержит такой дополнительный s -подмодуль W: что I = W ф ті. По следствию 2.2.2 его базис является минимальным набором, порождающим I.
По аналогии с V = Уыдн Ф Vrest рассмотрим разложение w = Whigh ф wrest в сумму подпространства Whigh = {w\,.. . ,ws), где W{ — старшие вектора в W: и подпространства Wrest остальных весовых векторов W. Заметим, что Wrest С Im/ С так как Im / порождён весовыми векторами, которые не являются старшими. Wrest, справедливо равенство Wi := (pi(W) = (pi(Whigh)- Заметим, что dimWi i, так как факторалгебра К [ж і,..., я /(И ) = R/(Ji, Wi) = S/(xi+i,..., жп) конечномерна. В частности, s к.
По индукции мы можем задать порядок старших векторов W\,. .. , ws Є Whigh таким образом, что (pi(w\),.. ., (fii(wi) станут линейно независимыми в W{ для всех і. Тогда wt(ifj) /п , потому что W{ содержит мономы от переменных Х\}. . ., Х{ степени хотя бы /, И wl(Xj) = Tlj Пі для j і.
Доказательство теоремы 2.1.1. Из приведённых выше рассуждений следует, что подпространство V содержит нетривиальный s -подмодуль и что п\ 0. Тогда
Доказательство. Идеалы fn инвариантны относительно Aut S при всех і, поскольку являются степенями единственного максимального идеала. Следовательно, группа Aut S естественным образом действует на m /m + при всех і, а значит, она действует на gvS. Получаем естественное отображение (р: Aut S Aut(grS ).
Поверхность дель Пеццо степени 5
Зафиксируем стягивание четырёх непересекающихся ( —1)-кривых Е\,. .. ,Е в точки Рі,...,Р4 и используем обозначения, введённые выше. Пусть lij С Р2 — прямая, проходящая через точки Д и Pj. Рассмотрим открытое подмножество U\ = ( _1(Р2 \ (/i2 U /34)) С Y. Это цилиндр, определяемый пучком прямых, проходящих через базисную точку Bs(/i) = /12П/34, причём иг = AjxA1, где Aj = A jO}. Аналогично положим U2 = ( V U )) и U% = (p l(F2\ (/14U/23)), как на рис. 3.1. Рассмотрим далее стягивания других четвёрок непересекающихся ( —1)-кривых на Y. Всего таких наборов пять, см. рис. 3.2. Каждому стягиванию соответствует три цилиндра, получаемых аналогично. Заметим, что таким цилиндрам взаимно однозначно соответствуют точки пересечения (-1)-кривых, и группа автоморфизмов Aut Y = S5 действует на множестве этих точек транзитивно.
Итак, мы определили цилиндры такого вида, как показано на рис. 3.1 и 3.2. Несложно проверить, что каждое пересечение ( — 1)-кривых лежит в каком-то цилиндре; поэтому [jUi = Y. Мы утверждаем, что не найдётся собственного подмножества W С Y7 инвариантного относительно всех 15 цилиндров. Предположим противное, пусть такое W нашлось. Возьмём произвольную точку в W. Она содержится в слое S некоторого цилиндра. Тогда W содержит S. Без ограничения общности S — слой U\. Тогда прямая / = tp(S) С Р2 проходит через базисную точку Bs([/i). Поскольку точки Bs([/i), BS(L/2), BS(?73) не лежат на одной прямой, одна из них не лежит на /. Пусть BS(L/2) I- Тогда слой S пересекается почти со всеми слоями цилиндра ЇІ2, И W содержит почти все слои U2, ТО есть плотно в Y. Дополнение Y \ W также инвариантно относительно всех цилиндров, и по тем же
Здесь мы установим, что для любого обильного дивизора Н на Y все 15 цилиндров Ui являются //-полярными. Рассмотрим множество эффективных дивизоров {X s=i aiEi + (3\li2 + /З3/34 I ot{, (ЗІ 0}, дополнение к носителю которых совпадает с U\. В группе Пикара ему соответствует открытый конус С, экстремальные лучи которого суть е\, Є2, ез, Є4, Єо Єї — Є2, Є0 — Є3 — Є4. Легко проверить, что примитивные векторы обильного конуса (3.1) выражаются как линейные комбинации с неотрицательными рациональными коэффициентами примитивных векторов конуса С. Следовательно, цилиндр U\ является Д-полярным для любого обильного дивизора Н. Действуя автоморфизмами Aut У, мы можем перевести U\ в любой цилиндр, поэтому все UІ будут ії-полярньїми для любого обильного дивизора Н. Применяя теорему 3.2.7, приходим к требуемому утверждению. Теорема 3.3.1 доказана.
Поверхности де ль Пеццо степени 4 Каждая поверхность дель Пеццо степени 4 изоморфна раздутию проективной плоскости Р в пяти точках, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Такие поверхности образуют двупараметрическое семейство.
Через Е{ будем обозначать ( —1)-кривые — прообразы точек раздутия Рь. Как и прежде, пусть ео — класс дивизоров, эквивалентных прямой, не проходящей через точки раздутия, а Є{ (і = 1,. .. , 5) — класс дивизоров, эквивалентных Е{. Набор {ео,. .. , 65} является ортогональным базисом в группе Пикара Ріс У = Z6, причём е2, = 1, е2 = — 1. Классы исключительных дивизоров исчерпываются классами в{, ео — ЄІ — е , 2ео — Х о ек Для различных i,j ф 0. Конус обильных дивизоров задаётся неравенствами
Пусть W — собственное подмножество в У, инвариантное относительно цилиндров всех семейств, a w Є W — его произвольная точка. Можно считать, что w лежит в цилиндре семейства Ыс1- Тогда образ G\{W) С Р2 является инвариантным относительно семейства цилиндров {a\{U) \ U Є Ыс , каждый из которых является дополнением к квадрике с и её касательной. Известно, что через две точки на плоскости можно провести квадрику, касающуюся данной. Таким образом, для почти любой точки х Є Р \с существует слой некоторого цилиндра, проходящий через х и a\{w). А именно, точка х не должна лежать на касательной к с, проходящей через G\(w), И на квадриках, касающихся с в точках раздутия и проходящих через G\{w). Итак, W плотно в Y. Аналогично Y \ W плотно в У, что невозможно.
Обильные дивизоры Н7 для которых цилиндры из семейства Ыс\ являются Д-полярными, — это в точности обильные дивизоры из открытого конуса Ample У П {a\Fi + ... + а5 5 + «бСі + aia l{l) \ OLJ 0} в Pic Y . Определим такой конус для каждого UQ И обозначим его через Атр1е(С ,У). Он не зависит от выбора касательной / к Gi(C{), поскольку по определению / не проходит через центры раздутия. Тогда множество таких дивизоров Н, что все цилиндры в [Jil d являются Д-полярными, является открытым кону
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
