Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Шрайеровы многообразия алгебр 3
1.2 Примитивные и почти примитивные элементы 4
1.3 Краткое описание работы 4
2 Примитивные элементы и ранг примитивности 12
2.1 Основные определения и примеры 12
2.2 Критерии примитивности элемента в свободных алгебрах шрай-еровых многообразий 14
2.3 Ранг примитивности и его свойства 21
3 Почти примитивные элементы 26
3.1 Случай свободной неассоциативной алгебры малого ранга . 26
3.2 Случай свободной неассоциативной (анти-) коммутативной алгебры малого ранга 37
3.3 Случай свободной алгебры Ли малого ранга 42
3.4 Почти примитивность элемента и его старшей части 50
3.5 р-число однородного элемента свободной алгебры произвольного ранга 55
3.6 Критерии почти примитивности однородного элемента 56
3.7 Почти примитивные элементы свободного произведения свободных алгебр 62
Заключение 64
Список литературы
- Примитивные и почти примитивные элементы
- Критерии примитивности элемента в свободных алгебрах шрай-еровых многообразий
- Ранг примитивности и его свойства
- Критерии почти примитивности однородного элемента
Введение к работе
Диссертация посвящена примитивным и почти примитивным элементам свободных алгебр шрайеровых многообразий. В диссертации доказаны критерии и построены алгоритмы распознавания однородных почти примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли. Построены новые примеры почти примитивных элементов в этих алгебрах.
Актуальность темы. Многообразие линейных алгебр над полем определяется как класс алгебр, замкнутых относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и прямых произведений. Многообразие алгебр называется шрайеровым, если любая подалгебра свободной алгебры этого многообразия является свободной (в том же многообразии алгебр). Понятие шрайерова многообразия возникло в теории групп: в 1920-х годах Нильсен1 и Шрайер2 доказали, что любая подгруппа свободной группы свободна. А. Г. Курош3 доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны. А. И. Ширшов показал, что многообразие всех алгебр Ли является шрайеровым (этот результат был получен также Виттом5, где также было доказано, что многообразие всехр-алгебр Ли является шрайеровым).
А. И. Ширшов6 показал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и свободных неассоциативных антикоммутативных алгебр свободны. Таким образом многообразие всех коммутативных алгебр (всех антикоммутативных алгебр) является шрайеровым. А. А. Михалёв7 и А. С. Штерн8 показали, что многообразие супералгебр Ли является шрайеровым. А. А. Михалёв9 получил этот результат для цветныхр-супералгебр Ли. А. И. Корепанов10 доказал, что подалгебры свободных суперкоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В. К. Харченко11 получил обобщение теоремы Ширшова-Витта о подалгебрах свободных алгебр Ли для алгебр Хопфа над полем нулевой характеристики с косым копроизве-дением.
:J. Nilsen, Die Isomorphismengruppe der freien Gruppe. Math. Ann. 91 (1924), 161-183.
20. Schreier, Die Untergruppen den freien Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 5 (1927), 161-183.
3A. Г. Курош, Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр. Мат. сб. 20 (1947), 239-262.
4А. И. Ширшов, Подалгебры свободных лиевых алгебр. Мат. сб. 33 (1953), № 2, 441-452.
5Е. Witt, Die Unterringe der freien Lieschen Ringe. Math. Z. 64 (1956), 195-216.
eA. И. Ширшов, Подалгебры свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр. Мат. сб. 34 (1954), № 1, 81-88.
7А. А. Михалёв, Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли. Мат. зам. 37, № 4, (1985), 653-661
8А. С. Штерн, Свободные супералгебры Ли. Сиб. мат. жури. 27 (1886), № 1, 170-174.
9А. А. Михалёв, Подалгебры свободных р-супералгебр Ли. Мат. зам. 43, № 2, (1988), 178-191. 10А. И. Корепанов, Свободные неассоциативные суперкоммутативные алгебры. Фунд. и прикл. мат. 9 (2003), № 3, 103-109.
nV. К. Kharchenko, Braided version of Shirshov-Witt theorem. J. Algebra 294 (2005), № 1, 196-225.
У. У. Умирбаев и И. П. Шестаков12 доказали, что подалгебры свободных алгебр Акивиса свободны. У. У. Умирбаев13 получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы многообразие алгебр было шрайеро-вым, и построил новые примеры шрайеровых многообразий. Подалгебры свободных алгебр многообразий линейных Г2-алгебр рассматривались в работах15 16 17, шрайеровы многообразия n-лиевых алгебр описаны Ю. А. Ка-
«18
шиной .
Подмножество М ненулевых элементов свободной алгебры J- шрайе-рова многообразия называется примитивной системой элементов, если существует множество свободных образующих алгебры J7, содержащее подмножество М. Используя свободное дифференциальное исчисление, критерии распознавания примитивных систем элементов для свободных (р-) алгебр Ли и свободных (р-) супералгебр Ли были получены А. А. Золотых и А. А. Михалёвым19 20, для свободных неассоциативных алгебр — А. А. Михалёвым, У. У. Умирбаевым и J.-T. Yu21. Алгоритмы распознавания примитивных систем элементов и построение дополнения до множества свободных образующих для свободных неассоциативных, свободных (анти-) коммутативных неассоциативных алгебр были построены (в том числе с компьютерной реализацией) в работах22 23 24.
Ненулевой элемент свободной алгебры J- называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры J-, но является примитивным элементом в любой содержащей его собственной подалгебре алгебры J-. Почти примитивные элементы в свободных группах изу-
12I. P. Shestakov, U. U. Umirbaev, Free Akivis algebras, primitive elements, and hyperalgebras. J. Algebra 250 (2002), 533-548.
13У. У. Умирбаев, О шрайреровых многообразиях алгебр. Алг. и Лог. 33 (1994), № 3, 317-340.
14U. U. Umirbaev, Universal derivations and subalgebras of free algebras. Algebra(Krasnoyarsk, 1993). Berlin: Walter de Gruyter, 1996, pp. 255-271.
15B. А. Артамонов, M. С. Бургин, Некоторые свойства подалгебр в многообразиях линейных Q,-алгебр. Мат. сб. 87 (1972), № 1, 67-82.
1еТ. М. Баранович, М. С. Бургин, Линейные. Q-алгебры. Усп. мат. наук, 30 (1975), № 4, 61-106
17М. С. Бургин, Шрайеровы многообразия линейных И-алгебр. Мат. сб. 93 (1974), № 135, 554-572.
18Ю. А. Кашина, Шрайеровы многообразия п-лиевых алгебр. Сиб. мат. жури., 32 (1991), № 2, 197-199.
19А. А. Золотых, А. А. Михалёв, Ранг элемента свободной (р-) супералгебры Ли. Доклады АН, 334 (1994), № 6, 690-693.
20 A. A. Mikhalev, A. A. Zolotykh, Rank and primitivity of elements of free color Lie (p-) superalgebras. Intern. J. Algebra Comput. 4 (1994), 617-656.
21A. A. Mikhalev, U. U. Umirbaev, J.-T. Yu, Automorphic orbits of elements of free non-associative algebras. J. Algebra 243 (2001), 198-223.
22K. Шампаньер, Алгоритмы реализации ранга и примитивности систем элементов свободных неассоциативных алгебр. Фундамент, и прикл. мат. 6 (2000), № 4, 1229-1238.
23А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Чеповский, К. Шампаньер, Примитивные, элементы свободных неассоциативных алгебр. Фундамент, и прикл. мат. 13 (2007), № 5, 171-192.
24А. А. Михалёв, А. В. Михалёв, А. А. Чеповский, Примитивные, элементы свободных коммутативных и антикоммутативных неассоциативных алгебр. Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер.: Мат., мех., инфор. 10 (2010), № 4, 62-81.
чались в работах . Изучение почти примитивных элементов
свободных алгебр было начато в работе А. А. Михалёва и Дж. Т. К)31. В частности были построены примеры почти примитивных элементов в свободных неассоциативных алгебрах, свободных (р-) алгебрах Ли и (р-) супералгебрах Ли малых рангов. Используя свойства свободного произведения свободных алгебр, были построены серии примеров для свободных алгебр произвольного ранга. В работе А. В. Михалёва, У. У. Умирбаева, Дж. Т. К)32 рассматривались свободные алгебры Ли и было доказано, что элемент Uki = (a,dx)k(y) + (x)(Ady)1, где (ad it) (-и) = и * v = (it)(Adг») и * является операцией умножения, в свободной алгебре ЛиЬ(ж,у), является почти примитивным при к, I ^ 2 и к j^ I.
Цель работы. Построение критериев и алгоритмов распознавания почти примитивных однородных элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а также построение новых примеров почти примитивных элементов основных типов шрайеровых многообразий.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
-
Введено понятие ранга примитивности элемента свободной алгебры шрайерова многообразия, исследованы его свойства, доказаны формулы для ранга примитивности суммы элементов для свободного произведения алгебр шрайеровых многообразий.
-
Исследованы почти примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли малых рангов. Получены критерии и построенны алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в этих алгебрах.
-
Исследована связь почти примитивности элемента и почти примитивности его старшей части в свободных алгебрах шрайеровых многообразий, построены новые серии примеров почти примитивных элементов, старшая часть которых не является почти примитивной.
-
Введено понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры
25 А. М. Brunner, R. G. Burns, and S. Oates-Williams, On almost primitive elements of free groups with an application to Fuchsian groups. Can. J. Math. 45 (1993), 225-254.
2eL. P. Comerford, Generic elements of free groups. Arch. Math. (Basel) 65 (1995), № 3, 185-195.
27B. Fine, G. Rosenberger, D. Spellman, and M. Stille, Test words, generic elements and almost primitivity. Pacific J. Math. 190 (1999), 277-297.
28G. Rosenberger, Alternierende Produkte in freien Gruppen, Pacific J. Math. 78 (1978), 243-250.
29G. Rosenberger, Uber Darstellungen von Elementen und Untergruppen in freien Produkten, Springer Lect. Notes Math. 1098 (1984), 142-160.
30G. Rosenberger, A property of subgroups of free groups. Bull. Austral. Math. Soc. 43 (1991), 269-272.
31 A. A. Mikhalev, J.-T. Yu, Primitive, almost primitive, test, and /^-primitive elements of free algebras with the Niels en-Schreier property. J. Algebra 228 (2000), 603-623.
32A. A. Mikhalev, U. U. Umirbaev, J.-T. Yu, Generic, Almost primitive, and test elements of free Lie algebras. Proc. AMS 130 (2002), № 5, 1303-1310.
произвольного ранга, исследованы его свойства, получены критерии и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородного элемента степени более 2 в терминах р-числа, а также алгоритм вычисления р-числа. Получен критерий почти примитивности однородного элемента степени 2 в терминах ранга элемента.
5. Усилены ранее известные результаты про почти примитивность суммы почти примитивных элементов свободных алгебр шрайеровых многообразий в свободном произведении.
Методы исследования. В работе применяется техника символьных вычислений, свободного дифференциального исчисления, методы теории неассоциативных алгебр, методы работы с примитивными системами элементов для свободных алгебр шрайеровых многообразий.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы позволяют алгоритмически решать задачу проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных, в свободных (анти-) коммутативных и в свободных алгебрах Ли.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва, МГУ, Москва, 2010 г.;
на международной математической конференции, посвященной 70-летию профессора В. В. Кириченко, Николаев, Украина, 2012 г.;
на конференциях "Алгебра, Комбинаторика, Динамика и Приложения", Белфаст, UK, 2012, 2013 гг.;
на конференции "Алгебры Ли и Приложения", Уппсала, Швеция,
2012 г.;
на семинаре "Алгебра и Криптография", CUNY, Нью-Йорк, США,
2013 г.;
на международной конференции "Алгебра и Логика, Теория и При
ложения", посвященной 80-летию В. П. Шункова, Красноярск, 2013
г.;
а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:
на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры,
2011-2013 гг., неоднократно;
на семинаре "Избранные вопросы алгебры", 2009-2013 гг., неоднократно;
на семинаре "Теория колец", 2009-2013 гг., неоднократно;
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[6], из них первые две — в журналах из перечня ВАК.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 13 разделов, и списка литературы. Библиография содержит 66 наименований. Текст диссертации изложен на 70 страницах.
Примитивные и почти примитивные элементы
Актуальность темы
Классической задачей комбинаторной алгебры является задача распознавание различных комбинаторных свойств объектов. На протяжении последних ста лет проводится изучение свободных структур: свободных групп, свободных модулей, свободных алгебр, их подструктур, элементов, отображений. Исследованию свободных групп и подгрупп были посвящены первые работы Нильсена и Шрайера в 1920-х годах, вопросами неассоциативных свободных алгебр в 1940-60-е годы занимались А. Г. Курош, А. И. Ширшов, их ученики.
На текущий момент основными вопросами свободных шрайеровых алгебр (подалгебры этих алгебр также свободны) являются вопросы распознания примитивных элементов, почти примитивных элементов, автоморфизмов, изучение строений самих алгебр, распознавание комбинаторных свойств элементов. Данные задачи являются не только задачами абстрактной, комбинаторной алгебры, но и компьютерной алгебры.
В последнее время был достигнут значительный прогресс, в том числе за счет применения техники дифференциального исчисления для свободных алгебр, позволившей построить критерии и алгоритмы проверки некоторых свойств объектов, в том числе с последующей компьютерной реализацией. Тем не менее, ряд вопросов об алгоритмической разрешимости некоторых задач до сих пор открыт.
Цель работы
Целью работы является построение критериев и алгоритмов распознавания почти примитивных элементов свободных алгебр основных типов шрайеровых многообразий, а так же построение новых примеров почти примитивных элементов основных типов шрайеровых многообразий. Научная новизна Научная новизна данной работы состоит в следующем:
1. Введено новое понятие ранга примитивности элементов свободной алгебры шрайерова многообразия, исследованы его свойства, доказаны формулы для ранга примитивности суммы элементов для свободного произведения алгебр шрайеровых многообразий.
2. Исследованы почти примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли малых рангов. Получены критерии и построенны алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в этих алгебрах.
3. Исследована связь почти примитивности элемента и почти примитивности его старшей части в свободных алгебрах шрайеровых многообразий, построены новые серии примеров почти примитивных элементов, старшая часть которых не является почти примитивной.
4. Введено понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры произвольного ранга, исследованы его свойства, получены критерии и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородного элемента степени более 2 в терминах р-числа, а также алгоритм вычисления р-числа. Получен критерий почти примитивности однородного элемента степени 2 в терминах ранга элемента.
5. Усилены ранее известные результаты про почти примитивность суммы почти примитивных элементов в свободном произведении свободных алгебр шрайеровых многообразий.
Основные методы исследования В работе применяется техника символьного вычисления, свободного дифференциального исчисления, методы теории неассоциативных алгебр, методы работы с примитивными системами элементов для свободных алгебр шрайеровых многообразий.
Теоретическая и практическая ценность работы Диссертация имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы позволяют алгоритмически решать задачу проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных, в свободных (анти-) коммутативных и в свободных алгебрах Ли. Апробация работы Результаты диссертации докладывались: на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ; на семинарах "Избранные вопросы алгебры", "Теория колец" кафедры высшей алгебры МГУ; на международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалева, МГУ, Москва, 2010 г.; на международной математической конференции, посвященной 70-летию профессора В. В. Кириченко, Николаев, Украина, 2012 г.;
Критерии примитивности элемента в свободных алгебрах шрай-еровых многообразий
Рассмотрим двусторонний идеал J\ свободной неассоциативной алгебры F(X), порожденный множеством {ab — ba а, Ъ Є F(X)}. Тогда факторалгеб-ра А_{Х) = F(X)/J\ является свободной неассоциативной коммутативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.
Предположим множество Г(Х) вполне упорядочено таким образом, что для а, Ь Є Г(Х) если d(a) d(b), то а Ъ, где d(a) — степень элемента а. Построим индуктивно множество W\ всех регулярных коммутативных одночленов: X С W\ и w Є Ні, если w = uv, и и v — регулярные коммутативные одночлены И U V.
Тогда смежные классы с представителями из множества W\ образуют линейный базис факторалгебры А_(Х) = F{X)/J\. Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра U{A_{X)) алгебры А_{Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих Si = {rw w Є W\]. А. И. Ширшов [21] доказал, что подалгебры свободных коммутативных неассоциативных алгебр свободны.
Рассмотрим двусторонний идеал J свободной неассоциативной алгебры F(X), порожденный множеством {ab + Ъа а, Ъ Є F(X)}. Тогда факторал-гебра А+(Х) = F{X)j J2 является свободной неассоциативной антикоммутативной алгеброй с множеством свободных порождающих X.
Построим индуктивно множество W всех регулярных коммутативных одночленов: X С W i и w Є W ii если w = uv, и и v — регулярные антикоммутативные одночлены И U V.
Тогда смежные классы с представителями из множества W образуют линейный базис факторалгебры А+(Х) = F{X)j J - Кроме того, универсальная мультипликативная обертывающая алгебра U(A+(X)) алгебры А+(Х) является свободной ассоциативной алгеброй с множеством свободных порождающих 5 2 = {rw w Є И }. А. И. Ширшов [21] доказал, что подалгебры свободных антикоммутативных неассоциативных алгебр свободны. В дальнейшем мы будем рассматривать свободные (анти-) коммутативные алгебры над полем К характеристики char if ф 2.
Рассмотрим двусторонний идеал I алгебры F{X), порожденный элемен тами {a2, (ab)c + (bc)a + (ca)b \ a}b}c Є F(X)}. Тогда факторалгебра L(X) = F{X)/ I является свободной алгеброй Ли с множеством свободных порождающих X. Умножение в этой алгебре будем обозначать лиевым коммутантом [,] и использовать запись в левонормированной форме: [x}y}z] = [[x,y],z]. А. И. Ширшов [22] доказал, что подалгебры свободных алгебр Ли свободны. Универсальной обертывающей алгебры Ли L(X) является свободная ассоциативная алгебра F(X) с линейным базисом S(X) ассоциативных одночленов.
Построим индуктивно множество W всех регулярных одночленов для алгебры L(X): X С W; w Є W, если w = [u}v], и и v — регулярные одночлены и и v, если и = [щ щ], то U i v. Тогда W — базис L(X) как линейного пространства.
Далее под алгеброй J- понимается одна из рассмотренных выше алгебр F(X), А_(Х), А+(Х), L(X). А под линейным базисом алгебры Т и множеством свободных порождающих алгебры U(J-) понимаются соответственно Wt и Si.
Подмножество М алгебры J- называется независимым, если М является множеством свободных образующих подалгебры alg{M} С J-, порож;денной подмнож;еством М. Подмнож;ество М = {а } ненулевых элементов алгебры J-называется редуцированным, если для любого і старшая часть а элемента 2j не принадлежит подалгебре алгебры J7, порожденной множеством {а \ j 7 і}- Рангом множ;ества Н С Т = J {X) называется минимальное число свободных образующих из X, от которых может зависеть образ ф{Н), где ф пробегает группу автоморфизмов алгебры J- (другими словами, rank(i7) — наименьший ранг свободного фактора алгебры J7, содержащего множество Я).
Подмножество М различных ненулевых элементов алгебры J (X) называется примитивным, если существует такое множество Y свободных образующих алгебры J- (X), J- (X) = J- iY), что М С Y. Если X = {х\}... ,хп}, J {X) = J (Y), Y — множество свободных образующих алгебры J- (X), то У = \Х\ = п. Соответственно, элемент и алгебры J (X) называется примитивным, если он является элементом некоторого множества свободных образующих алгебры J-{X). Ненулевой элемент и алгебры J {X) называется почти примитивным, если он не является примитивным элементом алгебры J-(X), но является примитивным в любой собственной подалгебре?/ С (Х), содержащей его, и Є Ті.
Далее (раздел 2.2) разбираются основные критерии и способы проверки примитивности элементов (на основе символьного вычисления, дифференциального исчисления, факторизации и свободного произведения). Строится важный пример не примитивного элемента специального вида (Предположение 2.12). Затем (в разделе 2.3) вводится понятие ранга примитивности элемента свободной алгебры, изучаются его комбинаторные свойства и доказывается Теорема 2.20 о ранге примитивности суммы элементов при свободном произведении алгебр. В процессе доказывается Лемма 2.19 о строении критических подалгебр свободного произведения, которая пригодится далее в вопросе изучения почти примитивных элементов.
Первая часть третьей главы (разделы 3.1—3.3) посвящена исследованию свободных шрайеровых алгебр малых рангов: идет накопление примеров и свойств почти примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр F(x), F(x,y) ранга 1 и 2 соответственно, свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр А_{х), А_(х,у), А+(х,у) и свободной алгебры Ли L(x,y). В этой части доказаны критерии и сформулированы алгоритмы распознавания однородных почти примитивных элементов этих алгебр: Теоремы 3.3, 3.10, 3.15, 3.18, 3.22.
В разделе 3.4 рассматривается связь между почти примитивностью старшей части элемента и почти примитивностью самого элемента (Теорема 3.26) и доказывается, что элементы вида (... ([ах\)х2) -)хп + Х\ являются почти примитивными в свободной (коммутативной) неассоциативной алгебре (Теорема 3.29).
Затем происходит обобщение результатов предыдущих разделов на общий случай произвольного ранга (разделы 3.5—3.6) свободной шрайеровой алгебры, посредством определения понятия р-числа элемента, изучаются его комбинаторные свойства. Далее строится критерий и алгоритм проверки почти примитивности однородного элемента степени больше 2: Теоремы 3.34, 3.35. Для однородных элементов степени 2 доказывается Теорема 3.42.
Наконец в завершающем разделе 3.7 мы возвращаемся к технике работы с рангом примитивности и доказываем Теорему 3.47, являющуюся усилением ранее известного результата в свободных алгебрах и аналогом классической теоремы из свободных групп.
Ранг примитивности и его свойства
Таким образом, с учетом (3) уравнение (4) превращается в систему из = 1 ж,у}1 уравнений /ЗІ = 2 Xj(5a,ij + abij) о 0 = 2(a,ij6\j + bijaXj) - /Зг = дг (5) і J І І з ) І с неизвестными 5, a,Xj. По Теореме 3.21 элемент и будет почти примитивным тогда и только тогда, когда данная система не имеет решения. Если поле К алгебраически замкнутое, то система (5) не имеет решение тогда и только тогда, когда редуцированный базис Гребнера-Ширшова идеала/ = (gi,..., gz), порожденного элементами ft в кольце многочленов от 2 + И/7п А переменных, содержит единицу, что алгоритмически проверяется его вычислением.
Если единица содержится в редуцированном базисе Гребнера-Ширшова идеала /, то элемент и будет почти примитивным независимо от алгебраической замкнутости поля К. 1. Пусть элемент и Є J (X) не является примитивным элементом в J-(X), но старшая часть и является примитивным элементом в любой собственной подалгебре, порожденной однородными образующими, и Є 7i С F{X), Тогда элемент и является почти примитивным элементом в J-{X); 2. В обратную сторону утверждение 1 верно для однородных элементов; 3. Существуют неоднородные элементы вТіх у), для которых в обратную сторону утверждение 1 неверно.
Доказательство. 1. Пусть элемент и не является почти примитивным, тогда существуют собственная подалгебра % = alg{/ii,... , hk} с редуцированным множеством свободных образующих, в которой элемент и не является примитивным. Рассмотрим подалгебру?/0 = alg{/i,... , h } алгебры F{X) с редуцированным множеством свободных образующих и покажем, что в ней элемент и не является примитивным. Во-первых, подалгебра 1-L0 является собственной, так как существует v Є J-(X), такой что d(v) = 1, v ф Ті, следовательно, v ф 7i. Во-вторых, так как и Є %, то и = /(/її, , hk), но тогда найдется д, такой что и = g(h1,. .. , hk), значит и Є 7i. Наконец, и не примитивен в 7i, так как в противном случае существует старшая часть /i, входящая линейно в представление элемента и. Но тогда образующая hj входит только линейно в представление элемента и в подалгебре Ті, а значит, и является примитивным элементом подалгебры Ті по Предложению 2.1. Но по условию теоремы элемент и является примитивным элементом в любой собственной подалгебре, порожденной однородными образующими, а значит примитивен в подалгебре T-L. Противоречие. 2. Утверждение очевидно. 3. В качестве примеров можно взять элементы {хх)у + х или (ху)у-\-у для свободной неассоциативной алгебры F{x,y) и свободной коммутативной алгебры А-(х,у); элемент {ху)у + у для свободной антикоммутативной алгебры А+(х} у) над полем К, в котором уравнение а +1 = 0 не имеет решения; элемент [[ж,у],у] + х для свободной алгебры Ли L(x,y) над полем К, в котором уравнение а2 + 1 = 0 не имеет решения. Как было доказано в Предложении 2.7 данные элементы не являются примитивными. Ясно, что старшие части этих элементов не являются почти примитивными, поскольку имеют вид произведения, а значит, в соответствующей подалгебре по Предложению 2.1 будут непримитивны.
Рассмотрим элемент и = [[ж,у],у] + ж, пусть и принадлежит подалгебре T-L = alg{/ii,..., hk] С L(x,y) с редуцированным множеством свободных образующих Н = {/її,.. . , hk}- Тогда, если никакая старшая часть h не входит линейно в и, то без ограничения общности возможны два случая. В первом случае, когда h\ = [ж,у], h\ = у, имеем h\ = [х, у] + ах + (Зу, hi = у. Тогда Н э и = [h\ — (3fi2, h i\—u — a{h\ — fih/i) = — (a2 + l)x. Так как в поле К уравнение а2 + 1 = 0 не имеет решения, то и Ф 0. Значит, {ж, у} С Н, поэтому Н = L(x,y). Во втором случае, когда [[/г ,/г ],/13] = [[ж?2/]?2/]; имеем h\ = х, J12 = у, поэтому Н = L(x,y). Противоречие. Следовательно и является примитивным элементом в Н, а значит почти примитивным элементом в L(x,y). Почти примитивность остальных элементов доказывается аналогично.
Рассмотрим еще одну серию примеров для утверждения 3 Теоремы 3.26 для свободной неассоциативной (коммутативной) алгебры J-{X). Но в начале докажем следующие леммы.
Лемма 3.27. Пусть X = {х\}... }хп} — непустое множество, dx — весовая функция степени элемента. Предложим, что собственная подалгебра T-L алгебры J- (X) порождена редуцированным множеством свободных образующих Н = {/її,..., hk}. Тогда при элементарных преобразованиях вида К = 0ha + f{hp \ /3 a),hp = hp, /З а сО О, dx{f{hp \ /3 ф а)) dx{K) множество Н остается по-прежнему редуцированным множеством свободных образующих подалгебры T-L. возможно с другим элементом д, но таким, что g(ho \ (3 j а) = f{hp \ (3 т ск). Тем не менее, множество старших частей остается редуцированным множеством, а значит, и множество Н так же остается редуцированным.
Определим следующие элементы: щ {а) = (... ((axt)xt+i).. .)xs Є F{X) для любого а Є J-(X), где J (X) — свободная неассоциативная ((анти-) коммутативная) алгебра с множеством X = {х\,... , хп} свободных образующих. Тогда для любого i, t і s имеем, что Ut:S{a) = iti,s(iti,j-i(a)) и элемент v = (... ((ж?ж2)ж3) -)хп = uhn{xi).
Лемма 3.28. Пусть T-L — подалгебра, порожденная редуцированным множеством образующихН = {/її,..., hk\, T-L = &lg{H}, где H = {h ,..., hi}. Предположим, что щіП(а) Є T L, где 1 t п (тогда имеем, что и%п(а) = (... ((aXt)xt+i).. .)хп = щіП(а) Є T L), но а, xt}..., хп не содержатся в 7i одновременно. Тогда существует минимальное число т Є {t + 1,... }п}, такое что щіт-і(а) Є 7i, хт}... ,хп Є T-L и более того щіт-і(а) является старшей частью некоторой образующей из множества Н, хт}... ,хп Є Н, где Н = {/її,... , h k] есть результат применения некоторого элементарного преобразования вида (6) после линейного преобразования множества Н, дающего элементы хт}..., хп.
Доказательство. Действительно, предположим чтога является таким минимальным числом, что щуП(а) разлагается как utn = (... {щ т-і{а)хт).. .)хп с щ:т-і(а) Є 7i и, без ограничения общности, Хт, , %п Є Н (то есть мы сначала применили некоторое линейное преобразование к множеству образующих). Если никакое h не является линейным слагаемым в щ т-і{а), то тогда
Согласно (8) имеем, что щ т-2{а) = А Є 4, что противоречит с мини мальностью числа т. Следовательно, существует старшая часть h , которая является линейным слагаемым в представлении элемента щ т-і{а), то есть Щ7т-і(а) = Ьл + f(h j ф %\). По Лемме 3.27 множество {/ц = /ц + f(hj \ З 7 i)} U {hj I j T ii} является редуцированным множеством образующих подалгебры Ч и щ;т-\{а) = ( ((a0xt)xt+i).. .)xm-i = h4- Теорема 3.29. Пусть J- (X) — свободная неассоциативная (коммутативная) алгебра с множеством X = {х\}..., хп} свободных образующих. Тогда для любого а Є (Х) элемент v = и п(а) +Х\ = (... {{{axi)x2)xz).. .)хп + Х\ является почти примитивным eJ-(X). Доказательство. Как было доказано в Предложении 2.12, элемента не является примитивным в алгебре J-{X).
Критерии почти примитивности однородного элемента
Однородный элемент и Є F{X), X = {х\,... ,хп}, степени d(u) = 2 является почти примитивным тогда и только тогда, когда элемент и имеет максимальный ранг, то есть rank(w) = п.
Доказательство. Предположим, что такая существует собственная подалгебра Ті С J-(X) с редуцированным множеством Н = {/її,... , hk} однородных образующих, что и Є J (X) и и Є Ті не является примитивным в этой подалгебре. Тогда все hj, участвующие в представлении элемента и, имеют степень d{hj) = 1, так как иначе hj является линейным слагаемым степени 2 в представлении элемента и = u{h\,. .. , hk), и следовательно, элемент и примитивен по Предложению 2.1. Так как Ті — собственная подалгебра J-(X), то число образующих степени 1 меньше чем п. Значит rank(w) п.
С другой стороны, если rank(w) п, то существуют свободные образующие у\,.. . , уп степени 1 в алгебре (X), такие что и = и{у\,... , уг&пци)). Таким образом T L = alg{yi,. .. }уТ(тци)} Я F{X) является собственной подалгеброй J (X) и содержит однородный элемент и степени 2, не являющийся прими тивным в Ті по Предложению 2.1. Следствие 3.43. Существует алгоритм распознавания почти примитивности однородного элемента и степени d(u) = т = 2 в J- (X).
Доказательство. Согласно Теореме 3.42, необходим и достаточным условием почти примитивности является равенство гапк(м) = п. Алгоритм вычисления ранга элемента свободных алгебр шрайеровых многообразий был получен и построен в [16,42,43,48].
Замечание 3.44. Отметим, что если скорректировать Определение 3.32 р-числа для однородных элементов степени 2, сказав, что всякое слагаемое вида hpCp или Dqhq степени 2 в представлении (9) на самом деле является слагаемым вида hPlhP2, т.е. правые (левые) сомножители Ср (Dq) являются образующими подалгебры и учитываются в Jp (Jq), то условие rank(w) = п в точности совпадет с условием р(и) = п. Тем самым Теорема 3.42 является частным случаем Теоремы 3.34. дует, что С(т) / тоз/2 Следовательно, в виду = rv заявленные значения. 3.7 Почти примитивные элементы свободного произведения свободных алгебр
Почти примитивные элементы свободного произведения свободных алгебр изучались в работе [46] и было доказано следующее утверждение для свободной алгебры J (X) одного из рассматриваемых в данной работе типов.
Предложение 3.46 ([46]). Пусть J- (X) является свободным произведением двух собственных подалгебр А и В, Т = А В. Пусть также а и b являются однородными почти примитивными элементами А и В, относительно некоторых весовых функций Ц\ и ц2 на А и В, соответственно ([Х\ и /І2 могут быть различными). Тогда а + Ъ является почти примитивным элементом в Т.
Техника изучения ранга примитивности позволяет усилить данное утверждение, избавившись от условия однородности элементов а и Ь.
Теорема 3.47. Пусть J- (X) является свободным произведением двух собственных подалгебр А и В, J7 = А В. Пусть также a ub являются почти примитивными элементами А и В, соответственно. Тогда элемент а + Ъ является почти примитивным элементом J-{X).
Доказательство. Из Леммы 2.17 следует, что элементы а, 6 Є T-L, как только подалгебра Н С J (X) содержит элемент а + Ь. Далее можно воспользоваться [46, Лемма 3.8] или повторить доказательство Леммы 2.19 и, на этот раз пользуюсь почти примитивностью элементов а, 6, показать, что элемент а + Ь будет примитивным в Н. Наконец, Лемма 2.4 завершает доказательство.
Таким образом, мы получили возможность строить новые серии почти примитивных элементов, используя любые почти примитивные элементы (а не только однородные) при свободном произведении свободных алгебр одного типа. Например, ясно, что для элементов и\;пх(а) Є F(X) и щ П2(Ь) Є F{Y) свободных неассоциативных алгебр F{X) и F(Y) ранга п\ и П2, соответственно, элемент и = uhni{a) + uhn2(b) = (... ({ах1)х2).. .)хП1 + хЛ + (... {{Ьуг)у2).. .)уП2 + У\ будет почти примитивным в свободной неассоциативной алгебре F{X U Y) для любых а Є F(X) и Ь Є F(Y). Отметим еще одно полезное применение Теоремы 3.47. Предложение 3.48. Ранг примитивности TT(W) достигает всех значений {1,...,п, оо} на элементах свободной неассоциативной алгебры, свободной коммутативной алгебры ранга п и {2,...,п, оо} на элементах свободной антикоммутативной алгебры и алгебры Ли ранга п.
Доказательство. Действительно, у нас есть набор примеров почти прими тивных элементов свободных алгебр малых рангов, значит, свободно умножая свободную алгебру малого ранга сколько нужно раз на свои же копии, мы можем получить почти примитивный элемент и для любой J-o(xi,... , хщ) С Т(х\}. .. , хп), где 1 хПо хп. Тогда тг (и) = тг 0(и) = щ по Следствию 2.16. Достижимость рангом примитивности значения 1, согласно Предложе нию 2.14, напрямую зависит от существования степеней элементов в свобод ных алгебрах. Значение оо достигается на примитивных элементах (например свободных образующих). Замечание 3.49. Если свободная группа F конечного ранга является произведением двух собственных подгрупп А и , F = А В, элементы а и Ь являются почти примитивными вл и В, соответственно, тогда ab является почти примитивным элементом в F, см. [28,34,35].
Заключение
В диссертации рассмотрены примитивные и почти примитивные элементы свободных алгебр шрайеровых многообразий: свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры, свободной алгебры Ли. Введено понятие ранга примитивности элемента в свободных алгебрах шрайеровых многообразий, доказаны его комбинаторные свойства. Исследованы почти примитивные элементы свободной неассоциативной алгебры, свободной (анти-) коммутативной алгебры и свободной алгебры Ли малых рангов, сформулированы критерии и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в этих алгебрах. Исследована связь почти примитивности элемента и его старшей части, построены новые важные примеры почти примитивных элементах в свободных алгебрах произвольного ранга. Введено понятие р-числа однородного элемента свободной алгебры шрайерова многообразия, в терминах р-числа доказан критерий почти примитивности однородного элемента степени больше 2 и построен алгоритм проверки почти примитивности. Критерий почти примитивности однородного элемента степени 2 сформулирован и доказан в терминах ранга элемента. Наконец, рассмотрены свободные произведения свободных алгебр шрайеровых многообразий, доказаны утверждения для ранга примитивности и почти примитивности элементов свободных произведений.
Диссертация имеет как теоретический, так и прикладной характер. Результаты работы могут быть использованы в научных исследованиях, а так же для реализации алгоритмов проверки почти примитивности однородных элементов свободных алгебр шрайеровых многообразий и включения их в системы символьных вычислений в этих алгебрах.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
