Содержание к диссертации
Введение 3
I. Градуированные тензорные произведения 7
-
Факторы по идеалам 7
-
Представления абелевых алгебр Ли 14
-
Формула для характера . 17
-
Фермионная реализация 19
-
Короткие точные последовательности 23
II. Многообразия Шуберта 30
-
Геометрия многообразий Шуберта 30
-
slu как алгебраическое многообразие 34
-
Изоморфизмы sh^ ~ shg. . 36
-
Линейные расслоения на sh(n) 38
-
Геометрия общих многообразий Шуберта 45
-
Линейные расслоения на shf,-,^^} 51
III. Бесконечномерные конструкции 54
-
5І2~модули 54
-
Разложение LD. Алгебра Верлинде 56
-
Комбинаторные вычисления 58
Список литературы 61
Введение к работе
Пусть g — полупростая комплексная алгебра Ли, g — соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди с картановским разложением g = п+ ф 1) n_, д <8> C[f] - алгебра токов (см. [К]). Пусть V(A) неприводимое представление g со старшим весом Л и старшим вектором v\, a W - группа Вейля д. Таким образом, V(A) = U(n-)-vA, где и(п-) - универсальная обёртывающая алгебра. Напомним, что для любого веса а и w Є W размерности multaA и multwaA соответствующих весовых пространств в V(A) совпадают. Значит для всех w Є W получаем mult^A = 1 (т.к. тикдЛ = 1). Зафиксируем какой-нибудь ненулевой вектор vw\ веса wA в V(A). Определим модули Демазюра в V(A) следующим образом (см. [D, Кит]): Vw(A) = U(gC[t])-vwA.
Эти модули можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию бесконечномерных пространств V(A). Таким образом, изучение пространств Vw (Л) важно как само по себе, так и для прояснения структры представлений аффинных алгебр. Отметим также, что модули Демазюра возникают в таких областях математической физики как теория решёточных моделей (см. [JM]) и теории представлений вертекс операторных алгебр (см. [Кае, Do, FTS, FF1]).
Основным средством изучения размерностей и характеров модулей Демазюра является теория Демазюровских кристаллов - комбинаторных объектов, нумерующих базисы в модулях Демазюра (см. [Ка2, КаЗ, КМОТШ, KM0TU2]). Одним из важнейших и интереснейших следствий этой теории является утверждение о том, что кристаллы для некоторых Демазюровских модулей являются тензорными произведениями других кристаллов (см. [DJKTO, JMMO]). В работах [Sa, М, FoL] также показано, что некоторые Демазюровские модули изоморфны тензорным произведениям неприводимых д-модулей как представления д. Всё это делает естественной гипотезу о том, что модули Демазюра могут быть построены как деформации тензорных произведений неприводимых представлений полупростой алгебры (см. [FL]). Приведём здесь эту конструкцию.
Пусть Vi,...,Vn - неприводимые представления алгебры Ли д, и,- - старпшй вектор Vi, a zi,...,2n - набор попарно различных комплексных чисел. Обозначим через VJ(г,-) представление алгебры g С[2] в К', определяемое отображением g C[t] - g, xfc н-> z* х, ібд,ц = іі1.
Введём фильтрацию Ft на тензорном произведении 0]^ Vi(zi): Fs = span{a:> - - 4РР} (?=і"і). «і + - + аР < *, *W g}.
Определим градуированное тензорное произведение (гтп) Vy * * Vn как присоединённый градуированный модуль относительно введённой фильтрации. Предположительно, градуированные тензорные произведения не зависят от параметров 2,- и являются Де-мазюровскими модулями в некоторых интегрируемых g-модулях. Частные случаи этой гипотезы доказаны в [Ked, CL, FKL].
В нашей работе рассматривается случай g = з12. Одним из основных результатов является доказательство вышеприведённой гипотезы. Сформулируем точное утверждение для гтп, соответствующих Демазюровским модулям в неприводимых представлениях sl2.
Пусть L}tk - неприводимый зіг-модуль со старшим вектором «/,*, удовлетворяющим соотношениям h0vitk — lvitk, Kvitk = kvitk, dv!tk = 0.
Здесь h - картановский элемент ъ sl2, СК - центр sl2, a d удовлетворяет соотношению [d,Xi] = —іхі, х Є ЗІ2- Рассмотрим элемент wp из группы Вейля 5І2 длины 2р. Тогда VWp(Lltk) ~ 7Г/ * 7Tfc * 7Tjfc, 2р-1 где 7Tj - неприводимое (j + 1)-мерное представление $12. Мы также доказываем аналогичные утверждения для подмодулей тензорных произведений неприводимых 5{г-модулей, порождённых произведением старших векторов.
Пусть теперь Vi* *Vn некоторое гтп. Определим многообразие Шуберта shv1,...,vn как замыкание орбиты старшего вектора в проективизации гтп: shv, vn = G(C[t])-[v] -> Р(Ц * * Vn), (1) где G - группа Ли алгебры д, а [и] - прямая, соответствующая произведению старших векторов Vi. Заметим, что в случае специального выбора модулей К" определение (1) совпадает с определнием стандартных многообразий Шуберта в аффинном многообразии флагов, см. [СФ, Kum, Kal, SI]. В нашей работе изучаются эти многообразия в случае g = 5І2- Мы описываем алгебро-геометрические свойства многообразий Шуберта. Перечислим наши основные результаты. 1). Пусть А = (1 < ai < - < ап), В = (1 < Ьг < - < 6„). Тогда SUffai ,...,7Га„ — ShjTd, ,...,1ГЬп если и только если a,- = a,-+i > 6,- = &,+! Таким образом, многообразие Шуберта sh7rai ,.„,*„„ определяется типом набора А: набором ii,..., i„ таким что а,\ = = a,-, < a,1+i = - = а,-1+,-2 < < а„_,ї+і = = а„.
Будем обозначать соответствующее многообразие через sh{,-lt.„(,-,}.
2). Имеется расслоение sh{,b...)Is} -> sh{,-t+b„.t,-e} со слоем shjlt.„)f-t для всех 1 < t < s — 1. Учитывая, что sh(n) - гладкое многообразие, получаем разрешение особенностей для остальных многообразий Шуберта (см. [BS, На] в конечномерном случае, а также [Т]). 3). Любое гтп может быть реализовано как двойственное пространство сечений линейного расслоения на некотором многообразии Шуберта (см. также [S]). Точнее, пусть тип А равен {г'і,..., is}, а тип В равен {ji,.. .,jt}. Тогда, если найдутся такие $i,..., st-i > О, что ji=H-\ Н iSl, - - -, jt = «„+...+,(_! Н г is,
7Г6і*--.*7ГЬ„~(Я(8Ь{,ь...ііі},0)Г для некоторого линейного расслоения О на sh^. (см. также [Ма, Kuml]).
Как мы уже отмечали выше, гтп специального вида совпадают с Демазюровскими модулями в неприводимых представлениях sl%. В то же время гтп можно использовать для построения более общих (приводимых) интегрируемых з^-модулей. Пусть 1 < Cti < - < ап < к и М = TTai * ''' * я"а„- Тогда имеются вложения
М <-> М * ТГк * 7T/fc «-> М * TTk * It к * Як * я"* <-> .
Мы показываем, что инъективный предел таких вложений является интегрируемым $12-модулем уровня к. Мы изучаем эти представления: находим базис, характер, а также разложение на неприводимые компоненты (соответствующие g-кратности изучаются в [FF2]). Приведём здесь правило разложения на неприводимые представления.
Напомним, что алгебра Верлинде V* для ЗІ2 определяется как фактор коммутативной алгебры с образующими тго, яч, яг, -.. по иделу, порождённому соотношениями
7r,-7Tj = 7T,+j + 7T;+j-2 Н Г ^i-ji г > З'ї ^k+l = 0. (Таким образом, образующие перемножаются как неприводимые конечномерные представления 5Іг). Рассмотрим равенство в V*:
7Гіг 7Tfc* = Со,>7Г0 Н h Ck,D^k, D = (Ji, , dk). Тогда имеется изоморфизм
lim І 7Гі * * 7Гі * * TTfc-1 * " ' * Я"/Ь-1 * s-oo 1 > v1 ' v ^ ^
Со,0^0,*: Ф ' * Ф Ck,DLk,k-
Наша работа состоит из трёх глав.
В первой главе мы изучаем свойства градуированных тензорных произведений: явно описываем идеал соотношений, доказываем независимость от параметров, изучаем короткие точные последовательности и устанавливаем связь с модулями Демазюра.
Во второй главе мы определяем многообразия Шуберта, соответствующие градуированным тензорным произведениям и изучаем их алгебраические и геометрические свойства: клеточные разбиения, топологические расслоения между различными многообразиями Шуберта, когомологии линейных расслоений.
В третьей главе мы строим и изучаем бесконечномерные зіг-модули, являющиеся инъ-ективными пределами градуированных тензорных произведений: находим базис, характер и разложение на неприводимые компоненты. Благодарности. Я благодарен своему научному руководителю к.ф.м.н., доценту Чубарову Игорю Андреевичу за постоянное внимание к работе.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
