Введение к работе
Актуальность темы. Устоявшимся направлением исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения тождественных соотношений. Алгебры Лейбница с тождествами являлись предметом исследования уже в самом начале развития теории этих алгебр. Значительная часть изучаемых классов алгебр Лейбница выделяется по признаку выполнения (или невыполнения) некоторых тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных алгебр и некоторые другие.
Совокупность всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений называется многообразием этих алгебр над заданным полем1 или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр2.
В 1949 году А.И. Мальцев доказал, что в случае, когда основное поле имеет нулевую характеристику, всякое тождество эквивалентно системе полилинейных (линейных по каждой переменной) тождеств3. Поэтому в этом случае вся информация о многообразии содержится в пространстве полилинейных элементов степени п от переменных Жі, #2? хт так называемых полилинейных компонентах относительно свободной алгебры многообразия. Векторное пространство полилинейных элементов естественным образом превращается в модуль симметрической группы, что позволяет при его исследовании использовать хорошо разработанный аппарат представлений симметрической группы.
Пространство полилинейных элементов как модуль симметрической группы над полем нулевой характеристики раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей. Каждое из таких слагаемых содержит множество эквивалентных друг другу тождественных соотношений.
1 Мальцев, А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.
2 Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре. — СПб: Лань, 2005.
3 Мальцев, А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями // Математи
ческий сборник. - 1949. - Т.25. - №3. - С. 347-366.
Последовательность размерностей полилинейных компонент некоторого многообразия, называемая последовательностью коразмерностей вербального идеала или просто последовательностью коразмерностей, является важной числовой характеристикой для многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности определяет рост многообразия.
Алгеброй Лейбница называется векторное пространство с билинейным произведением, в котором выполняется тождество: (xy)z = (xz)y + x{yz).
В диссертационной работе рассматривается многообразие алгебр Лейбница, удовлетворяющее тождеству x(y(zt)) = 0. Вероятно впервые это многообразие было рассмотрено Л.Е. Абаниной 4, в которой оно получило обозначение 3N и название многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.
Для многообразия 3N СП. Мищенко и Л.Е. Абаниной была исследована структура полилинейных компонент как модулей симметрической группы, в частности, было доказано, что это многообразие имеет сверхэкспоненциальный рост 5 Кроме того, Л.Е. Абаниной исследованы два подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница, имеющие почти полиномиальный рост6'7.
Говорят, что многообразие V экстремально по отношению к некоторому свойству, если само многообразие им не обладает, но любое его собственное подмногообразие обладает этим свойством.
4 Абанина Л.Е., Мищенко СП. Некоторые многообразия алгебр Лейбница // Математические
методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. — М.: Союз, 2002. — 154. —
С. 95-99.
5 Abanina L.E., Mishchenko S.P. The variety of Leibniz algebras defined by the identity x(y(zt)) = о
II Serdica Math. J. - 2003 - №3. - P. 291-300.
6 Абанина Л.Е., Рацеев СМ. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тож
дествами // Вестник Самарского государственного университета. — 2005. — №6. — С. 36—50.
7 Абанина Л.Е. Многообразия алгебр Лейбница почти полиномиального роста // Алгебра и тео
рия чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V международной конференции.
- Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2003. - С. 3-4.
Известно, что многообразие 3N экстремально по отношению к свойству иметь экспоненциальный рост. Это отношение экстремальности выражают также термином "иметь почти экспоненциальный рост"8. Кроме того, в этой работе анонсированы следующие результаты: многообразие 3N обладает такими экстремальными свойствами, как иметь почти полиномиальный рост кодлины и почти конечные кратности.
Объектом исследования в работе являются многообразия алгебр Лейбница и их подмногообразия, полилинейные компоненты указанных объектов, а также их числовые характеристики.
Исследование экстремальных многообразий алгебр Лейбница является предметом исследования.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование пространства полилинейных компонент как самого многообразия, так и любого собственного подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Изучение асимптотики последовательности коразмерностей вербального идеала собственного подмногообразия многообразия 3N. Рассмотрение многообразий алгебр Лейбница почти полиномиального роста, удовлетворяющих тождеству x(y(zt)) = 0. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:
Определение вида элементов, порождающих неприводимые модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия 3N алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.
Доказательство целочисленности экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего тождеству x(y(zt)) = 0.
Поиск полного списка подмногообразий почти полиномиального ро-
8 Мищенко СП., Скорая Т.В., Фролова Ю.Ю. Новые свойства многообразия алгебр Лейбница 3N, определенного тождеством x(y(zt)) =0// Тезисы докладов VIII международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". — Саратов, 2011. — С. 49—50.
ста многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Методы исследования. В работе использованы следующие методы:
методы теории линейных алгебр;
методы теории представлений симметрической группы;
техника диаграмм Юнга;
комбинаторные методы.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые предъявлен вид ненулевых элементов, порождающих неприводимые подмодули пространства полилинейных элементов многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница; доказано совпадение верхней и нижней экспонент собственного подмногообразия 3N алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики; доказано наличие ровно двух многообразий почти полиномиального роста алгебр Лейбница на полем нулевой характеристики, удовлетворяющих тождеству x(y(zt)) = 0. Научные положения, выносимые на защиту.
Строение элементов, порождающих неприводимые модули из разложения пространства полилинейных компонент многообразия алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего тождеству x(y(zt)) = 0.
Целочисленность экспоненты любого собственного подмногообразия многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики.
Полный список подмногообразий почти полиномиального роста многообразия 3N алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях теории многообразий линейных алгебр. Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полу-
ченные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. С.П.Мищенко. Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем.
Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы. Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:
Молодежный научный форум "Университетское образование: проблемы и перспективы". Ульяновск. 24 января 2009 г;
Летняя школа-конференция "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов". Самара. 8-15 июня 2009 г;
Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации". Ульяновск. 26 января 2010 г;
8th International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor Vitaliy Mikhailovich Usenko. Lugansk. 5-12 July 2011;
Международная конференция "Алгебра и математическая логика". Казань. 25-30 сентября 2011 г;
Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 источников. Общий объем диссертации составляет 101 страницу, основной текст диссертации изложен на 63 страницах.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
