Введение к работе
Актуальность темы. Одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называют многообразием линейных алгебр над заданным полем1 или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр2. Классическими примерами многообразий алгебр являются многообразия ассоциативных алгебр, алгебр Ли, йордановых алгебр, а, в последнее время, также и алгебр Лейбница.
Напомним, что алгебра называется нильпотентной алгеброй ступени с, если в ней выполняется тождество Х\Х2 xc+i = 0, но не выполняется тождество Х\Х2 ... хс = 0. Понятно, что в нильпотентной алгебре ступени с выполняется тождество xc+l = 0. Естественно возникает вопрос о том, верно ли обратное. По теореме Нагаты-Хигмана, например, в случае нулевой характеристики основного поля, ассоциативная алгебра с условием хп = 0 нильпотентна индекса не больше 2П — І.3 В теории многообразий алгебр Ли проблема энгелевости в случае поля нулевой характеристики оставалась нерешенной проблемой около ста лет.
Тождеством энгелевости называется тождество вида xYm = 0, где У—оператор умножения справа на элемент у в алгебре Ли. Алгебра Ли, удовлетворяющая этому условию называется алгеброй с условием энгелевости порядка т. Проблема энгелевости восходит своими корнями к проблеме, сформулированной Бернсайдом для групп в 1902 году.4 Ослабленной проблемой Бернсайда занимались В. Магнус, И.Н. Санов, Г. Хиг-
1 Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука. 1970.
2 Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. СПб: Лань. 2005.
3Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука. 1978.
4 Адян СИ. Исследования по проблеме Бернсайда и связанным с ней вопросам // Труды Математического института АН СССР, 1984, том 168, с. 171-196
ман, А.И. Кострикин, СП. Мищенко, Е.И. Зельманов и др. Все они работали в направлении, намеченном Магнусом, то есть исследовали лиевы кольца с условием энгелевости.
Более пятидесяти лет назад А.И. Кострикин доказал, что п—энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п содержит ненулевой абелев идеал.5 В этой же работе А.И. Кострикин доказал, что п—энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п локально нильпо-тентна, решив тем самым ослабленную проблему Бернсайда для групп простого показателя. Возник вопрос, по существу ли этот результат локален, то есть не будет ли п—энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п нильпотентной?
Тридцать лет назад Мищенко СП. установил нильпотентность энге-левого подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии И7/;-6
Напомним строение простой бесконечномерной алгебры Ли картановского типа общей серии Wk- Пусть R = Ф[[г\,..., Zk\] — кольцо формальных степенных рядов от к переменных над полем Ф. Дифференциальные операторы D : R —> R вида D = Хл=і fidi, где fi Є R, a d{ — формальное дифференцирование по г-й переменной, относительно операции коммутирования [D\,Dq\ = D1D2 — D2D1 образуют необходимую алгебру Ли Wk.
Кроме того, СП. Мищенко была доказана нильпотентность п—энгелевой алгебры Ли над полем нулевой характеристики, лежащих в многообразии экспоненциального роста.7 При доказательстве данного результата были использованы комбинаторные методы и теория представления симметрической группы, что дало ограничение на характери-
5 Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, №1. С. 3-34.
6 Мищенко СП. Тождество энгелевости и его приложение. Матем. сборник. 1983. Т.121. №3. С.
423-430.
7 Мищенко СП. К проблеме энгелевости // Мат.сб. 1984. Т. 124, №1. С. 56-67.
стику поля. В то же время техника, разработанная Кострикиным А.И., а так же его результаты использованы не были.
Позже, опираясь на результат А.И. Кострикина о наличии абелева идеала в алгебре с условием энгелевости, Е.И. Зельманов доказал теорему о том, что п—энгелева алгебра Ли нильпотентна в случае нулевой характеристики основного поля.8
Именно за результаты по ослабленной проблеме Бернсайда в 1994 году Е.И. Зельманову была присуждена Филдсовская премия.
Объектом исследования в работе являются многообразия алгебр Лейбница и их числовые характеристики.
Исследование взаимосвязи нильпотентности и условия энгелевости для алгебр Лейбница, а так же экстремальных свойств многообразия алгебр Лейбница, определенного тождеством x(y(zt)) = 0, является предметом исследования.
Цель и задачи работы. Основной целью диссертационной работы является исследование взаимосвязи свойств энгелевости и нильпотентности в случае алгебр Лейбница и, кроме того, получение новых результатов, связанных с многообразием левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:
Доказательство нильпотентности многообразия алгебр Лейбница с условием энгелевости в случае нулевой характеристики основного поля.
Построение примера ненильпотентной алгебры Лейбница с условием энгелевости в случае простой характеристики основного поля.
Доказательство экстремальных свойств многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.
Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, техника,
8Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли // ДАН СССР.- 1987.- т.292.- №2.- 265-268.
связанная с диаграммами Юнга, комбинаторные методы.
Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. В случае нулевой характеристики основного поля доказана нильпотентность энгелевой алгебры Лейбница, в случае простой характеристики поля приведен новый пример ненпльпотентной алгебры Лейбница. Кроме того, получены новые свойства многообразия левонильпотентных ступени не выше трех алгебр Лейбница.
Научные положения, выносимые на защиту.
1. Нильпотентность многообразия алгебр Лейбница с условием энге-
левости в случае нулевой характеристики основного поля.
Пример ненильпотентной алгебры Лейбница над полем простой характеристики р: удовлетворяющей тождеству энгелевости порядка р.
Новые экстремальные свойства многообразия алгебр Лейбница, определенного тождеством x(y(zt)) = 0.
Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории линейных алгебр, теории представлений симметрической группы, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях теории многообразий линейных алгебр.
Апробация работы. Основные результаты и вопросы диссертации обсуждались в виде выступлений на следующих конференциях и семинарах:
— Международный молодежный научный форум "Университетское образование: традиции и инновации". Ульяновск. 26 января 2010 г;
8 International Algebraic Conference in Ukraine dedicated to the memory of Professor Vitaliy Mikhailovich Usenko. Lugansk. 5-12 July 2011;
Восьмая международная конференция, посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Саратов. 12-17 сентября 2011 г;
Международная конференция "Алгебра и математическая логика", посвященная 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова. Казань. 25-30 сентября 2011 г;
Семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.
Личный вклад автора. Результаты второй главы получены автором самостоятельно; схема доказательства результатов третьей главы принадлежит научному руководителю, а проработка деталей доказательства принадлежит автору.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе одна статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Содержит 85 страниц машинописного текста, список литературы из 55 наименований.
