Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О некоторых многообразиях правосиметричных метабелевых алгебр
I. Алгебры Новикова 13
2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа(1, 1) 18
п. 1. Простейшие следствия из определяющих соотношений 18
п. 2 Переработка операторных слов длины 3 и 4 20
п. 3. Вспомогательные тождества. 24
п. 4. Базис свободной метабелевой (1, 1)-алгебры 28
Глава 2. Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа (у,д)
1. Простейшие следствия из определяющих соотношений 31
2. Переработка слов небольшой длины 33
3 Вспомогательные тождества 51
4 Базис свободной метабелевой алгебры типа{/, S) 59
Список цитированной литературы 66
Список опубликованных работ 68
- Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа(1, 1)
- Переработка операторных слов длины 3 и 4
- Переработка слов небольшой длины
- Базис свободной метабелевой алгебры типа{/, S)
Введение к работе
Хорошо известно, что в теории неассоциативных алгебр важную роль играют понятия разрешимости и нильпотентности. Напомним, что алгебра называется нильпотентной, если для некоторого натурального числа п произведение любых ее п элементов равно нулю. Алгебра называется разрешимой индекса п, если в ней выполняется полилинейное тождество вида:
Примером нильпотентной индекса п алгебры может служить алгебра (О а„ ... а л '12 — "1и матриц вида
О 0 ... а1п с обычными операциями сложения и 1^0 0 0 0 ) умножения матриц.
Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, f и умножением [e,f[ = е является разрешимой, но не нильпотентной.
Напомним, что алгебра называется праеоалътернативнощ если в ней выполняется соотношение (х, у,j') = 0, где (х, у, z):= (xy)z - x(yz) -ассоциатор элементов х,у, z. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество (х,х,у) = 0.
4 В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности,
Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел
Щ пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа {у, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа {у, S). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными соотношениями являются локально-нильпотентными.
Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр. Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество: {ab){cd) = О
Фі Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1,1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие
5 альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств.
Ю.А. Медведевым [12] был получен следующий результат. Пусть 771 является подмногообразием одного из следующих многообразий алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей: 1) альтернативных алгебр; 2) алгебр типа (-1, 1); 3) левонильпотентных правоальтернативных алгебр; 4) алгебр Мальцева над кольцом Ф с ХА\ 5) йордановых алгебр над кольцом Ф с 14. Тогда, если квадрат свободной алгебры из 771 аннулирует некоторую степень этой алгебры, то многообразие
772 шпехтово. В частности, многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы.
С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий шпехтова многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики; размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Основные результаты настоящей диссертации связаны именно с описанием тождеств, выполняющихся в разрешимых индекса 2 алгебрах. В качестве следствия могут быть вычислены топологические ранги соответствующих многообразий. Поэтому приведем основные определения.
Пусть X — конечнобазируемое многообразие, X cl 777. Размерностью dim;// многообразия X относительно 771 называется наименьшее число и, обладающее свойством: существует конечная система тождеств f, ..., fSi выделяющая ^из 771ъ т.е.
Пусть 771 — шпехтово многообразие, то есть всякое его подмногообразие конечнобазируемо; a (777) - множество всех подмногообразий многообразия 771. Пусть cTf с a (777); множество Ж называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества tff ограничены в совокупности. Перейдем теперь к определению топологического ранга множества ffl, являющегося естественным
Обобщением КОНеЧНОМерНОСТИ;
Для любого Ж из а (777) введем множества Un (Ж) = { ХаЛ\ dim ж> и}, Un (Ж) = Un (Ж) и{Я}.
Считая множество 27- {U„ {<Щ\ <Ж ест(77/), п &N) базой окрестностей (необходимые условия проверяются непосредственно), (J (777) наделяется некоторой топологией; Ж является топологическим подпространством пространства а (77?). Поскольку 771- шпехтово, любая убывающая цепочка многообразий 77l\ z> //%^> -- ^> TTln zd... из .^стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества /Я? является изолированной точкой в пространстве Ж. Обозначая через Jf' множество предельных точек пространства Ж, имеем Л^
Топологическим рангом r{(3f) пространства .^называется число г такое, что Ж[г-!)Ф0 и ^и = 0. Топологическим рангом многообразия называется топологический ранг пространства а (777), т,е. rt(777) = rt(d(77tj).
7 Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае Йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг.
Настоящая диссертация состоит из двух глав.
Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий метабелевых правоеимметричных алгебр, а именно, алгебр типа (1, 1) и алгебр Новикова.
Структура первой главы такова. Глава состоит из двух параграфов. Нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя.
Первый параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Получение результатов этого параграфа не требует серьезных вычислений, и они приводятся автором в основном потому, что позволяют наглядно продемонстрировать метод решения подобных задач.
Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте выводятся следствия из определяющих соотношений и строится аддитивный базис ненильпотентной метабелевой алгебры Новикова. Во втором пункте построена ненильпотентная свободная метабелева алгебра Новикова от счетного числа порождающих.
Сформулируем основные результаты этого параграфа.
Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения.
ЛЕММА 5. Всякое тождество f степени degf> 5 ненильпотентного многообразия метабелевых алгебр Новикова является следствием определяющих тождеств.
ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2.
Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1).
Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики Ф 2, 3 называется (1, \)-алгеброй, если в ней выполнены тождества: (х, х, х) - О, (х, у, z) + (у, х, z) + (z, х, у) = О, (x,y,z)-(x,z,y) = 0.
Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4.
Пусть М- произвольное многообразие метабелевых алгебр типа {у, S); А - свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих Х= {х\,Х2>...}. Для элементов х,у є А2 будем писать х=у{п), если для любых а\, а^ ..., апе А справедливо равенство (х-у)Т(а\)Т{а2)...Т{ап) = Ъ, где Т(а) - оператор умножения на элемент а.
В п. 3 исследуются свойства функции {х, у, z}:= (yx)z + {zx)y и отношения =. В п. 4 построен аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы:
ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени > 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1, I)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М.
СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нгигьпотентных многообразий (1,1)-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно.
СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1, 1) равен 2.
Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа (у, 3). Алгебры типа (у, д) были введены А.А.Албертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2—многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала - идеал»). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики * 2, 3 называется алгеброй типа (у, S), если она удовлетворяет тождествам: (х, у, z) + у(у, х, z) + b\z, х, у) = О, (х,у, z) - у(х, z,y) + (1- д)(у, z, х) = О, где у S є Ф, ^-^+^-1=0.
Начиная с 1960 г. алгебры типа {у, 6) изучались разными авторами. Так,
Р. Э. Рооомельди в 1973 г. [17] доказал, что (-1, 1 )-ниль-колыю индекса п п{п + 3) характеристики > и+1 разрешимо индекса ~ . А.С. Марковичев [10] перенес этот результат на алгебру типа (у, S) при некоторых ограничениях на параметры у и S. Им же [10] доказано, что ниль-кольца типа {у, 5) с существенным тождественными соотношением являются локально-нильпотентными и поэтому алгебра типа {у, S) ниль-ограниченного индекса с конечным числом образующих нильпотентна при некоторых ограничениях на параметры уїл $. А. А, Никитин [13] показал, что алгебры типа (у, 5) над полем характеристики Ф 2, 3 без ниль-элементов ассоциативны. А.С. Марковичевым [10] показано, что доказательство последнего факта в [13] остается справедливым и для алгебр типа (у 5) ("7 е ) Более того, им доказано, что при некоторых ограничениях на параметры /и S алгебры типа (/, S) без локально нильпотентных идеалов ассоциативны.
Вторая глава посвящена изучению алгебр типа (у S), где у^±\, 5 ф 0,1. Ограничение на параметры у, 8 обусловлено следующими причинами. При у ~±\ соотношение, связывающее уи S, принимает вид: {?+ S=0. Оно выполняется при <5" = 0 , 1. Таким образом, получаем четыре типа: (-1, 1), (-1, 0), (1, 1), (1, 0). Строение множества ненильпотентных подмногообразий многообразия метабелевых алгебр типа (-1, 1) было описано С. В. Пчелинцевым [14], такая же задача для многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1) решена автором во первой главе. Так как алгебра типа (-/, 1- &) антиизоморфна алгебре типа {у, <5), получаем решение этой задачи для многообразий метабелевых алгебр типа (-1, 0) и (1,0). Рассмотрению оставшихся случаев посвящена вторая глава.
Вторая глава состоит из четырех параграфов. Нумерация формул и теорем в этой главе сквозная, так как соотношения, полученные в одном параграфе, используются в следующих. В 1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. 2 посвящен рассмотрению операторных слов длины 3 и 4. Его основным результатом является доказательство кососимметричности операторных слов длины >3. В 3 аналогично п, 3 первого параграфа первой главы вводится отношение = и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые для построения аддитивного базиса ненильпотентной свободной алгебры. Сформулируем основные результаты этого параграфа.
Щ ЛЕММА 8. В алгебре А справедливо соотношение [[а,Нс] = 0(3).
ЛЕММА 9. Если в алгебре А верно соотношение [А , А] = 0 (и) при некотором п>2,то алгебра А пильпотентна.
В 4 строится аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (у, S).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правильными словами алгебры А от переменных из множестваХп\={х\,х2і ...>х„}{гі>Ь) называются полилинейные одночлены а)(^)ВД№)...л(и.
6)[xl,xJ]R(kl)R(k2)...R(kn_2X в)(зд)ЦЗЖ4)...ад, где Т(к):= Т(хк) и к\ < кг<...< кп-2-
Основными результата\ш этого параграфа являются следующие утверждения.
ТЕОРЕМА 1. Пространство Рп{А) полилинейных одночленов над Хп («>6) линейно порождается правильными словами алгебры А.
ТЕОРЕМА 2. В ненильпотентной алгебре А множество правильных слов линейно независимо,
ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени > 6 не нипьпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (у, д)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М,
Отсюда получаем следствия:
СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (у, д)— алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий такоісе конечно.
СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (у, 5) равен 2.
Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и
12 приложения...", а также на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ. Список публикаций по теме диссертации приводится в конце работы.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач и полезные обсуждения в процессе работы.
Многообразие разрешимых индекса 2 алгебр типа(1, 1)
Легко проверить, что понятия разрешимости и нильпотентности совпадают в классе ассоциативных алгебр. Для алгебр Ли эти понятия различны - двухмерная неабелева алгебра Ли, то есть алгебра с базисом е, f и умножением [e,f[ = е является разрешимой, но не нильпотентной. Напомним, что алгебра называется праеоалътернативнощ если в ней выполняется соотношение (х, у,j ) = 0, где (х, у, z):= (xy)z - x(yz) -ассоциатор элементов х,у, z. Алгебра называется альтернативной, если в ней наряду с тождеством правой альтернативности выполняется тождество (х,х,у) = 0. В классе конечномерных альтернативных или йордановых алгебр понятия разрешимости и нильпотентности эквивалентны. Хотя в классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности различны, однако, в некотором смысле близки. Так, например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности, Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (-1,1) построил Г.В.Дорофеев [3, 4]. Он же привел пример конечномерной правоальтернативной правонильпотентной алгебры, которая не является нильпотентной [5, с.408]. А. А. Никитин [13] привел Щ пример разрешимой, но не нильпотентной алгебры типа {у, 5). Эти примеры показали, что теорема Нагата-Хигмана о нильпотентности ассоциативных алгебр ограниченного индекса, вообще говоря, неверна для альтернативных алгебр, (-1, 1)-алгебр и алгебр типа {у, S). Тем не менее, как показал К. А. Жевлаков [5] альтернативные ниль-алгебры ограниченного индекса являются разрешимыми. В 1957 г. А. И. Ширшов [18] обобщил на альтернативные алгебры теорему Левицкого о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебры ограниченного индекса с конечным числом образующих. Аналогичная теорема для (-1, 1)-алгебр была получена И. П. Шестаковым [7]. Она следует из того, что (-1, 1)-ниль-алгебры с существенными тождественными соотношениями являются локально-нильпотентными. Данная работа посвящена изучению некоторых многообразий разрешимых индекса 2 (или, в другой терминологии, метабелевых) алгебр.
Согласно определению, алгебра называется разрешимой индекса 2, если в ней выполняется тождество: {ab){cd) = О Фі Многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских и алгебр типа (-1,1) достаточно активно изучались на протяжении последних 30 лет. Так, А. М. Слинько в Днестровской тетради [10, вопрос 129] поставил вопрос: будет ли конечнобазируемым всякое разрешимое многообразие альтернативных (йордановых) алгебр? В 1976 г. В.П. Белкин [2] указал существование многообразия метабелевых правоальтернативных алгебр, которое не может быть задано никакой конечной системой тождеств. Ю.А. Медведевым [12] был получен следующий результат. Пусть 771 является подмногообразием одного из следующих многообразий алгебр над нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей: 1) альтернативных алгебр; 2) алгебр типа (-1, 1); 3) левонильпотентных правоальтернативных алгебр; 4) алгебр Мальцева над кольцом Ф с ХА\ 5) йордановых алгебр над кольцом Ф с 14. Тогда, если квадрат свободной алгебры из 771 аннулирует некоторую степень этой алгебры, то многообразие 772 шпехтово. В частности, многообразия метабелевых альтернативных, йордановых, мальцевских алгебр и алгебр типа (-1, 1) шпехтовы. С. В. Пчелинцевым [14] был предложен новый подход к изучению шпехтовых многообразий. На множестве подмногообразий шпехтова многообразия можно ввести топологию и с каждым таким многообразием связать две его числовые характеристики; размерность и топологический ранг. Эти числовые характеристики являются мерой отклонения разрешимости от нильпотентности. Основные результаты настоящей диссертации связаны именно с описанием тождеств, выполняющихся в разрешимых индекса 2 алгебрах. В качестве следствия могут быть вычислены топологические ранги соответствующих многообразий. Поэтому приведем основные определения. Пусть X — конечнобазируемое многообразие, X CL 777. Размерностью dim;// многообразия X относительно 771 называется наименьшее число и, обладающее свойством: существует конечная система тождеств f, ..., fSi выделяющая из 771ъ т.е. fu ...,/s + T{77t) = 7\Х), такая, что ни одно из тождеств этой системы не выполняется в 771 и относительно многообразия всех алгебр. Пусть 771 — шпехтово многообразие, то есть всякое его подмногообразие конечнобазируемо; a (777) - множество всех подмногообразий многообразия 771. Пусть cTf с a (777); множество Ж называется конечномерным, если размерности всех многообразий из множества tff ограничены в совокупности. Перейдем теперь к определению топологического ранга множества ffl, являющегося естественным Обобщением КОНеЧНОМерНОСТИ; Для любого Ж из а (777) введем множества Считая множество 27- {U„ { Щ\ Ж ест(77/), п &N) базой окрестностей (необходимые условия проверяются непосредственно), (J (777) наделяется некоторой топологией; Ж является топологическим подпространством пространства а (77?). Поскольку 771- шпехтово, любая убывающая цепочка многообразий 77l\ z //% -- TTln ZD... из . стабилизируется, следовательно, всякий минимальный элемент множества /Я? является изолированной точкой в пространстве Ж. Обозначая через Jf множество предельных точек пространства Ж, имеем Л Топологическим рангом r{(3f) пространства . называется число г такое, что Ж[г-!)Ф0 и и = 0. Топологическим рангом многообразия называется топологический ранг пространства а (777), т,е. rt(777) = rt(d(77tj). Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр
Переработка операторных слов длины 3 и 4
Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае Йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг. Настоящая диссертация состоит из двух глав. Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий метабелевых правоеимметричных алгебр, а именно, алгебр типа (1, 1) и алгебр Новикова. Структура первой главы такова. Глава состоит из двух параграфов. Нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя. Первый параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Получение результатов этого параграфа не требует серьезных вычислений, и они приводятся автором в основном потому, что позволяют наглядно продемонстрировать метод решения подобных задач. Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте выводятся следствия из определяющих соотношений и строится аддитивный базис ненильпотентной метабелевой алгебры Новикова. Во втором пункте построена ненильпотентная свободная метабелева алгебра Новикова от счетного числа порождающих. Сформулируем основные результаты этого параграфа. Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения. ЛЕММА 5. Всякое тождество f степени degf 5 ненильпотентного многообразия метабелевых алгебр Новикова является следствием определяющих тождеств. ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2. Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики Ф 2, 3 называется (1, \)-алгеброй, если в ней выполнены тождества: Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений.
П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4. Пусть М- произвольное многообразие метабелевых алгебр типа {у, S); А - свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих Х= {х\,Х2 ...}. Для элементов х,у є А2 будем писать х=у{п), если для любых а\, а ..., апе А справедливо равенство Т(а) - оператор умножения на элемент а. В п. 3 исследуются свойства функции {х, у, z}:= (yx)z + {zx)y и отношения =. В п. 4 построен аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы: ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1, I)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М. СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нгигьпотентных многообразий (1,1)-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно. СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1, 1) равен 2. Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа (у, 3). Алгебры типа (у, д) были введены А.А.Албертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2—многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала - идеал»). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики 2, 3 называется алгеброй типа (у, S), если она удовлетворяет тождествам: ( Начиная с 1960 г. алгебры типа {у, 6) изучались разными авторами. Так, Р. Э. Рооомельди в 1973 г. [17] доказал, что (-1, 1 )-ниль-колыю индекса п п{п + 3) характеристики и+1 разрешимо индекса . А.С. Марковичев [10] перенес этот результат на алгебру типа (у, S) при некоторых ограничениях на параметры у и S. Им же [10] доказано, что ниль-кольца типа {у, 5) с существенным тождественными соотношением являются локально-нильпотентными и поэтому алгебра типа {у, S) ниль-ограниченного индекса с конечным числом образующих нильпотентна при некоторых ограничениях на параметры уїл $. А. А, Никитин [13] показал, что алгебры типа (у, 5) над полем характеристики Ф 2, 3 без ниль-элементов ассоциативны. А.С. Марковичевым [10] показано, что доказательство последнего факта в [13]
Переработка слов небольшой длины
Известно строение множества ненильпотентных многообразий различных многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным. Так, указанное множество в случае альтернативных алгебр конечно; в случае алгебр типа (-1, 1) бесконечно, но имеет конечную размерность; в случае алгебр Мальцева оно бесконечномерно, но имеет конечный топологический ранг; наконец, в случае Йордановых алгебр указанное множество имеет бесконечный топологический ранг [14]. B.C. Дренски и Т. Рачкова в 1989 г. доказали, что каждое собственное многообразие метабелевых йордановых алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный топологический ранг. Настоящая диссертация состоит из двух глав. Первая глава посвящена изучению некоторых многообразий метабелевых правоеимметричных алгебр, а именно, алгебр типа (1, 1) и алгебр Новикова. Структура первой главы такова. Глава состоит из двух параграфов. Нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя. Первый параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр Новикова. Получение результатов этого параграфа не требует серьезных вычислений, и они приводятся автором в основном потому, что позволяют наглядно продемонстрировать метод решения подобных задач. Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте выводятся следствия из определяющих соотношений и строится аддитивный базис ненильпотентной метабелевой алгебры Новикова. Во втором пункте построена ненильпотентная свободная метабелева алгебра Новикова от счетного числа порождающих. Сформулируем основные результаты этого параграфа. Построен пример ненильпотентной разрешимой индекса 2 алгебры Новикова. Доказаны следующие утверждения. ЛЕММА 5. Всякое тождество f степени degf 5 ненильпотентного многообразия метабелевых алгебр Новикова является следствием определяющих тождеств. ТЕОРЕМА 7. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Новикова равен 2. Второй параграф посвящен изучению многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики Ф 2, 3 называется (1, \)-алгеброй, если в ней выполнены тождества: Второй параграф состоит из четырех пунктов. В п.1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. П. 2 посвящен переработке операторных слов длины 3 и 4.
Пусть М- произвольное многообразие метабелевых алгебр типа {у, S); А - свободная алгебра многообразия М с множеством свободных порождающих Х= {х\,Х2 ...}. Для элементов х,у є А2 будем писать х=у{п), если для любых а\, а ..., апе А справедливо равенство Т(а) - оператор умножения на элемент а. В п. 3 исследуются свойства функции {х, у, z}:= (yx)z + {zx)y и отношения =. В п. 4 построен аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (1, 1) и доказан основной результат первой главы: ТЕОРЕМА 1. Всякое тождество степени 6 не нильпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (1, I)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М. СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нгигьпотентных многообразий (1,1)-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно. СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (1, 1) равен 2. Вторая глава настоящей диссертации посвящена изучению многообразий метабелевых алгебр типа (у, 3). Алгебры типа (у, д) были введены А.А.Албертом [1] в 1949 г. и представляют собой важный класс 2— многообразий, (многообразие называется 2—многообразием, если в алгебрах этого класса выполнено свойство «квадрат идеала - идеал»). Напомним, что алгебра над полем Ф характеристики 2, 3 называется алгеброй типа (у, S), если она удовлетворяет тождествам: ( Начиная с 1960 г. алгебры типа {у, 6) изучались разными авторами. Так, Р. Э. Рооомельди в 1973 г. [17] доказал, что (-1, 1 )-ниль-колыю индекса п п{п + 3) характеристики и+1 разрешимо индекса . А.С. Марковичев [10] перенес этот результат на алгебру типа (у, S) при некоторых ограничениях на параметры у и S. Им же [10] доказано, что ниль-кольца типа {у, 5) с существенным тождественными соотношением являются локально-нильпотентными и поэтому алгебра типа {у, S) ниль-ограниченного индекса с конечным числом образующих нильпотентна при некоторых ограничениях на параметры уїл $. А. А, Никитин [13] показал, что алгебры типа (у, 5) над полем характеристики Ф 2, 3 без ниль-элементов ассоциативны. А.С. Марковичевым [10] показано, что доказательство последнего факта в [13] остается справедливым и для алгебр типа (у 5) ("7 е ) Более того, им доказано, что при некоторых ограничениях на параметры /и S алгебры типа (/, S) без локально нильпотентных идеалов ассоциативны. Вторая глава посвящена изучению алгебр типа (у S), где у ±\, 5 Ф 0,1. Ограничение на параметры у, 8 обусловлено следующими причинами. При у ±\ соотношение, связывающее уи S, принимает вид: {?+ S=0. Оно выполняется при 5" = 0 , 1. Таким образом, получаем четыре типа: (-1, 1), (-1, 0), (1, 1), (1, 0). Строение множества ненильпотентных подмногообразий многообразия метабелевых алгебр типа (-1, 1) было описано С. В. Пчелинцевым [14], такая же задача для многообразия разрешимых индекса 2 алгебр типа (1, 1) решена автором во первой главе. Так как алгебра типа (-/, 1- &) антиизоморфна алгебре типа {у, 5), получаем решение этой задачи для многообразий метабелевых алгебр типа (-1, 0) и (1,0). Рассмотрению оставшихся случаев посвящена вторая глава.
Вторая глава состоит из четырех параграфов. Нумерация формул и теорем в этой главе сквозная, так как соотношения, полученные в одном параграфе, используются в следующих. В 1 доказываются простейшие следствия из определяющих соотношений. 2 посвящен рассмотрению операторных слов длины 3 и 4. Его основным результатом является доказательство кососимметричности операторных слов длины 3. В 3 аналогично п, 3 первого параграфа первой главы вводится отношение = и доказываются вспомогательные утверждения, необходимые для построения аддитивного базиса ненильпотентной свободной алгебры. Сформулируем основные результаты этого параграфа. Щ ЛЕММА 8. В алгебре А справедливо соотношение ЛЕММА 9. Если в алгебре А верно соотношение [А , А] = 0 (и) при некотором п 2,то алгебра А пильпотентна. В 4 строится аддитивный базис свободной ненильпотентной метабелевой алгебры типа (у, S). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Правильными словами алгебры А от переменных из множестваХп\={х\,х2і ... х„}{гі Ь) называются полилинейные одночлены Основными результата\ш этого параграфа являются следующие утверждения. ТЕОРЕМА 1. Пространство Рп{А) полилинейных одночленов над Хп (« 6) линейно порождается правильными словами алгебры А. ТЕОРЕМА 2. В ненильпотентной алгебре А множество правильных слов линейно независимо, ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени 6 не нипьпотентного подмногообразия многообразия М метабелевых (у, д)—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М, Отсюда получаем следствия: СЛЕДСТВИЕ 1. Множество не нильпотентных многообразий (у, д)— алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий такоісе конечно. СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (у, 5) равен 2. Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения...", а также на семинаре "Избранные вопросы алгебры" в МГУ. Список публикаций по теме диссертации приводится в конце работы. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С. В. Пчелинцеву за постановку задач и полезные обсуждения в процессе работы.
Базис свободной метабелевой алгебры типа{/, S)
Правильными словами алгебры Л от переменных из множестваХ„:={х\,х2,..., хп}(п 6) называются полилинейные одночлены ТЕОРЕМА 1. Пространство Р„(А) полилинейных одночленов над Хп (/7 6) линейно порождается правильными словами алгебры А. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как алгебры типа {у,8) являются почти альтернативными, то пространство Р„{А) линейно порождается словами вида (xixj)T(a)T(b)„.T(c)n {XjJ,)T(a)T(b)...T{c). Тогда по лемме 1 пространство Р„(А) линейно порождается словами вида (xjXj)T(a)R(b),..R(c) и (xjX;)T(a)R(b)...R(c). В силу теоремы 1 пространство Рп(А) линейно порождается словами вида {xlxJ)L(k1)R{k2)..,R(kn_2) t (х ЩкіЖкгУ.ЛІк ). Далее, в силу леммы 7 б) = / + 1 + ( 1) ) ,)-.. ) + ( ,) (2) ,).. ( .3) / + 1 / + \ -( да( ,М( )-(/Ж2Ж і).. з). Таким образом, (1 - ){XjXx )Ц2ДО, )...R(k„_3) = (t - l)(x2Xl )L{j)R(K )»-ВД,-з) + / + 1 /+1 + [xl,x2nj)R(k]). (k ) + [xl,xJ]L(2)R(kl). (kn_3) /+\ / + (xlx2)RU)R(kl) (k ) {x1xJ)R{3)R{kil,.R{kn_2) , -(XjX, )L(2)R(k] )..Л(кп_3) = ( )(x2x, )L{j)R(k, )...R(kn_3) + / + \ J / + 1 + , x2]LU)R(kt )..M(kn.3) + -[x],xJ]L(2)R(kl)...R(kn_3) / + \ / + \ -(x]x2)R(j)R(k])...R(k 3)-(xlx.)R(3)R(k])...R(k ) = ( лемма 8) (x2x])L(j)R(kl)..M(k ) + [xlix2]R(j)R(ki)...R(kn_3) + /+1 / + 1 + ,хл ]Д(3)Л( , )...R(kn_3) - (хЛ )ВДД( , )-ЖК-ъ) + I -(xixj)R(2)R(kl)...R(kn_3). В силу леммы 5 -(х )Цк (к2)..Я(кг_2) (-I) "1 (x2 ,)Z(3)J?(4)..J?(n) + + (-1) (3) (4)... ) + ,, ( ) ( ).. ( ) /+1 7+1 -(-1) ( ) (3) (4).. )-( )11( ().. ). Так как 1 - 8 Ф О, то + (- (3) (4)... 0 + ,, ( ) ( ).. ( ) 1 —о I — о + (-\)J (x]x2)R(3)R(4). (n) (xlxj)f R(k[)R(k2).,M(kt,_2). \ -о 1-е Таким образом, слова вида (xjxl)L(k])R(k2)...R(kn_2) являются линейной комбинацией правильных слов. Далее, (Xjxy ) ВД) Д(А2 )...Й(А„_2) = ( ух,) ВД,) Д( 2).. Л(АЯ_2) --( ) ( ) ,).. ( ) + ( ) ,) ,).. ( ) = = 4 , ( ) ,).. ( 2) + ( , ) ) ).. ). Следовательно, слова вида (xjxl)R(kl)R(k2)...R(kn_2) являются линейной комбинацией правильных слов. Так как (x[xJ)L(k])R(k2)...R(k 2) = [xl,xJ]L(kl)R{k2)...R(kn,2) + + (XjXt )L(t )R{k2 )...R{kn_2) - (лемлюЪ) = 1 , 1 ( ) ( ).. ( ) + ( ) ( ) ( ).. ( ), то в силу доказанного выше слова вида (xlxJ)L(k])R(k2)...R(kn_2) являются линейной комбинацией правильных слов. D ТЕОРЕМА2. В неніиіьпотентной алгебре А лтожество правильных слов линейно независимо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Допустим, что некоторая линейная комбинация правильных слов алгебры А равна нулю: + є (х2хх )L(3)...R(kn_2 ) = 0. Пусть vej/f, A], w A2,jo 3.
Положим xJo - v, тогда в силу леммы 8 a/(xlv)R{k()R{k2)...R(kn_2) = Of aJvL(xi)R(kl)R(k2)...R(kn_2) = 0. Тогда в силу леммы 8 аАУІ(х,)Д(А:1)Л(А:г)...Д(А1,-2) = 0 Так как А - ненильпотентна, то из леммы 9 следует, что «Л = 0. Таким образом, сумма принимает вид: 1-2 + 0с2х, )/,(3)Д(4)...ВД = 0 Положим хл = w, тогда J3h[x„xJR{ki)R{k1UR(kri_2) = Q. Так как алгебра А ненильпотентна, то /?Л = 0. Сумма принимает вид: ( ) (3)... (/7) + ,, (3)... ( ) + ( ,)1(3) (4)... ) = 0. Положим х2 = v, тогда а2 (х,у)Д(3)...Д(и) + ff(vje, )(3)..J?(«) = 0, v(a2(l)tf(3).. Л(л) + й(І)І(3).. J?(n)) = 0. В силу (8) v(a2L(\)R(3)...R(n) + sL(3)R(l)...R(n) + -?—RQ)R(\)...R(n) \ — S S R(\)R(3).„R(n)) = 0. В силу леммы 5 у(д2ІО)Л(3)..Л(я)-йО)Л(3)..Л(и)- Да)Л(ЗМ(и) 1 —о Д(1)Л(3)...Л(и)) = 0. 1-Я v(a2 - ЩІ)Д(3)...Д(л) - + г)Д(1)Д(3),..Д(я) = 0. 1 — о В силу леммы 8 (а2-є- (r+p)vR(l)R(3).„R(n) = 0. 1 — о В силу леммы 9 2 1-5 а2 = а2 — + є {у + 5) 1-5 (1 + Г) \-5 Сумма принимает вид (xlx2)R(3) (n) + 2[x]ix2]R{3). {n) + І — о + (х2х{ )L(3)R(4)...R(n) = 0. Положим х2 = w, тогда 1-5 (1 + /) (х, w) Л(3).. J? (и) + fi2 [х,, w]R(3).. .Л( л) + e(yvxx )L(3)R(4).. .R(n) = 0, wL{\)R(3)...R(n) + /32wL(l)R{3)...R(n)- p2wR{l)...R(n) + \-5 + \vR{\)L(3)R(4)...R(n) = 0. В силу (8) и леммы 5 ( - + 2) ді)/г(3)...уг(«)- 2№/г(і)...л(о)- і(і)іг(3)/г(4)...тг(п) 1 — 5 (r + S)wR(l)R(3)...R(n) = 0, 1-5 1— ? 1-д ( +S + )И,(1)Л(3)„.Д(И) - (/ + ffctfi) W/?(1)...J?(W) = О, 1 — ? 1-е» (т +А)[ і.і ]Л(3)..л(й) = о. 1 —о В силу леммы 9 1- У г Pl \-S Сумма принимает вид р- (х{х2 )R(3)...R(n) - + [х,, х2 ]R(3),..R(n) + 1 -о 1 —о + є{хгхі )ЦЗ)Д(4)...К(п) = 0. Положим х, - w, тогда ±UwR(2)R(3)...R(n)-{r+P wR(2)RQ)...R(n) + \-д l-o + (r + S\vL(2)R(3)...R(n) + wL(2)L(3)R(4)„.R(n) = 0. В силу (5) и леммы pwR{2)R(3) R(n)- g(r +/} wR(2)R(3)...R(n) + + iZ + S)wL(2)R(?) ...д(я)_й± №Д(2)Л(3)Д(4)...Д(л) = 0, 1 —d 1-е» - (T/+f) Л(2)Д(3)...Л(д)+ g(y+ У) №Д2)Д(3)...Д(/і) = О, І -о 1-а 1 —о В силу леммы 9 f(y + S) = 0. 1- У Так как / + S Ф 0, то = 0, тогда а2 - fi2 - 0. Из теоремы 2 очевидным образом вытекает ТЕОРЕМА 3. Всякое тождество степени 6 не нильпотеитного подмногообразия многообразия Ы метабелевых (у, S}—алгебр над полем Ф характеристики, отличной от 2 и 3, является следствием определяющих тождеств многообразия М. Используя терминологию работы [14], отсюда получаем следствия: СЛЕДСТВИЕ I. Множество не нильпотентных многообразий (у, ф-алгебр конечномерно. Если поле Ф конечно, то указанное множество многообразий также конечно. Поскольку не всякая метабелева (у, д}-шігевра нильпотентна [13], то справедливо СЛЕДСТВИЕ 2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр типа (у, S) равен 2.
