Введение к работе
Актуальность темы. Когомологий алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящее время теория (обычных) когомологий групп - уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов. Группы когомологий Хохшильда впервые были введены Хохшильдом в 1946. Когомологий Хохшильда - тонкий инвариант ассоциативной алгебры, содержащий массу информации о ее структуре.
Хотя алгебра когомологий Хохшильда теоретически вычислима для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны. В [1] Генералов А. И. дал описание алгебры когомологий Хохшильда алгебр диэд-рального типа из серии D(3JC) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, при этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды алгебр диэдрального и полудиэдрального типов. Далее эта техника была с успехом применена в работах [2, 3, 4, 5, 6] для описания алгебры когомологий Хохшильда нескольких серий алгебр диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов. С помощью подобной техники алгебра когомологий Хохшильда для некоторой серии алгебр была вычислена также в работах [8, 12, 13, 14].
Если R - самоинъективная базисная алгебра над алгебраически замкнутым полем, имеющая конечный тип представления, то её стабильный AR-колчан можно описать с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое должно совпадать с одной из схем Дынкина Ап, Dn, Eq, Ej или Eg. Для самоинъективных алгебр конечного типа представления производная и стабильная эквивалентности совпадают, а так как алгебра когомологий Хохшильда - инвариант производной эквивалентности, то для её вычисления достаточно взять по одной алгебре для каждого класса стабильной эквивалентности. Если для алгебры R ассоциированное дерево имеет тип Ап, то алгебра R стабильно эквивалентна либо некоторой полуцепной самоинъектив-ной алгебре, либо так называемой "алгебре Мёбиуса". Алгебра когомологий Хохшильда НН*(Л) для полуцепных самоинъективных алгебр была вычислена в работе [11], а для алгебры Мёбиуса - в работах [7], [9] и [10]. Если же для алгебры R ассоциированное дерево имеет тип Dn: то алгебра R по модулю стабильной эквивалентности входит в одну из пяти серий.
Цель работы. Целью работы является вычисление алгебры когомологий Хохшильда для всех самоинъективных алгебр, ассоциированное дерево которых имеет тип Dn.
Методы исследований. Вычисления в настоящей работе производятся с использованием техники работ А.И. Генералова. Для вычислений используется минимальная проективная резольвента. Основным фактом необходи-
мым для вычисления мультипликативной структуры является совпадение ^-произведения в когомологиях Хохшильда и произведения по Ионеде. Поиск образующих и соотношений, описывающих мультипликативную структуру, производится при помощи минимальной проективной резольвенты.
Основные результаты. Для двух серий алгебр древесного типа Dn построены минимальные бимодульные резольвенты, вычислены размерности групп HHs(i?) для s ) 0 и дано описание алгебр когомологий Хохшильда в терминах образующих с соотношениями. Аналогичные результаты для остальных трёх серий алгебр, имеющих древесный тип Dn: приведены в приложении без доказательств.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут использоваться для дальнейшего исследования строения когомологий Хохшильда.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах.
Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007).
Международная конференция, посвященная 70-летию А.В. Яковлева (Санкт-Петербург, 2010).
Санкт-Петербургский городской алгебраический семинар имени Д.К. Фаддеева.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трёх печатных работах автора, приведённых в конце автореферата. Все они вышли в журналах, входящих в список ВАК.
В работе, написанной в соавторстве, диссертанту принадлежат формулировка и доказательства теорем, а соавтору - постановка задачи и выбор методов решения.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав (первая глава содержит четыре раздела, вторая - три раздела, третья -четыре раздела), приложения и списка литературы, содержащего 59 наименований. Объем диссертации 226 страниц.
