Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 20
1.1. Основные определения и обозначения 20
1.2. Некоторые оценки роста, связанные с диаграммами Юнга 27
Глава 2. Многообразия алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом 32
2.1. Понятие rn-алгоритма и его свойство 32
2.2. Рост подмногообразий в NSA 33
2.3. 5п-модули многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом 41
2.4. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Лейбница 49
Глава 3. Экстремальные многообразия алгебр Лейбница 53
3.1. Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами 53
3.2. Многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной 69
Глава 4. Тождества в алгебрах Пуассона 80
4.1. Свободные алгебры Пуассона 80
4.2. Рост и кодлина пространств специального вида многообразий алгебр Пуассона 84
Литература 95
- Основные определения и обозначения
- Понятие rn-алгоритма и его свойство
- Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами
- Свободные алгебры Пуассона
Введение к работе
Актуальность темы. В теории многообразий линейных алгебр в случае нулевой характеристики основного поля любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому исследование строения полилинейных частей относительно свободной алгебры некоторого многообразия дает полную информацию об этом многообразии.
Одной из важных числовых характеристик многообразия V является последовательность {cn(V)}n>i размерностей пространств полилинейных элементов степени п от переменных Х\,Х2, ---iXn, принадлежащих относительно свободной алгебре данного многообразия. Асимптотическое поведение данной последовательности называют ростом многообразия V.
При экспоненциальном росте многообразия V для более точного изучения его роста вводятся понятия нижней и верхней экспоненты:
ЕХР(У) = Ит а/с~СЮ, ЁХР(У) = ЇЇпТ ^cn{V).
Если эти два числовые значения совпадают, то это обозначается как EXP(V). В ассоциативном случае для поля нулевой характеристики А. Джамбруно и М.В. Зайцев 1 доказали целочисленность экспоненты произвольного многообразия. В случае многообразий алгебр Ли {char К = 0) построен пример многообразия 2, врхняя и нижняя экспоненты которого находятся в интервале (3,4). В.М. Петроградский доказал, что в случае основного поля произвольной характеристики многообразия алгебр Ли с нильпотентным коммутантом имеют целую экспоненту 3. В случае многообразий ассоциативных алгебр существуют только два
1 Giambruno A., Zaicev M.V. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate//
Adv. in Math. V. 142. 1999. P. 221-243.
2 Zaitcev M.V., Mishchenko S.P. Example of variety of Lie algebras with fractional exponent// Journal
Of Mathematical Sciences. 1999. V.93. №6. P.977-982.
3 Петроградский В.М. О численных характеристиках подмногообразий трех многообразий алгебр
Ли// Матем. сб. 1999. Т.190. №6. С.111-126.
многообразия почти полиномиального роста . Одно из них порождено бесконечномерной алгеброй Грассмана G, другое — алгеброй верхнетреугольных матриц UT2 порядка 2. В настоящее время известно только пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста 5.
Одной из важных проблем в теории многообразий является так называемая проблема Шпехта, связанная с вопросом о возможности задания многообразия конечным набором тождеств. В случае ассоциативных алгебр при нулевой характеристике основного поля А.Р. Кемером 6 положительно решен вопрос о конечной базируемости произвольного многообразия. Для многообразий алгебр Ли этот вопрос остается открытым, за исключением некоторых частных случаев. Например, многообразия алгебр Ли полиномиального роста являются шпехтовыми 7. А.Н. Кра-сильниковым 8 доказана шпехтовость многообразий алгебр Ли NSA над полем нулевой характеристики. В.В. Стовба 9 доказал, что система тождеств Капелли порядка к в свободной алгебре Ли допускает конечный базис.
Цель работы. Целью работы является исследование числовых характеристик многообразий алгебр Лейбница и многообразий алгебр Пуассона-Методы исследования. В диссертации используются понятия и методы теории линейных алгебр, теории многообразий линейных алгебр, теории представления симметрической группы, техника диаграмм Юнга, комбинаторные методы и элементы математического анализа.
4 Кемер А.Р. Т-идеалы со степенным ростом коразмерностей// Сиб. матем. журнал. 1978. №19.
С. 37-48.
5 см. обзорную статью Мищенко СП. Рост многообразий алгебр Ли// Успехи мат. наук. 1990.
Т.45. №6(276). С. 25-45.
8 Кемер А.Р. Решение проблемы конечной базируемости тождеств ассоциативных алгебр// ДАН
СССР. 1988. Т.298. N 2. С. 273-277.
7 Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. Т-идеалы свободных алгебр Ли с полиномиальным ростом
последовательности коразмерностей// Весці АН БССР: Сер. фіз. матем. наук. 1980. N 3. С. 5-10.
8 Красильников А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли// Вестник
МГУ: Матем., мех. 1982. N 2. С. 34-38.
9 Стовба В.В. О конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных
алгебр// Вестник МГУ: Матем., мех. 1982. N 2. С. 54-58.
Научная новизна. Получен ряд результатов для многообразий алгебр Лейбница и многообразий алгебр Пуассона. Все теоремы и следствия, которые приводятся ниже при изложении содержания диссертации, являются новыми.
Научные положения, выносимые на защиту.
Доказано отсутствие многообразий алгебр Лейбница, в частности, многообразий алгебр Ли, с промежуточным ростом между полиномиальным и экспоненциальным в случае основного поля с положительной характеристикой, не равной двум.
Показана целочисленность экспонент многообразий алгебр Лейбница с нильпотентным коммутантом над полем произвольной характеристики.
В теории многообразий алгебр Лейбница для случая основного поля нулевой характеристики построено многообразие алгебр Лейбница с почти конечной кодлиной, а также получены новые экстремальные свойства многообразия алгебр Лейбница, связанного со стандартными тождествами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут использоваться при исследовании многообразий линейных алгебр.
Апробация работы. Апробация результатов настоящей диссертации прошла на XIV ежегодной научно-практической конференции молодых ученых УлГУ (Ульяновск, 2004), международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005"(Казань, 2005), пятой международной алгебраической конференции (Одесса, 2005), пятой международной научной конференция "Ломоносов - 2006"(Севастополь, 2006), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского Государственного Университета.
Личный вклад. Все основные результаты получены автором самосто-
ятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых помещен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация, имеющая объем 103 страницы, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 84 наименований.
Основные определения и обозначения
Система тождеств {ft = 0\і Є 1} называется независимой, если никакое из тождеств данной системы не является следствием остальных.
Многообразием линейных алгебр над некоторым полем называют класс всех алгебр над этим полем, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождеств (в терминологии А.Г. Куроша [28] данный класс алгебр называется примитивным классом). Задание набора тождеств может быть неявным. Например, можно рассматривать многообразия, порожденные некоторым классом алгебр М над произвольным фиксированным полем, тогда var(M) — наименьшее многообразие алгебр над этим же полем, содержащее М. В частности, М может состоять из одной линейной алгебры. Независимая система тождеств, определяющая многообразие V, называется базисом тождеств V. Если V — некоторое многообразие, определенное некоторой системой пеассоциативных многочленов из К(Х), то относительно свободной алгеброй многообразия V называют фактор - алгебру К{Х, V) = K{X)/Id(V).
Многообразие V называется шпехтовым, если каждое подмногообразие в V является конечно базируемым.
Любое многообразие V порождается своей относительно свободной алгеброй счетного ранга. Существуют и такие многообразия, которые могут быть порождены относительно свободной алгеброй конечного ранга. Минимальное такое положительное число называется базисным рангом многообразия V. В качестве примера можно привести многообразие алгебр
Лейбница, удовлетворяющее тождеству ху = 0, базисный ранг которого равен единице. Если многообразие V не может быть порождено никакой своей относительно свободной алгеброй конечного ранга, то V является многообразием бесконечного базисного ранга.
Аксиоматическим рангом многообразия V называется минимальное число переменных, с помощью которых можно записать тождества, задающие V.
Пусть U и V — два некоторых многообразия. Определим их произведение UV следующим образом. Алгебра А принадлежит многообразию UV тогда и только тогда, когда в А имеется идеал І Є U такой, что А/1 V.
Полилинейной частью Рп{У) степени п многообразия V называют линейное подпространство в пространстве К(Х, V), состоящее из полилинейных элементов степени п от переменных #1, ...,ж„.
Важную роль при изучении многообразия V играет последовательность размерностей тг-ых полилинейных частей c„(V) = dim Pn(V), п = 1,2,..., асимптотическое поведение которой называют ростом многообразия V. Если существуют такие константы Сиг, что для любого п выполнено неравенство Cn(V) Спг, то рост многообразия V называют полиномиальным. Многообразие имеет рост не выше показательного с основанием г 1, если существует такое число С 0, что для любого п выполняется неравенство Cn(V) Сгп. Многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если любое его собственное подмногообразие имеет полиномиальный рост, в то время как рост самого многообразия V полиномиальным не является. Пусть теперь основное поле К имеет нулевую характеристику.
Понятие rn-алгоритма и его свойство
Лемма 2.6. Последовательность подлип многообразия NSA ограничена полиномом.
Доказательство. Будем оценивать количество неприводимых Sn-модулей в разложении пространств Яс,п, где 1 с з, при фиксированном с.
Число прямых слагаемых в разложении (10) не превосходит числа (п + 1)с. Фиксируем а\,..., ас. Пусть rd — некоторая таблица Юнга. Отождествим в элементе eTd fai.. ac( ) Хп) переменные, соответствующие одним и тем же строкам таблицы rd. После такого отождествления данный элемент можно представить в виде линейной комбинации элементов 9аі ,ас{уі) — Ут), каждый из которых зависит от т переменных, где т число строк диаграммы d, и содержит к наборов кососимметричных переменных, расположенных на определенных местах, где к — число столбцов диаграммы d, причем г-й набор состоит из такого количества переменных, сколько клеток в г-ом столбце диаграммы d (см. [37]). Заметим, что т Зс (лемма 2.5). Оценив количество ненулевых элементов вида За,. аҐ{Уи —іУт), соответствующих различным таблицам Юнга, построенных по различным диаграммам Юнга при фиксированном п, мы тем самым оценим количество неприводимых модулей из разложения пространства а - /0]. ас а Є Sn к
Сначала в элементе /в1 Ис заполним скобки переменными у\,...,Уъс, не ограничивая количество экземпляров каждой переменной уи г = 1,...,3с. Подсчитаем сколькими способами можно заполнить данными переменными каждую из с скобок. Пусть а3 — длина произвольной скобки, 2 а3 п — 2(с — 1). Первые два места заполняются (Зс)2 способами. Для заполнения оставшихся % — 2 мест учтем свойство ( ), то есть порядок следования переменных уже не важен. Поэтому число различных заполнений оставшиеся а3 — 2 мест выглядит следующим образом: Сл_2+зс-і — n-fc+Зс-і = n+c-ij гл е п число сочетаний из п по к. Общее число заполнений всех с скобок переменными у\, ...,з/зс не превосходит числа {$c2Cn+lti)c.
Далее, пусть /аь.аХхъ —txm) некоторый фиксированный элемент степени тг, полученный после заполнения всех с скобок переменными уі,..., ут, т Зс. Будем альтернировать переменные в этом элементе. Кососим-метрических наборов должно быть не более п штук. Заметим, что любой кососимметрический набор может содержать только попарно различные переменные, иначе элемент равен 0. Число различных возможностей, при которых переменные, стоящие на первых двух местах в каждой скобке элемента /ai..ac( i,...,a;m), принадлежат каким-либо наборам, не превосходит числа п2с. Теперь будем учитывать только оставшиеся места.
Многообразие алгебр Лейбница, связанное со стандартными тождествами
Пусть основное поле К имеет нулевую характеристику. В данном пункте исследуется многообразие алгебр Лейбница V-j, которое является аналогом многообразия алгебр Ли, построенного И.Б. Воличенко в работах [10] и [и].
Многообразие было введено Л.Е. Абаниной в работе [1]. Там же построен базис пространства Pn(V2), показано строение полилинейной части как 5п-модуля и свойство почти полиномиальности роста с„(Иг).
Наряду с новыми свойствами исследуемого здесь многообразия, мы сформулируем и докажем некоторые уже известные свойства (лемма 3.5, теорема 3.2). Но доказательства будут отличатся большей детализирован-ностью, с использованием новых важных тождеств леммы 3.4. Тем более, промежуточные результаты, которые получаются в этих доказательствах, понадобятся нам при доказательстве новых свойств.
Рассмотрим G — алгебру Грассмана с порождающим множеством Е = {еі,Є2, —,е„,...}. Относительно операции коммутирования, которую обозначим [pi, 7г] = /і#2 — #2#1) получим алгебру Ли G .
Векторное пространство G с нулевым умножением будет рассматриваться как абелева алгебра Ли, которую обозначим через G0. Зададим действие элементов (?(") на G0 следующим образом: дд3 — (дгд3), д3д = 0, где 9г, (9г9з) из G0 и д3 из G(_). Такое действие задает представление на G0.
Свободные алгебры Пуассона
Покажем, что для любого фиксированного четного п щ сугцествует такая диаграмма и = и(п) Є М, что для любой диаграммы d Є D{n,u) будет выполняться m f(V) 0. Данное утверждение обозначим.
Предположим, что утверждение ( ) не выполняется. Тогда существует такое четное N щ, что для любой диаграммы и Є М существует некоторая диаграмма d = d(u) Є D(N,u), для которой m fV) = 0. Фиксируем некоторую диаграмму щ М и такую do Є D(N,Uo), что т 0(У) = 0. Если в диаграмме do есть такие столбцы, которые имеют менее iQ клеток, то к этим столбцам добавим клетки таким образом, чтобы каждый из них имел длину IQ. Обозначим полученную диаграмму d\ (если мы ничего не добавляли, то d\ = do). Ясно, что пересечение диаграммы d\ с квадратом С х С даст диаграмму щ. По предложению 4.2 из тгц,(К) = 0 следует m fV) = 0. Далее, к первым jo столбцам и первым г о строкам диаграммы d\ добавим клетки так, чтобы каждый из данных j0 столбцов и г о строк имели N клеток. Получим некоторую диаграмму Юнга (. По предложению 4.3 из т іУ) — 0 следует rrid2{V) = 0. В силу произвольности выбора щ получаем следующее. Пусть d — произвольная диаграмма Юнга некоторой четной степени п, содержащая диаграмму й"(г0, Jo5 ЛГ) и соответствующая непулевому неприводимому Sn-модулю из разложения Qn(V) (это возможно вследствие того, что последовательность qn(io,3o,V), п = 2,4,..., неограниченна). Следовательно, d есть объединение диаграммы ( для некоторого и М и некоторой диаграммы Юнга, лежащей в крюке H(i0,jo). По предложению 4.3 все 5п-модули из разложения Qn(V), которые соответствуют диаграмме d, будут нулевыми. Противоречие.
