Введение к работе
Актуальность исследования. Теория тождеств ассоциативных алгебр (теория ассоциативных РІ-алгебр) является одним из самых современных и интенсивно развивающихся разделов алгебры.
Одна из центральных проблем PI-теории была поставлена Шпехтом' в 1950г.: "Имеет ли любая ассоциативная РІ-алгебра над полем пулевой характеристики конечный базис тождеств?". Эта проблема имеет смысл для алгебр над любым полем, а также для колец, групп, и многих других алгебраических структур. Для групп проблема конечного базирования была отрицательно решена Ольшанским2. В 1973г. Крузе и Львов3 доказали, что любое конечное кольцо имеет конечный базис тождеств. Проблеме конечной базируемости над полями нулевой характеристики было посвящено множество работ. У В.Н.Латышева имеется большой цикл работ на эту тему4. Многие русские и болгарские математики работали в этом направлении. Отметим наиболее важные результаты. В 1978г. Латышев5 доказал, что любая ассоциативная алгебра над полем нулевой характеристики, удовлетворяющая тождеству вида
[X|,...,xn]....[zb...,z„] = 0 имеет конечный базис тождеств. В 1982г. А.В.Яковлев анонсировал следующий результат: алгебра матриц любого порядка над полем нулевой характеристики имеет конечный базис тождеств.
1 Specht W. Gesetze in Ringen II I, Math. Z. 52,1950,557-589.
2 Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах /У Изв. АН СССР. Сер. матем.,
34:2,1970, с.376-384.
3 Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец //1, Алгебра и логика 12,1973, с.266-297.
4 Латышев В.Н. Конечная базируемое тождеств некоторых колец // УМН, 32:4(196), 1977, с.259-260.
Латышев В.Н. О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр // Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:5,
1973,с.1010-1037.
Латышев В.Н. О шпехтовости некоторых многообразий ассоциативных алгебр // Алгебра и логика 8, 1969, с.660-673.
Латышев В.Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Pi-алгебр // УМН, 27:4(166), 1972, с.213-214.
5 Латышев В.Н. Нематричные многообразия ассоциативных алгебр // Матем. заметки, 27:1, 1980, с. 147—
156.
Полностью проблема Шпехта для полей нулевой характеристики была решена А.Р. Кемером6 в 1986г. В 2000г. Белов7 построил контрпример к гипотезе Шпехта для алгебры над полем характеристики р и показал справедливость гипотезы Шпехта для конечномерных Р1-алгебр (хотя результат не опубликован даже в России).
Несмотря на положительное решение проблемы Шпехта в случае поля нулевой характеристики, возникают проблемы нахождения базисов тождеств конкретных алгебр, в частности, алгебр матриц - важнейшего класса алгебр в PI-теории. Эти проблемы оказываются неожиданно сложными. Основным результатом в этом направлении является описание тождеств алгебры матриц второго порядка над полем нулевой характеристики8. Однако базисы тождеств для алгебр матриц более высокого порядка до сих пор неизвестны. Тем не менее, Размыслов9 нашел базисы тождеств со следом для алгебр матриц Mn(F) произвольного порядка п. Также описаны базисы тождеств алгебры матриц второго, третьего и четвертого порядка в случае конечного основного поля.
Большое число работ посвящено градуированным тождествам матричных алгебр. Различные 22-градуировки алгебры Мг(К) и базисы соответстующих идеалов градуированных тождеств в случае конечного поля К были описаны Кошлуковым и Азеведо10. Также в работах Василовского" и Азеведо12 описаны базисы градуированных тождеств алгебры МП(К), наделенной Zn-градуировкой, в случае произвольного
6 Кемер А.Р. Конечная базируемое тождеств ассоциативных алгебр. //Алгебра и логика 26, 1987, с.597-
641.
7 Belov, A. Counterexamples to the Specht problem II Sb. Math. 191 (3-4), 2000,329-340.
! Размыслов Ю.П. О конечной базируемое тождеств матричной алгебры второго порядка над полем
характеристики ігуль // Алгебра и логика 12,1973, с.83-113.
* Размыслов Ю.П. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Изв.
АН СССР. Сер. матем., 38:4,1974, с.723-756.
10 Koshlukov P., Azevedo S.S. A Basis for the Graded Identities of the Matrix Algebra of Order Two over a
Finite Field of Characteristic p Ф 2II Fini'.e Fields and Their Applications, 8:4,2002, 597-609.
" Vasilovsky S. Yu Argraded polynomial identities of the full matrix algebra of order n II Proc. Amer. Math.
Soc, 127, 1999,517-524.
12 Azevedo S.S. Graded identities for the matrix algebra of order n over an infinite field II Communications in
Algebra, 30:12, 2002, 849-860.
бесконечного поля К. В статье В. Дренского и 10. Бахтурина3 исследуются градуированные тождества G-градуированной алгебры МП(К) в случае произвольной группы G и char К = 0, также в ней найдены базисы соответствующих идеалов градуированных тождеств в случае простейшей градуировки.
Диссертация продолжает дальнейшее исследование различных классов градуированных тождеств и тождеств со следом:
находится базис градуированных тождеств супералгебры M).2(F);
находятся алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F);
t решается классическая проблема К. Прочези для алгебры общих
матриц порядка 3.
Объектом исследования является алгебра матриц третьего порядка М}() над бесконечным полем F (нулевой и положительной характеристики).
Предметом исследования являются тожества различных типов алгебры матриц третьего порядка М^() над бесконечным полем F (нулевой и положительной характеристики).
Цели и задачи исследования. Целью исследования является получение новой информации о тождествах алгебры матриц третьего порядка, позволяющей более глубокого исследовать многообразие алгебр Var(M3(F))
Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертации, основываются на следующих методах и результатах:
базис градуированных тождеств супералгебры M!i2(F) получен с
использованием общей теории представлений симметрической
группы и результатов о тождествах со следом и обычных тождествах
алгебры M2(F);
13 Bahturin Y., Drensky V. Graded polynomial identities of matrices II Linear Algebra and its Applications, 357:1,2002,15-34.
алгебры порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F) найдены с использованием структурной теории РІ-алгебр, разработанной А.Р. Кемером;
проблема К. Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 решается с помощью результатов о тождествах со следом и обычных тождествах алгебры Мг(Р).
Личный вклад автора.
Задача о нахождении базиса градуированных тождеств супералгебры Mj,2(F) поставлена научным руководителем и решена автором самостоятельно. Проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3 поставлена и решена совместно с научным руководителем при равном участии. Задача описания алгебр, порождающих многообразие трейскиллеров для M3(F) поставлена и решена совместно с научным руководителем при равном участии.
Достоверность результатов. Достоверность научных положений и выводов, сформулированных в диссертации, подтверждаются строгостью математических расчетов. Также результаты исследований обсуждались на международных конференциях и представлены в российской и зарубежной печати.
Научная новизна. Работа носит теоретический характер. Представленные в диссертации теоретические результаты являются новыми, не полученными ранее: описаны все тождества супералгебры M|,2(F); описаны алгебры, порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F); решена известная открытая проблема Прочези в частном случае, для алгебры общих матриц порядка 3.
Основные положения, выносимые на защиту.
Базис градуированных тождеств супералгебры Mi>u0 (F).
Полиномы, порождающие все тождества супералгебры Mi,n(F) от нечетных переменных.
Базис градуированных тождеств супералгебры M|-2(F).
Алгебры, порождающие многообразие трейскиллеров для M3(F).
5. Решение проблема Прочези для алгебры общих матриц порядка 3.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер, информация об исследуемых тождествах позволяет более глубоко изучить тождества матриц третьего порядка:
Один из путей к получению асимптотического базиса (обычных) тождеств алгебры M3(F) лежит через нахождение градуированных тождеств алгебры Mi>2(F)14.
Описание идеала трейскиллеров для алгебры матриц Mn(F) необходимо для изучения подмногообразий многообразия Var(Mn(F)) в случае положительной характеристики поля F.
Описание трейскиллеров является также описанием центральных полиномов соответствующей алгебры матриц.
Апробация работы. Основные научные и практические результаты исследований по теме диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), а также на Втором Международном Конгрессе по Алгебре и Комбинаторике (Пекин, 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, из них 1 статья в журнале из списка ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов по главам, заключения, списка используемой литературы, включающего 51 наименование. Общий объем диссертации - 66 страниц.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
