Содержание к диссертации
Введение
1 Алгебры Ли, градуированные алгебры и их многообразия 10
1.1 Основные определения 10
1.2 Z2 - градуированные алгебры Ли 15
1.3 Многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста . 19
2 Градуированная алгебра sh 23
2.1 Градуировки на алгебре sfa 24
2.2 Тождества 72-градуированной алгебры sfa 29
2.3 Тождества Z2 X г2-градуированной алгебры s/2 37
2.4 Тождества Z3-градуированной алгебры s^2 40
3 Некоторые многообразия алгебр Ли, порожденные Z2 — градуированными алгебрами Ли 46
3 1 Многообразие VCf3 47
3.2 Многообразие Vz 2 53
Литература 61
- Многообразия алгебр Ли почти полиномиального роста .
- Тождества 72-градуированной алгебры sfa
- Тождества Z3-градуированной алгебры s^2
- Многообразие VCf3
Введение к работе
При изучении тождественных соотношений в линейных алгебрах одним из важных вопросов является нахождение численных характеристик для описания количества тождеств пекоторой конкретной алгебры или многообразия алгебр. Такой.характеристикой для произвольного многообразия V является размерность cn(V) пространства полилинейных элементов степени п. Числа cn(V) образуют последовательность, рост которой называют ростом многообразия V. В ассоциативном случае А.Регевым в [28] было показано, что любое собственное многообразие ассоциативных алгебр имеет не более чем экспоненциальный рост. В алгебрах Ли это не так, существуют многообразия алгебр Ли со сверхэкспонепциальным ростом. Одним из таких многообразий является многообразие АЛ^, определяемое тождеством (^1^2^3)(^4^5^6)- 0- Данное многообразие было подробно исследовано И.Б. Воличенко [5],[6]. Новые результаты исследования этого многообразия можно посмотреть в работе А. Джамбруно, СП. Мищенко и М.В. Зайцева [12].
В теории многообразий линейных алгебр хорошо известны результаты о многообразиях с почти полиномиальным ростом, то есть само многообразие имеет экспоненциальный рост, а любое его собственное подмногообразие -полиномиальный.
В ассоциативном случае А.Р. Кемером [16] было показано, что толь- ко два многообразия ассоциативных алгебр имеют почти полиномиальный рост. Одно из них порождено бесконечномерной: алгеброй Грассмана Л, второе - алгеброй UT2 верхнетреугольных матриц порядка два.
В случае алгебр Ли в настоящее время известно только пять многообразий почти полиномиального роста. Из работ И.Б. Воличенко [3];[4] и С.П.Мйщенко [19],[20],[21] следует, что в классе разрешимых многообразий алгебр существует только четыре многообразия почти полиномиального роста. Кроме того, построен только одинпример неразрешимого:многооб-разия почти полиномиального роста, это многообразие порождается простой трехмерной алгеброй Ли, которое подробно исследовано Ю.П. Раз-мысловым и В.Дренски [26],[27],[9].
В последнее время большой интерес повернут на изучение алгебр с дополнительными условиями: алгебр с инволюцией, градуированных алгебр,, например, [1],[10],[11],[24],[13],[14]. Из работ A. Giambruno, СП. Мищенко, A. Valenti [11],[24] существует только два многообразия ассоциативных алгебр с инволюцией почти полиномиального роста. Одно из них порождается алгеброй (?2= F ф F, где F - основное поле, с инволюцией (а, Ь)* — (6, а). Это многообразие играет роль аналогичную роли бесконечномерной алгебры Грассмана А. Второе многообразие порождается четырехмерной алгеброй (аналогично UT^).
Данная работа посвящена изучению градуированных тождеств алгебр Ли, порождающих многообразия почти полиномиального роста.
Работа состоит из введения и трех глав. В первом параграфе первой главы даны основные определения и понятия, связанные с теорией многообразий алгебр Ли и техникой диаграмм Юнга. Во втором параграфе приведены основные определения, связанные с Z2 - градуированными алгебрами Ли, описана техника диаграмм Юнга для случая Z2 - градуированных алгебр, введены понятия градуированной коразмерности и градуированной кодлины.
Третий параграф носит реферативный характер, в котором описываются пять многообразий К), 1^.,) V3, V4 почти полиномиального роста и некоторые их свойства.
Вторая глава диссертации посвящена изучению градуированных тождеств простой трехмерной алгебры Ли sh. Здесь основное поле F - алгебраически замкнутое поле характеристики О, В первом параграфе рассмотрены всевозможные градуировки на L = $І2 конечной группой G, В предположении, что G порождается Supp Z-, все эти градуировки изоморфны четырем классическим градуировкам:
Тривиальная градуировка. L — Lq. г2-градуировка. L = Ьо.ФЬ'ь где Lq =< еи — е22 >, Ь\=< еі2,Є2і >. Z2 X Z2-градуировка. L = 00 Lw L01 ф.іц, где Aft =< 0 >,. Lio. = < ЄЦ - Є22.>, A)l =< Єі2 + Є2І.>, Аі =^< Є!2 - Є21 > .
4) Z3-градуировка. L ~ L~i L0 і і, где -1 =<:ei2>j іо- = < ец- Є22 >, і=< Є21 > .
Теорема 1. Пусть G - конечная абелева группа. Тогда любая G - градуировка изоморфна одной из четырех классических градуировок: 1) тривиальной градуировке; 2) 7і2-~ градуировке; 3) Z2 X Z2 - градуировке; 4) Z3 - градуировке.
Во втором параграфе второй части дано доказательство технической леммы 4.4 из статьи В;Дренски [9] и дано полное описание полилинейных частей копрострапства идеала градуированных тождеств Z2 - градуированной алгебры sl2- Введем обозначения h = ец — Є22, е = Єі2, / = Є21, где 6ij~ матричные единички.
Лемма 2. Пусть f(x\,X2,X3) — однородный степени di по Х{ многочлен в свободной ассоциативной алгебре и di = щ {mod 2), о~{ — О,1, г = 1,2,3.
Тогда /(Л,е + /,е-/) = еА^(е + /)'а(е-/Г, eeF.
Теорема 2. Пусть для многообразия VQ 2 дано разложение Sk х 5^-^ — характера XM-*(^oZl) = 5Z тА.ДХЛХ/х)' АНЬ тогда тп\^ = 1, если A = (&), /л = (g + г, д), и выполнены следующие условия:
3) г = 1 или-к -\- q = \ (mod 2), в остальных случаях т\,ц = 0.
В третьем параграфе второй главы дано описание полилинейных частей копространства идеала-градуированных тождеств алгебры s^ с Z2 х Z2 ~ градуировкой .
Теорема 3. Пусть для многообразия VQ гХ 2 дано раЗЛООЮЄНиС Ьр X Dq X Sr X St-характера ehr.jrH тогда гал^.^тг = 1, если A = (p),A* = M)^ — Wi71, = W u выполнены условия: p = 0;
5 7^ n, г 7^ тї, 7^ n; g — r = 1 (morf 2) ылм г — і = 1 (mod 2), в остальных случаях m\^VyV_ = 0.
В четвертом параграфе второй главы доказывается техническая лемма, которая используется при доказательстве основной теоремы этого парагра- фа, описывающей строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств Z3 - градуированной алгебры sh-
Лемма 3. Пусть f(x\, Х2, #з) — однородный степени di по хі многочлен в свободной ассоциативной алгебре. Тогда f(e,hj)=l
О, \di~d3 |> 1, віє, d\ — dz = 1, єзЛ dz-dv= 1, Є3Є11 + Є4Є22, d\ = rf3) где ti Є F.
Теорема 4. Пусть для многообразия V0 3 дано разложение SpxSqx Sr характера XPlqAvo*)= Yl rn\rAx\Xt*Xv)> \bp,tt\-q тогда m\^v — 1, если X = (р),д = {q),v = (r)u выполнены следующие условия: \)рфп, q^n, гфщ
2) \p-r |< 1. В остальных случаях тп\^и — 0.
Третья глава посвящена изучению градуированных тождеств алгебр, порождающих многообразия ^,. Характеристика основного поля F предполагается равной 0. Пусть Л - бесконечномерная алгебра Грассмана с порождающим множеством Е — {ei,..., еп,...}, относительно операции коммутирования она является-алгеброй Ли Л^-). Векторное пространство Л с нулевым умножением будем рассматривать как абелеву алгебру Ли, которую обозначим Л. Зададим действие Л^ на Л следующим образом
9i9j = (9i9j), где gl, (<7» В первом параграфе третьей главы рассмотрена 7>2 - градуировка на L: Ь = Ь0фЬи. где L0 - Л(_),Lx = Л, описано строение полилинейных частей копространства идеала градуированных тождеств, вычислены формулы последовательностей коразмерностей И :КОДЛИИ. Теорема 5. Пусть для многообразия-V2 2 дано разложение S& X Sn~A; - характера Xktn~k(V2Z2) = Xk,n-k{L) = ^2 т*Лх\ Хм), (1) Ahfc ІлЬп—k тогда для п > 2 * тд,/* = 1, если \ = (р+ l,ln~p~2),fi = (1),р = 0,...,п-2, # т\^ = 0 в остальных случаях. Рассмотрим трехмерную нильпотентную алгебру Ли ІУз с базисом {а,6,с} и.таблицей умножения 6а = —аб = с,ас = Ьс = 0, и ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов Я от переменной і относительно операции коммутирования. R является абелевой алгеброй Ли, превратимее в: правый --Nz - модуль, полагая действие базисных элементов N$ следующим образом: f(t)o a = f'(t),f(t) о 6.= */(*), fit) о с = /(*):. Рассмотрим полупрямое произведение N = R\ N3 и зададим Z2 - градуировку-на алгебре iV: N = N0 Є Ni, где N0 = N3, М = R. Во втором параграфе приведено описание полилинейных частей копро-странства идеала градуированных тождеств алгебры N. Теорема 6. Пусть для многообразия V3 2 дано разложение Sk х Sn-k - характера Xk,n-k{V?%) = Xk,n-k{N)= J2 хЛх\Хц), Ahfc fthn—k тогда для п > 2 1. mA)/* = 1, если А= (р + д + г,р + д,р),м= (1); mA,p = 1, если X = (p + q,p),(* = (1); З- щп-і),о) - і; ^- гад,/* — 0, в остальных случаях. Основная часть результатов опубликована в работах автора [2Э],[30],[31],[32],[33]. В заключении автор хотел выразить чувство глубокой благодарности своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору СП. Мищенко за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе и моральную поддержку. В случае алгебр Ли известно всего пять многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста. Это многообразие VQ, порожденное простой трехмерной: алгеброй Ли sfa матриц второго порядка со следом равным нулю. Это единственное известное пока многообразие почти полиномиального роста, которое не является разрешимым. Оно подробно исследовано в работах Ю.П. Размыслова [26],[27] и В.Дренски [9]. Во второй главе будет расширено определение градуированного изоморфизма и будут рассмотрены различные градуировки алгебры sl конечной абелевой группой G. Все эти градуировки будут изоморфны в.расширенном смысле 4 классическим градуировкам: 1) тривиальная градуировка; 2) Z2 - градуировка; 3) Z2 х Z2 - градуировка; 4) Z3 - градуировка. В случае тривиальной градуировки строение полилинейной части идеала градуированных тождеств алгебры sfe было исследовано В. Дренски в работе [9]. Во второй главе будет исследовано строение полилинейной части идеала градуированных тождеств в.случае трех остальных градуировок. Следующим примером является многообразие N2А, определяемое тождеством (3:12:2)(3:3 4)( 5 6) = 0. Для единообразия всех примеров,.следуя статье [21], обозначим многообразие N A через Vi. Доказательство того, что многообразие V\ является почти полиномиального роста, содержится в работе СП. Мищенко [19]. Еще одним примером многообразия почти полиномиального роста является многообразие, исследованное в работах И.Б.Воличенко [3],[4]. Оно порождается алгеброй Ли L вида где Л - бесконечномерная алгебра Грассмана, а 0 - нулевая алгебра. Обозначим это многообразие через V . Многообразие Vi является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Для многообразия V i верны следующие соотношения: Для дальнейших примеров многообразий алгебр Ли почти полиномиального роста нам понадобятся следующие алгебры. Рассмотрим ассоциативно-коммутативное кольцо многочленов от переменной, t, которое обозначим R. Это кольцо можно рассматривать как абелеву алгебру Ли. Обозначим через М двумерную алгебру Ли с базисом {h,e} и таблицей умножения he = —eh = /г, а через Л з. трехмерную нильпотентную алгебру Ли с базисом {а, 6, с} и таблицей умножения Ьа = —аЬ = с, ас = be = 0: Тождества неприводимых представлений этих алгебр были исследованы в работах М.В. Зайцева [15] и СП. Мищенко [22]. Превратим R в Mi - модуль, полагая f(t)h = tf(t),f(t)e = tf (t), а также в Ns модуль, считая, что f(t)a = f (t),f(t)b — tf(t),f(t)c f(t). Штрих над многочленом обозначает взятие производной. Необходимые нам алгебры - такие полупрямые произведения: Напомним определение стандартного тождества и системы тождеств Капелли. Стандартным тождеством степени т — 1 называется полилинейное тождество вида или где переменные одного кососимметричного-набора договоримся помечать некоторым одинаковым, символом, например, чертой или волной.. Системой тождеств Капелли порядка т называется система тождеств вида где щ - формальные слова от образующих. Обозначим через 14 многообразие, порожденное алгеброй N, а через 14 многообразие, порожденное алгеброй М. Многообразия 14 и 14 отличаются от многообразия 14, так как они разрешимы ступени три. В этих многообразиях выполнено стандартное тождество некоторой степени, даже система тождеств Капелли некоторого порядка, поэтому они отличаются от многообразия 14- Также многообразия 14 и 14 отличаются от многообразия 14, так как в многообразие 14 выполнены стандартное тождество степени 6 и тождество а в многообразии V$ стандартное тождество степени 5, которые не выполняются в многообразии Vi. Доказательство того, что многообразия Уз и V± имеют почти полиномиальный.рост,- приведены в работах СП. Мищенко [20], [21]. Также эти многообразия изучались в работе Л.Е. Наумовой и Н.О. Седовой [25). В третьей главе будут рассмотрены естественные Z2 - градуировки алгебры L, которая порождает многообразие Vi, и алгебры N, которая порождает многообразие V3, и исследовано строение полилинейных частей идеалов градуирован ных тождеств этих алгебр. Также для алгебры L будут приведены точные формулы последовательностей градуированных коразмерностей и градуированных кодлии. Рассмотрим, алгебру L — sj2 и Z2 - градуировку на ней L = LQ ф L\, где LQ = h , L\ = е, / Напомним, что h = ец — е22, е = ej2, f = є2і. Пусть разложение (3.2) Sk X Sn-k - характера Z2 - градуированной алгебры sfa на неприводимые Sk x 5n_ - характеры, тогда имеет место следующее утверждение: Лемма 1. Если первая диаграмма, отвечающая паре разбиений (А, /і), состоит более чем из одной строчки, или вторая диаграмма состоит более чем из двух строчек, тогда в разложение (2.1) т ц = 0. Доказательство. Предположим что пара разбиений (Л, р.) такая, что длина первого столбца первой диаграммы больше одного, или длина первого столбца второй диаграммы больше двух. Рассмотрим элемент /, порождающий неприводимый модуль, соответствующий паре разбиений (Л,/І). Согласно работе [23], элемент / равен линейной комбинации слагаемых, каждое из которых либо содержит по крайней мере один кососимметрический набор из двух переменных, принадлежащих Y, либо содержит не менее одного кососимметрического набора из трех переменных, принадлежащих Z. Достаточно показать, что ъ L — sl тождественно равен нулю любой полилинейный лиевский многочлен, который либо кососимметричен по двум переменным из четной компоненты, либо кососимметричен по трем переменным из нечетной компоненты. Так как размерность четной компоненты алгебры L равна 1, а размерность нечетной равна 2, то и в первом, и во втором случаях мы подставим один базисный элемент L вместо пары косо-симметричных переменных. Очевидно, что все эти значения — нулевые. D Для доказательства следующей теоремы нам понадобится лемма 4.4 из статьи [9]. Следуя доказательству автора статьи, воспроизведем, опущенные в.статье, технические детали доказательства леммы. Лемму докажем индукцией но степени d = d\ -\- d2 + d$ сначала для одночленов, а потом для многочленов. d = 1 очевидно. Предположим, что для d = d\ + d 4- d$ лемма верна,т.с. Пусть степень одночлена равна d+Г. Тогда моном имеет вид /(ft, a, b)v, где v. Л,о.или 6. Рассмотрим.всевозможные случаи четности и нечетности 1 случай. , 6,2, d% четные, тогда по предположению индукции Переберем всевозможные значения-у. Пусть Все три случая значения v позволяют сделать индуктивный: переход. В остальных случаях подробно распишем технические моменты без необходимых, но простых, логических рассуждений. 2 случай.d\ - нечетное, 6 ,( - четные, тогда /(ft, а, 6) = ehlaQ$ — eft, перебирая все три возможные значения и, получаем то есть опять можно сделать индуктивный переход.. Аналогично рассматриваем все остальные случаи. 3 случай 1( - нечетное, d\t d5 - четные, тогда /(ft, a, 6) = ehalb = ea. Таким образом, все рассмотренные случаи позволяют сделать.индуктивный переход, поэтому доказательство для одночленов завершено. Рассмотрим многочлен /(#1, х з) однородный степени d{ по #j. Распишем его в сумму одночленов Доказательство, По лемме 1 достаточно рассматривать только тождества от трех переменных, при этом одна переменная принадлежит У, а две другие : принадлежат Z, Пусть c,d — пара таблиц, соответствующая паре разбиений: А= (k), H-(q + r,q), fC}d(y,zhZ2), у Є Y, zx,z2 Є Z. — многочлен, полученный - путем "склеивания" многочлена, построенного по паре таблиц c,d [2]ф Рассмотрим алгебру матриц второго порядка Л2 над алгебраическим замыканием Л поля рациональных функций от коммутирующих переменных. у, щ, Qj, i,j = 1,2. f(y,zi,z2) = 0 является тождеством в L тогда и только тогда, когда f(,,V,C) — 0 для любых матриц ,77,( из Л2 с алгебраически независимыми коэффициентами следующего вида: Матрицы , г/, С, невырожденные. Обозначение Ас = С"1 АС. Существует матрица С = сцеп + с22е22, где = J из Л2, переводящая r?i2e + %і/ к виду /?(е + f), такая, что hc = h, то есть Рассмотрим счетное множество переменных X. = Х_! U Хо U Xi, разбитых на три непересекающихся подмножества и относительно свободную алгебру F(X,V0 3) многообразия. 23. Обозначим через Рр АУу3) — пространство полилинейных многочленов из алгебры F(X,V 3) от переменных яті,...,хр,г/і,...,yq,ги...,гГ1 где %І Є Х_і,у,- Є Х0, г Є Хг и р + На пространстве PP,q,r{Vo 3) естественным образом задано действие груп- Пространство / Д" 3) является 5Р X Sq X 5г-модулем и имеет место следующее разложение где ХА ХІІ Xv неприводимый Sp х Sq х -характер, соответствующий тройке разбиений (Л,/л, У), а.тдЛІ/ — соответствующие кратности. Для доказательства следующей теоремы нам понадобится лемма Лемма 3. Пусть f(xi,X2,3c ) — однородный степени di по ХІ многочлен в свободной ассоциативной алгебре. Тогда Доказательство. Распишем наш многочлен на сумму одночленов и подставим в них е, Д, /. Так как /ге = — eh, hf. = —fh, мы можем "протащить" все h вперед. Получаем где ctj Є К, a W{ — это одночлен, содержащий только ей/. Так как h = Е, то /t 2 равняется либо Е, либо /І В зависимости от четности d2- Заметим, что Ее = he = е и Ef = —hf = /, следовательно /irf2iUi = ±Wj. Мы получили Рассмотрим все случаи, указанные в формулировке леммы. Пусть d\ — ( 1) тогда в щ встретится две подряд идущие е или. /. Из.тождеств е2 = 0 и /2 = 0 следует, что /Де, Л, /) = 0 для любого г. Следовательно /(є, /і, /) = 0. Рассмотрим следующий случай. Пусть d\ — d$ =1 1, тогда количество е па единицу больше количества /. Легко заметить, что /Де, Д, /) 0 тогда и только.тогда, когда wi имеет следующий вид в остальных случаях /Де, Л,/) = 0, так как в іщ встретится две подряд идущие е. Очевидно, что Обозначим через / множество тех индексов, для которых /Де, h,f) ф 0. Получаем Предположим, теперь, что ( — d\ = 1. Аналогично с предыдущим случаем получаем, что /Де, h, /) ф 0 тогда, когда и»; имеет следующий вид иначе встретится две подряд идущие / и тогда /Де, /t, /) = 0. Так как то мы имеем Пусть i.-= d3. Из тождеств е2 = 0 и /2 = 0 получаем, что /j(e, h, /) ф О тогда-и-только-тогда, когда .ги имеет один из следующих видов в остальных случаях встретится или две подряд идущие е, или две подряд идущие / и тогда /i(е, h, /) = 0. Обозначим через 1\ множество тех индексов, для которых W( имеет 1-й вид, а через 1% множество тех индексов, для которых Wi имеет 2-ой вид. Получаем Заметим, что в лиевском случае в условиях леммы, если d\ d то /(е,Л,/):= єз/г,.так как элемент Є3ЄЦ + Є4Є22 принадлежит L тогда и только тогда, когда Є4 = —бз- Теорема 4. Пусть для многообразия V0 3 дано разлооїсениє (2.3) SpxSqx Зг-осарактера тогда-mxlfi,v.= Г, если А = (р),А = (ч) = [г)и выполнены следующие условия: Доказательство. Так как размерность каждой компоненты равна 1, то достаточно рассматривать только тождества от трех переменных ж, у, z, где х X i,y. XQ,Z Є ХЬ Пусть 6,c,d — тройка таблиц, соответствующая тройке разбиений (р), (д), (г) и fb,c,d(x y z) многочлен, полученный путем "склеивания" многочлена, построенного по тройке таблиц 6, с, d. Многочлен f(x, у, z) — 0 является тождеством вІ, тогда и только тогда, когда /(, 17,С) — 0 Для любых матриц , 77; С из Л2, где Л2 — алгебра, введенная выше, с алгебраически независимыми коэффициентами следующего вида: Из леммы 3"следует где а,/3,7 алгебраически независимы. Для любых двух троек таблиц &і, Сі, rfi и 62, с2, rf2 соответствующих одной и той же тройке разбиений является тождеством в h. Следовательно модуль Рр,ч,г{Уо г) разлагается в сумму неизоморфных неприводимых Sp X Sq X ST- модулей, т.е. кратности п\ф,„ 1. Докажем, что гп\ и — 0, если хотя бы одно из.условий теоремы не выполнено.. 1).-р = п. Легко следует из тождества антикоммутативности и того, что размерность компоненты L_і равна 1..q.— пи г = п аналогично. 2) р — г 1. Рассмотрим многочлен /Р] г(ж, г/, z), соответствующий четверке, разбиений (р), (д), (г).. Из леммы 3 следует, что fp,q,r{e, h,f)=0. Следовательно линеаризация /Р)ї)Г(е, /і, /) порождает нулевой модуль, то есть кратность равна 0. Теорема будет доказана, если мы построим ненулевые многочлены їря,т{х- Уі z) во:всех случаях, когда выполнены условия теоремы. Подставляя базисные е, h, /, мы видим, что fp,q,r(e, h,f) ф 0 и поэтому Пусть А - алгебра Грассмана с порождающим множеством Е {ei,..., е„,...}, а А0 - алгебра Грассмана с нулевым умножением с тем же порождающим множеством Е. Относительно операции коммутирования будем рассматривать алгебру Ли А - . Превратим А0 в А - - модуль, полагаяpj-ffj = ( ад), гдеgf, ( ) е A0, a9j Є Л -). Рассмотрим алгебру Ли L А0 X Л(-) , умножение в ней задается следующим образом: где [51,52] коммутатор в ассоциативной алгебре Грассмана. Алгебра L порождает многообразие V2, которое имеет почти полиномиальный рост. Приведем некоторые свойства алгебры L. AQ является абелевым идеалом Подалгебра Л( является нилыютснтной ступени 3. Алгебра L принадлежит многообразию AN% и многообразию Л3, так как для любых 1, 2, 3) 4 L х 1X2X3 Є Л0, ( 1 2)(3:3 4) Є Л0. Многообразие V2 является наименьшим многообразием, в котором не выполняется ни одно стандартное тождество. Для многообразия V i верны следующие соотношения: Рассмотрим на-алгебре Ї следующую Z2- градуировку: и обозначим через V 3 многообразие, порожденное алгеброй L с этой гра-дуировкой. В многообразии V 2 выполняется тождество или где Уі,ї/2.— четные, a z - нечетная переменные. Для того чтобы проверить это, подставим вместо переменных г/1,2/2 элементы:из Л -), а вместо переменной-г элемент из Л. При этом тождество (3.1) примет вид: а элемент д[дід2І [дід?] равен нулю в; ассоциативной алгебре Грассмана. Лемма 4. В многообразии V2 2 выполняются тождества где -А, В, С - некоторые слова от образующих, z Є Z,j/i,t/2 Є У. Доказательство. Заметим, что третье тождество равно сумму первых двух тождеств, а.тождество (3.1) является частным случаем первого из выписанных тождеств. Проверим выполнение этих тождеств, для этого подставим вместо переменных у\, у% произвольные элементы ?Ъ #2 из А \ вместо переменной z произвольный элемент д из Л, После подстановки получим элементы следующего вида которые содержат внутри себя две одинаковых-кососимметричных пары. Такие элементы равны нулю в ассоциативной, алгебре Грассмана, следова тельно они равны нулю и в алгебре Ь. П Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент алгебры L. В силу того, что Л абелев идеал, а Л -- нильпотентна ступени 3, любой элемент алгебры L степени больше двух есть линейная комбинация элементов вида zf(adyi,..., adyk), где z Є Z, f - многочлен от внутренних дифференцирований, определенных образующими уъ ..., г/ Є Y. Отсюда следует, чтоМногообразия алгебр Ли почти полиномиального роста .
Тождества 72-градуированной алгебры sfa
Тождества Z3-градуированной алгебры s^2
Многообразие VCf3
Похожие диссертации на Структура и тождества некоторых градуированных алгебр ЛИ
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
